高等數(shù)學(xué)第二章 第2節(jié) 函數(shù)的求導(dǎo)法則

1、1一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題五、小結(jié)及作業(yè)第二節(jié) 函數(shù)的求導(dǎo)法則2導(dǎo)數(shù)概念的回顧xxfxxfxfx)()(lim)(0切線的斜率。處的在點(diǎn)表示曲線)(,()()(000 xfxMxfyxf2、導(dǎo)數(shù)幾何意義3、求導(dǎo)公式 )(C )(sin x )(cosx0 xcosxsin1、導(dǎo)數(shù)的定義、導(dǎo)數(shù)的定義3 )(log xa)()(Rx )(xa )(xe )(ln x.1x.lnaax.xe.ln1ax.1x4定理定理并且可導(dǎo)處也在點(diǎn)分母不為零們的和、差、積、商則它處可導(dǎo)在點(diǎn)如果函數(shù),)(,)(),(xxxvxu);()( )()()

2、1 (xvxuxvxu);()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu).0)()()()()()()()() 3(2xvxvxvxuxvxuxvxu一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則5證（證（3 3）),0)( ,)()()( xvxvxuxf設(shè)設(shè)hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 證證(1)(1)、(2)(2)略略. .).0)()()()()()()()(2xvxvxvxuxvxuxvxu6hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(

3、lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu 處可導(dǎo)，且有在所以xxf)().0)()()()()()()()(2xvxvxvxuxvxuxvxu7推論推論11(1)( )( );nniiiif xf x);( )()2(xfCxCf 121121211(3)( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( );nininnnnikikk if xfx fxfxf x fxfxf x fxfxf x fx 如如123( )( )( )f x fx fx 123( )( )( )f

4、x fx fx123( )( )( )f x fx fx123( )( )( )f x fx fx8例例1 1 解解23xy x4例例2 2.ln2sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xxy 解：解：xxxylncossin2xxxylncoscos2xxxln)sin(sin2xxx1cossin2xcos.2sin1ln2cos2xxxx.5cossin223的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求 xxxy因?yàn)樗?9例例3 3.tan的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .seccos1)(t

5、an22xxx.cscsin1)(cot22xxx同理可得同理可得因此因此10例例4 4.sec的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得xxxtansec)(sec因此因此115例例).4(,11)(ftttf求求已知已知解解：2)1 (21)1 ()1 (21)(ttttttf因?yàn)?81)4( f所以12例例6 6).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf求設(shè)解解, 1)( xf,0時(shí)當(dāng) x,0時(shí)當(dāng) x)(xf)11ln(1lim0 xxxx.11xxxxxxx

6、10)11ln(11limxxxxx)1ln()1ln(lim013,0時(shí)當(dāng) xhhfh)01ln()0(lim)0(0, 1hhfh)01ln()0(1lnlim)0(0, 1. 1)0( f.0,110, 1)(xxxxf于是于是所以所以14定理定理.)(1)(,),()(,0)(,)(,)()(yxfIyyxxIxfyyIyxyxxfyyxy且有內(nèi)也可導(dǎo)在對(duì)應(yīng)區(qū)間那末它的反函數(shù)且內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)某區(qū)間在如果的反函數(shù)為設(shè)即即 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：?jiǎn)栴}：?jiǎn)栴}：可導(dǎo)函數(shù)的反函數(shù)是否為可導(dǎo)函

7、數(shù)？二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)15證證,0）（以增量給xxx的單調(diào)性可知由)(xfy , 0y于是有于是有,1yxxy,)(連續(xù)因?yàn)閤f),0(0 xy所以0)( y又知xyxfx0lim)(所以yxy1lim0)(1y.)(1)(yxf即內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)，在由于yIyx)(從而單調(diào)、連續(xù)，內(nèi)也單調(diào)、連續(xù)，在對(duì)應(yīng)區(qū)間所以其反函數(shù)xIxfy)(161例例yxy求求3：解法解法1)(3xy32323131xx：解法解法2,33xyyx的反函數(shù)是因?yàn)?)(3xxf即即)(1)(yxf所以231y3231x17例例2 2.arcsin的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)xy 解解,)2,2(sin內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)在因?yàn)閥x, 0c

