橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)

1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)1.橢圓定義：（1）第一定義：平而內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)£、鳥的距離之和為常數(shù)2a（2a7鳥51）的動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡叫橢圓，其中兩個(gè)定點(diǎn)大、F2叫橢圓的焦點(diǎn).當(dāng)|"|+|。入|=勿，>歸尸2|時(shí)，尸的軌跡為橢圓；當(dāng)|尸居|+戶戶2|=24V|尸島|時(shí)，P的軌跡不存有；當(dāng)|。用+|。&|=勿=|死?2|時(shí)，尸的軌跡為以£、鳥為端點(diǎn)的線段（2）橢圓的第二定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)/與定直線/（定點(diǎn)尸不在定直線/上）的距離之比是常數(shù)e（Ovevl）的點(diǎn)的軌跡為橢圓（利用第二定義，能夠?qū)崿F(xiàn)橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離相互轉(zhuǎn)化）.2.橢圓的

2、方程與幾何性質(zhì):標(biāo)準(zhǔn)方程X2V2r+r=1(。>>0)i2十二=1(>6>0)cr性質(zhì)參數(shù)關(guān)系a1=b2+c2焦點(diǎn)(c,O),(-c,O)(O,c),(O-c)焦距2c范圍lxl<«Jy<b1y<a.x<b頂點(diǎn)(一4,0),(4,0),(O,-Z?),(O,Z?)(0,4),(0,4),(。,0),(40)對(duì)稱性關(guān)于X軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱離心率e=-e(OA)a準(zhǔn)線3±cy=±c3 .點(diǎn)P*o,為）與橢圓£+£=1（>0）的位置關(guān)系：4lr當(dāng)£+E>i時(shí)，點(diǎn)尸在橢圓外；當(dāng)E+E

3、>i時(shí)，點(diǎn)尸在橢圓內(nèi)；當(dāng)工+E=i吐點(diǎn)尸在a-b-lr橢圓上；4 .直線與橢圓的位置關(guān)系直線與橢圓相交o>0;直線與橢圓相切。=0;直線與橢圓相離o<0例題分析：題1寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是（-4,0）、（4,0）,橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之和等于10：35兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,-2)和(0,2)且過(-二，二).22(3)兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-3,0),(3,0),橢圓經(jīng)過點(diǎn)(5,0).(4)兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,5),(0,-5),橢圓上一點(diǎn)產(chǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和為26.(5)焦點(diǎn)在y軸上，與y軸的一個(gè)交點(diǎn)為尸(0,-10),尸到它較近的一個(gè)

4、焦點(diǎn)的距離等于2.解：(1)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在工軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為22+二=1(a>b>0),la=10,2c=8a=5,c=4：.b-=«2-c2=52-42=922所以所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為L(zhǎng)+t=1.259因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為V2X2r+F=1(a>b>0)crI”由橢圓的定義知，2a=J(-|)2+(|+2)2+J(-1)2+(1-2)2V22V22=2屈+1.=2而22/.a=y/O又c=2:.b2=t/2-c2=10-4=6所以所求標(biāo)準(zhǔn)方程為+=L106另法：b2=a2-c2=a2-4y2X235,可設(shè)所求方程=+:一=1

5、,后將點(diǎn)(-二，二)的坐標(biāo)代入可求出。，從而求crcr-422出橢圓方程.(3),橢圓的焦點(diǎn)在*軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為：二十二=1(>Z?>0)crb-:%=1(5+3尸+0+J(53)2+0=10,2o=6.，a=5,c=3/.b2=a-c2=5"32=16，所求橢圓的方程為：+=1.2516橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為22十：=1(。>>0).lr：.b2=a2-c2=144.J所求橢圓方程為：工+J=1169144(5)橢圓的焦點(diǎn)在)，軸上，所以可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為:22+=l(a>b>0);尸(0,-10)在橢圓上，：.a=l

