數(shù)學(xué)八年級(jí)上：因式分解練習(xí)題及答案解析

1、一、單選題1、正整數(shù)a，b，c是等腰三角形三邊的長，并且a+bc+b+ca=24，則這樣的三角形有（ ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)2、任何一個(gè)正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解：n=s×t（s，t是正整數(shù)，且st），如果p×q在n的所有這種分解中兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小，我們就稱p×q是n的最佳分解，并規(guī)定：F（n）=例如18可以分解成1×18，2×9，3×6這三種，這時(shí)就有F（18）=給出下列關(guān)于F（n）的說法：（1）F（2）=；（2）F（24）=；（3）F（27）=3；（4）若n是一個(gè)完全平方數(shù)，則F（n）=1其中正確說法的個(gè)數(shù)是（

2、）A1 B2 C3 D43、ABC的內(nèi)角A和B都是銳角，CD是高，若=，則ABC是（ ） A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形4、對(duì)于任意整數(shù)n，多項(xiàng)式（n+11）2-（n+2）2都能被（ ）整除 A9 B2 C11 Dn+95、已知a-b=1，則a2-b2-2b的值為（ ） A4 B3 C1 D06、如果x2+x-1=0，那么代數(shù)式x3+2x2-7的值為（ ） A6 B8 C-6 D-87、如果x2+3x-3=0，則代數(shù)式x3+3x2-3x+3的值為（ ）A0 B-3 C3 D8、設(shè)x2-x+7=0，則x4+7x2+49=（ ） A7 B C- D0二、填空

3、題9、設(shè)，則代數(shù)式3a3+12a2-6a-12的值為 10、已知關(guān)于x的方程x2-nx+m=0有一個(gè)根是m（m0），則m-n= 11、若ab=3，a+b=4，則a2b+ab2= 12、設(shè)a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0，且1-ab20，則= 13、已知a+b=3，ab=-1，則a2b+ab2= 14、已知m2+m-1=0，那么代數(shù)式m3+2m2-2011的值是 15、甲、乙兩農(nóng)戶各有兩塊地，如圖所示，今年，這兩個(gè)農(nóng)戶決定共同投資搞飼養(yǎng)業(yè)，為此，他們準(zhǔn)備將這4塊土地?fù)Q成一塊地，那塊地的寬為（a+b）米，為了使所換土地的面積與原來4塊地的總面積相等，交換之后的土地應(yīng)該是 米三、解答題16、

4、我們學(xué)過因式分解的概念，在計(jì)算多項(xiàng)式的過程中，如果能適當(dāng)?shù)胤纸庖蚴竭M(jìn)行化簡，會(huì)使得計(jì)算更為簡單我們?yōu)榇艘胭|(zhì)因數(shù)分解定理：每一個(gè)大于1的整數(shù)都能分解為質(zhì)因數(shù)的乘積的形式，如果把質(zhì)因數(shù)按照從小到大的順序排在一起，相同因數(shù)的積寫成冪的形式，那么這種分解方法是唯一的請(qǐng)你學(xué)習(xí)例題的解法，完成問題的研究例：試求5746320819乘以125的值解：125=1000÷85769320819×125=5746320819000÷8=718290102375答：由上知，5746320819×125=718290102375請(qǐng)根據(jù)例題，求一實(shí)數(shù)，使得它被10除余9，被9除

5、余8，被8除余7，被2除余1 17、按下面規(guī)則擴(kuò)充新數(shù)：已有a和b兩個(gè)數(shù)，可按規(guī)則c=ab+a+b擴(kuò)充一個(gè)新數(shù)，而a，b，c三個(gè)數(shù)中任取兩數(shù)，按規(guī)則又可擴(kuò)充一個(gè)新數(shù)，每擴(kuò)充一個(gè)新數(shù)叫做一次操作現(xiàn)有數(shù)2和3求按上述規(guī)則操作三次得到擴(kuò)充的最大新數(shù)；能否通過上述規(guī)則擴(kuò)充得到新數(shù)5183？并說明理由 1、正整數(shù)a，b，c是等腰三角形三邊的長，并且a+bc+b+ca=24，則這樣的三角形有（ ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)C【解答】 分析：先將a+bc+b+ca=24 可以化為 （a+b）（c+1）=24，然后根據(jù)24分解為大于等于2的兩個(gè)正整數(shù)的乘積有幾種組合討論是否符合題意即可得出答案解

