必修1-第三章函數(shù)的應(yīng)用經(jīng)典例題講解

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第3章 函數(shù)的應(yīng)用1：函數(shù)的零點(diǎn)【典例精析】例題1 求下列函數(shù)的零點(diǎn)。（1） y=；（2）y（2）（3x2）。思路導(dǎo)航：判斷函數(shù)零點(diǎn)與相應(yīng)的方程根的關(guān)系，就是求與函數(shù)相對應(yīng)的方程的根。答案：（1）當(dāng)x0時(shí)，y=x2+2x3，x2+2x3=0得x=+1或x=3（舍）當(dāng)x0時(shí)，y=x22x3，x22x3=0得x=1或x=3（舍）函數(shù)y=x2+2|x|3的零點(diǎn)是1，1。（2）由（2）（3x2）0，得（x）（x）（x1）（x2）0，x1，x2，x31，x42。函數(shù)y（x22）（x23x2）的零點(diǎn)為，1，2。點(diǎn)評：函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)，而是交點(diǎn)的橫坐

2、標(biāo)。例題2 方程|x22x|=a2+1 （aR+）的解的個(gè)數(shù)是_。思路導(dǎo)航：根據(jù)a為正數(shù)，得到a2+11，然后作出y=|x22x|的圖象如圖所示，根據(jù)圖象得到y(tǒng)=a2+1的圖象與y=|x22x|的圖象總有兩個(gè)交點(diǎn)，得到方程有兩解。aR+a2+11。而y=|x22x|的圖象如圖，y=|x22x|的圖象與y=a2+1的圖象總有兩個(gè)交點(diǎn)。方程有兩解。答案：2個(gè)點(diǎn)評：考查學(xué)生靈活運(yùn)用函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決實(shí)際問題，會(huì)根據(jù)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷方程解的個(gè)數(shù)。做題時(shí)注意利用數(shù)形結(jié)合的思想方法。例題3 若函數(shù)f（x）axb有一個(gè)零點(diǎn)為2，則g（x）bx2ax的零點(diǎn)是（ ）A. 0，2 B. 0， C. 0， D

3、. 2，思路導(dǎo)航：由f（2）2ab0，得b2a，g（x）2ax2axax（2x1）。令g（x）0，得x10，x2，故選C。答案：C【總結(jié)提升】1. 函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)就是方程f（x）=0的根，因此，求函數(shù)的零點(diǎn)問題通?？赊D(zhuǎn)化為求相應(yīng)的方程的根的問題。2. 函數(shù)與方程二者密不可分，二者可以相互轉(zhuǎn)化，如函數(shù)解析式y(tǒng)f（x）可以看作方程yf（x）0，函數(shù)有意義則方程有解，方程有解，則函數(shù)有意義，函數(shù)與方程體現(xiàn)了動(dòng)與靜、變量與常量的辯證統(tǒng)一。函數(shù)零點(diǎn)的求法：（1）解方程f（x）0，所得實(shí)數(shù)根就是f（x）的零點(diǎn)；（2）畫出函數(shù)yf（x）的圖象，圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)f（x）的零點(diǎn)。3. 函數(shù)

4、零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系 根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義可知：函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，就是方程f（x）0的根，因此判斷一個(gè)函數(shù)是否有零點(diǎn)，有幾個(gè)零點(diǎn)，就是判斷方程f（x）0是否有實(shí)數(shù)根，有幾個(gè)實(shí)數(shù)根。 4. 函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)是函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如果一個(gè)函數(shù)能通過變換化為兩個(gè)函數(shù)之差的形式，則函數(shù)的零點(diǎn)就是這兩個(gè)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可以通過畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，觀察圖象的交點(diǎn)情況，對函數(shù)的零點(diǎn)作出判斷，這種方法就是數(shù)形結(jié)合法。2：二分法【考點(diǎn)精講】1. 函數(shù)零點(diǎn)的存在性判斷二分法 如果函數(shù)yf（x）在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，并且有f（a）·f（b）<0，那么，函數(shù)yf（x）