8、os)(sin yy且且內(nèi)有在所以) 1 , 1()(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 .11)(arccos2xx 同理可得同理可得211x211)(arcsinxx18;11)(arctan2xx.11)cot(2xx arc3例例.,arctanyxy求求,tanarctanyxxy的反函數(shù)為因?yàn)榻猓航猓荷蠁握{(diào)、可導(dǎo)，上單調(diào)、可導(dǎo)，且在且在)2,2( , 0sec)(tan2yyyyx2sec1)(tan1)(arctan由公式知2221tan1secxyy而而同理可得同理可得所以所以19例例2 2.log的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)xya, 0ln)(aaayy且,), 0(內(nèi)

9、有所以在)(1)(logyaaxaayln1.ln1ax解解,),(內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)在因?yàn)閥ax特別地特別地.1)(lnxx axxaln1)(log20三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則xy2sin如)2(sinx=?x2cos由兩函數(shù)相乘的求導(dǎo)法則)2(sinxdxdy)cossin2(xxsinsincoscos2xxxxx2cos2的復(fù)合函數(shù)。和是xuuy2sin另一方面所以)2(sinxx2cos)(sinududyucosx2cos2)2(xdxdu因此dudydxdux2cos2結(jié)論dxdydudydxdux2cos2 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于其組成的簡(jiǎn)單函數(shù)導(dǎo)數(shù)的乘積21 即即 函數(shù)對(duì)自變量求導(dǎo)函數(shù)

10、對(duì)自變量求導(dǎo),等于函數(shù)先對(duì)中間變量等于函數(shù)先對(duì)中間變量求導(dǎo)求導(dǎo),再乘以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo)再乘以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo).(鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t)( ),( ), ( ),( )( ).uxxyf uuyfxxdydy duf uxdxdu dx如果函數(shù)在點(diǎn) 可導(dǎo)而在點(diǎn) 可導(dǎo) 則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn) 可導(dǎo)且其導(dǎo)數(shù)為定理定理22證證( ),yf uu由在點(diǎn) 可導(dǎo)0lim( )uyf uu 所以0( )(lim0)uyf uu 故( )yf uuu 則0limxyx 所以0lim( )xuuf uxx 000( ) limlimlimxxxuuf uxx ( )( ).fux23推廣推廣),(),(),(xvvu

11、ufy 設(shè)設(shè).)(dxdvdvdududydxdyxfy的導(dǎo)數(shù)為則復(fù)合函數(shù)例例3 3.sinln的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)xy 解解.sin,lnxuuy因?yàn)閐xdududydxdy所以xucos1xxsincosxcot24例例4 4.)1tan(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xy解：解：xuuy1,tan因?yàn)閐xdududydxdy所以xu21sec2)1 (sec212xx25例例5 5.) 1(102的導(dǎo)數(shù)求函數(shù) xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx例例6 6解解, )1(ln2xxy.y求求112xxy)21211 (2xx112x26例例7 7. )

12、0()(11xxx ）證明：）證明：（)()(lnxex）證明：）證明：（1xeln)ln(xxx1x）求（）求（xx2)()(lnxxxex)2(xxeln)ln(xxxx)1ln(x278例例dxdyyx求求31 sinarctan:解解dxdy)sin()sin(xx3131112)sin(sinsinxxx313121321)(cossinsinxxxx3331213213333121321lncossinsinxxxx289例例dxdyxy求求21tansinln解：解：dxdy)tan(sintansin22111xx)(tantancostansin2221111xxx)(sec

13、tancostansin2222211111xxxx)(tansinsectancos2222221121111xxxxxxxxxx212111122222tansinsectancos29例例1010.)2(21ln32的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xxxy解解),2ln(31) 1ln(212xxy因?yàn)榭勺優(yōu)?2( 31211212xxxy所以)2(3112 xxx例例1111.1sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 30例例1212.),1(sin2dxdyxfym求求)(sin12xfdxdy

