(全)基本不等式應(yīng)用_利用基本不等式求最值的技巧_題型分析1

1、基本不等式.基本不等式221 .(1)若a,bR,則a2b22ab(2)若a,bR,則ab-b-(當(dāng)且僅當(dāng)ab時取“=”)22 .(1)若a,bR*,則土上段(2)若a,bR*,則ab2jWb(當(dāng)且僅當(dāng)ab時取“=”)22(3)若a,bR*,則abab(當(dāng)且僅當(dāng)ab時取“=”)2113 .若x0,則x2(當(dāng)且僅當(dāng)x1時取=);若x0,則x2(當(dāng)且僅當(dāng)xxx若x0,則x12即x12或x1-2(當(dāng)且僅當(dāng)ab時取“=")xxx2（當(dāng)且僅當(dāng)ab時取"=”）-2（當(dāng)且僅當(dāng)ab時取“=”）若ab0,則ab2即ab2或abbababa.2.24 .若a,bR,則(_a_b)2a_b_(當(dāng)

2、且僅當(dāng)ab時取"=”)22注：（1）當(dāng)兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個正數(shù)的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”（2）求最值的條件“一正，二定，三取等”（3）均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應(yīng)用.應(yīng)用一：求最值例1:求下列函數(shù)的值域(1)y=3x2+白nx-1y=x+；x一1斛：尸標(biāo)十二源3x22x2=乖，值域為m,+°°)(2)當(dāng)x>0時，y=x+；A2g1cxx=2；一，1當(dāng)xv0時，y=x+_=x，值域為（一°°,一解題技巧：技巧一：

3、湊項(-x-1)<-2yx.1=-22U2,+8)例1：已知x4x21的最大值。4x5解：因4x50,所以首先要“調(diào)整”符號，又（4x當(dāng)且僅當(dāng)54x4x0，y4x254x52）已不是常數(shù)，所以對4x2要進行拆、湊項,4x,323154x1一，1一，即x1時,上式等號成立,故當(dāng)54x評注：本題需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù)x1時,ymax1。例1.當(dāng)時，求yx(82x)的最大值。解析：由知，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8為定值，故只需將yx(82x)湊上一個系數(shù)即可。11-2aL

4、ax(82x)的最大值為8。但湊系數(shù)后可得到和為定值,從而可利用基本不等式求最大值。當(dāng)，即x=2時取等號當(dāng)x=2時，y評注：本題無法直接運用基本不等式求解,變式：設(shè)04x(32x)的最大值。解：:03.-.322x0.-.y4x(32x)22x(32x)22x32x22當(dāng)且僅當(dāng)2x32x,即x330,-時等號成立。42技巧三：分離2x例3.求y7x10.r(x1)的值域。解析一：本題看似無法運用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有(x+1)的項，再將其分離。/+7x+10_Q+1產(chǎn)十5伏十1)十4當(dāng)，即時，y2J(x1)-459(當(dāng)且僅當(dāng)x=1技巧四：換元解析二：本題看似無法運用基本不等式，可先

5、換元，令t=x+1,化簡原式在分離求最值。(t1)27(t1)+10_t25t4t當(dāng)，即t二時,9(當(dāng)t=2即x=1時取"評注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最A(yù)值。即化為ymg(x)B(A0,B0),g(x)恒正或恒負(fù)的形式,g(x)然后運用基本不等式來求最值。技巧五：注意：在應(yīng)用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)f(x)ax-的單調(diào)性。x例:求函數(shù)yx2解:t(tx25x24x2411t-(tx24t'2)因為1，一、yt-在區(qū)間t1.一解得tt1不在區(qū)間2,故等號不成立，考慮單調(diào)性。1,單調(diào)遞增，所以

6、在其子區(qū)間2,為單調(diào)遞增函數(shù)，故5所以，所求函數(shù)的值域為5,2練習(xí).求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時，x的值.(1)yx23x1,(xx0)(2)y2x,x3(3)y2sinxx31,x(0,)sinx2,已知0x1,求函數(shù)yJx(1x)的最大值.；3.0x2,求函數(shù)yJx(23x)的最大值.條件求最值1.若實數(shù)滿足ab2,則3a3b的最小值是ab分析：“和”到“積”是一個縮小的過程，而且33定值，因此考慮利用均值定理求最小值，解：3a和3b都是正數(shù)，3a3b>2y3a3b2J*6當(dāng)3a3b時等號成立，由ab2及3a3b得ab1即當(dāng)ab1時，3a3b的最小值是6.11變式：若log4

