魯教版（五四制）八年級上第二章分式與分式方程2.1.認識分式 知識點精講與練習

1、.?分式?知識點精講與練習1、分式的概念一般地，假如A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式。其中A叫做分子，B叫做分母。說明：（1） 分式表示兩個整式相除，其中分子為被除式，分母為除式，分數(shù)線起除號和括號的作用。例如可以表示ab÷a+b；（2） 分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分式的分母一定含有字母。（3） 分式的分母表示除數(shù)，由于除數(shù)不能為0，所以分式的分母不能為0，即當時，分式才有意義；4判斷一個代數(shù)式是否是分式，不能把原式變形如約分等后再看，而只能根據(jù)它的本來面目進展判斷。例如：對于來說，我們不能因為是整式，就判斷也是整式，事實上是分式。2、分式有

2、意義、無意義，分式的值為零的條件1分式有意義的條件是分式的分母不為0；2分式無意義的條件是分式的分母為零；3分式的值為零的條件是分式的分子為零，且分母不為零。說明：（1） 分母不為零是分式概念必不可少的組成部分，無論是分數(shù)還是分式，分母為零都沒有意義。（2） 分式分母的值不為0，是指整個分母的值不為0。假如分母中的字母的值為0，但整個分母的值不為0，那么分式是有意義的。（3） 分式的值為0，是在分式有意義的條件下，再滿足分子的值為零。4假如沒有特別說明，所遇到的分式都是有意義的。例如在分式中隱含著，即，這一條件，也就是說分式中分母的值不為零。3、分式的根本性質(zhì)分式的分子與分母同乘或除以一個不等

3、于0的整式，分式的值不變，這個性質(zhì)叫做分式的根本性質(zhì)，用式子表示是：其中。說明：（1） 運用分式的根本性質(zhì)時，千萬不能忽略“這一條件. 如，變形時，必須滿足2x+10。2分式的根本性質(zhì)要求“同乘或除以一個不等于0的整式即分式的分子、分母要做一樣的變形，要防止只乘或除以分子或分母的錯誤；同時分子、分母都乘或除以的整式必須一樣。3在應用分式的根本性質(zhì)進展分式變形時，雖然分式的值不變，但分式中字母的取值范圍有可能發(fā)生變化。例如：，在變形后，字母x的取值范圍變大了。4、分式的變號法那么一個分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變。說明：（1） 改變符號時應該是分子、分母整體的符

4、號，而不是分子、分母中某一項的符號；（2） 一個分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何一個或三個，得到的分式成為原分式的相反數(shù)。5、 分式的約分與分數(shù)的約分類似，利用分式的根本性質(zhì)，約去分子和分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分。說明：（1） 約分的根據(jù)是分式的根本性質(zhì)；（2） 約分的方法是：先把分子、分母分解因式分子、分母是多項式時，然后約去它們的公因式；（3） 找公因式的方法：先分解因式，系數(shù)取最大公約數(shù)，字母或字母因式取一樣字母或字母因式的最低次冪；（4） 約分要徹底，使分子、分母沒有公因式，分子、分母沒有公因式的分式叫做最簡分式。6、 分式的通分與分數(shù)的通

5、分類似，利用分式的根本性質(zhì)，使分式的分子和分母同乘適當?shù)恼?，不改變分式的值，把分母不同的分式化成一樣分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分。說明：（1） 通分的根據(jù)是分式的根本性質(zhì)；（2） 通分的關(guān)鍵是尋求幾個分式的最簡公分母：最簡公分母：幾個分式進展通分時，通常取各分母所有因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的分母叫做最簡公分母；尋求最簡公分母應注意以下幾點：“各分母所有因式的最高次冪是指凡出現(xiàn)的字母或含字母的式子為底數(shù)的冪選取指數(shù)最大的；假如各分母的系數(shù)都是整數(shù)時，通常取它們系數(shù)的最小公倍數(shù)作為最簡公分母的系數(shù)；假如分母是多項式，一般應先分解因式。（3） 通分的方法是：先求各分式的最簡公

