22l一元二次方程

1、第二十二章 一元二次方程 單元要點分析 教材內容 1本單元教學的主要內容 一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程應用題 2本單元在教材中的地位與作用 一元二次方程是在學習一元一次方程、二元一次方程、分式方程等基礎之上學習的，它也是一種數學建模的方法學好一元二次方程是學好二次函數不可或缺的，是學好高中數學的奠基工程應該說，一元二次方程是本書的重點內容 教學目標 1知識與技能 了解一元二次方程及有關概念；掌握通過配方法、公式法、因式分解法降次解一元二次方程；掌握依據實際問題建立一元二次方程的數學模型的方法；應用熟練掌握以上知識解決問題 2過程與方法 （1）通過豐富的實例，讓學生合作探

2、討，老師點評分析，建立數學模型根據數學模型恰如其分地給出一元二次方程的概念 （2）結合八冊上整式中的有關概念介紹一元二次方程的派生概念，如二次項等 （3）通過掌握缺一次項的一元二次方程的解法直接開方法，導入用配方法解一元二次方程，又通過大量的練習鞏固配方法解一元二次方程 （4）通過用已學的配方法解ax2+bx+c=0（a0）導出解一元二次方程的求根公式，接著討論求根公式的條件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0 （5）通過復習八年級上冊整式的第5節(jié)因式分解進行知識遷移，解決用因式分解法解一元二次方程，并用練習鞏固它 （6）提出問題、分析問題，建立一元二次方程的數學

3、模型，并用該模型解決實際問題 3情感、態(tài)度與價值觀 經歷由事實問題中抽象出一元二次方程等有關概念的過程，使同學們體會到通過一元二次方程也是刻畫現實世界中的數量關系的一個有效數學模型；經歷用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的過程，使同學們體會到轉化等數學思想；經歷設置豐富的問題情景，使學生體會到建立數學模型解決實際問題的過程，從而更好地理解方程的意義和作用，激發(fā)學生的學習興趣 教學重點 1一元二次方程及其它有關的概念 2用配方法、公式法、因式分解法降次解一元二次方程 3利用實際問題建立一元二次方程的數學模型，并解決這個問題 教學難點 1一元二次方程配方法解題 2用公式法解一元二次方程時的

4、討論 3建立一元二次方程實際問題的數學模型；方程解與實際問題解的區(qū)別 教學關鍵 1分析實際問題如何建立一元二次方程的數學模型 2用配方法解一元二次方程的步驟 3解一元二次方程公式法的推導 課時劃分 本單元教學時間約需16課時，具體分配如下： 221 一元二次方程 2課時 222 降次解一元二次方程 7課時 223 實際問題與一元二次方程 4課時 教學活動、習題課、小結 3課時221 一元二次方程第一課時 教學內容 一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有關概念 教學目標 了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a0）及其派生的概念；應用一元二次方程概念解決一些簡單題目 1通過設置問

5、題，建立數學模型，模仿一元一次方程概念給一元二次方程下定義 2一元二次方程的一般形式及其有關概念 3解決一些概念性的題目 4態(tài)度、情感、價值觀 4通過生活學習數學，并用數學解決生活中的問題來激發(fā)學生的學習熱情 重難點關鍵 1重點：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有關概念并用這些概念解決問題 2難點關鍵：通過提出問題，建立一元二次方程的數學模型，再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念 教學過程 一、復習引入 學生活動：列方程 問題（1）九章算術“勾股”章有一題：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈，問戶高、廣各幾何？” 大意是說：已知長方形門的高比寬多6尺8寸，門的對角

6、線長1丈，那么門的高和寬各是多少？ 如果假設門的高為x尺，那么，這個門的寬為_尺，根據題意，得_ 整理、化簡，得：_問題（2）如圖，如果，那么點C叫做線段AB的黃金分割點 如果假設AB=1，AC=x，那么BC=_，根據題意，得：_ 整理得：_ 問題（3）有一面積為54m2的長方形，將它的一邊剪短5m，另一邊剪短2m，恰好變成一個正方形，那么這個正方形的邊長是多少？ 如果假設剪后的正方形邊長為x，那么原來長方形長是_，寬是_，根據題意，得：_ 整理，得：_ 老師點評并分析如何建立一元二次方程的數學模型，并整理 二、探索新知 學生活動：請口答下面問題 （1）上面三個方程整理后含有幾個未知數？ （2

