曾量子力學(xué)題庫

1、曾謹(jǐn)言量子力學(xué)題庫一簡述題：1. （1）試述 Wien公式、Rayleigh-Jeans公式和Planek公式在解釋黑體輻射能量密度隨頻率分布的問題上的差別2. （ 1）試給出原子的特征長度的數(shù)量級(jí)（以 m為單位）及可見光的波長范圍（以？為單位）3. （ 1）試用Einstein光量子假說解釋光電效應(yīng)4. （ 1）試簡述Bohr的量子理論5. （ 1）簡述波爾-索末菲的量子化條件6. （ 1）試述de Broglie物質(zhì)波假設(shè)7. （ 2）寫出態(tài)的疊加原理8. （ 2） 個(gè)體系的狀態(tài)可以用不同的幾率分布函數(shù)來表示嗎？試舉例說明。9. （ 2）按照波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，試給出波函數(shù)應(yīng)滿足的條件10.

2、 （2）已知粒子波函數(shù)在球坐標(biāo)中為' （r,:），寫出粒子在球殼（r,r dr）中被測到的幾率以及在（二）方向的立體角元d"二si中找到粒子的幾率。11. （ 2）什么是定態(tài)？它有哪些特征？12. （ 2）（X） .（X）是否定態(tài)？為什么？1 ik13. （ 2）設(shè)eir，試寫成其幾率密度和幾率流密度r14. （ 2）試解釋為何微觀粒子的狀態(tài)可以用歸一化的波函數(shù)完全描述。15. （ 3）簡述和解釋隧道效應(yīng)16. （ 3）說明一維方勢阱體系中束縛態(tài)與共振態(tài)之間的聯(lián)系與區(qū)別。17. （ 4）試述量子力學(xué)中力學(xué)量與力學(xué)量算符之間的關(guān)系18. （ 4）簡述力學(xué)量算符的性質(zhì)19. （

3、4）試述力學(xué)量完全集的概念20. （ 4）試討論：若兩個(gè)厄米算符對(duì)易，是否在所有態(tài)下它們都同時(shí)具有確定值？21. （4）若算符A、E?均與算符（?對(duì)易，即>?,（? =：£（? =0，A、E?、C?是否可同時(shí)取得確定值？為什么？并舉例說明。22. （ 4）對(duì)于力學(xué)量 A與B，寫出二者在任何量子態(tài)下的漲落所滿足的關(guān)系，并說明物理意義。23. （ 4）微觀粒子X方向的動(dòng)量px和X方向的角動(dòng)量 ?是否為可同時(shí)有確定值的力學(xué)量？為什么？24. （ 4）試寫出態(tài)和力學(xué)量的表象變換的表達(dá)式25. （ 4）簡述幺正變換的性質(zhì)26. （ 4）在坐標(biāo)表象中，給出坐標(biāo)算符和動(dòng)量算符的矩陣表示1 2

4、 227. （ 4）粒子處在 V（X）X的一維諧振子勢場中，試寫出其坐標(biāo)表象和動(dòng)量表象的定態(tài)2Sehr?dinger 方程。28. （ 4）使用狄拉克符號(hào)導(dǎo)出不含時(shí)間的薛定諤方程在動(dòng)量表象中的形式。29. （ 4）如果 A,B,C 均為厄米算符，下列算符是否也為厄米算符？30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.40.4142.43.44.45.46.47.48.49.50.a) -?3b)(Ag BA) b)2 2 2(5) 試述守恒量完全集的概念(5)全同粒子有何特點(diǎn)？對(duì)波函數(shù)有什么要求？(5)試述守恒量的概念及其性質(zhì)(5)自由粒子的動(dòng)量和能量是否為守恒量？為什么？_ ?