6、分母，然后以每個分式的分母去除這個最簡公分母，用所得的商去乘分式的分子、分母。7、 整式和分式（1） 有理式的概念：整式和分式統(tǒng)稱為有理式。（2） 有理式的分類：3整式和分式的區(qū)別：分式的本質(zhì)特征是分母中含有字母，而整式中不一定含有分母，假如整式中含有分母，那么分母就不能含有字母，只能是不為零的詳細數(shù)。方法引導例1 以下各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？1； 2； 3； 4難度等級：A解：屬于整式的有：2、4；屬于分式的有：1、3【知識體驗】分式的本質(zhì)特征是分母中含有字母，而整式中不一定含有分母，假如整式中含有分母，那么分母就不能含有字母，只能是不為零的詳細數(shù)。【搭配練習】判斷以下各式哪些是

7、整式，哪些是分式？9x+4, , , , ，例2 當取什么值時，以下分式有意義？1； 2難度等級：A解：1分母0，即1.所以，當1時，分式有意義.2分母20，即-.所以，當-時，分式有意義【知識體驗】要使分式有意義，必須且只須分母不等于零.【解題技巧】在分式中，分母的值不能是零.假如分母的值是零，那么分式?jīng)]有意義.例如，在分式中，a0；在分式中，mn.【搭配練習】1、 當x取何值時，以下分式有意義？1 2 32、當x取何值時，以下分式無意義？1 2 3例3 當m為何值時，分式的值為0？1 2 3難度等級：A解：1m=0 2m=2 3m=1【知識體驗】分式的值為0時，必須同時滿足兩個條件：分母不

8、能為零；分子為零，這樣求出的m的解集中的公共部分，就是這類題目的解【搭配練習】1、當x為何值時，分式的值為0？1 2 3例4 填空：難度等級：A解：12【知識體驗】應用分式的根本性質(zhì)把的分子、分母同乘以或除以同一個整式，使分式的值不變【解題技巧】題1因為將分式的分子b乘a，才能得到ab，為保證這個分式的值不變，根據(jù)分式的根本性質(zhì)，分母a也需要乘a；2因為將分式的分母乘2才能得到，為保證這個分式的值不變，根據(jù)分式的根本性質(zhì)，分子也需要乘2【搭配練習】填空：1 = 2 =3 = 4 =例5 約分1；2難度等級：A解：1. 2【知識體驗】約分是應用分式的根本性質(zhì)把分式的分子、分母同除以同一個整式，使

9、分式的值不變.所以要找準分子和分母的公因式，約分的結(jié)果要是最簡分式?！窘忸}技巧】首先要找出分子與分母的公因式，系數(shù)取最大公約數(shù)，字母或字母因式取一樣字母或字母因式的最低次冪。【搭配練習】約分：1 2 3 4例6 通分1，；2，； 3，難度等級：A解：1與的最簡公分母為a2b2，所以2與的最簡公分母為x-yx+y，即x2y2，所以【知識體驗】約分是應用分式的根本性質(zhì)把分式的分子、分母同除以同一個整式，使分式的值不變.所以要找準分子和分母的公因式，約分的結(jié)果要是最簡分式【解題技巧】最簡公分母的找法：取各分母所有因式的最高次冪的積作為公分母【搭配練習】通分：1和 2和3和 4和例7 不改變分式的值，

10、使以下分式的分子和分母都不含“-號.難度等級：B解：= ， =，=， =， =【知識體驗】每個分式的分子、分母和分式本身都有自己的符號，其中兩個符號同時改變，分式的值不變?！窘忸}技巧】統(tǒng)計出所有負號的個數(shù)，偶數(shù)個負號為“，奇數(shù)個負號為“-【搭配練習】不改變分式的值，使以下分式的分子和分母都不含“-號.1 2 3 4 例題講解一題型分類全析例1當x取何值時，分式難度等級：B【思維直現(xiàn)】分式有意義，就可以了，先把因式分解，得出，由，可以知道，所以，解：由分母x2x20得x1，x2 所以當x1，x2時，原分式有意義【閱讀筆記】分式有意義，就是分母不為零。但不能先把 約分.假如把分子和分母的公因式約去

