時間序列分解法備課講稿

1、什么是時間序列分解法時間序列分解法是數(shù)年來一直非常有用的方法,這種方法包括譜分析、時間 序列分析和傅立葉級數(shù)分析等。時間序列分解模型時間序列y可以表示為以上四個因素的函數(shù)，即：Y = f（Tt, St, Ct, It）時間序列分解的方法有很多，較常用的模型有加法模型和乘法模型。加法模型為：Yt = Tt + St +C + It乘法模型為： :二汽飛時間序列的分解方法（1） 運用移動平均法剔除長期趨勢和周期變化，得到序列TC然后再用按 月（季）平均法求出季節(jié)指數(shù) So（2）做散點圖，選擇適合的曲線模型擬合序列的長期趨勢，得到長期趨勢 To（3）計算周期因素C。用序列TC除以T即可得到周期變動因

2、素 C（4）將時間序列的T、S、C分解出來后，剩余的即為不規(guī)則變動，即：rVTSC時間序列的模式時間序列一般包括四類因素,長期趨勢因素、季節(jié)變動因素、循環(huán)變動因素 和不規(guī)則變動因素。四種因素的組合形式一般有以下幾類 ，其中記Xt為時間序 列的全變動；Tt為長期趨勢；St為季節(jié)變動；Ct為循環(huán)變動;It為不規(guī)則變動, 它總是存在著的1）乘法模式'- '，其中，a) Xt與Tt有相同的量綱，St為季節(jié)指數(shù)，C為循環(huán)指數(shù)，兩者皆為比例數(shù);土Sib)b) It是獨立隨機變量序列，服從正態(tài)分布。2) 加法模式 X = T + St + G + It這種形式要求滿足條件：a) Xt，Tt，

3、St，C，It均有相同的量綱；k-1工 s* = 0b) ,k為季節(jié)性周期長度；c) It是獨立隨機變量序列，服從正態(tài)分布。3) 混合模式一 ':： ' <- 'a) Xt與Tt，C，It有相同的量綱，St是季節(jié)指數(shù)，為比例數(shù);c) It是獨立隨機變量序列，服從正態(tài)分布時間序列分解法試圖從時間序列中區(qū)分出這四種潛在的因素，特別是長期趨勢因素(T)、季節(jié)變動因素(S)和循環(huán)變動因素(C)。顯然，并非每一個預(yù)測對象 中都存在著T、S、C這三種趨勢，可能是其中的一種或兩種。一個具體的時間序 列究竟由哪幾類變動組合，采取哪種組合形式，應(yīng)根據(jù)所掌握的資料、時間序列 及研究目

4、的來確定。時間序列分解法各因素的確定分解法的基礎(chǔ)是容易理解而且直觀的。不過最重要的是它為預(yù)測和檢驗提供 了獨特和非常有用的資料。我們用一個例題來說明各個因素分解的步驟。設(shè)有某產(chǎn)品十二年(91年一02年)的季度銷售額數(shù)據(jù)。見表4.3中的第二 列，共有48個數(shù)據(jù)。如果將這些數(shù)據(jù)畫在圖上(圖.1 )，可以看出有明顯的長 期趨勢和季節(jié)變動。利用分解法，假設(shè)這 48個數(shù)據(jù)可表示為Xt = TtxCt x St x列。這里Xt是這些原始數(shù)據(jù)，通過分析原始數(shù)據(jù)X來確 定T、C、S （剩下的為I ）。S.1產(chǎn)角弼個季哎的軸售額1 移動平均數(shù)把最初的四個數(shù)據(jù)（表示91年4個季度的值）相加求平均值得到（+ X2

5、+ X3 + X4）/ 4 = 2741.334 。這個數(shù)是沒有季節(jié)性的，而且隨機性因素也很小甚至 沒有。因為隨機性圍繞中間值波動，將四個數(shù)相加，正負波動在一定程度上相互 抵消了，所以可認為其中已無隨機性。同樣將第二個至第五個數(shù)據(jù)相加平均，也不包含季節(jié)性，而且其隨機性因素也很小。如此我們可得到45個數(shù)據(jù)。它們不包含季節(jié)性，而且隨機性因素很小甚至沒有。也就是說它們只包括長期趨勢和循 環(huán)變動兩部分（TX C）。這45個數(shù)據(jù)組成的序列我們稱之為移動平均數(shù)序列， 用MA來表示，M*TX Co2.季節(jié)性（1）因此將觀察值除以移動平均數(shù)得到的比率值就只包含季節(jié)性和隨機性，從而這些比率包括了確定季節(jié)性因素所