6、答：解：a+bc+b+ca=24 可以化為 （a+b）（c+1）=24，其中a，b，c都是正整數(shù)，并且其中兩個(gè)數(shù)相等，令a+b=A，c+1=C 則A，C為大于2的正整數(shù)，那么24分解為大于等于2的兩個(gè)正整數(shù)的乘積有幾種組合2×12，3×8，4×6，6×4，3×8，2×12，、A=2，C=12時(shí)，c=11，a+b=2，無法得到滿足等腰三角形的整數(shù)解；、A=3，C=8時(shí)，c=7，a+b=3，無法得到滿足等腰三角形的整數(shù)解；、A=4，C=6時(shí)，c=5，a+b=4，無法得到滿足等腰三角形的整數(shù)解；、A=6，C=4時(shí)，c=3，a+b=6，可以得

7、到a=b=c=3，可以組成等腰三角形；、A=8，C=3時(shí)，c=2，a+b=8，可得a=b=4，c=2，可以組成等腰三角形，a=b=4是兩個(gè)腰；、A=12，C=2時(shí)，可得 a=b=6，c=1，可以組成等腰三角形，a=b=6是兩個(gè)腰一共有3個(gè)這樣的三角形故選C題考查數(shù)的整除性及等腰三角形的知識(shí)，難度一般，在解答本題時(shí)將原式化為因式相乘的形式及將24分解為大于等于2的兩個(gè)正整數(shù)的乘積有幾種組合是關(guān)鍵2、2×9，3×6這三種，這時(shí)就有F（18）=給出下列關(guān)于F（n）的說法：（1）F（2）=；（2）F（24）=；（3）F（27）=3；（4）若n是一個(gè)完全平方數(shù)，則F（n）=1其中正確

8、說法的個(gè)數(shù)是（ ）A1 B2 C3 D4B【解答】 分析：把2，24，27，n分解為兩個(gè)正整數(shù)的積的形式，找到相差最少的兩個(gè)數(shù)，讓較小的數(shù)除以較大的數(shù)，看結(jié)果是否與所給結(jié)果相同解答：解：2=1×2，F(xiàn)（2）=是正確的；24=1×24=2×12=3×8=4×6，這幾種分解中4和6的差的絕對(duì)值最小，F(xiàn)（24）=，故（2）是錯(cuò)誤的；27=1×27=3×9，其中3和9的絕對(duì)值較小，又39，F(xiàn)（27）=，故（3）是錯(cuò)誤的；n是一個(gè)完全平方數(shù)，n能分解成兩個(gè)相等的數(shù)，則F（n）=1，故（4）是正確的正確的有（1），（4）故選B

9、點(diǎn)評(píng)：本題考查題目信息獲取能力，解決本題的關(guān)鍵是理解此題的定義：所有這種分解中兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小，F(xiàn)（n）=（pq）3、ABC的內(nèi)角A和B都是銳角，CD是高，若=，則ABC是（ ） A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形D【解答】 分析：分別從當(dāng)AD=BD時(shí)，可得ABC是等腰三角形；當(dāng)AC2=ADAB，BC2=BDAB時(shí)，ABC是直角三角形解答： 解：若AD=BD，=，AC=BC，此時(shí)CD是高，符合題意，即ABC是等腰三角形；=，=，當(dāng)AC2=ADAB，BC2=BDAB時(shí)成立，即，A是公共角，ABCACD，ACB=ADC=90°，ABC是

10、直角三角形；ABC是等腰三角形或直角三角形故選D點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的判定此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用4、對(duì)于任意整數(shù)n，多項(xiàng)式（n+11）2-（n+2）2都能被（ ）整除 A9 B2 C11 Dn+9A【解答】 分析：將多項(xiàng)式利用平方差公式分解因式，由n為整數(shù)，得到2n+13為整數(shù)，可得出多項(xiàng)式能被9整除解答：解：多項(xiàng)式（n+11）2-（n+2）2=（n+11）+（n+2）（n+11）-（n+2）=9（2n+13），n為整數(shù)，2n+13為整數(shù)，則多項(xiàng)式（n+11）2-（n+2）2都能被9整除故選A點(diǎn)評(píng)

11、：此題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵5、已知a-b=1，則a2-b2-2b的值為（ ）A4 B3 C1 D0C【解答】 分析：先將原式化簡，然后將a-b=1整體代入求解解答：解：a-b=1，a2-b2-2b=（a+b）（a-b）-2b=a+b-2b=a-b=1故選C點(diǎn)評(píng)：此題考查的是整體代入思想在代數(shù)求值中的應(yīng)用6、如果x2+x-1=0，那么代數(shù)式x3+2x2-7的值為（ ） A6 B8 C-6 D-8C【解答】 分析：由x2+x-1=0得x2+x=1，然后把它的值整體代入所求代數(shù)式，求值即可解答：解：由x2+x-1=0得x2+x=1，x3+2x2-

