垂直平分線的性質(zhì)課件ppt

1、2021/3/912021/3/922021/3/932021/3/942021/3/95木工手工鉆木工手工鉆2021/3/96ACDBM 請同學們在練習本上畫出線段請同學們在練習本上畫出線段AB及其中點及其中點M,再過點再過點M畫出畫出AB的垂線的垂線CD,沿直線沿直線CD將紙對折，觀察線將紙對折，觀察線段段MA和和MB是否完全重合是否完全重合？結(jié)論結(jié)論：線段線段MA和和MB完全重合，完全重合，因此，線段因此，線段AB是軸是軸對稱圖形。對稱圖形。問題問題1：既然線段既然線段AB是軸對稱圖形。那么它是軸對稱圖形。那么它的對稱軸是什么呢？的對稱軸是什么呢？（直線（直線CD)試驗與探索：試驗與探索

2、：條線段的垂直平分線條線段的垂直平分線2021/3/97ACDBM試驗與探索：試驗與探索：條線段的垂直平分線條線段的垂直平分線問題問題2：直線直線CD具有什么具有什么特征或特特征或特性性?CDAB MA=MB即：即：直線直線CD垂直并垂直并且平分線段且平分線段AB.定義：定義： 垂直并且平分一條線段的直線叫做這條線段垂直并且平分一條線段的直線叫做這條線段 的的 垂直平分線垂直平分線。也稱。也稱中垂線中垂線。 如上圖，直線如上圖，直線CD就是線段就是線段AB的垂直平分線的垂直平分線2021/3/98你能用不同的方法驗證這一結(jié)論嗎你能用不同的方法驗證這一結(jié)論嗎？探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)探索并

3、證明線段垂直平分線的性質(zhì)如圖，直線如圖，直線l 垂直平分線段垂直平分線段AB，P1，P2，P3，是是l 上的點，請猜想點上的點，請猜想點P1，P2，P3， 到點到點A 與點與點B 的的距距離之間的數(shù)量關(guān)系離之間的數(shù)量關(guān)系相相等等 ABlP1P2P3結(jié)論結(jié)論：線段垂直平分線上的：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距點與這條線段兩個端點的距離相等離相等2021/3/99已知：已知：如圖，直線如圖，直線lAB，垂足為，垂足為C，AC = =CB，點，點P 在在l 上上求證：求證：PA = =PB探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)證明：證明：“線段垂直平分線上的點到線段

4、兩端點的距線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等離相等”ABPCl2021/3/910探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)用幾何語言表示為：用幾何語言表示為： CA = =CB，lAB， PA = =PB證明：證明：lAB， PCA =PCB又又 AC = =CB，PC = =PC， PCA PCB（SAS） PA = =PBABPCl線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點與這條線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等線段兩個端點的距離相等已知：已知：如圖，直線如圖，直線lAB，垂足為，垂足為C，AC = =CB，點點P 在在l 上

5、上求證：求證：PA = =PB2021/3/9118如圖，如圖，在在ABC 中中，BC = =8，AB 的中垂線的中垂線 交交BC于于D，AC 的中垂線交的中垂線交BC 與與E，則則ADE 的周長等的周長等 于于_A B C D E 鞏固練習鞏固練習2021/3/912 如圖所示，在如圖所示，在ABC中，邊中，邊BC的垂直平分線的垂直平分線MN分別交分別交AB于點于點M,交交BC于點于點N, BMC的周長的周長為為23,且且BM=7,求求BC的長。的長。CBMNA解解: MN是線段是線段BC的垂直平分線的垂直平分線 BM=7 CM=BM=7 BMC 的周長的周長=23BM+CM+BC=23BC

6、=23-CM-BM =23-7-7 =9鞏固練習鞏固練習2021/3/913 如圖所示，直線如圖所示，直線MN和和DE分別是線段分別是線段AB、BC的垂直平分線的垂直平分線,它們交于點它們交于點,試判斷線段試判斷線段A和和C是否相等？請說明理由？是否相等？請說明理由？NMEDCBA解：相等，連接解：相等，連接B. MN是線段是線段AB的垂直平分線的垂直平分線（已知）（已知） A=B（線段中垂線的性（線段中垂線的性質(zhì)）質(zhì)）又又 DE是線段是線段BC的垂直平分線的垂直平分線（已知）（已知） B=C（線段中垂線的性（線段中垂線的性質(zhì)）質(zhì)） A=C（等量代換）（等量代換）鞏固練習鞏固練習2021/3/