14、m解：解：121xmmsin1212xx2例例1313.,3arctan2sindxdyxyx求求dxdyxx3arctan)2sin( )3(arctan2sinxxxxx3arctan212cos2sin213ln33112sin2xxx12xcos311 ()C （ ）1. 1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式2 ()x （ ）xe四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題(7) (sin)x (9) (tan)x (3) ()xa (5) (log)ax (6) (ln )x (8) (cos)x (10) (cot)x (11) (sec)x (12) (csc)x 01xlnx

15、aa(4) ()xe 1lnxa1xcos xsin x2sec x2csc xsectanxxcsccotxx32(13) (arcsin)x 2.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則(15) (arctan)x (14) (arccos)x (16) (arccot)x 211x211x211x211x )()() 1 (xvxu)()(xvxu )()()2(xvxu)()()()(xvxuxvxu )()() 3(xvxu)()()()()(2xvxvxuxvxu)0)(xv333.3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)為可在點(diǎn)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)可

16、導(dǎo)，而在點(diǎn)如果xxfyxuufyxxu)()()()(利用上述公式及法則初等函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題可完全解決利用上述公式及法則初等函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題可完全解決.dxdydxdududy)()(xuf問(wèn)題：什么是初等函數(shù)？34解解:,1111xxxxy.dxdy求12xx1212x)2( x112xx例例1函數(shù)可變?yōu)楹瘮?shù)可變?yōu)?1222xxy所以所以dxdy135例例2 2. 求解解:,1arctan2sin2xeyx.y1arctan) (2xy) (2sinxe2sin xe2cosxx221x1212xx2x21arctan2x2sin xe2cosx2sin xe112xx關(guān)鍵關(guān)鍵: 搞清函數(shù)結(jié)構(gòu) ,

17、由外向內(nèi)求導(dǎo).36例例3 3.)(sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)nnnxfy 解解)(sin)(sin1nnnnnxfxnfy )(sin)(sin1nnnxxn 1cos nnnxx).(sin)(sin)(sin)(sincos1113nnnnnnnnnnxxfxxfxxn 37五、小結(jié)注意注意:);()( )()(xvxuxvxu.)()()()(xvxuxvxu 分段函數(shù)分段函數(shù)求導(dǎo)時(shí)求導(dǎo)時(shí), 分界點(diǎn)導(dǎo)數(shù)用左右導(dǎo)數(shù)求分界點(diǎn)導(dǎo)數(shù)用左右導(dǎo)數(shù)求.反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都可以按常數(shù)和基本初等函任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都可以按常數(shù)和基本

18、初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和上述求導(dǎo)法則求出數(shù)的求導(dǎo)公式和上述求導(dǎo)法則求出.389622P習(xí)題)9 , 7 , 5 , 3 , 1 (12, 9),10, 8 , 6 , 4 , 2(8),9 , 7 , 5 , 3 , 1 (7)9 , 7 , 5 , 3 , 1 (6, 5),3 , 2(3),10, 8 , 6 , 4 , 2(239思考題思考題冪函數(shù)在其定義域內(nèi)（冪函數(shù)在其定義域內(nèi)（ ）.（1） 必必可可導(dǎo)導(dǎo)； （2）必必不不可可導(dǎo)導(dǎo)；（3）不不一一定定可可導(dǎo)導(dǎo)；40思考題解答思考題解答正確地選擇是正確地選擇是（3）例例32)(xxf ),( x在在 處不可導(dǎo)，處不可導(dǎo)，0 x )1(2)(x

19、xf ),( x在定義域內(nèi)處處可導(dǎo)，在定義域內(nèi)處處可導(dǎo)， )2(41一、一、 填空題：填空題：1 1、 設(shè)設(shè)nxxyln ，則，則y = =_._.2 2、 設(shè)設(shè)xy1cosln ，則，則y = =_._.3 3、 設(shè)設(shè)xxy ，則，則y = =_._.4 4、 設(shè)設(shè)tttteeeey ，則，則y = =_._.5 5、 設(shè)設(shè))999()2)(1()( xxxxxf則則 )0(f = =_._.二、二、 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1 1、 )1tanh(2xy ；2 2、 ysinhar)1(2 x；練練 習(xí)習(xí) 題題42 3 3、 ycoshar)(2xe； 4 4、xxeycosh

