模塊1優(yōu)秀案例：函數(shù)的單調(diào)性

1、函數(shù)的單調(diào)性順德一中 呂德蓉教學(xué)目標(biāo)：1. 了解函數(shù)單調(diào)性的概念，掌握有關(guān)證明和判斷的基本方法。（1） 了解并區(qū)分增函數(shù)，減函數(shù)，單調(diào)性，單調(diào)區(qū)間等概念。（2） 能從數(shù)和形兩個(gè)角度認(rèn)識(shí)單調(diào)性。（3） 能借助圖象判斷一些函數(shù)的單調(diào)性，能利用定義證明某些函數(shù)的單調(diào)性。2. 通過函數(shù)單調(diào)性的證明，提高學(xué)生在代數(shù)方面的推理論證能力，培養(yǎng)學(xué)生的觀察，歸納，抽象的能力，同時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。3. 通過對函數(shù)單調(diào)性的理論研究，增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)美的自我體驗(yàn)，培養(yǎng)樂于求索的精神，形成科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难芯繎B(tài)度。教學(xué)結(jié)構(gòu)分析1、知識(shí)結(jié)構(gòu)函數(shù)單調(diào)性的概念。包括增函數(shù)、減函數(shù)的定義，單調(diào)區(qū)間的概念，函數(shù)單

2、調(diào)性的判定方法，函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)圖象的關(guān)系。2、重點(diǎn)難點(diǎn)分析（1） 本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性概念的形成與認(rèn)識(shí)。教學(xué)的難點(diǎn)是領(lǐng)悟函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)，掌握函數(shù)單調(diào)性的證明。（2） 函數(shù)的單調(diào)性這一性質(zhì)學(xué)生在初中所學(xué)函數(shù)中曾經(jīng)了解過，但只是從圖象上直觀觀察圖象的上升與下降，而現(xiàn)在要求把它上升到理論的高度，用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言去刻畫它。這種由形到數(shù)的翻譯，從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對高一的學(xué)生來說是比較困難的，因此要在概念的形成上重點(diǎn)下功夫。單調(diào)性的證明是學(xué)生在函數(shù)內(nèi)容中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容，學(xué)生在代數(shù)論證推理方面的能力是比較弱的，許多學(xué)生甚至搞不清什么是代數(shù)證明，也沒有意識(shí)到它的重要性，所以單調(diào)性的證明自

3、然就是教學(xué)中的難點(diǎn)。3、教法安排（1） 函數(shù)單調(diào)性概念引入時(shí)，可以先從學(xué)生熟悉的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等圖象出發(fā)，回憶圖象的增減性，從這點(diǎn)感性認(rèn)識(shí)出發(fā)，通過問題逐步 向抽象的定義靠攏?？梢詮狞c(diǎn)的坐標(biāo)的角度，也可以從自變量與函數(shù)值的關(guān)系的角度來解釋，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)自變量與函數(shù)值的變化規(guī)律，再把這種規(guī)律用數(shù)學(xué)語言表示出來。在這個(gè)過程中，對一些關(guān)鍵的詞語（某個(gè)區(qū)間，任意，都有）的理解要融入其中，將概念的形成與認(rèn)識(shí)結(jié)合起來。（2） 函數(shù)單調(diào)性證明是嚴(yán)格規(guī)定的，要讓學(xué)生按照步驟去做，就必須讓他們明確每一步的必要性，每一步的目的，特別是在第二步變形時(shí)，讓學(xué)生明確變換的目標(biāo)，到什么程度就可以判斷符號(hào)，

4、在例題的選擇上應(yīng)以突出變換的目的，以便幫助學(xué)生總結(jié)規(guī)律。 教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)重點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性概念的形成與認(rèn)識(shí)難點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的證明 教學(xué)用具投影儀，計(jì)算機(jī)教學(xué)方法引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法教學(xué)過程設(shè)計(jì)一.引入新課師：前面我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念、函數(shù)的表示以及如何畫出某些函數(shù)的圖象，同時(shí)還掌握了求函數(shù)定義域和值域的一些方法。下面我們繼續(xù)對函數(shù)做進(jìn)一步的研究。請大家觀察下列圖象，探討函數(shù)值隨自變量值變化的情況：（用投影幻燈給出圖（1）、圖（2）、圖（3）、圖（4）00圖（1） 圖（2） 00圖（3） 圖（4）二.講授新課1.探索（由學(xué)生說出變化情況）圖（1）：在上，隨增大而增大圖（2）：在上，隨增大而減小；在上，隨增

