數(shù)形結(jié)合解決問題的定位到定值

1、數(shù)形結(jié)合解決問題的定位到定值圓錐曲線的最值問題一直是近幾年高考的熱點(diǎn)，也是絕大部分考生的難點(diǎn)，打破困難這類問題方法靈敏，計(jì)算量不小，下面就長(zhǎng)話短說(shuō)，拋磚引玉，介紹幾種經(jīng)典策略，供大家參考求圓錐曲線的最值問題時(shí)，通常先建立一個(gè)目的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)或重要不等式求最值一般地，目的函數(shù)為二次函數(shù)，可利用二次函數(shù)的圖像和單調(diào)性來(lái)解，假設(shè)含有參數(shù)，那么用軸動(dòng)區(qū)間法進(jìn)展討論求解；對(duì)于分式和高次函數(shù)，一般用單調(diào)性或高次不等式或求導(dǎo)來(lái)解決，常見的題型為：圓錐曲線本身的最值問題，記住下面的結(jié)論：橢圓上兩點(diǎn)的最大間隔 是2a，即長(zhǎng)軸長(zhǎng)；雙曲線上兩點(diǎn)的最小間隔 是2a，即實(shí)軸長(zhǎng)；橢圓的焦半徑的取值范圍為a-c，a

2、+c；拋物線上頂點(diǎn)與拋物線的準(zhǔn)線間隔 最近2間隔 問題，如圓錐曲線上的點(diǎn)到定點(diǎn)的間隔 ，圓錐曲線上的點(diǎn)到定直線的間隔 ，與間隔 有關(guān)的面積問題等3點(diǎn)在圓錐曲線上的前提下，求相關(guān)的目的函數(shù)的取值范圍4直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，求直線或圓錐曲線中某個(gè)參數(shù)所滿足的范圍5應(yīng)用問題的最值圓錐曲線中的最值問題的求解方法常分為兩類，一類是幾何法，特別是圓錐曲線的定義和有關(guān)結(jié)論；二是代數(shù)法，將圓錐曲線中的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用單調(diào)性，均值不等式或三角函數(shù)的有界性等知識(shí)求解常用的策略有：利用圓錐曲線的對(duì)稱性求最值；利用重要不等式；利用定義；利用幾何性質(zhì)等T一、定義轉(zhuǎn)化法例TK點(diǎn)F是

3、雙曲線x24-y22=的左焦點(diǎn)，定點(diǎn)A的坐標(biāo)為，4，P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，那么|PF|+|PA|的最小值為T解析T如下列圖，設(shè)F是雙曲線右焦點(diǎn)，根據(jù)雙曲線定義|PF|-|PF|=4，即|PF|-4=|PF|又|PA|+|PF|AF|=5，將|PF|-4=|PF|代入，得|PA|+|PF|-45，即|PA|+|PF|9，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)A，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線，即P為圖中的點(diǎn)P0時(shí)成立，故|PF|+|PA|的最小值為9故填9小結(jié)：根據(jù)圓錐曲線的定義列方程；將最值問題轉(zhuǎn)化為間隔 問題求解T二、代數(shù)法TK三角函數(shù)法5T例2TK設(shè)a，bR，a2+2b2=6，那么a+b的最小值是A-22B-533C-3D-2T

4、解法一T利用橢圓的參數(shù)方程，化歸為三角最值問題，由a2+2b2=6，可設(shè)a=6cos，2b=6sin，那么a+b=32cos+sin=3sin+arctan2-3，3，選CT解法二T利用截距的幾何意義，數(shù)形結(jié)合構(gòu)建橢圓a2+2b2=6，與直線a+b=相切，借助判別式為0得-33，選C小結(jié)：注意參數(shù)方程的靈敏運(yùn)用，解題時(shí)恰當(dāng)?shù)匾雲(yún)?shù)，將復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的三角運(yùn)算，并提供進(jìn)一步利用函數(shù)性質(zhì)的可能性TK2二次函數(shù)法T例3TK設(shè)F、F2分別是橢圓x24+y2=的左、右焦點(diǎn)假設(shè)P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PF0鸓F2的最大值和最小值；設(shè)過定點(diǎn)M0，2的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，且AOB為

5、銳角其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線l的斜率k的取值范圍T解T解法一：易知a=2，b=，c=3，所以F-3，0，F(xiàn)23，0設(shè)Px，y，那么=x2+y2-3=x2+-x24-3=43x2-8因?yàn)閤-2，2，故當(dāng)x=0，即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，PF0鸓F2有最小值-2當(dāng)x=±2，即點(diǎn)P為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，PF0鸓F2有最大值略T例4TK在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過定點(diǎn)C0，p作直線與拋物線x2=2py p>0相交于A，B兩點(diǎn)假設(shè)點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，求ANB面積的最小值；是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值？假設(shè)存在，求出l的方程；假設(shè)不存在，說(shuō)

