2019普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(天津卷)—數學(理)解析版

1、2019 普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數學（理）解析版注意事項 ：認真閱讀理解，結合歷年的真題，總結經驗，查找不足！重在審題，多思考，多理解！無論是單選、多選還是論述題，最重要的就是看清題意。在論述題中， 問題大多具有委婉性， 尤其是歷年真題部分，在給考生較大發(fā)揮空間的同時也大大增加了考試難度?？忌J真閱讀題目中提供的有限材料，明確考察要點， 最大限度的挖掘材料中的有效信息，建議考生答題時用筆將重點勾畫出來，方便反復細讀。 只有經過仔細推敲，揣摩命題老師的意圖，積極聯想知識點，分析答題角度，才能夠將考點鎖定，明確題意。數學理科該套試卷整體上來說與往年相比，比較平穩(wěn)， 試題中沒有偏題

2、和怪題，在考查了基礎知識的基礎上，還考查了同學們靈活運用所學知識的解決問題的能力。題目沒有很多漢字的試題，都是比較簡約型的。但是不乏也有幾道創(chuàng)新試題，像選擇題的第8 題，填空題的13 題，解答題第 20 題，另外別的試題保持了往年的風格，入題簡單，比較好下手，但是做出來并不是很容易。整體上試題由梯度，由易到難，而且大部分試題適合同學們來解答表達了雙基，考查了同學們的四大思想的運用，是一份比較好的試卷。本試卷分為第I 卷選擇題和第二卷( 非選擇題 ) 兩部分，共150 分, 考試用時120 分鐘第 I 卷【一】選擇題：在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的.1 i 是虛數單位，復

3、數z=7i=3iA 2 i 2 i2 i2 i、 B【解析】7i = (7i )(3i ) = 217i3i1 =2iz=3i (3i )(3i )10設R ，那么“=0 ”是“f (x)=cos( x+) (xR) 為偶函數”的A充分而不必要條件必要而不充分條件充分必要條件既不充分也不必要條件2、 A【命題意圖】 本試題主要考查了三角函數的奇偶性的判定以及充分條件與必要條件的判定 .【解析】=0f (x)=cos( x+ ) (x R) 為偶函數，反之不成立，“=0 ”是“ f (x)=cos( x+) (x R) 為偶函數”的充分而不必要條件.閱讀右邊的程序框圖，運行相應的程序，當輸入x

4、的值為 25 時，輸出 x 的值為A1 1 3 93、 C【命題意圖】本試題主要考查了算法框圖的讀取，并能根據已給的算法程序進行運算.【解析】根據圖給的算法程序可知：第一次x=4 ，第二次 x=1，那么輸出 x=2 1+1=3.4函數 f (x)=2 x +x32 在區(qū)間 (0,1) 內的零點個數是A 0 1 2 34、 B【命題意圖】 本試題主要考查了函數與方程思想，函數的零點的概念， 零點存在定理以及作圖與用圖的數學能力 .【解析】解法 1：因為 f (0)=1+0 2=1， f (1)=2+2 32=8 ，即 f 0)( 1)<0(f且函數 f (x)在 (0,1) 內連續(xù)不斷，故

5、f (x) 在 (0,1) 內的零點個數是1.解法 2：設 y1 =2 x ， y2=2 x3 ，在同一坐標系中作出兩函數的圖像如下圖：可知B正確.4251025在421 5的二項展開式中，x 的系數為)(2 xx6A 10 -10 40 -405、 D【命題意圖】8本試題主要考查了二項式定理中的通項公式的運用，并借助于通項公式分析項的系數 .【解析】 Tr +1 =C5r (2 x2 )5- r ( x 1) r= 25-r (1)r C5r x10-3r ， 103r =1，即 r =3 ， x 的系數為40.6在 ABC中，內角 A ， B ， C 所對的邊分別是a,b,c ， 8b=5