6、0.又尸到它較近的一焦點(diǎn)的距離等于2,/.-c(10)=2,故o=8.：.b，=a2c2=36.所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是二+J=1.10036題2,已知B,C是兩個(gè)定點(diǎn)，IBCI=6,且A48C的周長(zhǎng)等于16,求頂點(diǎn)A的軌跡方程.解：以BC所在直線為x軸，BC中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)頂點(diǎn)A(x,y),根據(jù)已知條件得ABS+IAC=10.再根據(jù)橢圓定義得a=5,c=3,。=4.所以頂點(diǎn)A的軌跡方程為227+-=1(yh0)(特別強(qiáng)調(diào)檢驗(yàn))2516因?yàn)锳為ABC的頂點(diǎn)，故點(diǎn)A不在x軸上，所以方程中要注明y關(guān)0的條件.題3,在嫉中，5U24,AC."的兩條中線之和為39,求月6。的重心軌

7、跡方程.X分析：以6。所在直線為x軸，6c的中垂線為)，軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，.”為重心，則MB+)fC=-X339=26.根據(jù)橢圓定義可知，點(diǎn)也的軌跡是以5、。為焦點(diǎn)的橢圓，故所求橢圓方程為二十二=1(yHO).16925'題4。己知X軸上的一定點(diǎn)A3,0),Q為橢圓二+/=1上的動(dòng)點(diǎn)，求AQ中點(diǎn)M的軌跡方程4解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)"的坐標(biāo)為(x,y),則。的坐標(biāo)為(2xl,2y).Y"因?yàn)辄c(diǎn)。為橢圓一+)J=1上的點(diǎn)，4所以有(2'Vlr-+(2y)2=1>即1-_L)2+4)J=12所以點(diǎn)例的軌跡方程是(X)2+4/=1.22題5。長(zhǎng)度為2的線段

8、AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，點(diǎn)M分AB的比為求點(diǎn)M的軌跡方程.解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)用的坐標(biāo)為(爸丁)，則A的坐標(biāo)為(10).8的坐標(biāo)為(0,2)，).因?yàn)?481=2,325SOS9S所以點(diǎn)M的軌跡方程是式/十二、/=4.94所以有（二X），+（二V）2=4,HPX2+32,94題6。已知定圓x2+y-6x55=0,動(dòng)圓M和已知圓內(nèi)切且過點(diǎn)P(-3,0),求圓心M的軌跡及其方程.分析：由兩圓內(nèi)切，圓心距等于半徑之差的絕對(duì)值.根據(jù)圖形，用數(shù)學(xué)符號(hào)表示此結(jié)論：尸上式能夠變形為|M0|+|M/1=8,又因?yàn)閨P=6<8,所以圓心M的軌跡是以P,Q為焦點(diǎn)的橢圓.焦點(diǎn)，求證：以線段AP為直徑

9、的圓與此橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切.證明：設(shè)橢圓方程為二十二=1,crb-焦半徑EP是圓。1的直徑，則由一%=2"二"勺=四=|。0知，兩圓半徑之差等于圓心距，22211所以，以線段F,P為直徑的圓與此橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切.一題11.已知橢圓的焦點(diǎn)是看(一1,0),尸2。，0),尸為橢圓上一點(diǎn)，且I尸內(nèi)I是IP居I和Ipf2I的等差中項(xiàng).(1)求橢圓的方程：(2)若點(diǎn)尸在第三象限，且/尸巴尼=120°,求tanPF?.選題意圖：綜合考查數(shù)列與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)知識(shí)，解：由題設(shè)1PK1+1尸&1=2|F,F21=4，勿=4,2o=2,：.b=y322；橢圓的方

10、程為F-=1.43(2)設(shè)=6,則2K=60°-0|耳FJPF2PF.由正弦定理得：1=-=!sinesill120°sin(60°8)由等比定理得：皿=附叫sin<9sinl20°+sin(60°-)24_sin。y3/*-+sin(6006)靈活使用等比定理實(shí)yp二y0Jy1整理得：5sin<9=V3(l+cos6>)=班故1a蟲l+cos<9522題12.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)0,焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線,v=x+l與橢圓相交于點(diǎn)P和點(diǎn)Q,且OP_L。，伊。1=罟，求橢圓方程.解：設(shè)橢圓方程為nix2+n)=1(?&