7、914探索并證明線段垂直平分線的判定探索并證明線段垂直平分線的判定反過來，如果反過來，如果PA = =PB，那么點，那么點P 是否在線段是否在線段AB 的的 垂直平分線上呢？垂直平分線上呢？點點P 在線段在線段AB 的垂直平分線上的垂直平分線上 已知：如圖，已知：如圖，PA = =PB求證：點求證：點P 在線段在線段AB 的垂直平的垂直平分線上分線上PAB C 2021/3/915探索并證明線段垂直平分線的判定探索并證明線段垂直平分線的判定證明：如圖證明：如圖作作PCPCAB 則則PCA = =PCB = =90在在RtPCA 和和RtPCB 中，中，PA = =PB，PC = =PC， Rt

8、PCA RtPCB（HL） AC = =BC又又 PCAB， 點點P 在線段在線段AB 的垂直平分線上的垂直平分線上PAB C 已知：如圖，已知：如圖，PA = =PB求證：點求證：點P 在線段在線段AB 的垂直平分線上的垂直平分線上2021/3/916探索并證明線段垂直平分線的判定探索并證明線段垂直平分線的判定用幾何符號表示為用幾何符號表示為：PA = =PB，點點P 在在AB 的垂直平分線上的垂直平分線上線段垂直平分線的判定線段垂直平分線的判定與一條線段兩個端點距離相等的點，與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上在這條線段的垂直平分線上PAB C 2021/3/917解：

9、解：AB = =AC，點點A 在在BC 的垂直平分線上的垂直平分線上MB = =MC，點點M 在在BC 的垂直平分線上的垂直平分線上直線直線AM 是線段是線段BC 的垂直平的垂直平分線分線 如圖，如圖，AB = =AC，MB = =MC直線直線AM 是線段是線段BC 的垂直平分線嗎的垂直平分線嗎？A B C D M 鞏固練習鞏固練習2021/3/918這些點能組成什么幾何圖形？這些點能組成什么幾何圖形？ 探索并證明線段垂直平分線的判定探索并證明線段垂直平分線的判定你能再找一些到線段你能再找一些到線段AB 兩端點的兩端點的距離相等的點嗎？能找到多少個到線距離相等的點嗎？能找到多少個到線段段AB

10、兩端點距離相等的點？兩端點距離相等的點？ 在線段在線段AB 的垂直的垂直平分線平分線l 上的點與上的點與A，B 的距離都相等；反過的距離都相等；反過來，與來，與A，B 的距離相的距離相等的點都在直線等的點都在直線l上，上，所以所以直線直線l 可以看成與可以看成與兩點兩點A、B 的距離相等的距離相等的所有點的集合的所有點的集合ABC MN 2021/3/919二、逆定理：二、逆定理：到線段兩個端點距離相等的點，在這條到線段兩個端點距離相等的點，在這條 線段的垂直平分線上。線段的垂直平分線上。 線段的垂直平分線線段的垂直平分線一、性質(zhì)定理：一、性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端線段垂直

11、平分線上的點到這條線段兩個端 點的距離相等。點的距離相等。PA=PB點點P在線段在線段AB的垂直的垂直平分線上平分線上到線段兩個端點距離相等的點，到線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上在這條線段的垂直平分線上線段垂直平分線上的點到這線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等條線段兩個端點的距離相等三、三、 線段的垂直平分線的集合定義：線段的垂直平分線的集合定義： 線段的垂直平分線可以看作是到線段兩上端點距線段的垂直平分線可以看作是到線段兩上端點距離相等的所有點的集合離相等的所有點的集合2021/3/920 已知已知: :如如圖圖 ABCABC中中, ,邊邊ABAB、BCBC