5、2(5)電子在均勻電場E = (0,0,；)中運(yùn)動(dòng)，哈密頓量為 H? -e z。試判斷？x,!?y,?z各 2m量中哪些是守恒量，并給出理由。(5) 自由粒子的動(dòng)量和能量是否為守恒量？為什么？(6) 中心力場中粒子處于定態(tài)，試討論軌道角動(dòng)量是否有確定值(6)寫出中心力場中的粒子的所有守恒量(6)試給出氫原子的能級(jí)簡并度并與一般中心力場中運(yùn)動(dòng)粒子的能級(jí)簡并度進(jìn)行比較(6)二維、三維各向同性諧振子及一維諧振子的能級(jí)結(jié)構(gòu)有何異同，并給出二維、三維各向同性 諧振子能級(jí)簡并度。1.'3(6)氫原子體系處于狀態(tài)屮(r,日嚴(yán))=召只3,1()丫1,1(日嚴(yán))+只3,2()丫2,(日嚴(yán))，給出L2和L

6、z可能取值及取值幾率，并說明該狀態(tài)是否是定態(tài)？為什么？(6) 已知中心力場中運(yùn)動(dòng)的粒子哈密頓表示為H?(r2) ?V(r)，試列舉出幾種2Pr2 &&2商2該量子體系力學(xué)量完全集的選取方案。(7) 什么是正常Zeeman效應(yīng)？寫成與其相應(yīng)的哈密頓量，并指出系統(tǒng)的守恒量有哪些。(8) 試給出電子具有自旋的實(shí)驗(yàn)依據(jù)(8)寫出二z表象中二x、二y和二z的本征值與本征態(tài)矢(8)試述旋量波函數(shù)的概念及物理意義(8)以和1分別表示自旋向上和自旋向下的歸一化波函數(shù)，寫出兩電子體系的自旋單態(tài)和自旋三重態(tài)波函數(shù)(只寫自旋部分波函數(shù))。(8)若|a和| 是氫原子的定態(tài)矢 (電子和質(zhì)子的相互作用為庫

7、侖作用，并計(jì)及電子的自旋一軌道耦合項(xiàng))，試給出a和&態(tài)的守恒量完全集(10)若在 H?0 表象中，H? = H?0 + H?:-0與'的矩陣分別為000 '0.10.10r|-?0 =010丄000.10.2000010400015< 000106丿<1052丿是否可以將H? 看作微擾，從而利用微擾理論求解H?的本征值與本征態(tài)？為什么 ？(11)利用Ein stein自發(fā)輻射理論說明自發(fā)輻射存在的必然性。(11)是否能用可見光產(chǎn)生1阿秒(108s)的激光短脈沖，禾U用能量一時(shí)間測不準(zhǔn)關(guān)系說明原因。51. (11)試給出躍遷的Fermi黃金規(guī)則(golden

8、rule)公式，并說明式中各個(gè)因子的含義。52. (8)在質(zhì)心坐標(biāo)系中，設(shè)入射粒子的散射振幅為f(r)，寫出靶粒子的散射振幅，并分別寫出全同玻色子碰撞和無極化全同費(fèi)米子碰撞的微分散射截面表達(dá)式。、判斷正誤題(請(qǐng)說明理由)1. ( 2)由波函數(shù)可以確定微觀粒子的軌道2. ( 2)波函數(shù)本身是連續(xù)的，由它推求的體系力學(xué)量也是連續(xù)的3. ( 2)平面波表示具有確定能量的自由粒子，故可用來描述真實(shí)粒子4. ( 2)因?yàn)椴òS著時(shí)間的推移要在空間擴(kuò)散，故真實(shí)粒子不能用波包描述5. ( 2)正是由于微觀粒子的波粒二象性才導(dǎo)致了測不準(zhǔn)關(guān)系6. ( 2)測不準(zhǔn)關(guān)系式是判別經(jīng)典力學(xué)是否適用的標(biāo)準(zhǔn)7. ( 2)設(shè)

9、一體系的哈密頓 H?與時(shí)間t無關(guān)，則體系一定處于定態(tài)8. ( 2)不同定態(tài)的線性疊加還是定態(tài)9. ( 3)對(duì)階梯型方位勢，定態(tài)波函數(shù)連續(xù)，則其導(dǎo)數(shù)必然連續(xù)10. ( 3) H?顯含時(shí)間t，則體系不可能處于定態(tài)，HP不顯含時(shí)間t,則體系一定處于定態(tài)11. ( 3) 一維束縛態(tài)能級(jí)必定數(shù)非簡并的12. ( 3) 維粒子處于勢阱中，則至少有一條束縛態(tài)13. ( 3)粒子在一維無限深勢阱中運(yùn)動(dòng)，其動(dòng)量一定是守恒量14. ( 3)量子力學(xué)中，靜止的波是不存在的15. ( 3) 3勢阱不存在束縛態(tài)16. ( 4)自由粒子的能量本征態(tài)可取為sin kx，它也是的本征態(tài)17. ( 4)若兩個(gè)算符有共同本征態(tài)，