5、大而增大圖（3）：在上，隨增大而減?。辉谏?，隨增大而減小圖（4）：在上，隨增大而減?。辉谏?，值不變；在上，隨增大而增大師：我們對圖（1）進(jìn)行研究：在上，隨增大而增大，用數(shù)學(xué)語言如何表達(dá)呢？師：（學(xué)生一時(shí)不知如何回答，再引導(dǎo)）我們回到圖象上，從左往右看，圖象是上升的，而圖象是由什么組成的？（設(shè)問，引發(fā)學(xué)生思考）生：由點(diǎn)組成。師：對了，很好！圖象是由點(diǎn)組成的，在直線上任取兩點(diǎn)，那右邊的點(diǎn)比左邊的點(diǎn)要高吧？（設(shè)問，引發(fā)學(xué)生思考，會(huì)有部分同學(xué)認(rèn)同）師：那事實(shí)上點(diǎn)總是由坐標(biāo)刻畫的，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是自變量的值，而對應(yīng)的縱坐標(biāo)表示的是函數(shù)值，既然圖象上右邊的點(diǎn)比左邊的點(diǎn)高，如何用數(shù)量關(guān)系刻畫點(diǎn)在點(diǎn) 的右邊？（學(xué)

6、生回答）又如何用數(shù)量關(guān)系刻畫點(diǎn)比點(diǎn) 高？（學(xué)生回答）師：由于，為圖象上任意兩點(diǎn)，從而有：任意，,當(dāng)<時(shí)，都有<，同樣地，（下面的內(nèi)容引導(dǎo)學(xué)生，讓學(xué)生逐條說出來）在圖（2）中，在上，任意，當(dāng)<時(shí)，都有<在圖（4）中，在上，任意，當(dāng)<時(shí)，都有<師：對于圖（1）所表示的函數(shù)，我們說函數(shù)在上是增加的 圖（2）所表示的函數(shù)，我們說函數(shù)在上是增加的 圖（4）所表示的函數(shù)，我們說函數(shù)在上是增加的你能用自己的語言表達(dá)函數(shù)在某區(qū)間上是增加的嗎？定義：在函數(shù)的定義域內(nèi)的一個(gè)區(qū)間上，如果對于任意兩個(gè)數(shù)，當(dāng)<時(shí)，都有<，那么就稱函數(shù)在區(qū)間上是增加的，有時(shí)也稱函數(shù)在區(qū)間上

7、是遞增的。師：（運(yùn)用一分為二的觀點(diǎn)引入）圖（2）中，函數(shù)在上是減少的，圖（4）中，函數(shù)在上也是減少的。同樣我們可以用語言定義函數(shù)在某區(qū)間上是減少的：定義：在函數(shù)的定義域內(nèi)的一個(gè)區(qū)間上，如果對于任意兩個(gè)數(shù)，當(dāng)<時(shí)，都有>，那么就稱函數(shù)在區(qū)間上是減少的，有時(shí)也稱函數(shù)在區(qū)間上是遞減的。（板書，并對關(guān)鍵字加著重號(hào)）師：（進(jìn)一步提問深化）圖（3）中，在上是減少的嗎？為什么？ （學(xué)生開始可能不確定，甚至得出錯(cuò)誤的結(jié)論，這時(shí)可以分別在兩區(qū)間，上取點(diǎn)比較，引導(dǎo)學(xué)生作出判斷）生甲：不是的，比如當(dāng)，時(shí)，但，不成立。師：那么我們把這個(gè)結(jié)論怎么修正一下？應(yīng)該是函數(shù)分別在和上是減少的。但在整個(gè)定義域上不是減

8、少的。師：（提問）那么圖（4）中，函數(shù)在上又如何？（不增不減）師：對照定義我們看看這兩個(gè)圖象：（用投影幻燈給出圖（5）、圖（6）00圖（5） 圖（6）師：通過這兩個(gè)圖象我們來看幾個(gè)相關(guān)概念。圖（5）中對于區(qū)間上的任意，當(dāng)<時(shí)，都有<，因此在區(qū)間 上是遞增的；而圖（6）中對于區(qū)間 上的任意，當(dāng)<時(shí)，都有>，因此在區(qū)間上是遞減的。那么我們稱區(qū)間是函數(shù)和的單調(diào)區(qū)間。如果函數(shù)在定義域的某個(gè)子集上是增加的或是減少的，那么就稱函數(shù)在這個(gè)子集上具有單調(diào)性。如果函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)是增加的或是減少的，我們分別稱這個(gè)函數(shù)為增函數(shù)或減函數(shù)，統(tǒng)稱單調(diào)函數(shù)。三、例題講解例1  如圖所示

9、的是定義在閉區(qū)間-5，5上的函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并回答：在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)是增加的還是減少的？（用投影幻燈給出圖（7）321-1-2-1-3-5-4543210-2 圖（7）生甲：在區(qū)間-5，-2，1，3上函數(shù)是減少的，因此-5，-2，1，3是函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；在區(qū)間-2，1，3，5上函數(shù)是增加的，因此-2，1，3，5是函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間生乙：我有一個(gè)問題，-5，-2是函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，那么，是否可認(rèn)為（-5，-2）也是的單調(diào)減區(qū)間呢？師：問得好這說明你想的很仔細(xì)，思考問題很嚴(yán)謹(jǐn)容易證明：若在上單調(diào)（增或減），則在上單調(diào)（增或減）反之成立嗎？（學(xué)生一般從特殊函數(shù)出發(fā)思考