6、明理由T解法T依題意，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N0，-p，可設(shè)Ax，y，Bx2，y2，直線AB的方程為y=kx+p，與x2=2py，聯(lián)立得Bx2=2py，y=kx+pB消去y得x2-2pkx-2p2=0由韋達(dá)定理得x+x2=2pk，xx2=-2p2=p|x-x2|=px+x22-4xx2=p4p2k2+8p2=2p2k2+2，所以當(dāng)k=0時(shí)，SABNin=22p2T解法2T前同解法，再由弦長(zhǎng)公式得|AB|=+k2|x-x2|=2p+k20鹝2+2又由點(diǎn)到直線的間隔 公式得d=2p+k2從而SABN=20鹍0鹼AB|所以當(dāng)k=0時(shí)，SABNin=22p2 略小結(jié)：函數(shù)法是我們探求解析幾何最值問題的首選方法，

7、其中所涉及到的函數(shù)最常見的有二次函數(shù)，三角函數(shù)等，值得注意的是函數(shù)自變量取值范圍的考察不容無(wú)視上述三例解題過程均是將圓錐曲線最值轉(zhuǎn)化為討論二次函數(shù)在區(qū)間上的最值，此時(shí)應(yīng)注意其定義域是否受題設(shè)條件限制，是否需要分類討論T三、數(shù)形結(jié)合切線法TT例5TK求橢圓x22+y2=上的點(diǎn)到直線y=x+23的間隔 的最大值和最小值，并求獲得最值時(shí)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)T解T設(shè)橢圓的切線方程為y=x+b，代入橢圓方程，得3x2+4bx+2b2-2=0由=4b2-4×3×2b2-2=0，得b=±3當(dāng)b=3時(shí)，直線y=x+3與y=x+23的間隔 d=62，將b=3代入方程3x2+4bx+2b2

8、-2=0，解得x=-233，此時(shí)y=33，即橢圓上的點(diǎn)-233，33到直線y=x+23的間隔 最小，最小值是62當(dāng)b=-3時(shí)，直線y=x-3到直線y=x+23的間隔 d2=362，將b=-3代入方程3x2+4bx+2b2-2=0，解得x=233，此時(shí)y=-33，即橢圓上的點(diǎn)233，-33到直線y=x+23的間隔 最大，最大值是362小結(jié)：當(dāng)所求的最值是圓錐曲線上的點(diǎn)到某條直線的間隔 的最值時(shí)：求與直線平行的圓錐曲線的切線；求出兩平行線的間隔 即為所求的最值T四、均值不等式法T例6TK橢圓C： x2a2+y2b2=a>b>0的離心率為63，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的間隔 為3求橢圓C的方

9、程；設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的間隔 為32，求AOB面積的最大值T解T設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意Bca=63，a=3B所以b=，所以所求橢圓方程為x23+y2=設(shè)Ax，y，Bx2，y2當(dāng)ABx軸時(shí)，|AB|=32當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+由|+k2=32，得2=34k2+把y=kx+代入橢圓方程，整理得3k2+x2+6kx+32-3=0，所以x+x2=-6k3k2+，xx2=32-3k2+所以|AB|2=+k2x2-x2=+k236k223k2+2-22-3k2+=2k2+3k2+-23k2+2=3k2+9k2+3k2+2=3+2k29k4+6k2+=3+29k2+k2+6 k03+22×3+6=4當(dāng)且僅當(dāng)9k2=k2，即k=±33時(shí)等號(hào)成立當(dāng)k=0時(shí)，|AB|=3綜上所述|AB|ax=2所以當(dāng)|AB|最大時(shí)，AOB面積取最大值S=2×|AB|ax×32=32小結(jié)：利用均值不等式定理求解圓錐曲線最值問題時(shí)，要先將目的函數(shù)配湊成積或和為定值的形式，這種恒等變形是使用最值定理的重要前提綜上所述，解決圓錐曲線中的最值問題，要注意聯(lián)絡(luò)圓錐曲線的定義和性質(zhì)，重視運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，將問題轉(zhuǎn)化為一定的函數(shù)關(guān)系或不等式進(jìn)展討論概括來(lái)說(shuō)：先根據(jù)題設(shè)條件，