6、c ， C=2 B ，那么 cosC=A7 7 7 24252525256、 A【命題意圖】本試題主要考查了正弦定理、三角函數中的二倍角公式. 考查學生分析、轉化與計算等能力 .【解析】 8b=5c ，由正弦定理得 8sin B=5sin C ，又 C=2 B ， 8sin B=5sin2B ，所以 8sin B=10sin B cosB ，易知 sin B 0 ，4 ，cosC =cos 2B=2cos 2 B1=7.cos =B2557 ABC為等邊三角形，AB=2 ，設點 P，Q滿足 AP = AB ， AQ=(1)AC，R ，假設3 ，那么=BQ CP=2A 1 12110 3 2 2

7、22227、 A【命題意圖】 本試題以等邊三角形為載體，主要考查了向量加減法的幾何意義，平面向量基本定理，共線向量定理及其數量積的綜合運用.【解析】 BQ= AQAB =(1 )AC AB ， CP=APAC =AB AC，又3 ，且 |AB|=|AC|=2， < AB,AC >=60 0， AB AC =|AB |AC|cos60 0 =2 ，BQ CP=2) ACAB (ABAC )=3 ，221)AB2 3 ，(12|AB| +(AC +(1 )|AC| =2所以+2(21)+4(13 ，解得1 .4)=22BPCQA8設 m ， nR，假設直線 (m1)x+( n1) y2

8、=0 與圓 (x 1)2 +(y1)2 =1相切，那么m+n 的取值范圍是A 13,1+3 (,131+3,+) 22 2,2+2 2 (,2 222+22,+ )8、 D【命題意圖】本試題主要考查了直線與圓的位置關系，點到直線的距離公式，重要不等式，一元二次不等式的解法，并借助于直線與圓相切的幾何性質求解的能力.【解析】直線 (m 1)x+( n 1)y2=0與圓 (x 1) +(y1) =1 相切，圓心(1,1)到直線22的距離為|(m1)+(n1)2|，所以mm n)2，設 t=mn ，d =22=1mnn 1 (m21) +(n1)那么 12，解得 t(,22 22+22,+) .tt

9、+14【二】填空題：本大題共6 小題，每題5 分，共30 分.9某地區(qū)有小學150 所，中學 75 所，大學 25 所 . 現采用分層抽樣的方法從這些學校中抽取 30 所學校對學生進行視力調査，應從小學中抽取所學校，中學中抽取所學校.9、 18， 9【命題意圖】本試題主要考查了統(tǒng)計中的分層抽樣的概念以及樣本獲取的方法與計算.【解析】分層抽樣也叫按比例抽樣，由題知學?？倲禐?50 所，所以應從小學中抽取150，中學中抽取75.30=1830=925025010個幾何體的三視圖如下圖( 單位： m ) ，那么該幾何體的體積為m3 .10、 18+9【命題意圖】本試題主要考查了簡單組合體的三視圖的畫

10、法與體積的計算以及空間想象能力.【解析】 由三視圖可該幾何體為兩個相切的球上方了一個長方體組成的組合體，所以其體積為：433=18+9 m3 .V=3 6 1+2()3211集合 A= xR|x+2|<3 ，集合 B= x R|(x m)(x2)<0 , 且 A B=( 1,n) ，那么 m= , n= .11、 1， 1【命題意圖】 本試題主要考查了集合的交集的運算及其運算性質，同時考查絕對值不等式與一元二次不等式的解法以及分類討論思想.【解析】 A= xR|x+2|<3 = x| 5<x<1 , 又 A B=(1,n) ，畫數軸可知 m= 1，n=1.12己知

11、拋物線的參數方程為x=2 pt2 , t 為參數，其中 p>0 ，焦點為 F ，準線為 l ，y=2 pt,過拋物線上一點 M 作的垂線， 垂足為 E ，假設 |EF |=|MF |，點 M 的橫坐標是3，那么 p= .12、 2【命題意圖】 本試題主要考查了參數方程及其參數的幾何意義，拋物線的定義及其幾何性質 .【解析】 x=2 pt2 , 可得拋物線的標準方程為y2 =2 px (p>0) ，焦點p,0)，點 MF (y=2 pt,2的橫坐標是3，那么6 p)，所以點p，pp 2M (3,E(EF2+(06 p )2,6 p)=()222由拋物線得幾何性質得， EF =MF ，

