事件的獨立性課件

1、應(yīng)用數(shù)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)理學(xué)院第一章第五節(jié) 事件的獨立性 顯然顯然 P(A|B)=P(A)。 這就是說：這就是說：已知事件已知事件B發(fā)生，并不影響發(fā)生，并不影響事件事件A發(fā)生的概率，這時稱事件發(fā)生的概率，這時稱事件A、B獨立。獨立。一、兩事件的獨立性一、兩事件的獨立性A=第二次擲出第二次擲出6點點， B=第一次擲出第一次擲出6點點，先看一個例子：先看一個例子：將一顆均勻骰子連擲兩次，將一顆均勻骰子連擲兩次，設(shè)設(shè) 由乘法公式知，由乘法公式知，當(dāng)事件當(dāng)事件A、B獨立時，有獨立時，有 P(AB)=P(A) P(B)。 用用P(AB)=P(A) P(B)刻劃獨立性，比用刻劃獨立性，比用 P(A|B) = P

2、(A) 或或 P(B|A) = P(B) 更好，它不受更好，它不受P(B)0或或P(A)0的制約。的制約。P(AB)=P(B)P(A|B)若兩事件若兩事件A、B滿足滿足 P(AB)= P(A) P(B) (1)則稱則稱A、B獨立，或稱獨立，或稱A、B相互獨立相互獨立。兩事件獨立的定義兩事件獨立的定義例例1： 從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記記 A=抽到抽到K, B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的。可見可見, P(AB)=P(A)P(B)。 由于由于 P(A)=4/52=1/13, 說明事件說明事件A、B獨立。獨立。問事件問事件A、B是否獨立？是否獨立

3、？解：解：P(AB)=2/52=1/26。P(B)=26/52=1/2， 前面我們是根據(jù)兩事件獨立的定義作前面我們是根據(jù)兩事件獨立的定義作出結(jié)論的，也可以通過計算條件概率去做出結(jié)論的，也可以通過計算條件概率去做: 從一副不含大小王的撲克牌中任取一張從一副不含大小王的撲克牌中任取一張,記記 A=抽到抽到K, B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的。 在實際應(yīng)用中在實際應(yīng)用中, 往往往往根據(jù)問題的實際意根據(jù)問題的實際意義去判斷兩事件是否獨立義去判斷兩事件是否獨立 。由于由于 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13，P(A)= P(A|B), 說明事件說明事件A、B獨立。獨立。 在實際

4、應(yīng)用中在實際應(yīng)用中,往往根據(jù)問題的實際意義往往根據(jù)問題的實際意義去判斷兩事件是否獨立去判斷兩事件是否獨立。 由于由于“甲命中甲命中”并不影響并不影響“乙命中乙命中”的的概率，故認(rèn)為概率，故認(rèn)為A、B獨立獨立 。甲、乙兩人向同一目標(biāo)射擊，記甲、乙兩人向同一目標(biāo)射擊，記 A=甲命中甲命中, B=乙命中乙命中，A與與B是否獨立？是否獨立？例如：例如：(即一事件發(fā)生與否并不影響另一事件發(fā)生即一事件發(fā)生與否并不影響另一事件發(fā)生 的概率的概率)。 一批產(chǎn)品共一批產(chǎn)品共n件，從中抽取件，從中抽取2件，設(shè)件，設(shè) Ai=第第i件是合格品件是合格品， i=1,2。若抽取是有放回的若抽取是有放回的, 則則A1與與A

5、2獨立。獨立。 因為第二次抽取的結(jié)果受到因為第二次抽取的結(jié)果受到 第一次抽取的影響。第一次抽取的影響。又如：又如：因為第二次抽取的結(jié)果因為第二次抽取的結(jié)果不受第一次抽取的影響。不受第一次抽取的影響。若抽取是無放回的，則若抽取是無放回的，則A1與與A2不獨立。不獨立。請問：如圖的兩個事件是獨立的嗎？請問：如圖的兩個事件是獨立的嗎？ AB即即: 若若A、B互斥，且互斥，且P(A)0, P(B)0,則則A與與B不獨立。不獨立。反之，若反之，若A與與B獨立，且獨立，且P(A)0, P(B)0, 則則A 、B不互斥。不互斥。而而P(A) 0, P(B) 0。故故 A與與B不獨立。不獨立。我們來計算：我們