10、則它們彼此對(duì)易18. ( 4)在量子力學(xué)中，一切可觀測量都是厄米算符19. (4)如果是厄米算符，其積不一定是厄米算符20. ( 4)能量的本征態(tài)的疊加態(tài)仍然是能量的本征態(tài)21. ( 4)若/?, B對(duì)易，則/?, B在任意態(tài)中可同時(shí)確定22. ( 4)若A,E?不對(duì)易，則 A, E?在任何情況下不可同時(shí)確定23. ( 4)?x和LX不可同時(shí)確定24. ( 4)若A,E?對(duì)易，則A的本征函數(shù)必是E?的本征函數(shù)25. ( 4)對(duì)應(yīng)一個(gè)本征值有幾個(gè)本征函數(shù)就是幾重簡并26. ( 4)若兩個(gè)三個(gè)，則它們不可能同時(shí)有確定值27. ( 4)測不準(zhǔn)關(guān)系只適用于不對(duì)易的物理量28. ( 4)根據(jù)測不準(zhǔn)原理，

11、任一微觀粒子的動(dòng)量都不能精確測定，只能求其平均值29. ( 4)力學(xué)量的平均值一定是實(shí)數(shù)30. ( 5)體系具有空間反演不變性，則能量本征態(tài)一定具有確定的宇稱31. ( 5)在非定態(tài)下力學(xué)量的平均值隨時(shí)間變化32. （ 5）體系能級(jí)簡并必然是某種對(duì)稱性造成的33. （ 5）量子體系的守恒量無論在什么態(tài)下，平均值和幾率分布都不隨時(shí)間改變34. （ 5）全同粒子系統(tǒng)的波函數(shù)必然是反對(duì)稱的35. （ 5）全同粒子體系波函數(shù)的對(duì)稱性將隨時(shí)間發(fā)生改變36. （ 5）描述全體粒子體系的波函數(shù)，對(duì)內(nèi)部粒子的隨意交換有確定的對(duì)稱性37. （ 6）粒子在中心力場中運(yùn)動(dòng)，若角動(dòng)量?是守恒量，那么L?x就不是守恒量

12、38. （ 6）在中心力場 V（r）中運(yùn)動(dòng)的粒子，軌道角動(dòng)量各分量都守恒39. （ 6）中心力場中粒子的能量一定是簡并的40. （ 6）中心力場中粒子能級(jí)的簡并度至少為21 1, l = 0,1,2,41. （ 8）電子的自旋沿任何方向的投影只能取/242. （ 8）兩電子的自旋反平行態(tài)為三重態(tài)三、證明題：P（r, t ）=屮*（ r, t ）屮（r, t）1. （ 2）試由Schr?di nger方程出發(fā)，證明?=0，其中 ?/*、從？（r,t）=-廠（屮可屮-c.c.）I2m2. （ 3） 一維粒子波函x）數(shù)滿足定態(tài) Schr?di nger方程，若 =（X）、（x）都是方程的解，則有常數(shù)

13、（與x無關(guān)）3. （ 3）設(shè) （X）是定態(tài)薛定諤方程對(duì)應(yīng)于能量E的非簡并解，則此解可取為實(shí)解4. （ 2）設(shè)* 1（x）和2（x）是定態(tài)薛定諤方程對(duì)應(yīng)于能量E的簡并解，試證明二者的線性組合也是該定態(tài)方程對(duì)應(yīng)于能量E的解。5. （ 3）對(duì)于：勢壘，V（x） i"（x），試證：勢中' '（X）的躍變條件一年 d216. （ 3）設(shè)' （x）是定態(tài)薛定諤方程2 V（x） - （x）二E: （x）的一個(gè)解，對(duì)應(yīng)的能量為E，| 2m dx試證明匸* （x）也是方程的一個(gè)解，對(duì)應(yīng)的能量也為E7. （ 3） 一維諧振子勢場 m2x2/2中的粒子處于任意的非定態(tài)。試證明該粒子

