動點型問題二老師版

1、 博學之，審問之，慎思之，明辨之，篤行之 惠博教育個性化教學輔導教案教師姓名學生姓名上課時間學科數(shù)學年級教材版本課稱名稱 動點型問題（三）教學目標教學重點教學難點課堂教學過程一、中考專題詮釋所謂“動點型問題”是指題設圖形中存在一個或多個動點,它們在線段、射線或弧線上運動的一類開放性題目.解決這類問題的關鍵是動中求靜,靈活運用有關數(shù)學知識解決問題.“動點型問題” 題型繁多、題意創(chuàng)新，考察學生的分析問題、解決問題的能力，內容包括空間觀念、應用意識、推理能力等，是近幾年中考題的熱點和難點。二、解題策略和解法精講解決動點問題的關鍵是“動中求靜”.從變換的角度和運動變化來研究三角形、四邊形、函數(shù)圖像等圖

2、形，通過“對稱、動點的運動”等研究手段和方法，來探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理。在動點的運動過程中觀察圖形的變化情況，理解圖形在不同位置的情況，做好計算推理的過程。在變化中找到不變的性質是解決數(shù)學“動點”探究題的基本思路,這也是動態(tài)幾何數(shù)學問題中最核心的數(shù)學本質。三、中考考點精講專題五：函數(shù)引動點產生的相似三角形問題 函數(shù)因動點產生的相似三角形問題一般有三個解決途徑： 求相似三角形的第三個頂點時，先要分析已知三角形的邊和角的特點，進而得出已知三角形是否為特殊三角形。根據(jù)未知三角形中已知邊與已知三角形的可能對應邊分類討論。 或利用已知三角形中對應角，在未知三角形

3、中利用勾股定理、三角函數(shù)、對稱、旋轉等知識來推導邊的大小。 若兩個三角形的各邊均未給出，則應先設所求點的坐標進而用函數(shù)解析式來表示各邊的長度，之后利用相似來列方程求解。例1 （2012義烏市）如圖1，已知直線y=kx與拋物線y=交于點A（3，6）（1）求直線y=kx的解析式和線段OA的長度；（2）點P為拋物線第一象限內的動點，過點P作直線PM，交x軸于點M（點M、O不重合），交直線OA于點Q，再過點Q作直線PM的垂線，交y軸于點N試探究：線段QM與線段QN的長度之比是否為定值？如果是，求出這個定值；如果不是，說明理由；（3）如圖2，若點B為拋物線上對稱軸右側的點，點E在線段OA上（與點O、A不

4、重合），點D（m，0）是x軸正半軸上的動點，且滿足BAE=BED=AOD繼續(xù)探究：m在什么范圍時，符合條件的E點的個數(shù)分別是1個、2個？思路分析：（1）利用待定系數(shù)法求出直線y=kx的解析式，根據(jù)A點坐標用勾股定理求出線段OA的長度；（2）如答圖1，過點Q作QGy軸于點G，QHx軸于點H，構造相似三角形QHM與QGN，將線段QM與線段QN的長度之比轉化為相似三角形的相似比，即為定值需要注意討論點的位置不同時，這個結論依然成立；（3）由已知條件角的相等關系BAE=BED=AOD，可以得到ABEOED設OE=x，則由相似邊的比例關系可以得到m關于x的表達式（），這是一個二次函數(shù)借助此二次函數(shù)圖象（

5、如答圖3），可見m在不同取值范圍時，x的取值（即OE的長度，或E點的位置）有1個或2個這樣就將所求解的問題轉化為分析二次函數(shù)的圖象與性質問題另外，在相似三角形ABE與OED中，運用線段比例關系之前需要首先求出AB的長度如答圖2，可以通過構造相似三角形，或者利用一次函數(shù)（直線）的性質求得AB的長度解：（1）把點A（3，6）代入y=kx 得；6=3k，k=2，y=2x（2分）OA=（3分）（2）是一個定值，理由如下：如答圖1，過點Q作QGy軸于點G，QHx軸于點H當QH與QM重合時，顯然QG與QN重合，此時；當QH與QM不重合時，QNQM，QGQH不妨設點H，G分別在x、y軸的正半軸上，MQH=G

6、QN，又QHM=QGN=90°QHMQGN（5分），當點P、Q在拋物線和直線上不同位置時，同理可得 （7分）（3）如答圖2，延長AB交x軸于點F，過點F作FCOA于點C，過點A作ARx軸于點RAOD=BAE，AF=OF，OC=AC=OA=ARO=FCO=90°，AOR=FOC，AORFOC，OF=，點F（，0），設點B（x，），過點B作BKAR于點K，則AKBARF，即，解得x1=6，x2=3（舍去），點B（6，2），BK=63=3，AK=62=4，AB=5 （8分）；（求AB也可采用下面的方法）設直線AF為y=kx+b（k0）把點A（3，6），點F（，0）代入得k=，b=