6、需要的信息。如果某個比率的值100,意味著實際值X比移動平均數(shù)（TX C）要大。由于X中包含季節(jié)性和隨機性，因而當(dāng)比 率值大于100時，就意味著這個季度的季節(jié)性和隨機性高于平均數(shù)。反之，如果比率小于100,則表示季節(jié)性和隨機性低于平均數(shù)。表.2某產(chǎn)品48個季度的銷售數(shù)據(jù)及數(shù)據(jù)分解季度觀察值Xt移動平均值TXCSXI比率長期趨勢T循環(huán)變動C%13017.602774.8123043.542813.77zJ32094.352741.33476.3392852.7396.1042809.842805.632100.1502891.6997.0253274.802835.569115.4902930.

7、6596.7663163.282840.558111.3612969.6195.6572114.312894.24073.0523008.5796.2083024.572907.411104.0303047.5395.4093327.482989.961111.2883086.4996.87103493.483071.367113.7443125.4598.27113439.933187.92176.5373164.41100.74123490.793277.322106.5143203.37102.31133685.083319.258111.0213242.33102.37143661.2

8、33303.883110.8163281.29100.69152378.433296.07372.1593320.2599.27163459.553337.209103.6663359.2199.34173849.633347.198115.0103398.1798.50183701.183413.185108.4383437.1399.30192642.383444.67876.7063476.0999.10203585.523501.936102.3873515.0599.63214078.663553.405114.7823554.0199.98223907.063597.425108.

9、6073592.97100.12232818.463723.42175.6953631.93102.52244089.503788.657107.9413670.89103.21254339.613849.043112.7453709.85103.75264148.603874.540107.1013748.81103.35272976.453872.32575.3153787.77102.23284084.643848.029106.1493826.73100.56294242.423810.274111.3423865.6998.57303997.583801.414105.1603904

10、.6597.36312881.013789.31176.0303943.6196.09324036.233818.788105.6943982.5795.89334360.333909.526111.5314021.5397.21344360.533982.320109.4974060.4998.07353172.184029.20378.7304099.4598.29364223.764111.740102.7244138.4199.36374690.484195.228111.8054177.37100.43384694.484237.770110.7774216.33100.513933

11、42.354326.23777.2584255.29101.67404577.634394.982104.1564294.25102.35414965.464477.872110.8894333.21103.34425026.054509.818111.4474372.17103.15433470.144496.89577.1674411.13101.94444525.944570.21099.0314450.09102.70455258.714611.094114.0454489.05102.72465489.584642.750111.7784528.01102.53473596.7644

12、81.66780.2554566.9798.13483881.604605.93由式（1）可知，如果能將Sx I中的隨機性部分去掉，則就得到了季節(jié)性指 數(shù)。要做到這一點，只需注意到隨機性指的是偶然性、沒有一定模式、圍繞中間 值0上下波動。因此通過平均就能去掉隨機性的影響。將表4.3中“SX I比率”這一欄列成表4.6的形式，將各年同一季度的數(shù)據(jù)放在同一列之中，求相同各季度的平均值，得第一至第四季度的平均數(shù)分別為112.72,109.88，76.28，103.86。由于從1991年至2002年各年中相同季度的數(shù)值加以平均消除了大部分隨機性， 因此這四個平均數(shù)僅僅代表了季節(jié)性。用代數(shù)式表示即為其中

13、 中上面的橫線表示季節(jié)平均表3產(chǎn)品銷售額的季節(jié)性指數(shù)年份各季度季節(jié)指數(shù)第一季度第二季度第三季度第四季度199176.40100.151992115.49111.3673.05104.031993111.29113.7476.54106.511994111.02110.8272.16103.671995115.01108.4476.71102.391996114.78108.6175.70107.941997112.75107.1075.32106.151998111.34105.1676.03105.691999111.53109.5078.73102.722000111.81110.7877