12、的垂直平分線相交于的垂直平分線相交于點點P.P.求證求證:PA=PB=PC.:PA=PB=PC. PA=PB( PA=PB(線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點距離相等線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點距離相等) ) 證明證明: : 點點P P在線段在線段ABAB的垂直平分線上的垂直平分線上( (已知已知) )同理同理 PB=PCPB=PC PA=PB=PC PA=PB=PC. .ACBMPN鞏固練習鞏固練習結(jié)論：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，這個點到三角形三個頂點的距離相等。思考：交點在什么位置？思考：交點在什么位置？2021/3/921如圖，如圖，OBC中，中，BC的垂直平分線

13、的垂直平分線DP交交BOC的平分線于的平分線于D，垂足為，垂足為P （1）若）若BOC=60，求，求BDC的度數(shù)；的度數(shù)；（2）若）若BOC=，則，則BDC=_（直接寫出結(jié)果直接寫出結(jié)果） 知識拓展知識拓展2021/3/922 某區(qū)政府為了方便居民的生某區(qū)政府為了方便居民的生活，計劃在三個住宅小區(qū)活，計劃在三個住宅小區(qū)A A、B B、C C之間修建一個購物中心，試問，之間修建一個購物中心，試問，該購物中心應建于何處，才能該購物中心應建于何處，才能使得它到三個小區(qū)的距離相等。使得它到三個小區(qū)的距離相等。ABC思考：生活中的數(shù)學思考：生活中的數(shù)學2021/3/923 某地有兩所大學和兩條相交叉的公

14、路某地有兩所大學和兩條相交叉的公路OAOA，OBOB，現(xiàn)計劃修建一個物資倉庫，現(xiàn)計劃修建一個物資倉庫，希望倉庫到兩所大學的距離相等，到希望倉庫到兩所大學的距離相等，到兩條公路的距離也相等，請你確定該兩條公路的距離也相等，請你確定該點。點。NMOBA2021/3/924結(jié)束語結(jié)束語 同學們，這節(jié)課到這里就結(jié)束了，同學們，這節(jié)課到這里就結(jié)束了， 謝謝你們的參與！謝謝你們的參與！ 2021/3/9251.1.（臨沂臨沂中考）正方形中考）正方形ABCDABCD邊長為邊長為a a，點，點E E，F(xiàn) F分別是對角分別是對角線線BDBD上的兩點，過點上的兩點，過點E E，F(xiàn) F分別作分別作ADAD，ABAB

15、的平行線，如圖所示，的平行線，如圖所示，則圖中陰影部分的面積之和等于則圖中陰影部分的面積之和等于 【解析解析】運用軸對稱、轉(zhuǎn)化的思想，陰運用軸對稱、轉(zhuǎn)化的思想，陰影部分面積等于正方形面積的一半，即影部分面積等于正方形面積的一半，即 . .答案：答案：21a221a22021/3/9262021/3/927如何作出線段的垂直平分線？如何作出線段的垂直平分線？ 由兩點確定一條直線和線段垂直平分線的性質(zhì)可知，由兩點確定一條直線和線段垂直平分線的性質(zhì)可知，只要作出到線段兩端點距離相等的兩點并連接即可只要作出到線段兩端點距離相等的兩點并連接即可 2021/3/928作線段的垂直平分線作線段的垂直平分線.

16、 .已知：線段已知：線段AB.AB.求作：線段求作：線段ABAB的垂直平分線的垂直平分線. .A AB BC CD D作法：作法：（2 2）作直線）作直線CD.CD.CDCD即為所求即為所求. .結(jié)論：結(jié)論：對于軸對稱圖形，只要對于軸對稱圖形，只要找到任意一組對應點，作出對找到任意一組對應點，作出對應點所連線段的垂直平分線，應點所連線段的垂直平分線，就得到此圖形的對稱軸就得到此圖形的對稱軸. .（1 1）分別以點）分別以點A A，B B為圓心，為圓心，以大于以大于 AB AB的長為半徑作弧，的長為半徑作弧，兩弧交于兩弧交于C C，D D兩點兩點. .122021/3/9292. 2. 有有A

