排列組合用A還是C的技巧

1、解答排列組合問題，首先必須認真審題，明確是屬于排列問題還是組合問題，或者屬于排 列與組合的混合問題，其次要抓住問題的本質(zhì)特征，靈活運用基本原理和公式進行分析， 同時還要注意講究一些策略和方法技巧。下面介紹幾種常用的解題方法和策略。一、合理分類與準確分步法(利用計數(shù)原理)解含有約束條件的排列組合問題，應(yīng)按元素性質(zhì)進行分類，按事情發(fā)生的連續(xù)過程 分步，保證每步獨立，達到分類標準明確，分步層次清楚，不重不漏。例1、五個人排成一排，其中甲不在排頭，乙不在排尾，不同的排法有()A . 120 種B. 96 種 C. 78 種 D . 72 種分析：由題意可先安排甲，并按其分類討論：1)若甲在末尾，剩下四

2、人可自由排，有P(4,4)=24種排法；2)若甲在第二，三，四位上，則有C(3,1)*C(3,1)*P(3,3)=54 種排法，由分類計數(shù)原理，排法共有78種，選C。解排列與組合并存的問題時，一般采用先選(組合)后排(排列)的方法解答。例2、 4個不同小球放入編號為 1 , 2 , 3 , 4的四個盒中，恰有一空盒的方法有 多少種？分析：因恰有一空盒，故必有一盒子放兩球。1)選：從四個球中選 2個有C(4,2)種，從4個盒中選3個盒有C(4,3)種；2)排：把選出的2個球看作一個元素與其余 2球共3 個元素，對選出的3盒作全排列有P(3,3)種，故所求放法有C(4,2)*C(4,3)*P(3,

3、3)=144 種。二、特殊元素與特殊位置優(yōu)待法對于有附加條件的排列組合問題，一般采用：先考慮滿足特殊的元素和位置，再 考慮其它元素和位置。例3、用0, 2, 3 , 4, 5，五個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共 有()。A .24 個B。30 個C。40 個D。60 個分析由于該三位數(shù)為偶數(shù)，故末尾數(shù)字必為偶數(shù)，又因為0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，應(yīng)該優(yōu)先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分兩類：1) 0排末尾時，有P(4,2)=12個，2) 0不排在末尾時，則有 C(2,1)C(3,1)C(3,1)=18個，由分數(shù)計數(shù)原理，共有偶數(shù) 30個，選B。例4、馬路上有8只路燈

4、，為節(jié)約用電又不影響正常的照明，可把其中的三只燈 關(guān)掉，但不能同時關(guān)掉相鄰的兩只或三只，也不能關(guān)掉兩端的燈，那么滿足條件的關(guān)燈方 法共有多少種？分析：表面上看關(guān)掉第1只燈的方法有6種，關(guān)第二只，第三只時需分類討論，十分復(fù)雜。若從反面入手考慮，每一種關(guān)燈的方法對應(yīng)著一種滿足題設(shè)條件的亮燈與關(guān)燈 的排列，于是問題轉(zhuǎn)化為“在5只亮燈的4個空中插入3只暗燈”的問題。故關(guān)燈方法種數(shù)為 C(4,3)=4。三、插空法、捆綁法對于某幾個元素不相鄰的排列問題，可先將其他元素排好，再將不相鄰元素在已 排好的元素之間及兩端空隙中插入即可。例5、7人站成一排照相，若要求甲、乙、丙不相鄰，則有多少種不同的排法？分析：先

5、將其余四人排好有 P(4,4)種排法，再在這人之間及兩端的 5個“空”中 選三個位置讓甲乙丙插入，則有 P(5,3)種方法，這樣共有 P(4,4)*P(5,3)=1440 種不同排 法。對于局部“小整體”的排列問題，可先將局部元素捆綁在一起看作一個元，與其 余元素一同排列，然后在進行局部排列。例6、7人站成一排照相，甲、乙、丙三人相鄰，有多少種不同排法？分析：把甲、乙、丙三人看作一個“元”，與其余 4人共5個元作全排列，有 P(5,5)種排法，而甲乙、丙、之間又有P(3,3)種排法，故共有 P(5,5)*P(3,3)=720 種排法。四、排除法對于含有否定字眼的問題，可以從總體中把不符合要求的