7、xlog4y2,求一一的最小值.并求x,y的值xy技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。192：已知x0,y0,且一一1,求xy的最小值。xy錯解：Qx0,y0,且1-1,xy*y2歷12故xymm12。錯因：解法中兩次連用基本不等式，在xy2/xy等號成立條件是xy,在_92過等號成立xyxy19條件是一-即y9x，取等號的條件的不一致，產(chǎn)生錯誤。因此，在利用基本不等式處理問題時，列出xy“F19正斛：Qx0,y0,-1，xy等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。19y9x"八一xyxy1061016xyxy

8、16。，y9x19,當(dāng)且僅當(dāng)一一時，上式等號成立，又一一1,可得x4,y12時，xyxyxy變式：(1)若x,yR且2xy1,求1的最小值xy(2)已知a,b,x,yr且旦b1,求xy的最小值xy技巧七、已知x,y為正實數(shù)，且x2+y2-=1,求x4I+y2的最大值.分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式1同時還應(yīng)化簡gp中y2前面的系數(shù)為2,x-jl+y2=x«2-2即x1+y2=-2xl&技巧八：已知a,b為正實數(shù)，2b+ab+a=30,求函數(shù)分析：這是一個二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個途徑,性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的;一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一

9、元函數(shù)問題，再用單調(diào)二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條卜面將x,、J1+，分別看成兩個因式：件中既有和的形式，又有積的形式，不能步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進行。、4302b302b-2b2+30b":a=ab=b=b+1，b+1bb+1由a>0得，0vbv15人2t2+34t311616/16令t=b+1,1<t<16,ab=1=-2(t+:)+34-t+-p>2Jt-=81ab<18y>當(dāng)且僅當(dāng)t=4,即b=3,a=6時，等號成立。法二：由已知得：30ab=a+2b.a+2b>22ab.30ab&g

10、t;22ab令u=曬貝Uu2+2pu30”5亞wg3小abW3也,abw18,.y'Aab點評：本題考查不等式vab(a,bR)的應(yīng)用、不等式的解法及運算能力；如何由已知不等2式aba2b30(a,bR)出發(fā)求得ab的圍，關(guān)鍵是尋找到ab與ab之間的關(guān)系，由此想到不等式abJab(a,bR),這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含ab的不等式，進而解得ab的圍.2變式：1.已知a>0,b>0,ab(a+b)=1,求a+b的最小值。2.若直角三角形周長為1,求它的面積最大值。技巧九、取平方5、已知x,y為正實數(shù)，3x+2y=10,求函數(shù)W=曬+兩的最值.解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的

11、不等關(guān)系，吩吟互，本題很簡單強+您&巾7(曬)2+(超)2=213x+2y=275解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。W>0,W2=3x+2y+2%傷=10+2任何w10+(炳)2(煙)2=10+(3x+2y)=20W<回=2乖變式：求函數(shù)y反7寸于右4x5)的最大值。2 2解析：注意到2x1與52x的和為定值。y2(.2x-15-2x)242,(2x-1)(52x)4(2x1)(52x)8又y0,所以0y2723 -當(dāng)且僅當(dāng)2x1=52x,即x-時取等號。故ymax2姓。評注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)

12、造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件?？傊?，我們利用基本不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等"，同時還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本不等式。應(yīng)用二：利用基本不等式證明不等式1,已知a,b,c為兩兩不相等的實數(shù)，求證：a2b2c2abbcca1)正數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1,求證：(1a)(1b)(1c)>8abc111例6：已知a、b、cR,且abc1。求證：一1一1一18abc分析：不等式右邊數(shù)字8,使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用基本不等式可得三個“2”連乘，又11L_aL_c2_史，可由此變形入手。aaaa初cahco-cd1d1abc2疝閂鈿1d2而1.2Jab用牢.Qa、b、cR,abc1。1oInJJU-1,-1。aaaabbcc上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得111111空C言至g2畫8。當(dāng)且僅當(dāng)abc1時取等號。abcabc3應(yīng)用三：基本不等式與恒成立問題1,求使不等式xym恒成立的實數(shù)m的取值圍。一，一19例：已知x0,y0且19xy19解