高數(shù)答案(下)習(xí)題冊(cè)答案第六版下冊(cè)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編

1、第八章多元函數(shù)的微分法及其應(yīng)用§1多元函數(shù)概念一、設(shè)f( , )x2y2 ,(,)x2y2 ,求:f(, ),2 .x yx yx y y答案： f (x, y), y 2 )( x 2y2 )2y 4x42x 2 y 22 y 4二、求下列函數(shù)的定義域：1、 f ( x, y)x 2 (1y)( x, y) | y 2x 21;1 x2y 22、zy( x, y) | yx , x0;arcsinx三、求下列極限：1 、limx 2 sin y（ 0）x 2y 2( x , y) ( 0,0 )2 、lim(1y )3 x(e6)( x, y)(, 2)x四、證明極限limx2 y

2、不存在 .42( x , y )( 0,0 ) xy證明：當(dāng)沿著x 軸趨于（ 0，0）時(shí)，極限為零，當(dāng)沿著yx 2趨于（0，0）時(shí)，極限為1 ,2二者不相等，所以極限不存在xy sin1,( x, y)(0,0)五、證明函數(shù) f ( x, y)x 2y 2在整個(gè) xoy 面上連續(xù)。0,( x, y)(0,0)證明：當(dāng) ( x, y)(0,0) 時(shí)， f ( x, y)為初等函數(shù)，連續(xù)。當(dāng) ( x, y)(0,0) 時(shí)，limxy s i n10f (0,0)，所以函數(shù)在（ 0，0）也連續(xù)。所以函數(shù)( x , y) ( 0,0 )x 2y2在整個(gè) xoy 面上連續(xù)。六、設(shè) zxy2f ( xy)

3、 且當(dāng)y=0時(shí) zx2，求f(x)及z的表達(dá)式.解： f(x)= x2x ，zx 22 y22 xyyy§2偏導(dǎo)數(shù)zz1、設(shè) z= xyxex,驗(yàn)證xyxyzxy證明： zyyyyyexyex,zxex， xzyzxyxy xex xyzxxyxy:zx2y 2在點(diǎn)（3,1 ,1）處切線與 y 軸正向夾角 ()、求空間曲線1222y423、設(shè)f (x, y)xy( y 1) 2 arcsinx ,求 f x (x,1)( 1)yzu， u， u4、設(shè)ux y,求xyzuzzuzzu1z1yyxy，ln xxln x解：yyy2 xzyx5、設(shè) ux2y2z2，證明 :2 u2 u2

4、u2x 2y2z2u6、判斷下面的函數(shù)在(0,0) 處是否連續(xù)？是否可導(dǎo)（偏導(dǎo)）？說(shuō)明理由f (x, y)xsin1y 2, x2y20x2x 2y20,0lim f ( x, y) 0f ( 0,0)連續(xù)；f x (0,0)lims i n1不存在，f y (0,0) lim 000x 0x 0x 2y0 y0y 07、設(shè)函數(shù) f(x,y) 在點(diǎn)（ a,b）處的偏導(dǎo)數(shù)存在，求lim f (ax,b) f (ax,b)x0x（ 2fx(a,b)）§3全微分1、單選題（ 1）二元函數(shù) f(x,y) 在點(diǎn) (x,y)處連續(xù)是它在該點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)存在的_(A) 必要條件而非充分條件（B）充分條

5、件而非必要條件（C）充分必要條件（ D）既非充分又非必要條件（2）對(duì)于二元函數(shù) f(x,y) ，下列有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)與全微分關(guān)系中正確的是_(A) 偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，則全微分必不存在（ B）偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則全微分必存在（C）全微分存在，則偏導(dǎo)數(shù)必連續(xù)（D）全微分存在，而偏導(dǎo)數(shù)不一定存在2、求下列函數(shù)的全微分：yy1）ze xdz e x (2）zsin( xy 2 )解： dzyy3）ux z解： duzy2dx1 dy)xxcos( xy 2 ) ( y 2 dx2xydy)y1yyx z1 x z ln xdyyx z ln xdzdxzz23、設(shè)zy cos( x2 y) ， 求dz(0, )4解：