14、.26104.162001110.89111.4577.1799.032002111.84111.7880.26平均數(shù)112.72109.8876.28103.86修正平均數(shù)111.95109.1375.76103.16表3中的四個平均值相加的和為402.74 ,它不等于400。為了使各季節(jié)指數(shù) 的平均數(shù)等于100，必須進行簡單的調(diào)整。如果 400被合計數(shù)402.74來除，結(jié) 果是0.9932。以0.9932乘以各季節(jié)的平均數(shù)得到 111.95,109.13,75.76，103.16 等（見表中最后一行）?，F(xiàn)在這四個季節(jié)指數(shù)的和為400,它們的含義就更加清楚了，例如第二季度的109.13就表示

15、第二季度比全年平均數(shù)高出9.13 %，第三季度的75.76表示第三季度比全年低24.24 %。3 長期趨勢和循環(huán)變動前面介紹的公式MA=T< C表示了一組循環(huán)變動一長期趨勢數(shù)值。在多數(shù)情況 下這樣已能滿足要求，但有時仍需要把循環(huán)變動和長期趨勢分離開來。為了做到 這一點，我們只需確定一種能最好的描述數(shù)據(jù)長期趨勢的類型。例如長期趨勢可 以是線性的、二次的、S曲線或其它。對于本例，如果將數(shù)據(jù)在圖上畫出來，可 以看出線性的長期趨勢是比較合適的：Tt = a + bt （ .3 ）t = 1,2,348。用最小二乘法可求得模型的最佳擬合參數(shù)為:a = 2735.85, b = 38.96因此趨勢直

16、線方程為T_t=2735.85+38.96t如圖4所示。用此方程即可求得每個季度的趨勢值。如第20季度（2000年的第四季度）趨勢值為T_20=a+bt=3515.05由于MA=X C,因此MA/T=（Ttimes C）/T=C （4）應(yīng)用上式即可求得循環(huán)變動值 C。如第45季度的循環(huán)變動值C_45等于表 3中的移動平均數(shù)除以T_45，即。益=4611.094/（2735.85 + 38,9f> x 45） = 10272如同季節(jié)指數(shù)，循環(huán)指數(shù)也采取百分比率。其值大于100的表明該季度經(jīng)濟 活動水平高于所有季度的平均值，而小于100的循環(huán)指數(shù)所表明的情況則剛好相 反。循環(huán)因子比較復(fù)雜，且

17、其變動周期較長，因而在短期預(yù)測中可以忽略不計， 或?qū)⑵錃w入到趨勢變化之中（稱為趨勢一循環(huán)因子）。人們更關(guān)心的是趨勢和季 節(jié)的識別。至此我們完成了對原始數(shù)據(jù) xt的分解工作，其步驟總結(jié)如下：1）用MA=T< C分析長期趨勢和循環(huán)變動；2） 用蟲J冷& =丁分析季節(jié)性和隨機性；3）用用" '二分析季節(jié)性；4）用趨勢外推法中介紹的方法來分析長期趨勢:5）用MA/ T = C分析循環(huán)變動。總之，分解法提供了分析時間序列各種因素的手段， 它使用簡單，只需用加 法、乘法和除法等簡單代數(shù)運算即可， 而且分解法非常直觀，能給企業(yè)提供一定 時期內(nèi)的大量信息。根據(jù)時間序列分解法進行

18、預(yù)測用分解法確定了季節(jié)指數(shù)、趨勢值和循環(huán)指數(shù)之后，就可以根據(jù)上面總結(jié)的 步驟進行預(yù)測了。我們對2003年第一季度（第49季度）進行預(yù)測。數(shù)據(jù)的基本 關(guān)系式為X=TX CX SX I由于隨機性無法直接進行預(yù)測，進行預(yù)測的關(guān)系式為：X=TX CX S于是，計算出第49季度的T49, C49, S49值即可求得第49季度的預(yù)測值。表3中已得到第一季度的季節(jié)指數(shù)為111.95，由趨勢方程求得% = 2735.85 + 38.96 x 49 = 4644.89最后循環(huán)指數(shù)通常要根據(jù)判斷估算出來，或者用某種方法預(yù)測得到。這里我們假定通過判斷為：C49 = 98，于是X尉=x C49 X S曲=4644.8