12、解得.MF =p+3p2 +6 p= 1 p2 +3 p+9p=22413如圖， AB 和 AC 是圓的兩條弦 . 過點 B 作圓的切線與AC 的延長線相交于點D,過點 C作 BD的平行線與圓相交于點，與 AB相交于點 F，AF =3，FB =1，3 ，那么線段 CDEF =2的長為 .13、 43【命題意圖】 本試題主要考查了平面幾何中直線與圓的位置關系，相交弦定理， 切割線定理，相似三角形的概念、判定與性質 .【解析】 AF =3 ， FB =1，3，由相交弦定理得AF FB=EFFC ，所以 FC=2 ，EF =2又 BD CE， AFFC ，AB4=8 ，設 CD =x ，那么 AD

13、=4x ，再由=BD =FC =323ABBDAF切割線定理得 BD 2 =CD AD ，即82，解得x=4 ，故4 .x 4x=()CD =33314函數2的圖象與函數y=kx2 的圖象恰有兩個交點， 那么實數 k 的取值范圍|x1|y=x1是.14、 (0,1)(1,4)【命題意圖】 本試題主要考查了函數的圖像及其性質，利用函數圖像確定兩函數的交點，從而確定參數的取值范圍 .【解析】 函數 y=kx2 的圖像直線恒過定點B(0,2) ，且 A(1,2)，C (1,0) ，D (1,2) ，2+2，0+2，2+2，由圖像可知 k(0,1)(1,4) .kAB = 1 0 =0kBC =1 0

14、 =2 kBD = 1 0 =442DCO5102AB4【三】解答題：本大題共 6小題，共80 分 . 解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.615本小題總分值13 分函數f (x)=sin (2 x+)+sin(2 x)+2cos2， xR.8x 13310( ) 求函數 f(x) 的最小正周期；12求函數f (x) 在區(qū)間,上的最大值和最小值 .44【命題意圖】本試題主要考查了【參考答案】1f (x)=sin (2 x+)+sin(2 x)+2cos 2 x 12sin 2x cos3cos 2x2 sin(2 x)334函數 f (x)的最小正周期為2T2232x2xsin(2 x)1

15、1f ( x)24444244當( x時， f ( x)max2 ，當2x( x時， f ( x)min12x8)4)4244【點評】該試題關鍵在于將的函數表達式化為模型的圖像與性質進行解題即可.y=Asin (x+) 的數學模型，再根據此三角16本小題總分值13 分現有 4 個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、 乙兩個游戲可供參加者選擇 . 為增加趣味性， 約定：每個人通過擲一枚質地均勻的骰子決定自己去參加個游戲，擲出點數為 1或2的人去參加甲游戲，擲出點數大于2 的人去參加乙游戲 .求這4 個人中恰有2 人去參加甲游戲的概率：求這4 個人中去參加甲游戲的人數大于去參加乙游戲的人數的概率：用

16、X ,Y 分別表示這4 個人中去參加甲、 乙游戲的人數， 記 =|XY| ，求隨機變量 的分布列與數學期望 E .【命題意圖】本試題主要考查了【參考答案】1每個人參加甲游戲的概率為1 ，參加乙游戲的概率為2p1 p33這 4 個人中恰有2 人去參加甲游戲的概率為8C42 p2 (1p) 2272 X B(4, p) P( Xk)C4k pk (1 p) 4 k ( k0,1,2,3, 4) ，這 4 個人中去參加甲游戲的人數大于去參加乙游戲的人數的概率為P( X3)P( X4)193可取 0,2, 4P(0)P( X2)827P(2)P( X1)P( X403)81P(4)P( X0)P( X