7、10，（舍去），B（6，2），AB=5（8分）（其它方法求出AB的長酌情給分）在ABE與OED中BAE=BED，ABE+AEB=DEO+AEB，ABE=DEO，BAE=EOD，ABEOED（9分）設OE=x，則AE=x （），由ABEOED得，（）（10分）頂點為（，）如答圖3，當時，OE=x=，此時E點有1個；當時，任取一個m的值都對應著兩個x值，此時E點有2個當時，E點只有1個（11分）當時，E點有2個（12分）點評：本題是中考壓軸題，難度較大，解題核心是相似三角形與拋物線的相關知識，另外也考查了一次函數(shù)、勾股定理等重要知識點解題的難點在于轉化思想的運用，本題第（2），（3）問都涉及到了問

8、題的轉化，要求同學們能夠將所求解的問題轉化為常見的數(shù)學問題，利用自己所熟悉的數(shù)學知識去解決問題，否則解題時將不知道從何下手而導致失分對應訓練1（2012紹興）如圖，矩形OABC的兩邊在坐標軸上，連接AC，拋物線y=x24x2經過A，B兩點（1）求A點坐標及線段AB的長；（2）若點P由點A出發(fā)以每秒1個單位的速度沿AB邊向點B移動，1秒后點Q也由點A出發(fā)以每秒7個單位的速度沿AO，OC，CB邊向點B移動，當其中一個點到達終點時另一個點也停止移動，點P的移動時間為t秒當PQAC時，求t的值；當PQAC時，對于拋物線對稱軸上一點H，HOQPOQ，求點H的縱坐標的取值范圍考點六：以圓為載體的動點問題與

9、圓有關的動點問題也是中考的熱點，此類問題以圓為載體，主要研究幾何圖形在點的運動中的位置關系和數(shù)量關系；這類問題集幾何、代數(shù)知識于一體，是數(shù)形結合思想的完美表現(xiàn)，具有較強的綜合性、靈活性和多樣性。解決此類問題要充分利用圓的有關性質，同時要抓住圖形運動的本質規(guī)律，用“靜態(tài)”的方法來分解圖形的運動過程，用靜態(tài)的方法來研究運動中的變與不變的函數(shù)關系，吧復雜的運動過程化為簡單的數(shù)學問題。例2 （2012湘潭）如圖，在O上位于直徑AB的異側有定點C和動點P，AC=AB，點P在半圓弧AB上運動（不與A、B兩點重合），過點C作直線PB的垂線CD交PB于D點（1）如圖1，求證：PCDABC；（2）當點P運動到什

10、么位置時，PCDABC？請在圖2中畫出PCD并說明理由；（3）如圖3，當點P運動到CPAB時，求BCD的度數(shù)思路分析：（1）由AB是O的直徑，根據(jù)直徑對的圓周角是直角，即可得ACB=90°，又由PDCD，可得D=ACB，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可得A=P，根據(jù)有兩角對應相等的三角形相似，即可判定：PCDABC；（2）由PCDABC，可知當PC=AB時，PCDABC，利用相似比等于1的相似三角形全等即可求得；（3）由ACB=90°，AC=AB，可求得ABC的度數(shù)，然后利用相似，即可得PCD的度數(shù)，又由垂徑定理，求得=，然后利用圓周角定理求得ACP的度

11、數(shù)，繼而求得答案解：（1）證明：AB是O的直徑，ACB=90°，PDCD，D=90°，D=ACB，A與P是對的圓周角，A=P，PCDABC；（2）解：當PC是O的直徑時，PCDABC，理由：AB，PC是O的直徑，PBC=ACB=90°，AB=PC，A=PPCDABC；（3）解：ACB=90°，AC=AB，ABC=30°，PCDABC，PCD=ABC=30°，CPAB，AB是O的直徑，=，ACP=ABC=30°，BCD=ACACPPCD=90°30°30°=30°點評：此題考查了圓周角定

12、理、垂徑定理、相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質以及直角三角形的性質等知識此題綜合性較強，難度適中，注意數(shù)形結合思想的應用對應訓練2（2012無錫）如圖，菱形ABCD的邊長為2cm，DAB=60°點P從A點出發(fā)，以cm/s的速度，沿AC向C作勻速運動；與此同時，點Q也從A點出發(fā)，以1cm/s的速度，沿射線AB作勻速運動當P運動到C點時，P、Q都停止運動設點P運動的時間為ts（1）當P異于A、C時，請說明PQBC；（2）以P為圓心、PQ長為半徑作圓，請問：在整個運動過程中，t為怎樣的值時，P與邊BC分別有1個公共點和2個公共點？四、中考真題演練一、選擇題1（2012廣西）如