17、A，B B，C C三個村莊，現(xiàn)準備要建一所學校，要求學三個村莊，現(xiàn)準備要建一所學校，要求學校到三個村莊的距離相等，請你確定學校的位置校到三個村莊的距離相等，請你確定學校的位置. .A AB BC C【提示提示】學校在連接任意兩學校在連接任意兩點的兩條線段的垂直平分線點的兩條線段的垂直平分線的交點處的交點處. .2021/3/9305.5.如圖，如圖，A A，B B是路邊兩個新建小區(qū)，要在公路邊增設(shè)一個是路邊兩個新建小區(qū)，要在公路邊增設(shè)一個公共汽車站公共汽車站. .使兩個小區(qū)到車站的路程一樣長，該公共汽使兩個小區(qū)到車站的路程一樣長，該公共汽車站應建在什么地方？車站應建在什么地方？BA【提示提示】

18、連接連接ABAB，作，作ABAB的垂直平分線，則與公路的的垂直平分線，則與公路的交點就是要建的公共汽車站交點就是要建的公共汽車站. .2021/3/9311.1.（臨沂臨沂中考）正方形中考）正方形ABCDABCD邊長為邊長為a a，點，點E E，F(xiàn) F分別是對角分別是對角線線BDBD上的兩點，過點上的兩點，過點E E，F(xiàn) F分別作分別作ADAD，ABAB的平行線，如圖所示，的平行線，如圖所示，則圖中陰影部分的面積之和等于則圖中陰影部分的面積之和等于 【解析解析】運用軸對稱、轉(zhuǎn)化的思想，陰運用軸對稱、轉(zhuǎn)化的思想，陰影部分面積等于正方形面積的一半，即影部分面積等于正方形面積的一半，即 . .答案：

19、答案：21a221a22021/3/932 高高 速速 公公 路路AB 在某高速公路在某高速公路L L的同側(cè)，有兩個工廠的同側(cè)，有兩個工廠A A、B B，為了便，為了便于兩廠的工人看病，市政府計劃在公路邊上修建一所醫(yī)于兩廠的工人看病，市政府計劃在公路邊上修建一所醫(yī)院，使得兩個工廠的工人都沒意見，問醫(yī)院的院址應選院，使得兩個工廠的工人都沒意見，問醫(yī)院的院址應選在何處？你的方案是什么在何處？你的方案是什么? ?生活中的數(shù)學生活中的數(shù)學L老師期望:養(yǎng)成用數(shù)學解釋生活的習慣.2021/3/933如圖，ABC中，邊AB、BC的垂直平分線交于點P。（1）求證：PA=PB=PC。（2）點P是否也在邊AC的垂

20、直平分線上呢？由此你能得出什么結(jié)論？APCB結(jié)論：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，這個點到三角形三個頂點的距離相等。2021/3/934如圖如圖,已知已知: AOB,點點M、N.求作求作:一點一點P,使點使點P到到 AOB兩邊的兩邊的距離相等距離相等,并且滿足并且滿足PM=PN.MNAOB.P點點P為所求為所求作的點作的點2021/3/935課堂練習課堂練習練習練習4如圖，過點如圖，過點P 畫畫AOB 兩邊的垂線，并和兩邊的垂線，并和 同桌交流你的作圖過程同桌交流你的作圖過程 A B O P 2021/3/9362021/3/937 國旗是國家的一個象征，觀察下面的國旗，國旗是國家的一個象

21、征，觀察下面的國旗，哪些是軸對稱圖形？試找出它們的對稱軸。哪些是軸對稱圖形？試找出它們的對稱軸。加拿大加拿大摩洛哥摩洛哥古巴古巴瑞典瑞典以色列以色列巴西巴西2021/3/938例例3。如圖所示，直線。如圖所示，直線MN和和DE分別是線段分別是線段AB、BC的垂直平分線的垂直平分線,它們交于點它們交于點,試判斷線段試判斷線段A和和C是否相等？請說明理由？是否相等？請說明理由？NMEDCBA解：相等，連接解：相等，連接B. MN是線段是線段AB的垂直平分線的垂直平分線（已知）（已知） A=B（線段中垂線的性（線段中垂線的性質(zhì)）質(zhì)）又又 DE是線段是線段BC的垂直平分線的垂直平分線（已知）（已知）

