人教版數(shù)學(xué)必修三2.3變量間的相關(guān)關(guān)系

1、編輯課件編輯課件變量之間的相關(guān)關(guān)系變量之間的相關(guān)關(guān)系編輯課件編輯課件【學(xué)學(xué) 習(xí)習(xí) 目目 標(biāo)標(biāo)】1、知識與技能：、知識與技能： 會畫散點(diǎn)圖判斷線性相關(guān)關(guān)系，并對實(shí)際問題進(jìn)會畫散點(diǎn)圖判斷線性相關(guān)關(guān)系，并對實(shí)際問題進(jìn)行分析和預(yù)測；加強(qiáng)對線性相關(guān)關(guān)系及回歸直線含義行分析和預(yù)測；加強(qiáng)對線性相關(guān)關(guān)系及回歸直線含義的理解。的理解。2 、過程與方法：、過程與方法： 通過自主探究通過自主探究,體會數(shù)形結(jié)合、類比的數(shù)學(xué)思想體會數(shù)形結(jié)合、類比的數(shù)學(xué)思想方法。方法。 通過動手操作培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、比較和歸通過動手操作培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、比較和歸納能力納能力,引出利用計算機(jī)等現(xiàn)代化教學(xué)工具的必要性。引出利用計算機(jī)等現(xiàn)

2、代化教學(xué)工具的必要性。3、情感、態(tài)度與價值觀：、情感、態(tài)度與價值觀： 類比函數(shù)的表示方法類比函數(shù)的表示方法,使學(xué)生理解變量間的相關(guān)關(guān)使學(xué)生理解變量間的相關(guān)關(guān)系系,增強(qiáng)對實(shí)際問題進(jìn)行分析和預(yù)測的意識。利用計增強(qiáng)對實(shí)際問題進(jìn)行分析和預(yù)測的意識。利用計算機(jī)讓學(xué)生動手操作算機(jī)讓學(xué)生動手操作,合作交流激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。合作交流激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。編輯課件編輯課件 問題問題1、對于兩個變量之間的關(guān)系，我們對于兩個變量之間的關(guān)系，我們之前學(xué)過，之前學(xué)過，函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系。函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系。那么那么下列變量與變量之間哪些是確定性的函數(shù)關(guān)系，下列變量與變量之間哪些是確定性的函數(shù)關(guān)系，哪些是不確

3、定相關(guān)關(guān)系？哪些是不確定相關(guān)關(guān)系？正方形邊長與面積之間的關(guān)系正方形邊長與面積之間的關(guān)系圓的半徑與圓的周長之間的關(guān)系圓的半徑與圓的周長之間的關(guān)系年齡與人體的脂肪含量之間的關(guān)系年齡與人體的脂肪含量之間的關(guān)系數(shù)學(xué)成績與物理成績之間的關(guān)系數(shù)學(xué)成績與物理成績之間的關(guān)系.相關(guān)關(guān)系相關(guān)關(guān)系初步探索，直觀感知初步探索，直觀感知探究一探究一: : 兩個變量間的相關(guān)關(guān)系兩個變量間的相關(guān)關(guān)系 請同學(xué)們試舉幾個現(xiàn)實(shí)生活中相關(guān)請同學(xué)們試舉幾個現(xiàn)實(shí)生活中相關(guān)關(guān)系的例子。關(guān)系的例子。編輯課件編輯課件類別類別區(qū)別區(qū)別聯(lián)系聯(lián)系函數(shù)函數(shù)關(guān)系關(guān)系1、函數(shù)關(guān)系中兩個變、函數(shù)關(guān)系中兩個變量是一種確定性關(guān)系；量是一種確定性關(guān)系；2、函數(shù)