6、 dzy sin( x2 y) dx (cos( x 2 y)2 y sin( x2 y) )dydz | (0,) =dxdy4421 (、設(shè)f ( x, y, z)z求： df (1,2,1)2dx 4dy5dz)4x2y2255、討論函數(shù)f (x, y)(x2y2 )sin1y 2, (x, y)(0,0)x2在（ 0， 0）點(diǎn)處0,(x, y)(0,0)的連續(xù)性 、偏導(dǎo)數(shù)、可微性解：lim( x 2y2 ) sin10f (0,0)所以 f ( x, y) 在（0，0）點(diǎn)處連續(xù)。( x , y )(0,0)x 2y 2f x (0,0)limf ( x,0)f (0,0), f y (

7、0,0)limf (0, y)f (0,0)x0y0( x, y) ( 0,0 )( x, y ) (0,0)f (x,y)00，所以可微。(x)2(y) 2§4多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則1、 設(shè)zuv ,usin t ,vet ，求dz解：dz = cost.(sin t)etdt1etlnsin t(sin t) etetdtz , z2、 設(shè)z(xy)2 x 3y , ，求xyz( 2x3y) x(y2 x ) 3 y 13x(y2x ) 3yl nx (y) ,y3、 設(shè)zxn f (y2 ) ，f可微，證明 x z2 yznzxxy4、 設(shè)zf ( x 2y 2 ,2xy) ，

8、其中 f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求2 z ，2 z ，2 zx2x yy 2解：z2xf12 yf2,x2 zz2 yf12 xf2,2x( f11( 2 y)f12 2x)2 f22 y( f 21 (2 y)f 22 2 x)yxy= 2 f14 xyf114(x2y2 ) f124xyf222 z2 f14x2 f118xyf124 y 2 f 22,2 z2 f14 y2 f118xyf124x2 f22x2y25、 設(shè)zf (xy, y ) g( x ) ，其中 f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)、g 具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求2 zxyx yzf1yyf21解：2g ，xxy2 zf1y( f11 x

9、f121 )12 f2y2 ( f12 x f221 )12 gx3 gx yxxxxyy6、 設(shè)uF ( x, y, z) ， zf ( x, y) ， ydu( x) ，求解： dudxF1F2( x)F3 ( f xf y( x) 。dxu x 2 y7、設(shè)zz(u,v) ，且變換2 z2 z2 z=0化為2 z0，v x ay可把方程 62x yy 2xu v其中 z 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求常數(shù)a 的值(a3)證明：zzzz2 zaz2 z2 z2 z2uxuvyuvx 2u 2u vv22 z 42 z4a2 za 22 u2 z22z (a 2)2 za2uy 2u 2u vv 2

10、x yu 2u vv2得： (105a)2 z( 6aa 2 )2 u0a=3uvv 2/ (1,1)a , f2/ (1,1)8、設(shè)函數(shù) f(x,y) 具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)， f(1,1)=1, f1b又， ( x)fx, f x, f (x, x)求(1). 和/(1)(1) ,(a+ab+ab2+b3)dy§5隱函數(shù)的求導(dǎo)公式1、 設(shè)y ln yxy ，求dxdy1解：令 F (x, y)y ln yxy ， Fx1, Fyln y,dxln y2、 設(shè)zz( x, y) 由方程 x 2y 2z2yf ( z ) 確定，其中f 可微，證明y( x 2y2z2 )z2xy z2

11、xzxy3、 設(shè)zz( x, y) 由方程xey z所確定，其中f 可微，求2 zzx yzzzz2 zzxx(1z),y1 z ,xyx(1z) 34、 設(shè)x2y 2z21(dyx ，dz0 )zx2y 2，求 dy ， dzdxdxdxy dx5、 設(shè)zz( x, y) 由方程 F (xy, yz, xz)0 所確定，F(xiàn)可微，求z ,zxy解：令 F (x, y, z)F ( xy, yz, xz)，則zFxF1 yzF3,zFyF1 xF2xFzF2xF3yFzF2xF36、設(shè)zf ( x, y) 由方程 zxyez xy0 所確定，求dz(dzdxdy )7、設(shè) z=z(x,y)由方程