13、圖，已知線段OA交O于點B，且OB=AB，點P是O上的一個動點，那么OAP的最大值是（）A30°B45°C60°D90°2（2012北海）如圖，等邊ABC的周長為6，半徑是1的O從與AB相切于點D的位置出發(fā)，在ABC外部按順時針方向沿三角形滾動，又回到與AB相切于點D的位置，則O自轉了（）A2周B3周C4周D5周3（2012蘭州）如圖，AB是O的直徑，弦BC=2cm，F(xiàn)是弦BC的中點，ABC=60°若動點E以2cm/s的速度從A點出發(fā)沿著ABA方向運動，設運動時間為t（s）（0t3），連接EF，當BEF是直角三角形時，t（s）的值為（）A B1

14、C或1D或1或二、填空題4（2012遵義）如圖，AB是O的弦，AB長為8，P是O上一個動點（不與A、B重合），過點O作OCAP于點C，ODPB于點D，則CD的長為 5（2012寧波）如圖，ABC中，BAC=60°，ABC=45°，AB=2，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑畫O分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連接EF，則線段EF長度的最小值為 6（2012蘭州）如圖，已知O是以坐標原點O為圓心，1為半徑的圓，AOB=45°，點P在x軸上運動，若過點P且與OA平行的直線與O有公共點，設P（x，0），則x的取值范圍是 7（2012河池）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OE

15、FG的頂點F的坐標為（4，2），將矩形OEFG繞點O逆時針旋轉，使點F落在y軸上，得到矩形OMNP，OM與GF相交于點A若經過點A的反比例函數(shù)的圖象交EF于點B，則點B的坐標為 三、解答題8（2012咸寧）如圖，在平面直角坐標系中，點C的坐標為（0，4），動點A以每秒1個單位長的速度，從點O出發(fā)沿x軸的正方向運動，M是線段AC的中點將線段AM以點A為中心，沿順時針方向旋轉90°，得到線段AB過點B作x軸的垂線，垂足為E，過點C作y軸的垂線，交直線BE于點D運動時間為t秒（1）當點B與點D重合時，求t的值；（2）設BCD的面積為S，當t為何值時，S=？（3）連接MB，當MBOA時，如果

16、拋物線y=ax210ax的頂點在ABM內部（不包括邊），求a的取值范圍9（2012山西）綜合與實踐：如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+2x+3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點D是該拋物線的頂點（1）求直線AC的解析式及B、D兩點的坐標；（2）點P是x軸上一個動點，過P作直線lAC交拋物線于點Q，試探究：隨著P點的運動，在拋物線上是否存在點Q，使以點A、P、Q、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由（3）請在直線AC上找一點M，使BDM的周長最小，求出M點的坐標10（2012龍巖）在平面直角坐標系xOy中，一塊含60°

17、角的三角板作如圖擺放，斜邊AB在x軸上，直角頂點C在y軸正半軸上，已知點A（1，0）（1）請直接寫出點B、C的坐標：B 、C ；并求經過A、B、C三點的拋物線解析式；（2）現(xiàn)有與上述三角板完全一樣的三角板DEF（其中EDF=90°，DEF=60°），把頂點E放在線段AB上（點E是不與A、B兩點重合的動點），并使ED所在直線經過點C此時，EF所在直線與（1）中的拋物線交于點M設AE=x，當x為何值時，OCEOBC；在的條件下探究：拋物線的對稱軸上是否存在點P使PEM是等腰三角形？若存在，請寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由11（2012蘭州）如圖，RtABO的兩直角邊OA、

18、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，O為坐標原點，A、B兩點的坐標分別為（3，0）、（0，4），拋物線y=x2+bx+c經過點B，且頂點在直線x=上（1）求拋物線對應的函數(shù)關系式；（2）若把ABO沿x軸向右平移得到DCE，點A、B、O的對應點分別是D、C、E，當四邊形ABCD是菱形時，試判斷點C和點D是否在該拋物線上，并說明理由；（3）在（2）的條件下，連接BD，已知對稱軸上存在一點P使得PBD的周長最小，求出P點的坐標；（4）在（2）、（3）的條件下，若點M是線段OB上的一個動點（點M與點O、B不重合），過點M作BD交x軸于點N，連接PM、PN，設OM的長為t，PMN的面積為S，求S和t

19、的函數(shù)關系式，并寫出自變量t的取值范圍，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此時M點的坐標；若不存在，說明理由12（2012荊門）如圖甲，四邊形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，頂點在B點的拋物線交x軸于點A、D，交y軸于點E，連接AB、AE、BE已知tanCBE=，A（3，0），D（1，0），E（0，3）（1）求拋物線的解析式及頂點B的坐標；（2）求證：CB是ABE外接圓的切線；（3）試探究坐標軸上是否存在一點P，使以D、E、P為頂點的三角形與ABE相似，若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（4）設AOE沿x軸正方向平移t個單位長度（0t3）時，AOE與ABE