4、關(guān)系是一種因、函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系。果關(guān)系。1、對線性相關(guān)關(guān)系、對線性相關(guān)關(guān)系求回歸直線后，可求回歸直線后，可以通過確定的函數(shù)以通過確定的函數(shù)關(guān)系對兩個變量間關(guān)系對兩個變量間的取值進(jìn)行估計；的取值進(jìn)行估計；相關(guān)相關(guān)關(guān)系關(guān)系1、相關(guān)關(guān)系是一種非、相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系；確定性關(guān)系；2、相關(guān)關(guān)系不一定是、相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系。伴隨關(guān)系。2、函數(shù)關(guān)系是理想、函數(shù)關(guān)系是理想的關(guān)系模型，而相的關(guān)系模型，而相關(guān)關(guān)系是更為一般關(guān)關(guān)系是更為一般的情況的情況編輯課件編輯課件問題問題2 2、在一次對人體脂肪含量和年齡的關(guān)在一次對人體脂肪含量和年齡的關(guān)系的研究中系的研究

5、中,研究人員獲得了一組研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)樣本數(shù)據(jù)：年齡年齡23273941454950脂肪脂肪9.517.821.225.927.5 26.3 28.2年齡年齡53545657586061脂肪脂肪29.6 30.231.430.833.5 35.2 34.6 根據(jù)上述數(shù)據(jù)，人體的脂肪含量與根據(jù)上述數(shù)據(jù)，人體的脂肪含量與年齡之間有怎樣的關(guān)系？年齡之間有怎樣的關(guān)系？探究二：散點(diǎn)圖探究二：散點(diǎn)圖初步探索，直觀感知初步探索，直觀感知如何進(jìn)行數(shù)據(jù)分析？如何進(jìn)行數(shù)據(jù)分析？編輯課件編輯課件思考：思考：上圖叫做上圖叫做散點(diǎn)圖散點(diǎn)圖，你能描述一下散點(diǎn)圖的，你能描述一下散點(diǎn)圖的含義嗎？含義嗎？ 在平面直角

6、坐標(biāo)系中，表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個在平面直角坐標(biāo)系中，表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)圖形，稱為變量的一組數(shù)據(jù)圖形，稱為散點(diǎn)圖散點(diǎn)圖. . 編輯課件編輯課件種植西紅柿，施肥量與產(chǎn)量種植西紅柿，施肥量與產(chǎn)量 之間的散點(diǎn)圖之間的散點(diǎn)圖 問題問題3 下面兩個散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分下面兩個散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布有什么不同？布有什么不同？初步探索，直觀感知初步探索，直觀感知年齡與脂肪含量之間的散點(diǎn)圖年齡與脂肪含量之間的散點(diǎn)圖編輯課件編輯課件 觀察左面散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)大致觀察左面散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)大致分布在一條直線附分布在一條直線附 近。近。 像這樣，如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從像這樣，如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致

7、在一條整體上看大致在一條_附近，我們附近，我們就稱這兩個變量之間具有就稱這兩個變量之間具有線性相線性相 關(guān)關(guān)系關(guān)關(guān)系, 這條直線叫做這條直線叫做_。回歸直線回歸直線直線直線編輯課件編輯課件散點(diǎn)圖散點(diǎn)圖3).3).如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近直線附近，變量之間就有變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系線性相關(guān)關(guān)系 . .1).1).如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線上函數(shù)曲線上, ,就用該函數(shù)來描述變量之間的關(guān)系，即變量之就用該函數(shù)來描述變量之間的關(guān)系，即變量之間具有間具有函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系2).2).如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一