14、的位置概率分布經(jīng)歷一個(gè)周期2二1、后復(fù)原。8. （ 3）對(duì)于階梯形方勢場 V（x）=|V1x<a ，若VJ有限，則定態(tài)波函數(shù) 屮（x）及其I V2x > a導(dǎo)數(shù)' （x）必定連續(xù)。9. （ 3）證明一維規(guī)則勢場中運(yùn)動(dòng)的粒子，其束縛態(tài)能級(jí)必定是非簡并的10. （ 4）證明定理：體系的任何狀態(tài)下，其厄米算符的平均值必為實(shí)數(shù)11. （4）證明定理：厄米算符的屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交12. （ 4）證明：在定態(tài)中幾率流密度矢量與時(shí)間無關(guān)13. （ 4）令px =-辦2，試證px為厄密算符ex14. （ 4）試證T? = ?2/2m為厄密算符dU?15. （ 4）設(shè)l?（t）

15、是一個(gè)幺正算符且對(duì)t可導(dǎo)，證明H?（t）I?是厄米算符。dt16. （4）已知A和B?是厄米算符，證明（A+B?）和A也是厄米算符17. （ 4）試證明：任何一個(gè)力學(xué)量算符在它以自己的本征矢為基矢的表象中的表示為對(duì)角矩陣口18. （ 4）試證明x表象中？算符的矩陣元是（P）x'x”二-i（X'-X"）ex'19. （ 4）試證明p表象中x算符的矩陣元是（X）p'p”二i（P'-P"）即20. （ 4）若厄米算符A, B具有共同本征函數(shù)，即AAn屮啦 B即Bn屮g，而且構(gòu)成體系狀態(tài)的完備函數(shù)組，試證明A, B = o21. （ 4）若

16、n（x）; n =1,2，構(gòu)成完備基組，證明：八 ；（X）n（X）n22. （ 4）證明兩個(gè)線性算符之和仍為線性算符23. （4）設(shè)算符f? = Ae?，Ae?-E?A = 1，若為I?的本征函數(shù)，相應(yīng)的本征值為g ,求證©三A和屮三A*也是F?的本征函數(shù)，并求出相應(yīng)的本征值。24. （ 4）試證明（xyz x y z是角動(dòng)量平方算符I?2屬于本征值2 2的本征函數(shù)。25. （ 4）試證明表象變換并不改變算符的本征值26. （ 4）證明對(duì)易關(guān)系px ；- （ X） = -i ex27. （ 4）證明在I?的本征態(tài)下lx = ly =028. （ 4）設(shè)粒子處于Ym * '狀態(tài)

17、下，證明 厶Lx 2二'Ly 2二丄I I 1 - m2229. （ 4）證明諧振子的零點(diǎn)能E1 ' 是測不準(zhǔn)關(guān)系 AxAp的直接結(jié)果。30. （ 4） 一維體系的哈密頓算符具有分立譜，證明該體系的動(dòng)量在能量本征態(tài)中的平均值等于零31. （ 4）如果厄米算符 A對(duì)任何矢量|u，有u|A|u仝0，則稱A為正定算符。試證明算符A=|aa|為厄米正定算符32. （ 5）設(shè)全同二粒子的哈密頓量為W（1,2），波函數(shù)為屮（1,2），試證明交換算符1?2是個(gè)守恒量33. （ 5）證明在定態(tài)下，任意不顯含時(shí)間t力學(xué)量A取值幾率分布不隨時(shí)間改變。34. （ 5）設(shè)力學(xué)量A是守恒量，證明在任意態(tài)

18、下A的取值概率分布不隨時(shí)間改變。35. （ 5）證明：量子體系的守恒量，無論在什么態(tài)下，平均值不隨時(shí)間改變。36. （5）試證在一維勢場 V（x）中運(yùn)動(dòng)的粒子所受勢壁的作用力在束縛定態(tài)中的平均值為0 （提示：利i '用對(duì)易關(guān)系H,x - - px）37. （ 5）設(shè)系統(tǒng)的哈密頓量為 H，厄米算符A與H對(duì)易。試證明 生A=0，其中 A是A的均方根偏dt差，即.'A =（A A ）21/2，式中尖括號(hào)表示求平均值。38. （ 5）如果 A,旳二B,旳=0，但A,B - 0，試證明H?的本征值必有簡并。39. （ 5）粒子在對(duì)數(shù)函數(shù)型勢場中運(yùn)動(dòng)，V（r）二Cl n（r/r。），其中常