6、來計算：P(AB)=0,P(AB) P(A)P(B)。即即 問：能否在樣本空間問：能否在樣本空間中找兩個事件中找兩個事件,它們它們既相互獨立又互斥既相互獨立又互斥?這兩個事件就是這兩個事件就是 和和。 所以，所以， 與與獨立且互斥。獨立且互斥。 , 因因為為不難發(fā)現(xiàn)，不難發(fā)現(xiàn)， 與任何事件都獨立。與任何事件都獨立。 , 0)()()( PpP設(shè)設(shè)A、B為互斥事件，且為互斥事件，且P(A)0, P(B)0,下面四個結(jié)論中，正確的是：下面四個結(jié)論中，正確的是： 前面我們看到獨立與互斥的區(qū)別和聯(lián)系，前面我們看到獨立與互斥的區(qū)別和聯(lián)系，1. P(B|A)0， 2. P(A|B)=P(A)，3. P(A

7、|B)=0， 4. P(AB)=P(A)P(B)。設(shè)設(shè)A、B為獨立事件，且為獨立事件，且P(A)0, P(B)0,下面四個結(jié)論中，正確的是：下面四個結(jié)論中，正確的是：1. P(B|A)0， 2. P(A|B)=P(A)，3. P(A|B)=0 ， 4. P(AB)=P(A)P(B)。再請你做個小練習(xí)。再請你做個小練習(xí)。= P(A)- P(AB)BP(A )= P(A - A B)A、B獨立獨立故故A與與 獨立。獨立。B概率的性質(zhì)概率的性質(zhì)= P(A)- P(A) P(B)證明證明: 僅證僅證A與與 獨立。獨立。B定理：定理：若兩事件若兩事件A、B獨立，則獨立，則 BABABA與與與,也相互獨立

8、。也相互獨立。=P(A)1-P(B)=P(A)P( ),B二、多個事件的獨立性二、多個事件的獨立性將兩事件獨立的定義推廣到三個事件：將兩事件獨立的定義推廣到三個事件： 對于三個事件對于三個事件A、B、C，若，若 P(AB)= P(A)P(B)， 四個等式同時四個等式同時 P(AC)= P(A)P(C) , 成立成立, 則稱事件則稱事件 P(BC)= P(B)P(C) , A、B、C相互相互 P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 。 獨立。獨立。 推廣到推廣到n個事件的獨立性定義個事件的獨立性定義, 可類似地刺蛾出可類似地刺蛾出: 設(shè)設(shè)A1,A2, ,An是是 n個事件，如果對任意個事件，如

9、果對任意k( ), 任意任意 ，等式，等式包含等式總數(shù)為：包含等式總數(shù)為：。1201)11(32 nnnnnnnnnnk 1niiik 211)()()()(2121kkiiiiiiAPAPAPAAAP 成立，則稱成立，則稱n個事件個事件A1,A2, ，An相互獨立。相互獨立。請注意多個事件兩兩獨立與事件兩兩相請注意多個事件兩兩獨立與事件兩兩相互獨立的區(qū)別與聯(lián)系互獨立的區(qū)別與聯(lián)系兩兩獨立兩兩獨立相互獨立相互獨立對對n(n2)個事件個事件?對獨立事件，許多概率計算可得到簡化：對獨立事件，許多概率計算可得到簡化：例例2: 三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的

10、概率分別為能譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4，問三人中，問三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？ 解：將三人編號為解：將三人編號為1，2，3，三、獨立性概念在計算概率中的應(yīng)用三、獨立性概念在計算概率中的應(yīng)用所求為所求為 P(A1+A2+A3)。記記 Ai=第第i個人破譯出密碼個人破譯出密碼 ， i=1,2,3。已知已知 ：P(A1)=1/5, P(A2)=1/3, P(A3)=1/4。P(A1+A2+A3)(121nAAAP)(1321AAAP)()()(1321APAPAP=1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3) 。6 . 0534332

11、541 則則請看演示請看演示“諸葛亮和臭皮匠諸葛亮和臭皮匠” n個獨立事件和的概率公式個獨立事件和的概率公式:nAAA,21設(shè)設(shè)事件事件 相互獨立相互獨立, ,則則）nAAAP21(1)(121nAAAP P(A1+An)()()(nAPAPAP211也相互獨立也相互獨立nAAA,21 也就是說也就是說: n個獨立事件至少有一個發(fā)生個獨立事件至少有一個發(fā)生的概率等于的概率等于1減去各自對立事件概率的乘積。減去各自對立事件概率的乘積。nAAA,21則則“ 至少有一個發(fā)生至少有一個發(fā)生”的概率為的概率為 P(A1+An) =1- (1-p1 ) (1-pn )。)()()(121nAPAPAP,1

