圓與方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)典型例題

1、 圓與方程 1. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是. 特例：圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為的圓的方程是：.2. 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：(1). 設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d，圓半徑為r： a.點(diǎn)在圓內(nèi) dr； b.點(diǎn)在圓上 d=r； c.點(diǎn)在圓外 dr (2). 給定點(diǎn)及圓.在圓內(nèi)在圓上在圓外（3）涉及最值：1 圓外一點(diǎn)，圓上一動(dòng)點(diǎn)，討論的最值2 圓內(nèi)一點(diǎn)，圓上一動(dòng)點(diǎn)，討論的最值思考：過此點(diǎn)作最短的弦？（此弦垂直）3. 圓的一般方程： .(1) 當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)圓，其中圓心，半徑.(2) 當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn).(3) 當(dāng)時(shí)，方程不表示任何圖形.注：方程表示圓的充要條件是：且且.4. 直線與圓的位

2、置關(guān)系： 直線與圓 圓心到直線的距離1）；2）；3）；弦長(zhǎng)|AB|=2還可以利用直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組求解，通過解的個(gè)數(shù)來判斷：（1）當(dāng)時(shí)，直線與圓有2個(gè)交點(diǎn)，直線與圓相交；（2）當(dāng)時(shí)，直線與圓只有1個(gè)交點(diǎn)，直線與圓相切；（3）當(dāng)時(shí)，直線與圓沒有交點(diǎn)，直線與圓相離；5. 兩圓的位置關(guān)系（1）設(shè)兩圓與圓， 圓心距1 ；2 ；3 ；4 ；5 ； 外離 外切 相交 內(nèi)切 （2）兩圓公共弦所在直線方程圓：， 圓：，則為兩相交圓公共弦方程.補(bǔ)充說明：1 若與相切，則表示其中一條公切線方程；2 若與相離，則表示連心線的中垂線方程.（3）圓系問題過兩圓：和：交點(diǎn)的圓系方程為（）補(bǔ)充：1 上述圓系不包括

3、；2 2）當(dāng)時(shí)，表示過兩圓交點(diǎn)的直線方程（公共弦）3 過直線與圓交點(diǎn)的圓系方程為6. 過一點(diǎn)作圓的切線的方程：(1) 過圓外一點(diǎn)的切線：k不存在，驗(yàn)證是否成立k存在，設(shè)點(diǎn)斜式方程，用圓心到該直線距離=半徑，即求解k，得到切線方程【一定兩解】例1. 經(jīng)過點(diǎn)P(1，2)點(diǎn)作圓(x+1)2+(y2)2=4的切線，則切線方程為 。(2) 過圓上一點(diǎn)的切線方程：圓(xa)2+(yb)2=r2，圓上一點(diǎn)為(x0，y0)，則過此點(diǎn)的切線方程為(x0a)(xa)+(y0b)(yb)= r2特別地，過圓上一點(diǎn)的切線方程為.例2.經(jīng)過點(diǎn)P(4，8)點(diǎn)作圓(x+7)2+(y+8)2=9的切線，則切線方程為 。7切點(diǎn)

4、弦(1)過C：外一點(diǎn)作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則切點(diǎn)弦所在直線方程為：8. 切線長(zhǎng)：若圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2，則過圓外一點(diǎn)P(x0,y0)的切線長(zhǎng)為 d=9. 圓心的三個(gè)重要幾何性質(zhì)：1 圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上；2 圓心在某一條弦的中垂線上；3 兩圓內(nèi)切或外切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線。10. 兩個(gè)圓相交的公共弦長(zhǎng)及公共弦所在的直線方程的求法例.已知圓C1：x2 +y22x =0和圓C2：x2 +y2 +4 y=0，試判斷圓和位置關(guān)系，若相交，則設(shè)其交點(diǎn)為A、B，試求出它們的公共弦AB的方程及公共弦長(zhǎng)。一、求圓的方程例1 (06重慶卷文)以點(diǎn)為圓心且與直線相切的

5、圓的方程為( )(A)(B)(C)(D)二、位置關(guān)系問題例2 (06安徽卷文) 直線與圓沒有公共點(diǎn)，則的取值范圍是( )(A)(B)(C)(D)三、切線問題例3 (06重慶卷理) 過坐標(biāo)原點(diǎn)且與圓相切的直線方程為( )(A)或(B)或(C)或(D)或四、弦長(zhǎng)問題例4 (06天津卷理) 設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn)，且弦的長(zhǎng)為，則.五、夾角問題例5 (06全國(guó)卷一文)從圓外一點(diǎn)向這個(gè)圓作兩條切線，則兩切線夾角的余弦值為( )(A)(B)(C)(D) 0六、圓心角問題例6 (06全國(guó)卷二) 過點(diǎn)的直線將圓分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對(duì)的圓心角最小時(shí)，直線的斜率.七、最值問題例7 (06湖南卷文)圓上的點(diǎn)到直線的最

6、大距離與最小距離的差是( )(A) 30 (B) 18(C)(D)八、綜合問題例8 (06湖南卷理)若圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為，則直線的斜率k取值范圍_圓的方程1.方程x2+y22（t+3）x+2（14t2）y+16t4+9=0（tR）表示圓方程，則t的取值范圍是A.1<t< B.1<t<C.<t<1 D.1<t<22. 一圓與y軸相切，圓心在直線x3y=0上，且直線y=x截圓所得弦長(zhǎng)為2，求此圓的方程.3.方程x2y2DxEyF0（D2E24F0）表示的曲線關(guān)于x+y=0成軸對(duì)稱圖形，則（ ）A.D+E=0B. B.D+F=0 C.

7、E+F=0D.D+E+F=04.（2004年全國(guó)，8）在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)A（1，2）距離為1，且與點(diǎn)B（3，1）距離為2的直線共有（ ）A.1條B.2條C.3條D.4條5. （2005年黃岡市調(diào)研題）圓x2+y2+x6y+3=0上兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線kxy+4=0對(duì)稱，則k=_.6.（2004年全國(guó)卷，16）設(shè)P為圓x2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線3x4y10=0的 距離的最小值為_.7.已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程x2+y24x+1=0.求（1）的最大值和最小值；（2）yx的最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值.經(jīng)過兩已知圓的交點(diǎn)的圓系例1 求經(jīng)過兩已知圓：和的交點(diǎn)且圓心的橫坐標(biāo)為3的圓的方程。例2 設(shè)圓方程為： 其中4 求證： 不論為何值，所給圓必經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)。直線與圓的位置關(guān)系例1：求由下列條件所決定圓的圓的切線方程；(1) 經(jīng)過點(diǎn)，(2)經(jīng)過點(diǎn)，(3)斜率為直線和圓1 自點(diǎn)（3，3）發(fā)出的光線L射到x軸上，被x軸反射，其反射線所在直線與圓相切，求光線L所在直線