11、，會導致分母的取值范圍擴大而發(fā)生錯誤【題評講解】此題主要考察分式的概念，只要緊緊扣住有意義的條件，分母不為零，其他的不用考慮?！窘ㄗh】該題的解法要從因式分解講起，不要變成一元二次方程的解法?！敬钆渚毩暋慨攛取什么值時，以下分式有意義：1 2 3例2：不改變分式的值，把以下分式的值，把以下各式的分子與分母中各項的系數(shù)都化為整數(shù)：1 2難度等級：B【思維直現(xiàn)】要把分子與分母中各項的系數(shù)都化為整數(shù)，就要找到各項分母的最小公倍數(shù)，再利用分式的根本性質(zhì)，分子與分母同時乘以最小公倍數(shù)。解：12【閱讀筆記】分式的根本性質(zhì)是分式的分子與分母同乘或除以一個不等于0的整式，分式的值不變。這就說明不改變分式的值，分

12、式的形式也是可以改變的?！绢}評講解】此題主要考察的是分式根本性質(zhì)的運用。把的分子與分母中各項的系數(shù)都化為整數(shù)也就是要把各系數(shù)擴大倍數(shù)，又要保證分式的值不變，這種要求利用分式的根本性質(zhì)就可以到達，分式的分子與分母同乘最小公倍數(shù)就可以完成轉(zhuǎn)換?！窘ㄗh】分式的根本性質(zhì)是分式運算的根底，約分和通分都是根據(jù)它的實現(xiàn)的，所以需要純熟掌握?！敬钆渚毩暋恳韵聫淖蟮接业淖冃握_的選項是 A BC D例3 不改變分式的值，使以下各式的分子與分母按x的降冪排列，并使最高次項系數(shù)是正數(shù)：1 2 3難度等級：C【思維直現(xiàn)】按x的降冪排列，就是把各項的順序打亂，然后按照指數(shù)上下重新排列。假設最高次項系數(shù)為“-時，那么需要

13、用到符號法那么。解：123【閱讀筆記】不改變分式的值、按x的降冪排列、使最高次項系數(shù)是正數(shù)，要滿足三個條件，就要先滿足一個條件，再滿足第二個，最后滿足第三個?！绢}評講解】此題是綜合題，考察的知識點有多項式的降冪排列，添括號法那么和符號法那么，正確的完成此題，需要整理清楚思緒，按要求一個一個滿足?！窘ㄗh】先按x的降冪排列，再用添括號法那么使最高次項系數(shù)是正數(shù)，最后根據(jù)符號法那么，判斷正負?！敬钆渚毩暋?、2、假如把分式中的x,y都擴大10倍,那么分式的值一定 A、擴大10倍 B、擴大100倍 C、縮小10倍 D、不變3、在分式a、b為正數(shù)中，字母a、b的值分別擴大為原來的2倍，那么分式的值是原來

14、的 倍例4 求證：無論取何值時，分式總有意義難度等級：C【思維直現(xiàn)】分式有意義，就是解：即無論取何值時，分式總有意義【閱讀筆記】分式總有意義，就說明分母中的字母取任何一個值，分母都不會為零，那么可以將進展變形，假如可以化為一個完全平方形式與一個常數(shù)的和，就可以大致確定分母的取值范圍了。【題評講解】此題屬于分式意義的進步題，解題時需要結(jié)合乘法公式，先拆項，再組合的方法，把變成來確定分母的取值?！窘ㄗh】拆項的時候，一定要注意拆項后能否與前兩項組合成完全平方式【搭配練習】1、求：同時使分式有意義，又使分式無意義的值。2、求分別取何值時，分式的值為零。二思維重點打破例5 解不等式。難度等級：C【思維直現(xiàn)】商要小于零，那么分子與分母必須異號才可以。解：