5、在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，即存在x0（a，b），使f（x0）0，這個(gè)x0也就是方程f（x）0的根。2. 逆定理：如果函數(shù)y=f（x）在a，b上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且x0是函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上的一個(gè)零點(diǎn)，卻不一定有f（a）·f（b）<0。如f（x）=x2，在區(qū)間1，1上有零點(diǎn)x=0，但f（1）·f（1）>0。3. 用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的步驟：已知函數(shù)y=f（x）定義在區(qū)間D上，求它在D上的一個(gè)變號零點(diǎn)x0的近似值x，使它與零點(diǎn)的誤差不超過正數(shù)，即使得|xx0|。（1）在D內(nèi)取一個(gè)閉區(qū)間a，bD，使f（a）與f（b）異號，即f（a）·f（b）0。令a0=a，

6、b0=b。（2）取區(qū)間a0，b0的中點(diǎn)，則此中點(diǎn)對應(yīng)的橫坐標(biāo)為x0=a0+（b0a0）=（a0+b0）。計(jì)算f（x0）和f（a0）。判斷：如果f（x0）=0，則x0就是f（x）的零點(diǎn)，計(jì)算終止；如果f（a0）·f（x0）0，則零點(diǎn)位于區(qū)間a0，x0內(nèi)，令a1=a0，b1=x0；如果f（a0）·f（x0）0，則零點(diǎn)位于區(qū)間x0，b0內(nèi)，令a1=x0，b1=b0。（3）取區(qū)間a1，b1的中點(diǎn)，則此中點(diǎn)對應(yīng)的橫坐標(biāo)為x1=a1+（b1a1）=（a1+b1）。計(jì)算f（x1）和f（a1）。判斷：如果f（x1）=0，則x1就是f（x）的零點(diǎn)，計(jì)算終止；如果f（a1）·f（x1

7、）0，則零點(diǎn)位于區(qū)間a1，x1上，令a2=a1，b2=x1。如果f（a1）·f（x1）0，則零點(diǎn)位于區(qū)間x1，b1上，令a2=x1，b2=b1。實(shí)施上述步驟，函數(shù)的零點(diǎn)總位于區(qū)間an，bn上，當(dāng)|anbn|2時(shí)，區(qū)間an，bn的中點(diǎn)xn=（an+bn）就是函數(shù)y=f（x）的近似零點(diǎn)，計(jì)算終止。這時(shí)函數(shù)y=f（x）的近似零點(diǎn)與真正零點(diǎn)的誤差不超過。【典例精析】例題1 對于函數(shù)f（x）x2mxn，若f（a）>0，f（b）>0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)（ ）A. 一定有零點(diǎn) B. 一定沒有零點(diǎn)C. 可能有兩個(gè)零點(diǎn) D. 至多有一個(gè)零點(diǎn)思路導(dǎo)航：若函數(shù)f（x）的圖象及給定

8、的區(qū)間（a，b），如圖（1）、圖（2）所示，可知A錯(cuò)；若如圖（3）所示，可知B錯(cuò)、D錯(cuò)。故C對。答案：C點(diǎn)評：結(jié)合二次函數(shù)的圖象來判斷給定區(qū)間根的情況。例題2 用二分法研究函數(shù)f（x）x33x1的零點(diǎn)時(shí)，經(jīng)第一次計(jì)算得f（0）0，f（0.5）0，可得其中一個(gè)零點(diǎn)x0_，第二次應(yīng)計(jì)算_，這時(shí)可判斷_。 思路導(dǎo)航：由題意知x0（0，0.5），第二次計(jì)算應(yīng)取x10.25，這時(shí)f（0.25）0.2533×0.2510，故x0（0.25，0.5）。答案：（0，0.5） f（0.25） （0.25，0.5）例題3 是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f（x）x2（3a2）xa1在區(qū)間1，3上與x軸恒有一