8、函數(shù)曲線附近函數(shù)曲線附近, ,變量之間就有變量之間就有相關(guān)關(guān)系相關(guān)關(guān)系。說明說明散點(diǎn)圖散點(diǎn)圖：用來判斷兩個變量是否具有相關(guān)關(guān)系用來判斷兩個變量是否具有相關(guān)關(guān)系.編輯課件編輯課件C3、判斷下列圖形中具有線性相關(guān)關(guān)系的、判斷下列圖形中具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量是兩個變量是編輯課件編輯課件年齡與脂肪含量之間的散點(diǎn)圖年齡與脂肪含量之間的散點(diǎn)圖氣溫與熱飲杯數(shù)之間的散點(diǎn)圖氣溫與熱飲杯數(shù)之間的散點(diǎn)圖 問題問題4 (1)兩個散點(diǎn)圖的有什么共同之處？兩個散點(diǎn)圖的有什么共同之處？探究三：線性相關(guān)、正相關(guān)、負(fù)相關(guān)探究三：線性相關(guān)、正相關(guān)、負(fù)相關(guān)(2)兩個散點(diǎn)圖的點(diǎn)的分布有什么不同兩個散點(diǎn)圖的點(diǎn)的分布有什么不同?初步

9、探索，直觀感知初步探索，直觀感知編輯課件編輯課件年齡與脂肪含量之間的散點(diǎn)圖年齡與脂肪含量之間的散點(diǎn)圖氣溫與熱飲杯數(shù)之間的散點(diǎn)圖氣溫與熱飲杯數(shù)之間的散點(diǎn)圖探究三：線性相關(guān)、正相關(guān)、負(fù)相關(guān)探究三：線性相關(guān)、正相關(guān)、負(fù)相關(guān)初步探索，直觀感知初步探索，直觀感知編輯課件編輯課件 左面的散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左下角左面的散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩個變量的這種相到右上角的區(qū)域，對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)。正相關(guān)。 右面的散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左上角右面的散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域，對于兩個變量的這種相到右下角的區(qū)域，對于兩個變量的這種相

10、關(guān)關(guān)系，我們將它稱為關(guān)關(guān)系，我們將它稱為負(fù)相關(guān)。負(fù)相關(guān)。 請同學(xué)們試舉幾個現(xiàn)實(shí)生活中變量之請同學(xué)們試舉幾個現(xiàn)實(shí)生活中變量之間成負(fù)相關(guān)實(shí)例。間成負(fù)相關(guān)實(shí)例。 初步探索，直觀感知初步探索，直觀感知編輯課件編輯課件如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上從整體上看看大致在一條直大致在一條直線附近，我們就稱這兩個變量之間具有線附近，我們就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)線性相關(guān)關(guān)系關(guān)系，這條直線就叫做，這條直線就叫做回歸直線回歸直線。 這條回歸直線的方程，簡稱為這條回歸直線的方程，簡稱為回歸方程回歸方程?；貧w直線回歸直線 編輯課件編輯課件整體上最接近整體上最接近 采用測量的方法：先畫一條直線，測采

11、用測量的方法：先畫一條直線，測量出各點(diǎn)到它的距離，然后移動直線，到達(dá)一量出各點(diǎn)到它的距離，然后移動直線，到達(dá)一個使距離之和最小的位置，測量出此時直線的個使距離之和最小的位置，測量出此時直線的斜率和截距，就得到回歸方程。斜率和截距，就得到回歸方程。如何具體的求出這個回歸方程呢？如何具體的求出這個回歸方程呢？編輯課件編輯課件 在圖中選取兩點(diǎn)畫直線，使得直線在圖中選取兩點(diǎn)畫直線，使得直線兩側(cè)的點(diǎn)的個數(shù)基本相同。兩側(cè)的點(diǎn)的個數(shù)基本相同。脂肪010203040020406080脂肪三、如何具體的求出這個回歸方程呢？三、如何具體的求出這個回歸方程呢？編輯課件編輯課件 在散點(diǎn)圖中多取幾組點(diǎn)，確定幾條直線的在

