5.2齊次馬爾可夫鏈

1、第二節(jié)齊次馬爾可夫鏈、齊次馬爾可夫鏈的概念一個隨機過程Xn,n=0,1,2,就是一族隨機變量，而Xn能取的各個不同的值，則稱為狀態(tài)。如果一個隨機過程Xn,n=0,1,2,由一種狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一種狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率只與現(xiàn)在處于什么狀態(tài)有關(guān)，而與在這時刻之前所處的狀態(tài)完全無關(guān)，即如果過程X,n=0,1,2,中，Xn+1的條件概率分布只依賴于Xn的值，而與所有更前面的值相互獨立，則該過程就是所謂馬爾可夫（Markov）過程.馬爾可夫鏈?zhǔn)侵笗r間離散，狀態(tài)也離散的馬爾可夫過程。一個馬爾可夫鏈，若從u時刻處于狀態(tài)i,轉(zhuǎn)移到t+u時刻處于狀態(tài)j的轉(zhuǎn)移概率與轉(zhuǎn)移的起始時間u無關(guān)，則稱之為齊次馬爾可夫鏈，簡稱齊次馬氏

2、鏈。如果把從狀態(tài)i到狀態(tài)j的一步轉(zhuǎn)移概率記為Pij,則Pij=PXn+1=j|X=i,i,j=0,1,2,且有轉(zhuǎn)移概率矩陣P,FQOPoiPcqp=P10P】1P12P卻PjjPaa，,v-i>vv«*e這樣，一個齊次馬氏鏈，可以由一個轉(zhuǎn)移概率矩陣P以及在時刻零時狀態(tài)x=0,1,2,的概率分布列向量Q=（q（0）,q（1）,）完全確定。由齊次馬氏鏈性質(zhì)知道，第i狀態(tài)的行向量A與第i+1狀態(tài)的行向量A+1之間存在著關(guān)系式：A+1=AP。、齊次馬氏鏈在評估教學(xué)質(zhì)量中的應(yīng)用教學(xué)過程是一個隨機過程，也就是說，對于具有相同基礎(chǔ)知識背景的學(xué)生（個體），在同時接受新知識時是隨機的。我們可以把

3、一個班（群體）的學(xué)生劃分為不同的等級（譬如：優(yōu)、良、中、及格、不及格五個等級），近似地認(rèn)為處于同一等級的學(xué)生具有相同的基礎(chǔ)知識，用齊次馬氏鏈，通過學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率矩陣，最終可以預(yù)測一個班學(xué)生學(xué)習(xí)成績的穩(wěn)定狀態(tài)。對教師而言，也就可用來評估、預(yù)測一個班的教學(xué)質(zhì)量。在教學(xué)效果指標(biāo)的量化過程中，齊次馬氏鏈評估法是將一個群體（如一個班或一個年級）的學(xué)生在某次考試中獲得優(yōu)（90分以上）、良（8089分）、中（7079分）、及格（6069分）和不及格（59分以下）各等級學(xué)生人數(shù)占總?cè)藬?shù)之比，作為狀態(tài)變量，并用向量表示之。即R（t）=（Xl，X2（t）,X3（t）,X4（t）,X5（t）,這里，俵示時刻

4、,tEN,顯然有£叉工(t)=li-i由于齊次馬氏鏈與t時刻前的狀態(tài)無關(guān)(呈無后效性)，可以研究當(dāng)t變化時，狀態(tài)向量R(t)的變化規(guī)律，從而對教學(xué)效果進行評估。設(shè)經(jīng)第一次考試，一個班n個學(xué)生中，優(yōu)、良、中、及格、不及格的學(xué)生數(shù)分別為n(i=1,2,3,4,5),則狀態(tài)向量R(l)山，超，區(qū)，I口nnnn)稱作初始向量。為考察教學(xué)效果，繼續(xù)分析下一次考試時，上述學(xué)生的等級變化。若經(jīng)第二次考試后，原來獲優(yōu)等成績的ni名學(xué)生中，仍保持優(yōu)等的是nii人，轉(zhuǎn)化為“良”，“中”，“及格”，“不及格”的學(xué)生分別有ni2,ni3,ni4,ni5人，于是，第一次考試成績優(yōu)等的學(xué)生考試成績轉(zhuǎn)移情況是向量

5、中nj(i,j=i,2,3,4,5)表示從狀態(tài)i變成狀態(tài)j的人數(shù)。這一轉(zhuǎn)移情況用矩陣表示為口111112n13n14n15口/口Ji】nx£1111"11好力口主叼3n3n3n3n33tlin4n4n4n4口*n5i口心11靠口射n與P為轉(zhuǎn)移概率矩陣，簡稱轉(zhuǎn)概陣。X=(xi,X2,X3,X4,符合齊次馬氏鏈學(xué)習(xí)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣的學(xué)生學(xué)習(xí)成績最終必然趨于平穩(wěn)狀態(tài)(E-P)R(1)二24415f15即X=XP,也即X(EP)=0,0000Q解此線性方程組，可得狀態(tài)R(t)時學(xué)生學(xué)習(xí)成績的平穩(wěn)分布X。下面，我們?nèi)砸缘谝还?jié)表51中的15名學(xué)生的成績?yōu)槔?，分析這一群體在兩次考試中學(xué)生