7、）按照整式中的多項式的規(guī)定，它們最高次數是幾次？ （3）有等號嗎？或與以前多項式一樣只有式子？ 老師點評：（1）都只含一個未知數x；（2）它們的最高次數都是2次的；（3）都有等號，是方程 因此，像這樣的方程兩邊都是整式，只含有一個未知數（一元），并且未知數的最高次數是2（二次）的方程，叫做一元二次方程 一般地，任何一個關于x的一元二次方程，經過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a0）這種形式叫做一元二次方程的一般形式 一個一元二次方程經過整理化成ax2+bx+c=0（a0）后，其中ax2是二次項，a是二次項系數；bx是一次項，b是一次項系數；c是常數項 例1將方程（8-2x）（5-2

8、x）=18化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數、一次項系數及常數項 分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a0）因此，方程（8-2x）（5-2x）=18必須運用整式運算進行整理，包括去括號、移項等 解：去括號，得： 40-16x-10x+4x2=18 移項，得：4x2-26x+22=0 其中二次項系數為4，一次項系數為-26，常數項為22 例2（學生活動：請二至三位同學上臺演練） 將方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項、二次項系數；一次項、一次項系數；常數項 分析：通過完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-

9、2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a0）的形式 解：去括號，得： x2+2x+1+x2-4=1 移項，合并得：2x2+2x-4=0 其中：二次項2x2，二次項系數2；一次項2x，一次項系數2；常數項-4 三、鞏固練習 教材P32 練習1、2 四、應用拓展 例3求證：關于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不論m取何值，該方程都是一元二次方程 分析：要證明不論m取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明m2-8m+170即可 證明：m2-8m+17=（m-4）2+1 （m-4）20 （m-4）2+1>0，即（m-4）2+10 不論m取何值，該方程都是一元二次方程 五、

10、歸納小結（學生總結，老師點評） 本節(jié)課要掌握： （1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a0）和二次項、二次項系數，一次項、一次項系數，常數項的概念及其它們的運用 六、布置作業(yè) 1教材P34 習題221 1、2 2選用作業(yè)設計 作業(yè)設計 一、選擇題 1在下列方程中，一元二次方程的個數是（ ） 3x2+7=0 ax2+bx+c=0 （x-2）（x+5）=x2-1 3x2-=0 A1個 B2個 C3個 D4個 2方程2x2=3（x-6）化為一般形式后二次項系數、一次項系數和常數項分別為（ ） A2，3，-6 B2，-3，18 C2，-3，6 D2，3，6 3px

11、2-3x+p2-q=0是關于x的一元二次方程，則（ ） Ap=1 Bp>0 Cp0 Dp為任意實數 二、填空題 1方程3x2-3=2x+1的二次項系數為_，一次項系數為_，常數項為_ 2一元二次方程的一般形式是_ 3關于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，則a的取值范圍是_ 三、綜合提高題 1a滿足什么條件時，關于x的方程a（x2+x）=x-（x+1）是一元二次方程？ 2關于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程嗎？為什么？ 3一塊矩形鐵片，面積為1m2，長比寬多3m，求鐵片的長，小明在做這道題時，是這樣做的： 設鐵片的長為x，列出的方程為x（x-3）=1

12、，整理得：x2-3x-1=0小明列出方程后，想知道鐵片的長到底是多少，下面是他的探索過程：第一步：x1234x2-3x-1-3-3 所以，_<x<_第二步： x3.13.23.33.4x2-3x-1-0.96-0.36 所以，_<x<_ （1）請你幫小明填完空格，完成他未完成的部分； （2）通過以上探索，估計出矩形鐵片的整數部分為_，十分位為_答案:一、1A 2B 3C二、13，-2，-4 2ax+bx+c=0（a0） 3a1三、1化為：ax2+（a-+1）x+1=0，所以，當a0時是一元二次方程 2可能，因為當，當m=1時，該方程是一元二次方程 3（1）-1，3，3，