12、散點(diǎn)圖中多取幾組點(diǎn)，確定幾條直線的方程，分別求出各條直線的斜率和截距的平均數(shù)，方程，分別求出各條直線的斜率和截距的平均數(shù)，將這兩個平均數(shù)作為回歸方程的斜率和截距。將這兩個平均數(shù)作為回歸方程的斜率和截距。脂肪010203040020406080脂肪三、如何具體的求出這個回歸方程呢？三、如何具體的求出這個回歸方程呢？編輯課件編輯課件上述三種方案均有一定的道理，但可靠性不強(qiáng)，上述三種方案均有一定的道理，但可靠性不強(qiáng)，我們回到回歸直線的定義。我們回到回歸直線的定義。求回歸方程的關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)的方法來刻畫求回歸方程的關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)的方法來刻畫“從整體上看，各點(diǎn)與直線的偏差最小從整體上看，各點(diǎn)與直線的

13、偏差最小”。如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看從整體上看大致在一條直線附近，大致在一條直線附近，我們就稱這兩個變量之間具有我們就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系線性相關(guān)關(guān)系，這條直線，這條直線就叫做就叫做回歸直線回歸直線。思考思考6 6：對一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù)：對一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù)：(x(x1 1，y y1 1) )，(x(x2 2，y y2 2) )，(x(xn n，y yn n) )，設(shè)其回歸，設(shè)其回歸方程為方程為 可以用哪些數(shù)量關(guān)系來刻畫可以用哪些數(shù)量關(guān)系來刻畫各樣本點(diǎn)與回歸直線的接近程度？各樣本點(diǎn)與回歸直線的接近程度？ 編輯課件編輯課件編輯課件編輯

14、課件 當(dāng)自變量當(dāng)自變量x取取xi（i=1,2,n）時可以得到回歸直）時可以得到回歸直線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：它與樣本數(shù)據(jù)它與樣本數(shù)據(jù)yi的偏差是：的偏差是： 假設(shè)我們已經(jīng)得到兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本假設(shè)我們已經(jīng)得到兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本的一組數(shù)據(jù)：的一組數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，且所求回歸直線方程是：且所求回歸直線方程是： ，其中，其中 是是待定系數(shù)待定系數(shù). (x1，y1)(x2，y2)(xn，yn) ybxaba,(1,2, )iiybxa in()iiiiyyybxa編輯課件編輯課件(x1，y1)(x2，y2)(xn，yn)|iiyyid

15、編輯課件編輯課件運(yùn)算不方便運(yùn)算不方便避免相互抵消避免相互抵消各點(diǎn)與直線各點(diǎn)與直線的整體偏差的整體偏差1()iniiyy 求的最小值1iiniyy 求的最小值21 )iniiyy求(的最小值2112222()()()nnQybxaybxaybxa編輯課件編輯課件這種通過求：這種通過求：的最小值而得到回歸直線的方法，即求樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到的最小值而得到回歸直線的方法，即求樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法最小二乘法.2221122()()()nnQybxaybxaybxa1122211()(),().nniiiiiinniiiixx yyx

16、 ynxybxxxnxay bx編輯課件編輯課件4、回歸方程的系數(shù)公式：、回歸方程的系數(shù)公式：回歸方程回歸方程 ，其中：，其中： axby1122211()(),().nniiiiiinniiiixx yyxynxybxxxnxay bx 編輯課件編輯課件思考思考7 7：利用利用計算器或計算機(jī)計算器或計算機(jī)可求得年齡和可求得年齡和人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)的回歸方程為人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)的回歸方程為 ，由此我們可以根據(jù)，由此我們可以根據(jù)一個人個年齡預(yù)測其體內(nèi)脂肪含量的百分一個人個年齡預(yù)測其體內(nèi)脂肪含量的百分比的比的回歸值回歸值. .若某人若某人6565歲，則其體內(nèi)脂肪含歲，則其體內(nèi)脂肪含量的百分