12、3xyx cos( yz)z3y 所確定，求z ,z,xyz3xy.y ln 3c o syz(),zx.3 xy ln 3xz sin( yz) 1x3z2xy s i nyz()y3z 2xy sin( yz)1、求螺旋線解：切線方程為§6微分法在幾何中的應(yīng)用x2 cost, y2 sin t , z 3t 在對(duì)應(yīng)于t處的切線及法平面方程34x2 y2z4223法平面方程2( x2 )2( y2)3( z3 ) 0x2y 2z242、 求曲線50z2x2y 2在（ 3， 4， 5）處的切線及法平面方程解：切線方程為x3y4z5，法平面方程：4 x3y 04302x23y2z23、

13、 求曲面9在（ 1， -1， 2）處的切平面及法線方程解：切平面方程為2( x1)3( y1)2(z2)0及法線方程x1y1z22324、 設(shè)f (u,v)可微，證明由方程f (axbz, aybz)0所確定的曲面在任一點(diǎn)處的切平面與一定向量平行證明：令 F ( x, y, z)f (axbz,aybz) ，則Fxf 1 a, Fyf2 a, Fzbf 1bf 2 , n( f1 a, f 2 a, bf 1bf 2 )n(b, b, a)0，所以在（x0 , y0 , z0）處的切平面與定向量（b,b, a ）平行。22225、 證明曲面x3y 3z 3a 3(a0）上任意一點(diǎn)處的切平面在三

14、個(gè)坐標(biāo)軸上的截距的平方和為 a22222111證明：令F ( x, y, z)x 3y 3z3a 3，則 Fx2 x 3 , F y2y 3 , Fz2z 3 ,333111在任一點(diǎn)x0 , y0 , z0處的切平面方程為x03 ( xx0 )y03 ( yy0 )z03 ( zz0 )0121212a 2在在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距分別為x03 a 3 , y03 a 3 , z03 a 3 , 在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距的平方和為證明曲面 zxf ( y ) 上任意一點(diǎn)M ( x0 , y0 , z0 ), ( x00) 處的切平面都通過(guò)原點(diǎn)xt k F (x, y, z)7、設(shè) F(x,y,z)具有

15、連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)t, 總有F (tx, ty,tz)k 為自然數(shù)，試證：曲面F(x,y,z)=0 上任意一點(diǎn)的切平面都相交于一定點(diǎn)證明 ： F (tx,ty,tz)t k F ( x, y, z)兩邊對(duì) t求導(dǎo)，并令 t=1xF xyFyzFzkF ( x, y, z)設(shè)是曲面上任意一點(diǎn)，則過(guò)這點(diǎn)的切平面為：Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) + F y ( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) + Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) =0此平面過(guò)原點(diǎn)（ 0，0，0）§7方向?qū)?shù)與梯度1、 設(shè)函數(shù)f (x, y)x2xyy 2，

16、1）求該函數(shù)在點(diǎn)（1， 3）處的梯度。2）在點(diǎn)（ 1， 3）處沿著方向l的方向?qū)?shù)，并求方向?qū)?shù)達(dá)到最大和最小的方向解：梯度為g r a d(1f,3)i5 j ,f(1,3)cos5sin,方向?qū)?shù)達(dá)到最大值的方向?yàn)閟(1,5)，方向?qū)?shù)達(dá)l到最小值的方向?yàn)閟(1,5) 。2、 求函數(shù)uxy 2yz2zx2在（ 1，2，-1 ）處沿方向角為6009001500的方向?qū)?shù)，并求在該點(diǎn)處方向?qū)?shù)達(dá)到最大值的方向及最大方向?qū)?shù)的值。解：方向?qū)?shù)為u(1,2, 1)133 ，該點(diǎn)處方向?qū)?shù)達(dá)到最大值的方向即為梯度的方向l2gradu(1,2,1)2i5 j3k，此時(shí)最大值為u(1,2, 1)38l3

17、、 求函數(shù)uxy2 z3在（ 1， 1， -1）處沿曲線xt, yt 2 , zt3在（ 1， 1， 1）處的切線正方向（對(duì)應(yīng)于t 增大的方向）的方向?qū)?shù)。解：uy2 z3,u2xyz3,u3xy2z2， s(1,2,3) ，該函數(shù)在點(diǎn)（1， 1， -1）處的方xyz向?qū)?shù)為u(1,1, 1)4，l144、求函數(shù)uln( y 2z2x 2 ) 在（1，1，-1）處的梯度。u2xu2 yu2z解：xx2y2z2,x2y2z2,x2y2z2，yz222gradu (1,1, 1)ijk333§8 多元函數(shù)的極值及求法1、求函數(shù) f ( x, y)3x23 y 22x2 y 2 的極值。答