12、7=x3+x2+x2-7，=x（x2+x）+x2-7，=x+x2-7，=1-7，=-6故選C點(diǎn)評(píng)：本題考查提公因式法分解因式，代數(shù)式中的字母表示的數(shù)沒有明確告知，而是隱含在題設(shè)中，首先應(yīng)從題設(shè)中獲取代數(shù)式x2+x的值，然后利用“整體代入法”求代數(shù)式的值7、如果x2+3x-3=0，則代數(shù)式x3+3x2-3x+3的值為（ ）A0 B-3 C3 DC【解答】 分析：先對(duì)所求代數(shù)式的前三項(xiàng)提取公因式x，再利用整體代入來求值解答：解：當(dāng)x2+3x-3=0時(shí)，x3+3x2-3x+3，=x（x2+3x-3）+3，=3故選C點(diǎn)評(píng)：本題考查提公因式法分解因式，關(guān)鍵是提取公因式后出現(xiàn)已知條件的形式，然后

13、利用整體代入求解8、設(shè)x2-x+7=0，則x4+7x2+49=（ ） A7 B C- D0D【解答】 分析：首先將x4+7x2+49變形，可得x2（x2+7）+49；然后將x2-x+7=0變形，可得：x2=x-7，x2+7=x，整體代入即可得到7x2-7，提取公因式7，即可求得解答：解：x4+7x2+49=x2（x2+7）+49又x2-x+7=0，x2=x-7，把x2=x-7和代入x2（x2+7）+49得：=（-7）+49，=7x2-7，=7（x2-x+7），=7×0，=0故選D點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了因式分解的應(yīng)用注意整體思想的應(yīng)用9、設(shè)，則代數(shù)式3a3+12a2-6a-12

14、的值為 24【解答】 分析：將所求式子提取3后，拆項(xiàng)變形，分別得到a+1的因式，將已知等式變形得到a+1=，把a(bǔ)與a+1的值代入計(jì)算，即可求出值解答：解：a=-1，即a+1=，3a3+12a2-6a-12=3（a3+4a2-2a-4）=3（a3+a2+3a2+3a-5a-5+1）=3a2（a+1）+3a（a+1）-5（a+1）+1=3×（-1）2×+3（-1）×-5+1=3（8-14+21-3-5+1）=3×8=24故答案為：24點(diǎn)評(píng)：此題考查了因式分解的應(yīng)用，將所求式子進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃问墙獗绢}的關(guān)鍵10、已知關(guān)于x的方程x2-nx+m=0有一個(gè)

15、根是m（m0），則m-n= 答案是-1【解答】 分析：將x=m代入原方程，列出關(guān)于m的一元二次方程m2-nm+m=0，然后通過因式分解法解該方程求得m-n的值即可解答：解：關(guān)于x的方程x2-nx+m=0有一個(gè)根是m（m0），x=m滿足關(guān)于x的方程x2-nx+m=0，m2-nm+m=0，即m（m-n+1）=0，m=0（舍去），或m-n+1=0，m-n=-1；故答案是：-1點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的解的定義、因式分解的應(yīng)用解答該題時(shí)，通過提取公因式m將方程m2-nm+m=0的左邊轉(zhuǎn)化為兩式之積的形式，從而求得m-n的值11、若ab=3，a+b=4，則a2b+ab2= 【答案】12【解

16、答】 分析：此題只需先對(duì)a2b+ab2進(jìn)行因式分解得ab（a+b），再將ab和a+b的值代入即可得到結(jié)果解答：解：ab=3，a+b=4，a2b+ab2=ab（a+b）=3×4=12故答案為：12點(diǎn)評(píng)：本題考查了因式分解的應(yīng)用，關(guān)鍵是提取公因式，比較簡單12、設(shè)a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0，且1-ab20，則= 答案為-32【解答】 分析：根據(jù)1-ab20的題設(shè)條件求得b2=-a，代入所求的分式化簡求值解答：解：a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0，（a2+2a-1）-（b4-2b2-1）=0，化簡之后得到：（a+b2）（a-b2+2）=0，若a-b