22、B=C（線段中垂線的性（線段中垂線的性質(zhì)）質(zhì)） A=C（等量代換）（等量代換）2021/3/939 學習目標：學習目標：1理解線段垂直平分線的性質(zhì)和判定理解線段垂直平分線的性質(zhì)和判定2能運用線段垂直平分線的性質(zhì)和判定解決實際問能運用線段垂直平分線的性質(zhì)和判定解決實際問 題題3會用尺規(guī)經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線，會用尺規(guī)經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線， 了解作圖的道理了解作圖的道理 學習重點：學習重點： 線段垂直平分線的性質(zhì)及尺規(guī)經(jīng)過已知直線外一點作這線段垂直平分線的性質(zhì)及尺規(guī)經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線條直線的垂線 課件說明課件說明2021/3/940 一、創(chuàng)設(shè)情境，溫故知新

23、一、創(chuàng)設(shè)情境，溫故知新 1.前面我們學習了軸對稱圖形，線段是軸對稱圖形嗎？前面我們學習了軸對稱圖形，線段是軸對稱圖形嗎？ 什么是線段的垂直平分線什么是線段的垂直平分線 2.你能找出線段的對稱軸嗎？你能找出線段的對稱軸嗎？ 3. 線段的對稱軸與這條線段有什么關(guān)系？說明理由線段的對稱軸與這條線段有什么關(guān)系？說明理由2021/3/941解：解：ADBC，BD = =DC AD 是是BC 的垂直平分線的垂直平分線 AB = =AC點點C 在在AE 的垂直平分線上的垂直平分線上AC = =CE AB =AC =CE課堂練習課堂練習P62P622如圖，如圖，ADBC，BD = =DC，點點C 在在AE 的

24、垂直平的垂直平分線上，分線上，AB，AC，CE 的長度有什么關(guān)系？的長度有什么關(guān)系？AB+ +BD與與DE 有什么關(guān)系有什么關(guān)系？A B C D E AB = =CE，BD = =DC，AB + +BD = =CD + +CE 即即AB + +BD = =DE 2021/3/942（1）為什么任意取一點）為什么任意取一點K ，使點使點K與點與點C 在直線兩旁？在直線兩旁？尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖(P62)(P62)如何用尺規(guī)作圖的方法經(jīng)過直線外一點如何用尺規(guī)作圖的方法經(jīng)過直線外一點作已知直線的垂線作已知直線的垂線？12DE（2）為什么要以大于）為什么要以大于 的長為半徑作弧的長為半徑作?。?（3）為什

25、么直線）為什么直線CF 就是所求作的垂線？就是所求作的垂線？CABDKFE2021/3/943（1）本節(jié)課學習了哪些內(nèi)容）本節(jié)課學習了哪些內(nèi)容？（2）線段垂直平分線的性質(zhì)和判定是如何得到的？）線段垂直平分線的性質(zhì)和判定是如何得到的？ 兩者之間有什么關(guān)系？兩者之間有什么關(guān)系？（3）如何判斷一條直線是否是線段的垂直平分線）如何判斷一條直線是否是線段的垂直平分線？ 課堂小結(jié)課堂小結(jié)2021/3/944布置作業(yè)布置作業(yè)教科書習題教科書習題13. .1第第6、9題題 2021/3/945線段的垂直平分線 四川省鹽邊縣漁門中學四川省鹽邊縣漁門中學 譚繼林譚繼林CAICAI課件課件2021/3/946探索：