20、重疊部分的面積為s，求s與t之間的函數(shù)關系式，并指出t的取值范圍13（2012嘉興）在平面直角坐標系xOy中，點P是拋物線：y=x2上的動點（點在第一象限內）連接 OP，過點0作OP的垂線交拋物線于另一點Q連接PQ，交y軸于點M作PA丄x軸于點A，QB丄x軸于點B設點P的橫坐標為m（1）如圖1，當m=時，求線段OP的長和tanPOM的值；在y軸上找一點C，使OCQ是以OQ為腰的等腰三角形，求點C的坐標；（2）如圖2，連接AM、BM，分別與OP、OQ相交于點D、E用含m的代數(shù)式表示點Q的坐標；求證：四邊形ODME是矩形14（2012濟寧）如圖，拋物線y=ax2+bx4與x軸交于A（4，0）、B（

21、2，0）兩點，與y軸交于點C，點P是線段AB上一動點（端點除外），過點P作PDAC，交BC于點D，連接CP（1）求該拋物線的解析式；（2）當動點P運動到何處時，BP2=BDBC；（3）當PCD的面積最大時，求點P的坐標15（2012懷化）如圖，拋物線m：y=（x+h）2+k與x軸的交點為A、B，與y軸的交點為C，頂點為M（3，），將拋物線m繞點B旋轉180°，得到新的拋物線n，它的頂點為D；（1）求拋物線n的解析式；（2）設拋物線n與x軸的另一個交點為E，點P是線段ED上一個動點（P不與E、D重合），過點P作y軸的垂線，垂足為F，連接EF如果P點的坐標為（x，y），PEF的面積為S，

22、求S與x的函數(shù)關系式，寫出自變量x的取值范圍，并求出S的最大值；（3）設拋物線m的對稱軸與x軸的交點為G，以G為圓心，A、B兩點間的距離為直徑作G，試判斷直線CM與G的位置關系，并說明理由16（2012常德）如圖，已知二次函數(shù)的圖象過點A（4，3），B（4，4）（1）求二次函數(shù)的解析式：（2）求證：ACB是直角三角形；（3）若點P在第二象限，且是拋物線上的一動點，過點P作PH垂直x軸于點H，是否存在以P、H、D為頂點的三角形與ABC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由17（2012鞍山）如圖，直線AB交x軸于點B（4，0），交y軸于點A（0，4），直線DMx軸正半軸于點M，交線段

23、AB于點C，DM=6，連接DA，DAC=90°（1）直接寫出直線AB的解析式；（2）求點D的坐標；（3）若點P是線段MB上的動點，過點P作x軸的垂線，交AB于點F，交過O、D、B三點的拋物線于點E，連接CE是否存在點P，使BPF與FCE相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由18（2012西寧）如圖（1），AB為O的直徑，C為O上一點，若直線CD與O相切于點C，ADCD，垂足為D（1）求證：ADCACB；（2）如果把直線CD向下平行移動，如圖（2），直線CD交O于C、G兩點，若題目中的其他條件不變，且AG=4，BG=3，求tanDAC的值19（2012南充）如圖，C的內接

24、AOB中，AB=AO=4，tanAOB=，拋物線y=ax2+bx經過點A（4，0）與點（2，6）（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）直線m與C相切于點A，交y軸于點D動點P在線段OB上，從點O出發(fā)向點B運動；同時動點Q在線段DA上，從點D出發(fā)向點A運動；點P的速度為每秒一個單位長，點Q的速度為每秒2個單位長，當PQAD時，求運動時間t的值；（3）點R在拋物線位于x軸下方部分的圖象上，當ROB面積最大時，求點R的坐標20（2012蘇州）如圖，已知半徑為2的O與直線l相切于點A，點P是直徑AB左側半圓上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為C，PC與O交于點D，連接PA、PB，設PC的長為x（2x4）

25、（1）當x=時，求弦PA、PB的長度；（2）當x為何值時，PDCD的值最大？最大值是多少？21（2012上海）如圖，在半徑為2的扇形AOB中，AOB=90°，點C是弧AB上的一個動點（不與點A、B重合）ODBC，OEAC，垂足分別為D、E（1）當BC=1時，求線段OD的長；（2）在DOE中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度，如果不存在，請說明理由；（3）設BD=x，DOE的面積為y，求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出它的定義域22（2012泉州）已知：A、B、C三點不在同一直線上（1）若點A、B、C均在半徑為R的O上，i）如圖，當A=45°，R=1時，求BOC的度數(shù)和BC的長；ii）如圖，當A為銳角時，