17、2+2=0，即b2=a+2，則1-ab2=1-a（a+2）=1-a2-2a=-（a2+2a-1），a2+2a-1=0，-（a2+2a-1）=0，與題設(shè)矛盾a-b2+20，a+b2=0，即b2=-a，=-=-（）5=-25=-32故答案為-32解法二：a2+2a-1=0，a0，兩邊都除以-a2，得-1=0又1-ab20，b2 而已知b4-2b2-1=0，和b2是一元二次方程x2-2x-1=0的兩個(gè)不等實(shí)根 +b2=2，×b2=-1，（ab2+b2-3a+1）÷a=b2+-3+=（b2+）+-3=2-1-3=-2，原式=（-2）5=-32點(diǎn)評(píng)：本題考查了因式

18、分解、根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式，解題關(guān)鍵是注意1-ab20的運(yùn)用13、已知a+b=3，ab=-1，則a2b+ab2= 【答案】-3【解答】 分析：將所求式子提取公因式ab，分解因式后，將a+b及ab的值代入即可求出值解答：解：a+b=3，ab=-1，a2b+ab2=ab（a+b）=-1×3=-3故答案為：-3點(diǎn)評(píng)：此題考查了因式分解的應(yīng)用，利用了整體代入的思想，將所求式子分解因式是本題的突破點(diǎn)14、已知m2+m-1=0，那么代數(shù)式m3+2m2-2011的值是answer【答案】-2010【解答】 分析：根據(jù)已知求出m2+m=1，把所求的代數(shù)式化成含有m2+m的形

19、式，代入求出即可解答：解：m2+m-1=0，m2+m=1m3+2m2-2011=m（m2+m）+m2-2011=m1+m2-2011=m+m2-2011=1-2011=-2010故答案為：-2010點(diǎn)評(píng)：本題考查了分解因式的應(yīng)用，關(guān)鍵是如何把已知條件代入所求的代數(shù)式，思路是：求出m2+m的值，把m2+m當(dāng)作一個(gè)整體進(jìn)行代入15、甲、乙兩農(nóng)戶各有兩塊地，如圖所示，今年，這兩個(gè)農(nóng)戶決定共同投資搞飼養(yǎng)業(yè)，為此，他們準(zhǔn)備將這4塊土地?fù)Q成一塊地，那塊地的寬為（a+b）米，為了使所換土地的面積與原來4塊地的總面積相等，交換之后的土地應(yīng)該是answer米【答案】（a+c）米【解答】 分析：首先計(jì)算

20、原來4塊地的總面積，再進(jìn)一步因式分解，出現(xiàn)a+b的形式解答：解：原來四塊地的總面積是a2+bc+ac+ab=a（a+c）+b（a+c）=（a+c）（a+b），則交換之后的土地長是（a+c）米故答案為：（a+c）米點(diǎn)評(píng)：此題要能夠熟練運(yùn)用分組分解法進(jìn)行因式分解16、我們學(xué)過因式分解的概念，在計(jì)算多項(xiàng)式的過程中，如果能適當(dāng)?shù)胤纸庖蚴竭M(jìn)行化簡，會(huì)使得計(jì)算更為簡單我們?yōu)榇艘胭|(zhì)因數(shù)分解定理：每一個(gè)大于1的整數(shù)都能分解為質(zhì)因數(shù)的乘積的形式，如果把質(zhì)因數(shù)按照從小到大的順序排在一起，相同因數(shù)的積寫成冪的形式，那么這種分解方法是唯一的請(qǐng)你學(xué)習(xí)例題的解法，完成問題的研究例：試求5746320819乘以125的值

21、解：125=1000÷85769320819×125=5746320819000÷8=718290102375答：由上知，5746320819×125=718290102375請(qǐng)根據(jù)例題，求一實(shí)數(shù)，使得它被10除余9，被9除余8，被8除余7，被2除余1【答案】N=3×3×2×2×2×7×5-1=2519【解答】 分析：這個(gè)數(shù)加1可以被10，9，8，7，6，5，4，3，2整除，只需要求出10、9、8、7、6、5、4、3、2的最小公倍數(shù)減一即可解答：解：設(shè)這個(gè)實(shí)數(shù)是N根據(jù)題意，可知，這個(gè)自然數(shù)加1就可以被10，9，8，7，6，5，4，3，2整除，則N就是10，9，8，7，6，5，4，3，2的最小公倍數(shù)減去1，故N=3×3×2×2×2×7×5-1=2519點(diǎn)評(píng)：本題考查帶余數(shù)的除法，難度較大，關(guān)鍵是掌握解答本題的解答步驟17、按下面規(guī)則擴(kuò)充新數(shù)：已有a和b兩個(gè)數(shù)，可按規(guī)則c=ab+a+b擴(kuò)充一個(gè)新數(shù)，而a，b，c三個(gè)數(shù)