19、9 x (98%) x (111.95%) = 5095.96同樣可以對第50、51季度進行預(yù)測。時間序列分解法的進一步說明1. 居中移動平均數(shù)為了求得移動平均數(shù)MA上面我們是將相鄰的4個原始數(shù)據(jù)相加取平均得 到一個數(shù)，這樣在表4.5的第三列中就少了三個數(shù)據(jù)。于是產(chǎn)生了這樣一個問題： 最初的四個數(shù)據(jù)被平均時，它們的平均數(shù)應(yīng)該置于何處？嚴格講應(yīng)該放在第二季 度和第三季度的中間（1 + 4） /2 = 2.5，第2.5個季度）。其余數(shù)據(jù)取平均時 也有類似的問題。但實際數(shù)據(jù)是表示各個季度而不是半個季度的，這里我們只好將平均數(shù)放在靠后半個季度的地方。假如對平均數(shù)再取平均的話就不會產(chǎn)生這樣 的問題了，因

20、為如第一季度至第四季度的平均數(shù) 2741.34是指第2.5季度，而第 二季度至第五季度的平均數(shù)是指第 3.5季度，則它們的平均數(shù)就是指第 3個季 度（2.5 + 3.5 ） /2=3）。稱如此的平均數(shù)為居中移動平均數(shù)，于是居中移動平 均數(shù)比原始數(shù)據(jù)少四個（首尾各兩個）。現(xiàn)在，實際值除以居中移動平均值所得的比率（還是SX I ）也可以用來計算季度指數(shù)，具體的與上面所述完全一樣。這樣求得的四個季度的季節(jié)指數(shù)分別 為 112.20，109.44，75.37，103.17，其和為 400.18，非常接近于 400，這是因 為移動平均數(shù)居中的緣故。2 分解法的改進在上面所敘述的分解法基礎(chǔ)上，我們也可作一

21、些改進，如：1）修正原始數(shù)據(jù)中工作日或營業(yè)日的差額。由于各個月度（或季度）的工 作日是不盡相同的，這就會影響到銷售額或別的所要預(yù)測的變量。因此首先必須對數(shù)據(jù)進行校正。如對月度數(shù)據(jù)的校正可通過原始數(shù)據(jù)乘以30對工作日的比率來進行，即將各月度的原始數(shù)據(jù)折算到工作日均為30天的統(tǒng)一情況。2) 利用統(tǒng)計方法來淘汰極值(即修改或舍去超出標(biāo)準(zhǔn)差的三倍范圍的數(shù) 值)，在分解法實施之前先對數(shù)據(jù)進行預(yù)處理。3) 按上一節(jié)求得的季節(jié)性指數(shù)還可進一步改進，并進行動態(tài)的調(diào)整，因為 實際上季節(jié)指數(shù)并不一定是一成不變的，它本身亦是一個變化的時間序列。還應(yīng)注意到用分解法進行預(yù)測時，循環(huán)因素的確定是最為困難的。如有什么 秘訣

22、的話，那就是應(yīng)具備足夠數(shù)量的歷史數(shù)據(jù)，以使管理人員了解循環(huán)模式是從 哪里開始重復(fù)的，必要時可用圖表方法來幫助確定。由于循環(huán)模式可能會發(fā)生變 化，按照管理人員的判斷對循環(huán)模式作一些調(diào)整無疑是必要的。在前面的兩個子節(jié)中，我們是以周期為4的季度數(shù)據(jù)的一個例題來說明分解 法的分解步驟和預(yù)測程序。對周期為 12月度數(shù)據(jù)、周期為7的日常數(shù)據(jù)等其它 情況，運用分解法的程序完全類似，在此不再舉例討論。分解法能幫助解釋歷史數(shù)據(jù)為什么變化，能使管理人員分別預(yù)計各局部模式 的變化。這些局部模式不僅能用以預(yù)測， 而且也可用于管理之中，再加上它容易 被管理人員所理解，因此分解法在直觀上吸引了許多管理人員的注意， 從而被