26、在以上試驗的基礎(chǔ)上，同學們在直線在以上試驗的基礎(chǔ)上，同學們在直線CD上上任意取一點任意取一點E,連接連接EA,EB,然后沿直線然后沿直線CD將紙折疊，將紙折疊，觀察線段觀察線段EA和和EB是否完全重合？是否完全重合？ACDBME發(fā)現(xiàn): 線段線段EA和和EB是能夠完全重合的。即是能夠完全重合的。即EA=EB2021/3/947ACDBME線段垂直平分線的性質(zhì)： 線段的垂直平分線上的點到這條線段兩個線段的垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。端點的距離相等。若若E是線段是線段AB的垂直平分線的垂直平分線CD上的一點上的一點則則EA=EB2021/3/948課堂練習課堂練習:1。如圖，是線段

27、。如圖，是線段DE、BC的中垂線，的中垂線，BD 與與CE相等嗎？為什么？相等嗎？為什么？CDEBA2021/3/9492。如圖，平面上有三個點。如圖，平面上有三個點A、B、C。你能。你能否找到一個點否找到一個點P,使得使得PA=PB=PC？BCAP2021/3/950課堂小結(jié)課堂小結(jié): 線段線段垂直平分線的性質(zhì)垂直平分線的性質(zhì)及其運用是本節(jié)課及其運用是本節(jié)課的重點，應用其性質(zhì)我們可以證明兩條線段相的重點，應用其性質(zhì)我們可以證明兩條線段相等，也可對線段的長度進行求解。等，也可對線段的長度進行求解。2021/3/951課后議練課后議練:1。如圖，在。如圖，在ABC中中,DE是是AC的垂直平分線，

28、的垂直平分線，ABC與與ABD的周長分別為的周長分別為18厘米和厘米和12厘米，求線段厘米，求線段AE的長。的長。ABDCE2021/3/9522。如圖，在。如圖，在ABC中中, BAC = 120 ,C= 30 ,DE是線段是線段AC的垂直平分線的垂直平分線,求求BAD的度數(shù)。的度數(shù)。EDCBA2021/3/953正方形正方形矩形矩形等邊等邊 三角形三角形菱形菱形圓圓等腰等腰梯形梯形對稱軸條數(shù)3 3條條4 4條條2 2條條1 1條條無數(shù)條無數(shù)條2 2條條(2) 常見圖形對稱軸的位置長和寬的中垂線長和寬的中垂線兩條鄰邊的中垂線和兩條鄰邊的中垂線和對角線所在的直線對角線所在的直線三條邊的中垂線三

29、條邊的中垂線對角線對角線直徑所在的直線直徑所在的直線一條底的中垂線一條底的中垂線所在的直線所在的直線等腰等腰 三角形三角形畫出對稱軸1 1條條底邊的中垂線底邊的中垂線是不是軸對稱圖形是是是是是是是是是是是是是是2021/3/954復習導入：復習導入：1。軸對稱圖形軸對稱圖形的定義是什么？的定義是什么？ （如果一個圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的如果一個圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么就稱這樣的圖形為部分能夠完全重合，那么就稱這樣的圖形為軸對稱軸對稱圖形圖形）AB2021/3/955例例2 2。如圖，。如圖，BC=BABC=BA，MNMN垂直平分垂直平分BCBC，若，若AB

30、CABC周長周長為為2828，CA=8CA=8，求，求: :DCADCA的周長。的周長。BCADM解：解： ABCABC周長為周長為2828，CA=8CA=8 BC=BA BC=BAN2BA+CA=282BA+CA=28BA=10BA=10 MNMN垂直平分垂直平分BCBC BD=DC BD=DC DCADCA的周長的周長=DC+DA+CA=DC+DA+CA =BD+DA+CA=BD+DA+CA =BA+CA =BA+CA =10+8 =10+8 =18 =18 2021/3/956ABMNC P2021/3/957MNCABQ 2021/3/958ABMNP.Q.C2021/3/959線段垂直平分線上線段垂直平分線上的的點點和這條線段和這條線段兩個端點兩個端點的的距離相等距離相等.定理定理2021/3/960線段垂直平分線上線段垂直平分線上的的點點和這條線段和這條線段兩個端點兩個端點的的距離相等距離相等.定理定理2021/3/9613.已知已知:如圖如圖,AB=AC, A=30o,AB的垂的垂直平分線直平分線MN交交AC于于D,則則 1