6、除去，此時需注意不能 多減，也不能少減。例如在例3中，也可用此法解答：五個數(shù)字組成三位數(shù)的全排列有C(4,1)P(4,2)=48個，排好后發(fā)現(xiàn)0不能排首位，而且數(shù)字3，5也不能排末位，這兩種排法要除去，故有C(4,1)p(4,2)-C(2,1)C(3,1)P(3,1)=30個偶數(shù)。五、 順序固定問題用“除法”(對等法)對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同排列， 然后用總排列數(shù)除以這幾個元素的全排列數(shù)。例7、6個人排隊，甲、乙、丙三人按“甲-乙-丙”順序排的排隊方法有多少種？分析：不考慮附加條件，排隊方法有P(6,6)種，而其中甲、乙、丙的種排法中只有一種符合條件。故

7、符合條件的排法有P(6,6)/P(3,3)=120 種。六、 構(gòu)造模型“擋板法”對于較復(fù)雜的排列問題，可通過設(shè)計另一情景，構(gòu)造一個隔板模型來解決問題。例& 方程a+b+c+d=12 有多少組正整數(shù)解？分析：建立隔板模型：將12個完全相同的球排成一列，在它們之間形成的11個間隙中任意插入3塊隔板，把球分成4堆，每一種分法所得 4堆球的各堆球的數(shù)目，對應(yīng)為 a、b、c、d的一組正整解，故原方程的正整數(shù)解的組數(shù)共有C(11,3)=165 。例9、把10本相同的書發(fā)給編號為1、2、3的三個學(xué)生閱覽室，每個閱覽室分得的書的本數(shù)不小于其編號數(shù)，試求不同分法的種數(shù)？解：先讓2、3號閱覽室依次分得1本

8、書、2本書；再對余下的 7本書進行分配， 保證每個閱覽室至少得一本書，這相當于在7本相同書之間的6個“空檔”內(nèi)插入2塊隔板共有C(6,2)=15種插法。又如六個“優(yōu)秀示范員”的名額分配給四個班級，有多少種不同的分配方法？經(jīng)過轉(zhuǎn)化后都可用此法解。七、分排問題“直排法” 把幾個元素排成前后若干排的排列問題，若沒有其它的特殊要求，可采取統(tǒng)一排成一排的方法來處理。例9、7個人坐兩排座位，第一排3個人，第二排坐4個人，則不同的坐法有多少種？分析：7個人可以在前兩排隨意就坐，再無其它條件，故兩排可看作一排來處理，不同的坐法共有 P(7,7)=5040種。八、構(gòu)造方程或不等式例10 :某賽季足球比賽的記分規(guī)

9、則是：勝一場得3分；平一場得1分；負一場得0分。一球隊打完15場積33分，若不考慮順序，該隊勝、負、平情況共有()A.3種B.4種C.5種D.6種解析：設(shè)該隊勝 x場，平y(tǒng)場，則負(15-x-y)場，由題意得3x+y=33y=33-3x( 0 w xw 11 且 x+y < 15 )因此，有以下三種情況：x=11,y=0 或 x=10,y=3 或 x=9,y=6 故選 A例12、把一張20元面值的人民幣換成 1元、2元或5元面值的人民幣，有多少種 不同的換法？解：設(shè)對換成1元的人民幣x張，2元的人民幣y張，5元的人民幣z張， 則x+2y+5z=20當z = 0時，x+2y=20 , x 可以取0、2、420 ,有11種方法。當z = 1時，x+2y=15 , x可以取1、3、515，有8種方法。當z = 2時，x+2y=10 , x 可以取0、2、410,有6種方法。當z = 3時，x+2y=5 , x可以取1、3、5有3種方法。當 z = 4 時，x+2y=0 , x=0 , y=0,1 種方法。故共有11+8+6+3+仁29 種方法。九、枚舉法：有些計數(shù)問題由于條件過多，從排列或組合的角度思考不太方便，可以嘗試用枚舉法，枚舉時也要按照一定的思路進行，才能做到不重不漏。例11 :某寢室4