9、個(gè)零點(diǎn)，且只有一個(gè)零點(diǎn)。若存在，求出范圍，若不存在，說明理由。思路導(dǎo)航：運(yùn)用二分法可以求出a的范圍，但是要注意檢驗(yàn)。 答案：（3a2）24（41）9a216a8920，若實(shí)數(shù)a滿足條件，則只需使f（1）·f（3）0即可。f（1）·f（3）（13a2a1）·（99a6a1）4（1a）（5a1）0。所以a或a1。檢驗(yàn)：（1）當(dāng)f（1）0時(shí)，a1。所以f（x）x2x。令f（x）0，即x2x0，得x0或x1。方程在1，3上有兩根，不合題意，故a1。（2）當(dāng)f（3）0時(shí)，a，此時(shí)f（x）x2x。令f（x）0，即x2x0，解之得x或x3。方程在1，3上有兩根，不合題意，故a。

10、綜上所述，a或a1。 【總結(jié)提升】本部分內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)，也是高考考查的重點(diǎn)，對于本部分內(nèi)容的備考需注意以下兩個(gè)方面：一是準(zhǔn)確理解函數(shù)零點(diǎn)的概念及其存在性定理，能通過特殊值的函數(shù)值判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間；二是熟記常見函數(shù)的圖象，牢記圖象的基本特征，靈活運(yùn)用函數(shù)圖象解決相關(guān)問題。高中階段，研究函數(shù)零點(diǎn)的主要方法有：零點(diǎn)定理法、數(shù)形結(jié)合法。使用二分法求方程的近似解要注意：（i）要使第一步中的區(qū)間a，b長度盡量小；（ii）區(qū)間a，b的長度與一分為二的次數(shù)滿足關(guān)系式。3：函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用【考點(diǎn)精講】二次函數(shù)零點(diǎn)分布：設(shè)以下研究a>0 的情況，a<0分析方法同理（a）二次方程的兩個(gè)根滿足

11、函數(shù)兩個(gè)零點(diǎn)為滿足（b）方程的兩個(gè)根滿足二次函數(shù)兩個(gè)零點(diǎn)滿足（c）方程的兩個(gè)根滿足時(shí)，（d）二次方程的兩個(gè)根滿足函數(shù)的零點(diǎn)滿足（e）二次方程的兩個(gè)根有且只有一個(gè)根在（p，q）內(nèi)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)有且只有一個(gè)在區(qū)間（p，q）內(nèi)或檢驗(yàn)f（p）=0，f（q）=0并檢驗(yàn)另一根在（p，q）內(nèi)?！镜淅觥坷}1 已知關(guān)于x的二次方程x22mx2m10。（1）若方程有兩根，其中一根在區(qū)間（1，0）內(nèi)，另一根在區(qū)間（1，2）內(nèi)，求m的范圍；（2）若方程兩根均在區(qū)間（0，1）內(nèi)，求m的范圍。思路導(dǎo)航：設(shè)出二次方程對應(yīng)的函數(shù)，可畫出相應(yīng)的示意圖，然后用函數(shù)性質(zhì)加以限制。答案：（1）由條件，拋物線f（x）x22mx2

12、m1與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間（1，0）和（1，2）內(nèi)，如圖（1）所示，得即m。（2）拋物線與x軸交點(diǎn)均落在區(qū)間（0，1）內(nèi)，如圖（2）所示，列不等式組即m1。例題2 對實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“”：ab設(shè)函數(shù)f（x）（x22）（x1），xR。若函數(shù)yf（x）c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是（ ）A. （1，1（2，） B. （2，1（1，2C. （，2）（1，2 D. 2，1思路導(dǎo)航：當(dāng)（x22）（x1）1時(shí)，1x2，所以f（x）f（x）的圖象如圖所示。yf（x）c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，即方程f（x）c恰有兩個(gè)解，由圖象可知當(dāng)c（2，1（1，2時(shí)滿足條件。答案：B點(diǎn)評：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解。例題3 已知關(guān)于x的函數(shù)y=（m+6）x2+2（m-1）x+m+1恒有零點(diǎn)（1）求m的范圍；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且其倒數(shù)之和為-4，求m的值思路導(dǎo)航:（1）當(dāng)m+6=0時(shí)，即m=-6時(shí)，滿足條件當(dāng)m+60時(shí)，由0求得m且m-6綜合可得m的范圍（2）設(shè)x1，x2是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，由條件并利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系