矩陣可對角化的判定條件及推廣

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上 矩陣可對角化的判定條件及推廣 數(shù)學與計算機科學學院 數(shù)學與應用數(shù)學（S）學號： 姓名：方守強 指導教師：梁俊平 摘要：矩陣是否可以對角化，是矩陣的一條很重要的性質。對相似可對角化的充分必要條件的理解，一直是線性代數(shù)學習中的一個困難問題。本文給出了矩陣可對角化的幾個充分必要條件和相應的證明。關鍵詞：方陣；特征值；特征向量；對角化引言：矩陣是高等代數(shù)中的重要組成部分，是許多數(shù)學分支研究的重要工具。而對角矩陣作為矩陣中比較特殊的一類，其形式簡單，研究起來也非常方便。研究矩陣的對角化及其理論意義也很明顯，矩陣相似是一種等價關系，對角化相當于對一類矩陣在相似意義下給出了一種簡

2、單的等價形式，這對理論分析是方便的。相似的矩陣擁有很多相同的性質，比如特征多項式、特征根、行列式如果只關心這類性質，那么相似的矩陣可以看作是沒有區(qū)別的，這時研究一個一般的可對角化矩陣，只要研究它的標準形式一個對角形矩陣就可以了。而對角矩陣是最簡單的一類矩陣，研究起來非常方便。在本課題中通過閱讀參考文獻、查閱相關資料，初步總結出了矩陣可對角化的若干充分必要條件，并給予了相應的證明過程。 一、矩陣可對角化的概念1 特征值、特征向量的概念 定義1 設是數(shù)域上線性空間的一個線性變換, 如果對于數(shù)域中的一個數(shù)存在一個非零向量使得,那么稱為的一個特征值，而 稱為的屬于特征值的一個特征向量。求方陣的特征值與

3、特征向量的步驟：(1)由特征方程=0求得的個特征值，設是的互異特征值,其重數(shù)分別為則。(2)求解齊次線性方程組,其基礎解系()就是所對應特征值的線性無關的特征向量。2 矩陣可對角化的概念定義2 設是矩陣上一個階方陣，如果存在數(shù)域上的一個可逆矩陣,使得為對角形矩陣，那么就說矩陣可以對角化。任意方陣的每一個特征值都有一個與之相對應的特征向量滿足，則這個方程可以寫成 , （1）我們定義矩陣,則（1）式可寫成,若矩陣是可逆陣，則有引理1 設、都是階矩陣,則有秩 秩+秩 。引理2 設()為階方陣的所有互異特征值，則矩陣的線性無關的特征向量的最大個數(shù)為。證明 設()為階方陣的所有互異特征值，因為特征值相應

4、的線性無關的特征向量的最大個數(shù)即為線性方程組的基礎解析所含向量的個數(shù)，所以特征值 相應的線性無關的特征向量的最大個數(shù)分別為，而矩陣的不同特征值的線性無關的特征向量并在一起仍然線性無關，從而,矩陣線性無關的特征向的最大個數(shù)為。引理3 設為階方陣,是任意兩兩互異的數(shù),則。 二、矩陣可對角化的充分必要條件1 矩陣可對角化的充分必要條件及其證明定理1 數(shù)域上階方陣可對角化的充分必要條件是有個線性無關的特征向量。證明（1）充分性 假設是矩陣的個線性無關的特征向量，即有,令矩陣由特征向量組成，因為是線性無關的，因此矩陣是非奇異矩陣，其逆矩陣記為，根據(jù)逆矩陣的定義有=，另一方面，由易知, =,給此式左乘矩陣

5、，則有=，即充分性得證。 （2）必要性 令矩陣和對角形矩陣相似，即存在可逆矩陣使得,則有,于是記=()，則可以寫成=()即有,這說明矩陣的列向量是矩陣的特征向量，而已知是可逆陣，故的個列向量線性無關，必要性得證。定理2 設 ，則可以對角化的充分必要條件是：(1)的特征根都在數(shù)域內,(2)對的每個特征根,有，其中是的重數(shù)。條件(2) 也可改述為：特征根的重數(shù)等于齊次線性方程組的基礎解系所含向量的個數(shù)(簡稱為代數(shù)重數(shù)等于幾何重數(shù))。條件(2)還可改述為：令有，即屬于的不同特征根的線性無關的特征向量總數(shù)是。條件(1)，(2)還可改述為:的屬于不同特征值的特征子空間的維數(shù)之和等于。證明 設是的所有不同