11、gt;0,>0),設(shè)P(xi,yi)»Q(X2,”)，解方程組謂+爐=1消去y,整理得(，+)x2+2/lv+zz1=0.zl=4/?24(m+n)(n1)>0,即?+一OPA.OQ=>xixz+yiV2=0,即加也+(x+)(X2+I)=0，2xxz+(xi+%2)+1=0，*-，l+1=0.m+nm-n?+z1=2,由弦長(zhǎng)公式得2“；W=(半)2'將=2代入，得,T解得1m=，2n=.2-3m=，21n=.2工橢圓方程為二+WV=1或+:二匕2222題13.直線/過點(diǎn)M(l,1),與橢圓二十二二1相交于兒8兩點(diǎn)，若A3的中點(diǎn)為43M,試求直線/的方程.解

12、：設(shè)A(xpyi)、B(12，”)，則E+zLi,43一，得區(qū)，臼+.+(、)(、)二043.力一乃一3.內(nèi)+必-陽(yáng)一%24y+為3直線/的斜率為一二.4，直線/的方程為）>一1=一二（X1）,4即3.v+4y7=0.題14。己知橢圓。的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,一個(gè)長(zhǎng)軸端點(diǎn)為（0,1）,短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，直線/與），軸交于點(diǎn)P（0,與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A、8,且入戶=3PB.（1）求橢圓方程：（2）求機(jī)的取值范圍.【解題思路】通過而=3萬，溝通A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，再利用判別式和根與系數(shù)關(guān)系得到一個(gè)關(guān)于m的不等式22解析（I）由題意可知橢圓。為焦點(diǎn)在），軸上的橢圓，可設(shè)C：

13、£+*=l（4>0>0）由條件知。=1且Z?=c,又有。2=+爐，解得a=i,b=c=叵2cBx2故橢圓C的離心率為e=,其標(biāo)準(zhǔn)方程為：）”+丁=1a2J2（2）設(shè)/與橢圓。交點(diǎn)為A（xi，V）,B（A-2,y2）一得（R+2）x2+2hnx+（/n2-l）=0l2F+vl=（2km）24（女?+2）（/n21）=4（Zr2y/r+2）>0（*）-2kmm2-1*+x2=W，'兇二產(chǎn)”X+x2=-2xiVAP=3PBA-X!=3x2,XX2=-3xi2km?2-消去也，得3（xi+x2）24-4xiA2=0,/.3）葉44葉g=0整理得4k2m2+2m2k2

14、2=0產(chǎn)=;時(shí)，上式不成立：加弓時(shí)，e,22nrI因2=3；左卻;一一r>0,/.1</a2<-z或<Jn<14m-122容易驗(yàn)證公>2/一2成立，所以（*）成立即所求，的取值范圍為(一1,一5)u(亍1)題15“設(shè)小y£R，i、j為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x、y軸正方向上的單位向量，若向量。=4+(y+2)j,b=xi+(y2)j,且01+則=8.(1)求點(diǎn)M(x,y)的軌跡C的方程.(2)過點(diǎn)(0,3)作直線/與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)方=方+無，是否存有這樣的直線/，使得四邊形。AP8是矩形？若存有，求出直線/的方程：若不存有，試說明理由.(1)解法一

15、：a=xi+(y+2)j,b=xi+(y2)j,且1。1+心1=8,工點(diǎn)M(x,y)到兩個(gè)定點(diǎn)Fi(0,-2),Fi(0.2)的距離之和為8.1216，軌跡C為以Q、月為焦點(diǎn)的橢圓，方程為二十二=1.解法二：由題知，Jx2+(y+2)2+J、2+(y2)2=8,移項(xiàng)，得，/+(>+2)2=8-2)2,兩邊平方，得x2+(y+2)2=x2+(y2)?-16+(y-2/十64,整理，得2次+()，-2)2=8-y,兩邊平方，得41+(y-2)2=(8-y)2,22展開，整理得二+二=1.1216(2)/過y軸上的點(diǎn)(0,3),若直線/是y軸，則A、8兩點(diǎn)是橢圓的頂點(diǎn).9：OP=OA+OB=0