19、數(shù)C 0, r。 0。試?yán)肰irial定理證明：各束縛態(tài)的動(dòng)能平均值相等。40. （ 5）試根據(jù)力學(xué)量平均值表達(dá)式F . r*（x,t）F?（x,t）dx證明力學(xué)量平均值隨時(shí)間的變化為.爭丄而 ，其中H?為體系的哈密頓dti41. （ 4、5）證明：宇稱算符的本征函數(shù)非奇即偶:,|x| b42. （ 5）設(shè)粒子處在對(duì)稱的雙方勢阱中V（X）= * 0 a <1 X |c bM |x|ca（1 ）在V。一情況下求粒子能級(jí)，并證明能級(jí)是雙重簡并；（2）證明V°取有限值情況下，簡并將消失。43. （ 5、6）證明在氫原子的任何定態(tài)' nlm （r, K ：）中，動(dòng)能的平均值等

20、于該定態(tài)能量的負(fù)值，即:p2/2J-E nlmn44.（6）已知中心力場中運(yùn)動(dòng)的粒子哈密頓表示為H?-V（r），證明中心力場中運(yùn)動(dòng)的粒子角動(dòng)量守恒45. （ 8）證明Pauli算符各個(gè)分量的反對(duì)易關(guān)系46. （ 8）若電子處于 Sz的本征態(tài)。試證在此態(tài)中,Sy取值'/2或-一 /2的概率各為1/2。47.（ 8）設(shè)有兩個(gè)電子,自旋態(tài)分別為 二日衛(wèi)P/2cose2日 i®2 sin e。證明兩個(gè)電子處于自旋單態(tài)(S=0)12日12日、和三重態(tài)(S=1)的幾率分別為- a (1 - COS ),b (1 cos )2 22 248. ( 10)在一定邊界條件下利用定態(tài)薛定諤方程求

21、解體系能量本征值與變分原理等價(jià)。10.盂斗4兀 i蓋49. ( 12 )已知在分波法中 f(r)(2l1)eij si n“R(cosr)2l 1e ；l si nYoG)，k i=ok I據(jù)此證明光學(xué)定理。四、計(jì)算題：1. (2)設(shè)一維自由粒子的初態(tài)為, ;(x,0Heik0X，求' (x,t) o0;x乏(0,a )2. (3)質(zhì)量為m的粒子在一維無限深方勢阱中運(yùn)動(dòng)，勢阱可表示為V x二:;x ： 0,x a(1) 求解能量本征值 En和歸一化的本征函數(shù)'-;n(x)；(2)若已知t = 0時(shí)，該粒子狀態(tài)為x,0 =、1(X)2(x)，求t時(shí)刻該粒子的波函數(shù);>2(3

22、) 求t時(shí)刻測量到粒子的能量分別為E1和E2的幾率是多少?(4) 求t時(shí)刻粒子的平均能量 E和平均位置x offi 1 ) 10 分2) (5 好1 (.業(yè)少、rlH剣的波I苗數(shù)：呎中)=11心)3) 5分t Rd劃測屋到柑子的能尼為E,的ILtJt 上|仏(山)肌兒訓(xùn)=時(shí)劇測量到糧子的能量為爲(wèi)的幾率是；叫(兒)”(兒二+ £4) 10 好i平均能量丘=(呎曲)罔呎川)*(譏血訕|】自叭由)*工=學(xué)牛 'f24 打kT平均忖聲 代呎和)|書(訶) 器週 魚嚴(yán)3. （ 3）粒子在一維勢阱中運(yùn)動(dòng)V（x）二-a、：（x） （a 0）,求粒子的束縛定態(tài)能級(jí)與相應(yīng)的歸一化波函數(shù)。4.

