二維隨機變量的定義、分布函數(shù)分享資料

1、12體重體重X 身高身高Y例例2：檢查某大學(xué)的全體學(xué)生的身體狀況檢查某大學(xué)的全體學(xué)生的身體狀況,例例1 1 飛機的飛機的重心重心在空中的位置是由在空中的位置是由三個隨機變量三個隨機變量( (三個坐標三個坐標) )來確定的來確定的. .從其中隨機抽取一個學(xué)生，從其中隨機抽取一個學(xué)生，分別以分別以X 和和Y 表示其表示其體重體重和和身高身高. 3例如例如 E：抽樣調(diào)查：抽樣調(diào)查15-18歲青少年的歲青少年的身高身高 X與體重與體重 Y,以研究當(dāng)前該年齡段青少年的身體以研究當(dāng)前該年齡段青少年的身體發(fā)育情況發(fā)育情況。 任務(wù)：任務(wù)： 需要研究的不僅僅是需要研究的不僅僅是X及及Y各自的性質(zhì)，各自的性質(zhì)，

2、更需要了解這兩個隨機變量的更需要了解這兩個隨機變量的相互依賴和制約相互依賴和制約關(guān)系。關(guān)系。43.1.1 3.1.1 二維隨機變量的定義、二維隨機變量的定義、分布函數(shù)分布函數(shù)n定義定義3.1.1 設(shè)設(shè)X、Y 為定義在同一樣本空間為定義在同一樣本空間上的隨機變量，上的隨機變量，則稱則稱為為上的一個上的一個二維隨機變量。二維隨機變量。向量向量（ X，Y ）5二維二維隨機變量隨機變量（X,Y）的幾何意義的幾何意義二維隨機變量二維隨機變量(X, Y)的的取值取值可看作平面上的點可看作平面上的點（x，y）A67稱為二維隨機變量的稱為二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)若若隨機變量，對于任意的實數(shù)隨機變

3、量，對于任意的實數(shù) x,y.,yYxXP 記記作作 )()(),( YXPyxFxy8二維隨機變量二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)的分布函數(shù)F(x,y)的含義的含義xy),(yx o )()(),(yYxXPyxF 幾何解釋幾何解釋 ： F(x, y) 表示表示隨機點隨機點(X ,Y )落在落在以以(x,y )為頂點為頂點,且且位于該點左下方的位于該點左下方的無窮矩形無窮矩形內(nèi)的概率內(nèi)的概率.9x1x2y1y2 P（x1 X x2，y1 Y y2） = F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2) + F(x1,y1)用聯(lián)合分布函數(shù)用聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)表示矩形域概率表示矩形域

4、概率P（x1 X x2，y1 Y y2）F(x2,y2)- -F(x2,y1)- -F(x1,y2)+F(x1,y1) 11, yx 12yx , 22yx , 21yx ,10二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)011211222 ),(),(),(),(yxFyxFyxFyxF有有,),(),(21211122yyxxyxyx 010001113.1.2 3.1.2 二維離散型隨機變量二維離散型隨機變量 若二維若二維 隨機變量隨機變量 的的所有可能取值只有限對或可列對所有可能取值只有限對或可列對， 則稱則稱為為二維離散型隨機變量。二維離散型隨機變量。12 PXx

5、i ,Y=yjpij，i,j=1,2, XYx1 x2 xn y1 ym nppp11211mnmmppp211310 ijp111 ijijp)1()2(14例題講解例題講解15例例1 一個口袋中有三個球，一個口袋中有三個球， 依次標有數(shù)字依次標有數(shù)字1， 2， 2， 從中任取一個，從中任取一個， 不放回袋中不放回袋中， 再任取一個，再任取一個， 設(shè)每次取球設(shè)每次取球時，時， 各球被取到的可能性相等各球被取到的可能性相等.以以、分別記第一次和分別記第一次和第二次取到的球上標有的數(shù)字，第二次取到的球上標有的數(shù)字， 求求(X,Y)的的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布律。(X,Y)的可能取值為的可能取值為(1

6、， 1),(1， 2), (2， 1), (2， 2). PX1，Y1= PX1，Y2=PX2，Y1=PX2，Y2=(1/3) (2/2)1/3，(2/3) (1/2)1/3，(2/3) (1/2)1/3，0161/31/31/30(X,Y)的聯(lián)合分布律的聯(lián)合分布律X/Y121217 ，若若第第一一次次取取得得次次品品若若第第一一次次取取得得正正品品10,X ，若若第第二二次次取取得得次次品品若若第第二二次次取取得得正正品品10,Y 箱內(nèi)裝有箱內(nèi)裝有12只開關(guān)，其中只開關(guān)，其中2只是只是次品次品，現(xiàn)從箱內(nèi)隨機現(xiàn)從箱內(nèi)隨機抽取二次抽取二次，每次取一只，每次取一只，取后不放回取后不放回，求求 (X