23、大 量的用于實際問題的預(yù)測。經(jīng)過成千上萬個時間序列的反復(fù)檢驗，分解法被證明 其效率和準(zhǔn)確性都是較高的。當(dāng)然這種證明是經(jīng)驗的而非理論的， 這也是它的主 要缺點。它不能用統(tǒng)計的方法來檢驗，也不能建立置信區(qū)間。實際上，分解法僅 適用于那些季節(jié)性較強的中期預(yù)測、短期預(yù)測，當(dāng)預(yù)測目標(biāo)受外界干擾較大時， 其預(yù)測能力會明顯減弱。時間序列分解法案例分析案例一:運用時間序列分解法進行銷售預(yù)測時間序列是由一個包括了 4個部分的模型組合而成，即T、S、C 假定 影響時間序列的這四個因素彼此相互作用、非獨立，那么我們采用相乘的模型 4,P460，即丫，=TX CX SX R。該方法包括以下四個步驟：1.用4季度移動平

24、 均法確定季節(jié)性指數(shù)4,P463。其基本原理是用移動平均法來度量趨勢和周期性 組合(TC)。這種做法可以消除季節(jié)性和隨機變動的影響，即S和R。做法如下： 計算時間序列中的4季度移動平均值(TC_1)，例：(500+350+250+400)/ 4=375。(2)對4季度移動平均值再求其移動平均值的中點值(TC_2)電，例： (375+362.5/2=368.75)。計算真實銷售額(3)計算真實銷售額(Y_1)與移動平均值(TC_2)的比率，這個 比率實際上表示的季節(jié)性和隨機變動綜合作用的部分宜即SR=Y/TC(4)把計算處的比率值按季度排列，例如第一季度的SR值分別是：1.263、1.367、1

25、.467、1.222、1.348 ;第二季度的SR值分別是：1.037、0.762、0.812、0.853、0.879 ;第三季度的SR值分別是：0.678、0.640、0.522、0.588、0.700 ;第四季度的SR值分別是：1.003、1.067、1.206、1.275、1.116。然后后按季度分別計算平均比率以便剔除隨機變動（R）的影響，而該平均比率稱為季節(jié)性因子（S_1）。例：對于第一季度的計算：（1.263+1.367+1.467+1.222+1.348）/ 5=1.333 4。依次類推計算第二、三、四季度的 s1 分別得：1.33 4、0.908 6、0.625 6、1.153

26、 4。（5）對季節(jié)性因子（S） 進行調(diào)整，調(diào)整后的季節(jié)性因子（用S2表示）。例：第一季度的 S計算:1.333 40-0.005 25=1.328 15,其中 0.00525=（1.333 4+0.908 6+0.625 6+1.153 4-4）/5。同樣，第二、三、四季度的 S分別是：0.903 35、0.620 35、1.148 15。上述（1）、（2）、（3）、（5）的計算結(jié)果如下表。用時閭序列分解溝預(yù)測情售額時期1Yi節(jié)性因子Sj非寧節(jié)性世張Yj6ISCO132837«.4fi3 j1盹廂$21500.903 33M7.4457斗5 674.8931JZ303T50M.7S0

27、.6700.620 354W-9$S J91沁站9A4003&2.S3&2.50L1031.148 1516395 546 019055430珈巧336 251 201.328 n33S.S17225伽 OgADJSO35JO.O337.301.0370.903 3$387.44$ 72 J24.W02720032S.0312.300.40322柑酸百翻2 256.7W 2fl300MIO.O2HL251 067l.UA $261.2S99642QW.319 219469330262.5aw n1 M7L328 IS263-S45甜2 125.720 5wMO2$0.00 ?f

28、i2nuK iLOO2 2叮一幽0110.3224L799A259.789 &12400300.033L.251.2061.14B U珈 346 31444 160.638013530375.oa1.4674K1099l凹5 383.428 7143303S7.5406 2o aiz0 903 353ff?.446 7l笳5 424 253 B1525042.5,0425 OT0時0.620 33«2.S32256 044 974 51555042J.0«L251.275丨皿口47.0115W6764 5W017550.43-7.54S01 2221.32B U414.109!)2S97 0射嘛3184T0462.S468.7S0 853C.9Q3 35«2.7%33247 W.3J34IQ350<750300 000 700&.A20 3