18、案：（ 1， 1）極小值點(diǎn)33x2y 22 求函數(shù) f ( x, y)2 ln x18 ln y 的極值答案：極小值f (1,3)1018 ln 33. 函數(shù) f (x, y) 2x2 ax xy 2 2y 在點(diǎn)（1，1）處取得極值，求常數(shù)a (-5)4、求函數(shù)zx 2y 21在條件 x y3 0 下的條件極值解： F ( x, y, )x 2y21( x y3)Fx0(2,2)，極小值為11F y03325、欲造一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體容器，已知底部造價(jià)為3 元/ 平方，側(cè)面造價(jià)均為1 元/平方，現(xiàn)想用36 元造一個(gè)容積最大的容器，求它的尺寸。（長(zhǎng)和寬 2 米，高 3 米）6、 在球面x2y 2z2

19、5r 2（ x0, y0, z0 ）上求一點(diǎn)，使函數(shù)f (x, y, z)ln xln y3ln z達(dá)到極大值， 并求此時(shí)的極大值。 利用此極大值證明 a,b,c有 abc327( abc )552222 )證明：令 L ln xln y3ln z(xyz5r令L0,L0,L0， x 2y 2z 25r 2解得駐點(diǎn) xyr, z3r 。所以函數(shù)xyzf (x, y, z)ln xln y3ln z在 xyr , z3r 處達(dá)到極大值。極大值為ln( 33r 5 ) 。即 xyz333r 5x2 y 2 (z2 ) 327( r 2 )527( x 2y 2z2)5，令27( abc)5。5x

20、2a, y 2b, z2c, 得 abc 3、求橢球面 x2y 25z21被平面 x+y+z=0 截得的橢圓的長(zhǎng)半軸與短半軸的732長(zhǎng)度解：F x2y2z21x 2y 2z2 1)2()(2x y z3Fx2x21 x203Fy2 y1 y203 2F y2z 2 1z20x， y2， z2x 2y 222(3 1)212(1 1)z132xz0y1(x 2y2z2 )d 211113長(zhǎng)半軸1113，短半軸1113666第八章自測(cè)題一、 選擇題：（每題2分，共14 分）f (x, y)xy 2,(x, y)(0,0),1、設(shè)有二元函數(shù)x 2y4則0,(x, y)(0,0),A 、limf (x

21、, y) 存在；(x, y)(0,0)B、limf (x, y) 不存在；( x, y)(0 ,0)C、limf (x, y) 存在，且 f (x, y) 在(0,0)處不連續(xù)；( x, y)(0 ,0)D、limf (x, y) 存在，且 f ( x, y) 在(0,0)處連續(xù)。(x, y)(0,0)2、函數(shù)f ( x, y) 在 P0 ( x0 , y0 ) 各一階偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)是f ( x, y) 在 P0 ( x0 , y0 ) 連續(xù)的A 、必要條件；B、充分條件；C、充要條件；D、既非必要也非充分條件。3、函數(shù)f ( x, y)xy,xy,在 (0,0) 點(diǎn)處xy0,xyA、極限值

22、為1；B 、極限值為 -1；C、連續(xù)；D 、無(wú)極限。4、zf ( x, y) 在 P0 (x0 , y0 ) 處 f x ( x, y) ， f y ( x, y) 存在是函數(shù)在該點(diǎn)可微分的 （ A）必要條件；（ B）充分條件；（ C）充要條件；（ D）既非必要亦非充分條件。5、點(diǎn)O( 0,0)是函數(shù)zxy 2的（ A）極小值點(diǎn)；（ B ）駐點(diǎn)但非極值點(diǎn)；（ C）極大值點(diǎn)；（ D）最大值點(diǎn)。6、曲面ezzxy3 在點(diǎn)P(2,1,0)處的切平面方程是（ A）2x y 40 ；（ B）2x y z4 ；（ C）x 2 y 40 ；（ D）2x y 5 07、已知函數(shù)uf (t, x, y), x( s, t), y(s,t ) 均有一階連續(xù)