20、sinh ； 5 5、2)2(arctanxy ； 6 6、xey1sin2 ； 7 7、212arcsintty . .43一、一、1 1、1ln1 nxxn； 2 2、xx1tan12； 3 3、xxxx 412； 4 4、t2cosh1； 5 5、-999!.-999!.二、二、1 1、)1(cosh222xx ； 2 2、22224 xxx；3 3、1242 xxee； 4 4、)sinh(cosh2coshxxex ；5 5、2arctan442xx ； 6 6、xexx1sin222sin1 ；練習(xí)題答案練習(xí)題答案447 7、 1,121,122222tttty. .45思考題思考

21、題 若若)(uf在在0u不可導(dǎo)，不可導(dǎo)，)(xgu 在在0 x可導(dǎo)，且可導(dǎo)，且)(00 xgu ，則，則)(xgf在在0 x處處（ ）（1）必可導(dǎo)；）必可導(dǎo)；（2）必不可導(dǎo)；）必不可導(dǎo)；（3）不一定可導(dǎo)；）不一定可導(dǎo)；46思考題解答思考題解答正確地選擇是正確地選擇是（3）例例|)(uuf 在在 處不可導(dǎo)，處不可導(dǎo)，0 u取取xxgusin)( 在在 處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，0 x|sin|)(xxgf 在在 處不可導(dǎo)，處不可導(dǎo)，0 x )1(取取4)(xxgu 在在 處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，0 x44|)(xxxgf 在在 處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，0 x )2(47一、一、 填空題：填空題：1 1、 設(shè)設(shè)4)52(

22、xy, ,則則y = =_._.2 2、 設(shè)設(shè)xy2sin , ,則則y = =_._.3 3、 設(shè)設(shè))arctan(2xy , ,則則y = =_._.4 4、 設(shè)設(shè)xycosln , ,則則y = =_._.5 5、 設(shè)設(shè)xxy2tan10 ，則，則y = =_._.6 6、 設(shè)設(shè))(xf可導(dǎo)，且可導(dǎo)，且)(2xfy ， 則則dxdy= =_._.7 7、 設(shè)設(shè)xkexftan)( , ,則則)(xf = =_， 若若ef 4 ，則，則 k_._.練練 習(xí)習(xí) 題題48二、二、 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1 1、 xy1arccos ； 2 2、xxy2sin ；3 3、)ln(2

23、2xaxy ；4 4、)cotln(cscxxy ；5 5、2)2(arcsinxy ； 6 6、xeyarctan ；7 7、xxyarccosarcsin ； 8 8、xxy 11arcsin. .三、三、 設(shè)設(shè))(xf，)(xg可導(dǎo)，且可導(dǎo)，且0)()(22 xgxf, ,求函數(shù)求函數(shù))()(22xgxfy 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) . .四四、設(shè)設(shè))(xf在在0 x處處可可導(dǎo)導(dǎo)，且且0)0( f，0)0( f, ,又又)(xF在在0 x處處可可導(dǎo)導(dǎo)，證證明明 )(xfF在在0 x處處也也可可導(dǎo)導(dǎo) . .49一、一、1 1、3)52(8 x； 2 2、x2sin； 3 3、412xx ； 4 4、x

24、tan ； 5 5、)2sec22(tan10ln1022tanxxxxx ； 6 6、)(22xfx ； 7 7、xxkekxk21tansectan , ,21. .二、二、1 1、122 xxx； 2 2、22sin2cos2xxxx ；3 3、221xa ； 4 4、xcsc； 5 5、242arcsin2xx ； 6 6、)1(2arctanxxex ；練習(xí)題答案練習(xí)題答案50 7 7、22)(arccos12xx ； 8 8、)1(2)1(1xxx . .三三、)()()()()()(22xgxfxgxgxfxf . .51思考題思考題 求曲線求曲線 上與上與 軸平行軸平行的切線方