12、npp nAAA,21若設(shè)若設(shè)n個獨立事件個獨立事件發(fā)生的概率發(fā)生的概率分別為分別為類似地，可以得出：類似地，可以得出：nAAA,21至少有一個不發(fā)生至少有一個不發(fā)生”的概率為的概率為“)(21nAAAP=1- - p1 pn 例例3：下面是一個串并聯(lián)電路示意圖。下面是一個串并聯(lián)電路示意圖。 A、B、C、D、E、F、G、H都是電路中的都是電路中的元件，各自下方的數(shù)字表示其正常工作之元件，各自下方的數(shù)字表示其正常工作之概率。概率。 求電路正常工作的概率。求電路正常工作的概率。ABCEDFGH95. 095. 095. 070. 070. 070. 075. 075. 0P(W)=P(A)P(B)

13、P(C+D+E)P(F+G)P(H)。解：將電路正常工作記成解：將電路正常工作記成W。由于各元件獨立。由于各元件獨立工作，所以有工作，所以有其中其中,973. 0)()()( EPDPCPP(C+D+E)=1- -。9375. 0)()( GPFPP(F+G)=1- -P(W) 0.782。代入得代入得ABCEDFGH95. 095. 095. 070. 070. 070. 075. 075. 0解解:例例4 ： 驗收驗收100100件產(chǎn)品的方案如下，從中任取件產(chǎn)品的方案如下，從中任取3 3件進(jìn)行獨立地測試件進(jìn)行獨立地測試, ,如果至少有一件被斷定為如果至少有一件被斷定為次品次品, ,則拒絕接

14、收此批產(chǎn)品。設(shè)一件次品經(jīng)測則拒絕接收此批產(chǎn)品。設(shè)一件次品經(jīng)測試后被斷定為次品的概率為試后被斷定為次品的概率為0.95,0.95,一件正品經(jīng)一件正品經(jīng)測試后被斷定為正品的概率為測試后被斷定為正品的概率為0.99,0.99,并已知這并已知這100100件產(chǎn)品恰有件產(chǎn)品恰有4 4件次品。求此批產(chǎn)品能被接收件次品。求此批產(chǎn)品能被接收的概率。的概率。 設(shè)設(shè) A=A=此批產(chǎn)品被接收此批產(chǎn)品被接收 ， B Bi i=取出取出3 3件產(chǎn)品中恰有件產(chǎn)品中恰有i i件是次品件是次品 ， i=0,1,2,3i=0,1,2,3。 則則。31003433100196242310029614131003960)(,)(,

15、)(,)(CCBPCCCBPCCCBPCCBP 因因三次測試是相互獨立的，故三次測試是相互獨立的，故 P(A|B0)=0.993， P(A|B1)=0.992(1-0.95), P(A|B2)=0.99(1-0.95)2, P(A|B3)= (1-0.95)3。 由全率公式由全率公式, ,得得。8629.0)()|()(30 iiiBPBAPAP解解:例例5 : 若干人獨立地向一游動目標(biāo)射擊若干人獨立地向一游動目標(biāo)射擊, ,每人擊中目標(biāo)的概率都是每人擊中目標(biāo)的概率都是0.60.6。求至少需。求至少需要多少人要多少人, ,才能以才能以0.990.99以上的概率擊中目以上的概率擊中目標(biāo)標(biāo)? ? 設(shè)至少需要設(shè)至少需要n n個人個人, ,才能以才能以0.990.99以上的以上的概率擊中目標(biāo)。概率擊中目標(biāo)。 令令A(yù)=A=目標(biāo)被擊中目標(biāo)被擊中, A, Ai i=第第i i人擊中人擊中目標(biāo)目標(biāo), i=1,2,n, i=1,2,n。則。則A A1 1,A,A2 2,A,An n 相相互獨立。于是，事件互獨立。于是，事件 也也相互獨立。相互獨立。nAAA,21因 A=A1A2An , 得 P(A)=P(A1A2An ) 問題化成了求最小的問題化成了求最小的n,n,使使