10、驗(yàn)證，這里給學(xué)生一點(diǎn)考慮的時(shí)間，然后順勢引導(dǎo)）怎樣？反之不然吧？誰能舉出反例來？（由學(xué)生自己挖掘例子）也就是說要找一個(gè)函數(shù)，在上單調(diào)（增或減），但在上不一定成立。生甲：比如函數(shù)在（0，）上是單調(diào)減少的，但在0，上不成立，因?yàn)楹瘮?shù)中。師：對，這個(gè)例子很好，所以在我們平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中，一定要多些思考，特別是很多問題要從多方面考慮，這樣才能不斷提高思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。例2 畫出函數(shù)的圖象，判斷它的單調(diào)性，并加以證明543師：作出函數(shù)的圖象（如圖（8），由圖看出，函數(shù)的圖象在上是上升的，函數(shù)是2上的增函數(shù)。211師：（指出用定義證明的必要性）從函數(shù)圖象上觀-10察函數(shù)的單調(diào)性固然直觀，但在理論上不夠嚴(yán)謹(jǐn)，尤

11、其是有些函數(shù)不易畫出圖象，因此必須學(xué)會(huì)根據(jù) 圖（8）解析式和定義從數(shù)量上分析辨認(rèn)，這才是我們研究函數(shù)單調(diào)性的基本途徑師：怎樣用定義證明呢？請同學(xué)們思考后在筆記本上寫出證明過程（巡視，并指定一名中等水平的學(xué)生在黑板上板演學(xué)生可能會(huì)對如何比較和的大小關(guān)系感到無從入手，教師應(yīng)給以啟發(fā)）師：對于和我們?nèi)绾伪容^它們的大小呢？我們知道對兩個(gè)實(shí)數(shù)，如果，那么它們的差-就大于零； 如果=，那么它們的差-就等于零；如果，那么它們的差-就小于零，反之也成立因此我們可由差的符號(hào)來決定兩個(gè)數(shù)的大小關(guān)系生：（板演）設(shè)，是上任意兩個(gè)自變量，當(dāng)時(shí)，-=（3+2）-（3+2）=3-3=3（-）0，所以在上是增函數(shù)師：他的證明

12、思路是清楚的一開始設(shè)，是內(nèi)任意兩個(gè)自變量，并設(shè)（邊說邊用彩色粉筆在相應(yīng)的語句下劃線，并標(biāo)注“設(shè)”），然后看 -，這一步是證明的關(guān)鍵，再對式子進(jìn)行變形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，但美中不足的是他沒能說明為什么 -0，沒有用到開始的假設(shè)“”，大家不要以為其顯而易見，在這里一定要對變形后的式子說明其符號(hào)應(yīng)寫明“因?yàn)椋?0，從而 -0，即”這一步可概括為 “作差，變形，定符號(hào)”（同上，劃線并標(biāo)注“作差，變形，定符號(hào)”）最后，作為證明題一定要有結(jié)論，我們把它稱之為第三步“下結(jié)論”（在相應(yīng)位置標(biāo)注“下結(jié)論”）這就是我們用定義證明函數(shù)單調(diào)性的三個(gè)步驟。師：這里要特別說明的是，比較兩個(gè)數(shù)的大

13、小，除了作差比較，還可以怎樣？生：（大部分學(xué)生一時(shí)未必想得到，但應(yīng)該還是應(yīng)該有學(xué)生知道）還可以作商。師：對了！我們還可以通過作商比較兩個(gè)數(shù)的大小。那么這里要比較和的大小，我們可以轉(zhuǎn)化為判斷大于1還是小于1，但是這里要注意有一個(gè)前提，就是是函數(shù)在給定區(qū)間上恒大于零，否則按照不等式運(yùn)算性質(zhì)會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤的結(jié)論。歸納小結(jié)：對學(xué)生的做法進(jìn)行分析，把證明過程步驟化，可以形成思維的定勢。在學(xué)生剛剛接觸一個(gè)新的知識(shí)時(shí)，思維定勢對理解知識(shí)本身是有益的，同時(shí)對學(xué)生養(yǎng)成一定的思維習(xí)慣，形成一定的解題思路也是有幫助的。在例題的講解過程中，有意識(shí)地讓學(xué)生暴露問題，點(diǎn)出學(xué)生在證明過程中所出現(xiàn)的問題，并對學(xué)生的解答進(jìn)行簡單的分析小結(jié)，這樣可以引起全體學(xué)生的重視，是很有必要的。四、課堂練習(xí)P 練習(xí)2 五、課堂小結(jié)師：請同學(xué)小結(jié)一下這節(jié)課的主要內(nèi)容，有哪些是應(yīng)該特別注意的？（請一個(gè)思路清晰，善于表達(dá)的學(xué)生口述，教師可從中給予提示）生：這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了函數(shù)單調(diào)性的定義，要特別注意定義中“給定區(qū)間”、“屬于”、“任意”、“