17、比量的百分比約約為多少？為多少？0. 5770. 448yx=-37.1（0.57765-0.448= 37.1）編輯課件編輯課件若某人若某人6565歲，可預(yù)測他體內(nèi)脂肪含量在歲，可預(yù)測他體內(nèi)脂肪含量在37.137.1（0.5770.57765-0.448= 37.165-0.448= 37.1）附近的可能性比較）附近的可能性比較大。大。 但不能說他體內(nèi)脂肪含量一定是但不能說他體內(nèi)脂肪含量一定是37.137.1原因原因：線性回歸方程中的截距和斜率都是通過樣：線性回歸方程中的截距和斜率都是通過樣本本估計的估計的，存在隨機(jī)誤差，這種誤差可以導(dǎo)致預(yù)測，存在隨機(jī)誤差，這種誤差可以導(dǎo)致預(yù)測結(jié)果的偏差，即

18、使截距斜率沒有誤差，也不可能百結(jié)果的偏差，即使截距斜率沒有誤差，也不可能百分百地保證對應(yīng)于分百地保證對應(yīng)于x x，預(yù)報值，預(yù)報值Y Y能等于實(shí)際值能等于實(shí)際值y y編輯課件編輯課件例題：例題：1編輯課件編輯課件解：解：（1）散點(diǎn)圖如圖示：）散點(diǎn)圖如圖示：編輯課件編輯課件（2）由題意得：）由題意得：9,4xy42222212341344iixxxxx4112233441158iiix yx yx yx yx y0.7,2.3bay bx 回歸方程為：回歸方程為：0.72.3yx編輯課件編輯課件（3）由回歸方程預(yù)測，）由回歸方程預(yù)測，0.7 9 2.34y 即記憶力為即記憶力為9的同學(xué)的判斷力約為

19、的同學(xué)的判斷力約為4編輯課件編輯課件小結(jié)小結(jié)1.1.求樣本數(shù)據(jù)的線性回歸方程，可按求樣本數(shù)據(jù)的線性回歸方程，可按下列步驟進(jìn)行：下列步驟進(jìn)行：第一步，列表計算平均數(shù)第一步，列表計算平均數(shù) , xy1niiix y21niix第二步，求和第二步，求和 , 1122211()() ,()nniii iiinniiiixx yyxynx ybay bxxxxnx 第三步，計算第三步，計算 第四步，寫出回歸方程第四步，寫出回歸方程 編輯課件編輯課件變式：變式：（廣東高考）下表提供了某廠節(jié)能降耗（廣東高考）下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x噸與

20、噸與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對照數(shù)據(jù)。（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對照數(shù)據(jù)。x2345y2.5344.5（1）請畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖。）請畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖。（2）根據(jù)上表數(shù)據(jù)用最小二乘法求出）根據(jù)上表數(shù)據(jù)用最小二乘法求出y關(guān)于關(guān)于x的線性回歸方程的線性回歸方程（3）由（）由（2）預(yù)測技改后生產(chǎn)）預(yù)測技改后生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗是多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？生產(chǎn)能耗是多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？（參考數(shù)值：（參考數(shù)值：2*2.5+3*3+4*4+5*4.5=52.5）編輯課件編輯課件解解 （1 1）由題設(shè)所給數(shù)據(jù)，可得散點(diǎn)圖如圖）由題設(shè)所給數(shù)據(jù)，可得散點(diǎn)圖如圖. .編輯課件編輯課件（2 2）對照數(shù)據(jù)由最小二乘法確定的回歸方程的系）對照數(shù)據(jù)由最小二乘法確定的回歸方程的系數(shù)為：數(shù)為： =3.5-0.7=3.5-0.73.5=1.05.3.5=1.05.因此，所求的線性回歸方程為因此，所求的線性回歸方程為 =0.7=0.7x x+1.05.+1.05.2 3 4 52.5 3 4 4.53.5,3.5,44xy xbyay 121()()0.7()niiiniixxyybxx編輯課件編輯課件0.7 100 1.0571.05y （3）當(dāng)）當(dāng)x=100時；時；所以技改后生產(chǎn)所以技改后生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗是是71.05噸標(biāo)準(zhǔn)煤噸標(biāo)準(zhǔn)煤編輯課件編