16、,.P與。重合，與四邊形。4PB是矩形矛盾.直線/的斜率存有.設(shè)/方程為日X+3,A(ABV),B(X2,以)，y=loc+3fx22)肖)，得(4+3R)/+18421=0.此時(shí)，/=(18爐)-4(4+3R)+=1,12164+3k4+3k(-21)>0恒成立，且X+X2=.tXX2=生丁.麗=萬？+礪，四邊形。4P8是平行四邊形.若存有直線使得四邊形。AP8是矩形，則。A_LO3,RPO4OB=0.VOA=(由，yi),OB=(x2,y2)>OAOB=A|.¥2+yjy2=0>即（+k2）xxi+3k（x）+x2）+9=0,即（1+攵2）（一.21）+3八（一

17、1跳、）+9=0,HPk,得修士4+3/4+3/164存有直線/：y=±.r+3,使得四邊形OAP5是矩形.4橢圓作業(yè)班級(jí)：姓名：題16。選擇題1 .已知A、B是橢圓二+二=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過Q的直線與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，169則MNE的周長(zhǎng)為A.8B.16C.25D.32解析：利用橢圓的定義易知B準(zhǔn)確.答案：B22 .橢圓二+，2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為Q、尸2,過臼作垂直于X軸的直線與橢圓相交，一個(gè)4°交點(diǎn)為P，貝W西I等于A.B.V3C.-D.422解法一：（如下圖）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為左焦點(diǎn)為過a垂直于X軸的直線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為P.2*.>+v2=1,/a=2,b=

18、,c=>/3.421：.Fi（右，0）,設(shè)尸（的，抄）代入了+）2=1,得）片5，：.P（右，-）>PFi=-.22又iPBi+ipai=4,"PR|=4一IPF】I=4一，=2.2 23 .設(shè)為、B為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，以尸2為圓心作圓已知圓乃經(jīng)過橢圓的中心，且與橢圓相交于M點(diǎn)，若直線恰與圓F?相切，則該橢圓的離心率e為A.V3-1B.2-V3CD.立22解析：易知圓B的半徑為c，(2</-c)2+c2=4c2,(i)2+2(£)-2=0,-=%/3-1.aaa答案：A224 .已知P為橢圓+=1上的一點(diǎn)，M,N分別為圓。+3)2+產(chǎn)=1和圓2516。一3)

19、2+)，2=4上的點(diǎn)，則+的最小值為()A.5B,7C.13D.15解析舊兩圓心C、D恰為橢圓的焦點(diǎn)，.1PCI+I尸01=10,|尸根+歸叫的最小值為10-1-2=75 .橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，今有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤，點(diǎn)A、B是它的焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a,焦距為2c,靜放在點(diǎn)A的小球(小球的半徑不計(jì))，從點(diǎn)A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過的路程是題17、填空題1 .已知石、F?為橢圓£+與=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過工的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)若F2A+F2B=i29則|A耳二解析248尸2的周長(zhǎng)

20、為而=20,卜目二82 .如果方程內(nèi)泌.F=2表示焦點(diǎn)在)，軸的橢圓，那么實(shí)數(shù)女的取值范闈是_解析：橢圓方程化為二十=1.22r焦點(diǎn)在y軸上，則上>2,即kvl.k又心>0,：.0<k<.答案：0<k<3 .橢圓二十21=1的離心率是,準(zhǔn)線方程是2594T95解析：由橢圓方程可得。=5,辰3,c=4,準(zhǔn)線方程為4土1=土干.544答案：i4土羊54224 .已知P是橢圓二十二=1(t/>/7>0)上任意一點(diǎn)，P與兩焦點(diǎn)連線互相垂直,b-且尸到兩準(zhǔn)線距離分別為6、12,則橢圓方程為解析：利用橢圓的兩個(gè)定義結(jié)合勾股定理來求.答案：+=145205 .