17、174)81隨機變量的分布列為02484017148E 0248184017278181【點評】應用性問題是高考命題的一P818127個重要考點， 近年來都通過概率問題來考查，且?？汲Ｐ? 對于此類考題，要注意認真審題，從數學與實際生活兩個角度來理解問題的實質 , 將問題成功轉化為古典概型，獨立事件、互斥事件等概率模型求解，因此對概率型應用性問題，理解是基礎，轉化是關鍵.17本小題總分值13 分如圖，在四棱錐 PABCD 中， PA 丄平面 ABCD ，AC丄 AD， AB丄 BC，BAC45 ， PA=AD=2 ， AC =1.()證明： PC丄 AD；求二面角APCD 的正弦值；設 E 為

18、棱 PA 上的點，滿足異面直線BE 與 CD 所成的角為 300 ，求 AE的長.【命題意圖】本試題主要考查了【參考答案】1以 AD, AC , AP 為 x, y, z 正半軸方向，建立空間直角左邊系A xyz那么D (2,0,0),C (0,1,0), B(1 ,1 ,0), P(0,0,2)22PC(0,1,2), AD(2,0,0)PC AD0PCAD2 PC(0,1, 2), CD(2,1,0) ，設平面 PCD 的法向量 n( x, y, z)那么n PC0y 2z0y2z 取 z1n(1,2,1)n CD02xy0xzAD(2,0,0) 是平面 PAC 的法向量cosAD, nA

19、D n6sinAD ,n30AD n66得：二面角 APCD 的正弦值為3063設 AEh 0,2 ；那么 AE(0,0, 2) ，11(2,1,0)BE( , h), CD22即10cosBE, CDBE CD33h10AE10BE CD1020h2210【點評】 試題從命題的角度來看，整體上題目與我們平時練習的試題相似，但底面是非特殊的四邊形， 一直線垂直于底面的四棱錐問題，那么創(chuàng)新的地方就是第三問中點E 的位置是不確定的， 需要學生根據條件進行確定，如此說來就有難度，因此最好使用空間直角坐標系解決該問題為好 . 18 ( 本小題總分值13分 是等差數列，其前n項和為， 是等比數列 , 且

20、anSnbna1=b1=2 ，a4 +b4 =27 ， S4b4 =10 .( ) 求數列 an 與 bn 的通項公式；( ) 記 Tnan b1an 1b2 an 2b3a1bn ；證明： Tn +12= 2an +10bn (n N + ) .【命題意圖】本試題主要考查了【參考答案】（1）設數列 an 的公差為 d ，數列 bn 的公比為 q ；那么 a4b4272 3d2q327d3S4b4104a16d2q310q2得： an3n1,bn2n2Tnanb1an 1b2an 2b3a1bn2n a12n 1 a22an 2n (a1a2ann1 )an3n13n23n522cn2n 12

21、n 12n 22n 1cn1Tn2n( c1c2 ) (c2c3 )(cncn 1 ) 2n (c1cn 1 )10 2n2(3n 5) 10bn2an 12Tn12 10bn2an【點評】該試題命制比較直接，沒有什么隱含的條件，就是等比與等差數列的綜合應用，但方法多樣， 第二問可以用錯位相減法求解證明，也可用數學歸納法證明，給學生思維空間留有余地，符合高考命題選拔性的原那么.A,B ，點 P19本小題總分值14 分設橢圓22(a>b>0) 的左、右頂點分別為x+ y =1a2b2在橢圓上且異于A, B 兩點， O 為坐標原點 .假設直線AP 與 BP 的斜率之積為1 ，求橢圓的離心率；2假設 |AP|=|OA| ，證明：直線 OP 的斜率 k 滿足 |k|>3 .【命題意圖】本試題主要考查了【參考答案】1取 P(0, b) ， A(a,0), B( a,0)；那么bb1a22b2kAPkBP( )2aa2 a2b212ea22e2 2設P(a cos, b sin )(02)；那么線段 OP 的中點Q( a cos, b sin )22|AP|=|OA|AQOPkAQk1kAQb sinb sinakAQ cos2akAQ2a a cos2ak AQb2a2 kAQ2a 1kAQ2kAQ3k33【點評】20本小題總分值14 分函數 f (x)xln