6、的特征根,是齊次線性方程組的一個基礎解系，則的特征向量一定線性無關。如果, 則有個線性無關的特征向量, 從而可以對角化。若可以對角化, 則屬于的不同特征根的線性無關的特征向量總數(shù)一定是。若不然, 則由定理1可設的個線性無關的特征向量為,設是屬于特征根的特征向量，則可由線性表出，從而可由向量組線性表出，于是，rank rank =與線性無關矛盾。定理3 設是階復矩陣, 則與對角形矩陣相似的充分必要條件是的最小多項式無重根。證明 充分性 因無重根,由| 知,的每個不變因子都不能有重根，從而特征矩陣作為復數(shù)域上的矩陣,其初等因子全為一次式，故必與對角陣相似。必要性 因與對角陣相似,特征矩陣的初等因子

7、必均為一次式,故最后一個不變因子也只能是不同的一次因式之積，這就證明了最小多項式無重根。此定理3所給出的判別矩陣與對角矩陣相似的條件,形式上還可削弱,我有:定理4 設是維向量空間的一個線性變換，的矩陣可以對角化的充分必要條件是可以分解為個在之下不變的一維子空間的直和。 證明 :必要性若可以對角化，則存在的一組基使得在這組基下的矩陣為， 令,則 ，事實上：（1），則，又, ，即。（2）,，且，且, ，又，,即又線性無關=0,即=0。充分性:若可分解為個在之下不變的一維子空間的直和,即,設的基分別為則可構成的一組基。令， 在基下的矩陣為 ， 即可以對角化。定理5 設是數(shù)域上的一個階矩陣，的特征根全

8、在內，若是的全部不同的特征根，其重數(shù)分別為，則可對角化的充要條件是秩。證明 :設可對角化，則存在可逆矩陣,使這里右邊是分塊對角矩陣，為階單位陣，于是有秩=秩=秩 =秩 =秩 =秩 =。反之，若秩=，則反復用本文引理1可得： =，于是有=。從而 =，這樣可對角化。 定理6 設為階方陣,則可以對角化的充要條件為存在兩兩互異的使得。證明 必要性 設階方陣可以對角化,()為的所有互異特征值,由引理2及定理1，從而有個線性無關的特征向量,即故，再由引理3得0，從而有。充分性設為階方陣且存在兩兩互異的數(shù)使得，記為=。設為的特征值，則必為的特征值，從而。所以,因此矩陣的特征值的取值范圍為，顯然當可逆時，不是

9、的特征值；當可逆時，是的特征值。因為線性方程組的基礎解系所含向量的個數(shù)即為的特征值的重數(shù) (當可逆時, 不是的特征值,此時)。從而矩陣線性無關的特征向量的最大個數(shù)為。再由引理3，當時，所以 ，即階方陣有個線性無關的特征向量,從而可以對角化。2 可對角化矩陣的相似對角陣的求法及步驟 具體步驟 設，求可逆矩陣，使為對角矩陣的步驟是:(1) 求矩陣的全部特征根；(2) 如果的特征根都在數(shù)域內(否則不可對角化), 那么對每個特征根, 求出齊次線性方程組的一個基礎解系；(3) 如果對每個特征根,的基礎解系所含解向量個數(shù)等于的重數(shù)(否則不可對角化), 那么可對角化,以所有基礎解系中的向量為列即得階可逆陣,

10、 且是對角陣, 而對角線上的元素是的全部特征根。參 考 文 獻1 張禾瑞,郝炳新.高等代數(shù)M.北京:高等教育出版社,2007.2 蘇 普羅斯庫烈柯夫,周曉鐘譯.線性代數(shù)習題集M.北京:人民教育出版社,1981.3 張枚.高等代數(shù)習題選編M.浙江:浙江科學技術出版社,1981.4 秦松喜.高等代數(shù)新編M.廈門:廈門大學出版社,2005.5 楊子胥.高等代數(shù)習題解M.山東:山東科學技術出版社,2001.6 張賢達.矩陣分析與應用M.北京:清華大學出版社，2004.7 張建航，李宗成.方陣的伴隨矩陣性質探討J.高師理科學刊,2007，01：11-14.8 王志武.方陣可對角化的一個充要條件J.山東農(nóng)

11、業(yè)大學學報,2008，04：3-5.Matrix diagonalization of decision condition and promotionFang Shou-qiang Advisor:Liang Jun-pingMajor in Pure and Applied Mathematics College of Mathematics and Computer Science 【Abstract】 Whether can matrix diagonalization, are the property of matrix a is very important. Sufficient and necessary conditions of similarity diagonalization of understanding, has always been a difficult problem in linear algebra. The diagonalization of matrix are giv