21、點(diǎn)P在橢圓二十二=1上，它到左焦點(diǎn)的距離是它到右焦點(diǎn)距離的兩倍，則點(diǎn)P259的橫坐標(biāo)是.解析：利用第二定義.25答案:花6 .已知人為橢圓的左焦點(diǎn)，A、8分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，尸為橢圓上的點(diǎn)，當(dāng)PFiLQA,PO/AB(。為橢圓中心)時(shí)，求橢圓的離心率.剖析：求橢圓的離心率，即求上，只需求小。的值或小c用同一個(gè)量表示,本題沒有a具體數(shù)值，所以只需把a(bǔ)c用同一量表示，由POAB易得h=c,a=yb.解：設(shè)橢圓方程為二十二=1("人0),F(c,0),c2=a2-b29cr1廠則P(Ct五一二)，即P(Ct).Va9：AB/P0,:*8=上卅EP=.b=c.aac又:a=y/b2+

22、c2=V2b.Cby/2e=，=-a27.如圖，把橢圓三+£=1的長(zhǎng)軸43分成8等份，過每個(gè)分點(diǎn)作x軸2516的垂線交橢圓的上半部分于4鳥,a,匕,8,8七個(gè)點(diǎn)，尸是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)則由河+區(qū)目+區(qū)可+因耳+佐同+區(qū)/1+出口=解析由橢圓的對(duì)稱性知：山尸|+1舄刊=內(nèi)尸|+出目=歸尸|+/尸|=加=35.題18.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1 .設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直,且此焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸上較近的端點(diǎn)距離為4拒-4,求此橢圓方程.【解題思路】將題中所給條件用關(guān)于參數(shù)a/,c的式子“描述”出來2 222解析設(shè)橢圓的方程為二+二=1或二十二=1（。>b&

23、gt;0）,crb-b-trb=c則V"-c=4（&-1）,a-=/r+L2222解之得：a=4尬,之二4,則所求的橢圓的方程為工+工=1或1+二=1.321616322.已知方程x2cos。+Vsin8=L6w（0,冗）,討論方程表示的曲線的形狀解析當(dāng)e£（0,三）時(shí)，sinSvcos。，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，4當(dāng)e=£時(shí)，sine=cose.方程表示圓心在原點(diǎn)的圓，4當(dāng)6£（£,£）時(shí)，sine>cosd,方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓423 .橢圓對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到

24、橢圓上的點(diǎn)的最短距離是指，求這個(gè)橢圓方程.解析卜一''=6="=2,，.=3,所求方程為。二=1或二+t=1.=2cc=y31299124 .橢圓對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離是6,求這個(gè)橢圓方程.解:由題設(shè)條件可知”=2c,b=6c，又a-B后,解得。2=12,從=9,，所求橢圓的方程是二+£=1或二+工4129912題19。已知實(shí)數(shù)尤），滿足二+t=1,求/+y2-x的最大值與最小值2【解題思路】把i+V-x看作工的函數(shù)22解析由三十二=1得），2=2一_1/,4221,.2廠N0.一24xW227

25、71>>31/«、，3rc仆x"+)廣x=x"_x+2=(xg2,23當(dāng)x=l時(shí)-x取得最小值;，當(dāng)x=-2時(shí)+)3-x取得最大值62題20。橢圓二十二=1上的點(diǎn)到直線1：x+y9=0的距離的最小值.169【解題思路】把動(dòng)點(diǎn)到直線的距離表示為某個(gè)變量的函數(shù)解析在橢圓上任取一點(diǎn)P,設(shè)P(4cos8,3sine),那么點(diǎn)P到直線1的距離為:I4cos9+3sin6-12la/IW由已知yla2*-b26=a1=4/?2由，x2V2hL1,，=一+1得：(b2+2)爐-a2x+a2-a2b2=0J2由得：a1=2,b112V.A=6/4-(4b+a2)(a2