7、,Y)的聯(lián)合分布律。其中：的聯(lián)合分布律。其中： ,0100YXPYXP ,1110YXPYXP1110122 1121210 1191210 111122 1822153353356611010 X Y(X,Y)的聯(lián)合分布律的聯(lián)合分布律19 )()(iXjYPiXP例例2.設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 X 在在 1,2,3 中等可能地取值中等可能地取值, Y 在在 1X 中等可能地取整數(shù)值中等可能地取整數(shù)值,求求( X, Y )的的分布列分布列及及F(2,2). 解解 (1, 2, 3,)iji 1/3 1/6 ),(jYiXP 0 XY1 2 3 123 1/61/91/91/90031 i1 20

8、)2,2()1,2()2,1()1,1( YXPYXPYXPYXP= + + =2/ 3 F ( x , y) = P ( X x , Y y) F ( ( 2 , 2) ) 1/3 Y 1 2 3 X123 1/6 1/6 1/9 1/9 1/9 0 0 0= P ( X 2, Y 2) 21例：例：(X,Y)的聯(lián)合分布律如下：的聯(lián)合分布律如下：Y X - -1 01 2 k求（求（1）k=?; (2) F(x,y)=? + + +k=1 k = 22Y X - -1 01 2 時時，或或當(dāng)當(dāng)11 yx-1 120 XY ,),(yYxXPyxF023Y X - -1 01 2 -1 120

9、 XY ,),(yYxXPyxF時時且且當(dāng)當(dāng)0121 yx4111 ,YXP24Y X - -1 01 2 -1 120 XY ,),(yYxXPyxF時時且且當(dāng)當(dāng)012 yx,61411211 ,YXPYXP25Y X - -1 01 2 -1 120 XY ,),(yYxXPyxF時時且且當(dāng)當(dāng)yx 021,41410111 ,YXPYXP26Y X - -1 01 2 -1 120 XY ,),(yYxXPyxF時時且且當(dāng)當(dāng)yx 02,127 02101261410214141012141110yxyxyxyxyxyxF且且且且且且且且或或),( Y=-=-1 Y= 0X =1 X =2

10、283.1.3 3.1.3 二維連續(xù)型隨機變量二維連續(xù)型隨機變量29二元二元連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量)若存在若存在非負函數(shù)非負函數(shù) f（x，y），使對任意實數(shù)使對任意實數(shù)x，y，二元隨機變量二元隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)可表示成如下形式的分布函數(shù)可表示成如下形式 則稱則稱(X,Y)是二元是二元連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量。f（x，y）稱為二元隨機變量稱為二元隨機變量(X,Y)的的聯(lián)合概率密度函數(shù)聯(lián)合概率密度函數(shù). yYxXPyxF,),( xydudvvuf),(30二維連續(xù)型隨機變量的二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度聯(lián)合概率密度的的性質(zhì)性質(zhì) 0 ),(yxfn（1 1）非負性）非負性n

11、（2 2）正則性）正則性 1),(),(dxdyyxfF),(),(2yxfyxyxF n（3 3）可導(dǎo)性）可導(dǎo)性31 ),(GYXP Gdxdyyxf),(=曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積 xof(x,y),(yxfGn（4）（X,Y)落在平面區(qū)域落在平面區(qū)域G上的概率上的概率32例題講解例題講解33例例1： 已知二維隨機變量已知二維隨機變量(X,Y)的概率密度的概率密度 求：求：系數(shù)系數(shù)A；F(x,y)；PX2,Y1; (4)P2X+3Y6 其其它它, 00, 0,),()32(yxAeyxfyx100)32( dxdyAeyx即即：. 6 A故故 1),(),()1(dxdyyxfF：由由

12、解解16)()(60302 AeeAyx34時時，當(dāng)當(dāng)）解解（002 yx, 其其它它,),)(),(0001132yxeeyxFyx求：求：F(x,y)； 其其它它,),()(000632yxeyxfyx xyyxdxdye0 0326)(，)(yxee3211 ),(yxF故故35解解(3): P X2, Y1 21 2010326dyedxyx 3411ee ,),(12 yxdxdyyxf 其其它它,),()(000632yxeyxfyxx2, y1f(x,y) 036 32 2x+3y=60解解(4): 632)32(6yxyxdxdye 303260326xyxdyedx)(671 e632 YXP 三三角角形形dxdyeyx)32(6 其其它它, 00, 0,6),()32(yxeyxfyxf(x,y) 037二維均勻分布二維均勻分布設(shè)二維隨機變量設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為的概率密度為 則稱則稱（X,Y)在在D上服從上服從均勻分布均勻分布.其中其中G是平面上的有界區(qū)域，其面積為是平面上的有界區(qū)域，其面積為 ),(yxf .),(,;),(,GyxGyxSG0138例題講解例題講解39 例例1： 設(shè)二維隨機變量（設(shè)二維隨機變量（X,Y)在區(qū)域在區(qū)域G上服從均勻分上服從均勻分布，其中布，其中G是曲線是曲線 y=x2 和和y=