13、4，-0.01，0.36，3.3，3.4 （2）3，3221 一元二次方程第二課時 教學內容 1一元二次方程根的概念； 2根據題意判定一個數是否是一元二次方程的根及其利用它們解決一些具體題目 教學目標 了解一元二次方程根的概念，會判定一個數是否是一個一元二次方程的根及利用它們解決一些具體問題 提出問題，根據問題列出方程，化為一元二次方程的一般形式，列式求解；由解給出根的概念；再由根的概念判定一個數是否是根同時應用以上的幾個知識點解決一些具體問題 重難點關鍵 1重點：判定一個數是否是方程的根； 2難點關鍵：由實際問題列出的一元二次方程解出根后還要考慮這些根是否確定是實際問題的根教學過程一、復習引

14、入 學生活動：請同學獨立完成下列問題問題1如圖，一個長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8m，那么梯子的底端距墻多少米？ 設梯子底端距墻為xm，那么， 根據題意，可得方程為_ 整理，得_列表：x012345678 問題2一個面積為120m2的矩形苗圃，它的長比寬多2m，苗圃的長和寬各是多少？ 設苗圃的寬為xm，則長為_m 根據題意，得_ 整理，得_列表：x01234567891011 老師點評（略） 二、探索新知 提問：（1）問題1中一元二次方程的解是多少？問題2中一元二次方程的解是多少？ （2）如果拋開實際問題，問題1中還有其它解嗎？問題2呢？ 老師點評：（1）問題1中x

15、=6是x2-36=0的解，問題2中，x=10是x2+2x-120=0的解 （3）如果拋開實際問題，問題（1）中還有x=-6的解；問題2中還有x=-12的解 為了與以前所學的一元一次方程等只有一個解的區(qū)別，我們稱： 一元二次方程的解叫做一元二次方程的根 回過頭來看：x2-36=0有兩個根，一個是6，另一個是6，但-6不滿足題意；同理，問題2中的x=-12的根也滿足題意因此，由實際問題列出方程并解得的根，并不一定是實際問題的根，還要考慮這些根是否確實是實際問題的解 例1下面哪些數是方程2x2+10x+12=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4 分析：要判定一個數是否是方程的根，只要

16、把其代入等式，使等式兩邊相等即可 解：將上面的這些數代入后，只有-2和-3滿足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的兩根 例2你能用以前所學的知識求出下列方程的根嗎？ （1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0 分析：要求出方程的根，就是要求出滿足等式的數，可用直接觀察結合平方根的意義 解：（1）移項得x2=64 根據平方根的意義，得：x=±8 即x1=8，x2=-8 （2）移項、整理，得x2=2 根據平方根的意義，得x=± 即x1=，x2=- （3）因為x2-3x=x（x-3） 所以x2-3x=0，就是x（x-3）

17、=0 所以x=0或x-3=0 即x1=0，x2=3 三、鞏固練習 教材P33 思考題 練習1、2 四、應用拓展 例3要剪一塊面積為150cm2的長方形鐵片，使它的長比寬多5cm，這塊鐵片應該怎樣剪？ 設長為xcm，則寬為（x-5）cm 列方程x（x-5）=150，即x2-5x-150=0 請根據列方程回答以下問題： （1）x可能小于5嗎？可能等于10嗎？說說你的理由（2）完成下表： x1011121314151617x2-5x-150 （3）你知道鐵片的長x是多少嗎？ 分析：x2-5x-150=0與上面兩道例題明顯不同，不能用平方根的意義和八年級上冊的整式中的分解因式的方法去求根，但是我們可以

18、用一種新的方法“夾逼”方法求出該方程的根 解：（1）x不可能小于5理由：如果x<5，則寬（x-5）<0，不合題意 x不可能等于10理由：如果x=10，則面積x2-5x-150=-100，也不可能（2） x 10 11 12 1314151617x2-5x-150-100-84-66-46-2402654 （3）鐵片長x=15cm 五、歸納小結（學生歸納，老師點評） 本節(jié)課應掌握： （1）一元二次方程根的概念及它與以前的解的相同處與不同處； （2）要會判斷一個數是否是一元二次方程的根； （3）要會用一些方法求一元二次方程的根 六、布置作業(yè) 1教材P34 復習鞏固3、4 綜合運用5、6、7 拓廣探索8、9 2選用課時作業(yè)設計 作業(yè)設計 一、選擇題 1方程x（x-1）=2的兩根為（ ） Ax1=0，x2=1 Bx1=0，x2=-1 Cx1=1，x2=2 Dx1=-1，x2=2 2方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（ ） Ax1=b，x2=a Bx1=b，x2= Cx1=a，x2= Dx1=a2，x2=b2 3已知x=-1是方程a