26、-a2b2)=0，即/=4-4/2故橢圓E方程為二+2題22。已知A、8分別是橢圓二十二=1的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(-1,孝)在橢圓上，線段P8與)，軸的交點(diǎn)M為線段P8的中點(diǎn)。(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；ar(2)點(diǎn)C是橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，對(duì)于ABC,求把吆的值。sine解析（1）1點(diǎn)M是線段的中點(diǎn),.OM是的中位線c=1.<2+=1解得/=2/2=B=1cr2ba2=b2+c22橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為9+)，2=l2(2)點(diǎn)C在橢圓上，A、8是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，AC+BC=2>/I,AB=2c=2在ABC中，由正弦定理,8cAe_A8sinAsinBsinCsinA+

27、sinBsinCBC+AC2y/2r-AB"一亍一題23。已知長(zhǎng)方形ABCD,AB=2JLbC=1,以AB的中點(diǎn)0為原點(diǎn)建立如圖8所示的平面直角坐標(biāo)系xoy.（【）求以A、B為焦點(diǎn)、,且過。、。兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;（II）過點(diǎn)P（0.2）的直線/交（I）中橢圓于M.N兩點(diǎn),是否存有直線/,使得以弦MN為直徑的圓恰好過原點(diǎn)?若存有，求出直線/的方程;若不存有，說明理由.，DQ'C/roB解析(I)由題意可得點(diǎn)A.B.C的坐標(biāo)分別為(-22設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是二+二=1(>>0).erlr2a=AC+BC=(+(-0)2+順一+(-0)2=4>2>/2a=

28、2：.h2=a2-c2=4-2=2.X2y2，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是+=1.42（II）由題意直線的斜率存有，可設(shè)直線/的方程為y=kx+2（k*0）.設(shè)M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（七,為）,（工2，乃）聯(lián)立方程：），=kx+2x2+2y2=4消去y整理得,（1+21*8k+8Zx+4=04若以MN為直徑的圓恰好過原點(diǎn)，則OM±ON，所以內(nèi)/+乃%=0，所以,%占+（%+2*也+2）=0,即（1+/21+2k（x+xJ+4=0所以,4（1+42）16k2+2k21+2公即S-4AV-=0,1+2k2得k2=2,k=±V2?所以直線/的方程為y=JIr+2,或y=-瓜+2.所以存有過P

29、（0,2）的直線/：y=土JIr+2使得以弦MN為直徑的圓恰好過原點(diǎn).題24。如圖，在RIZXA3C中，ZCAB=90°,AB=2,AC=o一曲線E過點(diǎn)C,動(dòng)點(diǎn)P2在曲線上上運(yùn)動(dòng)，且保持IB4I+IP8的值不變，直線/經(jīng)過A與曲線E交于M、N兩點(diǎn)。（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線七的方程；（2）設(shè)直線/的斜率為匕若NMBN為鈍角，求的取值范圍,解：（1）以AB所在直線為x軸，AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐全（1,0）由題設(shè)可得dy2 動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為+r=1（。）,crb-則a=%/2,c=lb=yja2-c2=1Y" 曲線E方程為一+），2=12(2)直線MN的方程為y=k

30、(x+1),設(shè)M(修,»),設(shè)M(項(xiàng),yt,),N(x2,y2)y=k(x+)，今今,得(1+2/+4攵+2(爐1)=。廠+2y，-2=0.=8父+8>0，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根/.x,+x2=4k22(/12-1)丁,用=-2+2卜-+2k2 .BM=-1,yJ,BN=*21,丫2)BM-BN=(%1)(占-1)+My?=($一1)(-1)+D(2+1)=(+k2)xlx2+(k2-1)(內(nèi)+x2)+1+/r2+k27k21+2公NMBN是鈍角BN<07A2一17<0+2k2解得：一片又M、B、N三點(diǎn)不共線女聲0萬n綜上所述，k的取值范圍是（一二=0）5。，一）77題22。1 .橢圓二十=1上一點(diǎn)產(chǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5,則尸到