6、等級的變化。按優(yōu)、良、中、及格、不及格五等劃分，分別是2人、4人、4人、5人和0人，因此，各個等級學(xué)生轉(zhuǎn)移情況分別是二”,0,J,U,I/J(131P2.=0,0,0.44J與=(&"(23P4.=IOjOj»0Pj.二(0,010p0p0)。CJ0組成轉(zhuǎn)概陣P=000000第二次考試成績分布狀態(tài)一、,、fl181R=良（1），P=|石，石，石，J按照這個變化規(guī)律，第三次考試成績分布狀態(tài)/、/、(1129R(3)=Rr=|茄，茄，,即在第三次考試后，學(xué)生中優(yōu)等、良等的人數(shù)減少了，而中等的人數(shù)和及格的人數(shù)卻在增加。這樣，就可以分析這組學(xué)生群體的變化狀態(tài)。設(shè)該過程的平穩(wěn)

7、狀態(tài)分布列為X,由于(EP)TX=0,001220fl&，=0,Lu于是-Xi-M2140,2Z25Z0,解得(0,0,從而可以斷定，最終只有中等和及格兩等級的學(xué)生，其人數(shù)分別占總數(shù)的56%和44%。三、齊次馬氏鏈在評估解題狀態(tài)中的應(yīng)用解決問題是數(shù)學(xué)教育的一項主要任務(wù)。如果能夠把一個題目，按學(xué)生解題的認(rèn)知過程的發(fā)展，分解成幾個不同層次的狀態(tài)，那么就可以用齊次馬氏鏈去測量一個群體（如一個班或一個年級的學(xué)生）解決問題的能力與狀況。首先，我們認(rèn)為解決一個問題的過程是由分析S、設(shè)計&、探究4、實施S4和驗證S5這樣五個狀態(tài)組成的，并且這五個狀態(tài)存在如圖5-2的關(guān)系。分成了上面五個狀態(tài)，

8、我們可以認(rèn)為解決問題的后一狀態(tài)只與它的前一個狀態(tài)有關(guān)，而與它的更前面的狀態(tài)無關(guān)。這就完全符合齊次馬氏鏈所要求的條件。的5-2關(guān)系流程圖圖52的關(guān)系流程圖，存在一個狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣邑3當(dāng)0100o100%P飄0p丸Psi0000000100001其中63+64=1,P31+P32=1。如果圖52的關(guān)系流程圖第i階段的行向量為A=(ai,a2,a3,a4,%),由于Ap=(1,0,0,0,0),從而A=(0,1,0,0,0),A=AP=(0,0,P23,P24,0),A3=AP=(p31P23,P23P32,0,0,P24),At=A$P=(0,P田Pm3PP34)T£5A4P-LPam

9、PmmP?】，PbP茶，PjiP2jP31P23P24>P24(P23P32+1)o應(yīng)用齊次馬氏鏈的關(guān)鍵在于找到一個轉(zhuǎn)移概率矩陣中的Pij,這就要從兩個方面去控制，一是通過具體題目的解題過程劃分幾個不同狀態(tài)(這一點相對來說是比較困難的)，二是通過解題時間來控制解題過程，以分析整個群體a的解題狀態(tài)。例如，要求40名學(xué)生在10分鐘內(nèi)完成一個題目：求證:R(2,3),Pz(4,6),P3(6,9)三點共線。當(dāng)然，對于這個題目，如何比較客觀去分析解題狀態(tài)，即究竟做到哪一步才是從分析S到設(shè)計S2,哪一步才算是從設(shè)計S到實施S4,這是比較困難的。但是，如果運用時間去控制解題狀態(tài)，還是切實可行的。設(shè)8

10、分鐘以后，有30名學(xué)生圓滿地證明了這個題目，剩下的10名學(xué)生中，經(jīng)過老師的適當(dāng)提示，又有6名學(xué)生完成了該題。這樣對照關(guān)系流Pm=4，P31=白，從而程圖52,可以得到：Pg=而，Pm=通,A)=(1,0,0,0,0),A=(0,1,0,0,0),f13)%=0,0,二，7,0,2 44r13nn31A3I-f,0,0,二，3 110204j(13931/初市1_(3913691一【痂400s40540?Wi由Ai可見，這40名學(xué)生全部從分析狀態(tài)S轉(zhuǎn)移到設(shè)計狀態(tài)S2；由A可見，經(jīng)過設(shè)討狀態(tài)心之后，有:的學(xué)生已經(jīng)進入探究狀態(tài)當(dāng)，而另有:的學(xué)生則進入了實施狀態(tài)由與可見，?的學(xué)生進入實施狀態(tài)"I噴利地得到了驗證而處于探究狀態(tài)多的;的學(xué)生中，得的學(xué)生回到了分析狀態(tài)小，的學(xué)生回到了設(shè)計狀態(tài)當(dāng)，在經(jīng)過老師的適當(dāng)提示之后，久表明，3學(xué)生中的7Q白的學(xué)生進入了探究狀態(tài)邑，而又有總的學(xué)生進入了實施狀態(tài)為同OUoU樣根據(jù)可以測得在規(guī)定的10分鐘過去之后，冷(約防25%)的oU學(xué)生順利地解i夬了該題，亮(1.5%)的學(xué)生仍然處在分析狀態(tài)S,齊次馬氏鏈，針對在規(guī)定的時間里