23、（ 3）設(shè)有質(zhì)量為 m的粒子（能量 E 0 ）從左入射，碰到：勢壘V（x）二:.（x）（常數(shù).0），試推導(dǎo)出勢中-：'的躍變條件。5. （ 3）質(zhì)量為m的粒子，在位勢V（X）（X） V， C ： 0）中運(yùn)動(dòng)，其中0 x cOV =V0x a 0V0 a 0a. 試給出存在束縛態(tài)的條件，并給出其能量本征值和相應(yīng)的本征函數(shù)；b. 給出粒子處于 x>0區(qū)域中的幾率。它是大于1/2,還是小于1/2，為什么？lx|z a6. （ 3） 一個(gè)質(zhì)量為 m的粒子在一維勢場V（X）=，求波函數(shù)滿足的方程及連續(xù)性邇（x）|x|ca條件，并給出奇宇稱能量本征波函數(shù)及相應(yīng)的本征能量。°|x|c

24、a7. （ 3）質(zhì)量為m的粒子在一維勢場V （x）=中運(yùn)動(dòng)。求嚴(yán)| x A a粒子的定態(tài)能量 En與歸一化的波函數(shù)n（x）；粒子在態(tài)'-（ x）上的位置平均值 x。8. （3）如圖所示，一電量為 -q質(zhì)量為m的帶電粒子處在電量為-Q固定點(diǎn)電荷的強(qiáng)電場中， 并被約束在一直線 AB上運(yùn)動(dòng)，Q到AAB的距離為a，由于 Q產(chǎn)生的電場很強(qiáng)，-q只能在平衡位置O附近振動(dòng)，即a遠(yuǎn)大于粒子的運(yùn)動(dòng)范圍， 設(shè)平衡位置 O為能量參考點(diǎn)，試求體系可能的低能態(tài)能級(jí)。9. （ 3） 電量為-q質(zhì)量為m的帶電粒子處在強(qiáng)度為 E的均勻強(qiáng)電場10. （3） 一維諧振子處于基態(tài)'- 0(x)二，求諧振子的-q B

25、中，并被約束在一半徑為 R的圓弧上運(yùn)動(dòng)，電場方向如圖所示， 由于電場很強(qiáng)，-q只能在平衡位置 O附近振動(dòng)，即R遠(yuǎn)大于 粒子的運(yùn)動(dòng)范圍，設(shè)平衡位置 O為能量參考點(diǎn)，試求體系可能 的低能態(tài)能級(jí)。221）平均值X ； 2）平均值p ； 3）動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。（提示：k a o r函數(shù)滿足遞推關(guān)系:1-(z 1) = Z(z),丨(1) =1,丨(2)= -：；2 2 n.< X_2iP2XdxotV(x)珂-Vo ,x :：: 00, x 011. （ 3）把傳導(dǎo)電子限制在金屬內(nèi)部的是金屬內(nèi)勢的一種平均勢, 對(duì)于下列一維模型（如圖）試就（1）E 0，（ 2）Vo : E ：0兩種情況計(jì)算 接

26、近金屬表面的傳導(dǎo)電子的反射和透射幾率。12. （ 3、4）設(shè)t= 0時(shí)，質(zhì)量為 m、頻率為的諧振子處于：2x2_sjnx, c)二 Ae 2 (cos ：)Hx) H 2( - x)2J2/ .屮2狀態(tài)，其中A,:是實(shí)常數(shù)，- ,H n （： x）是厄米多項(xiàng)式。（1）求歸一化常數(shù)A ；（2）求t時(shí)刻體系的狀態(tài)-：（x,t）；（3）求t時(shí)刻位置的平均值 x（t）；（4）求諧振子能量取值及相應(yīng)幾率13. （ 3）設(shè)一維粒子由X二-:：處以平面波'-'in二eikx入射，在原點(diǎn)處受到勢能 V（xHV （X）的作用。（1）寫出波函數(shù)的一般表達(dá)式；（2 ）確定粒子在原點(diǎn)處滿足的邊界條件；

27、（3）求出該粒子的透 射系數(shù)和反射系數(shù)；（4）分別指出V。 0與V。：: 0時(shí)的量子力學(xué)效應(yīng)。14. （ 3、4、5）設(shè)一維線性諧振子處于基態(tài)（1 ）求舟 x , ： px（2）寫出本征能量 E，并說明它反映微觀粒子的什么性質(zhì)A A存也X=P<X2 A- < x>2（3） 利用位力定理證明：AxPx = h/2，其中Ij22Apx =px A - V px A15. (4)設(shè)一維諧振子能量本征函數(shù)為振子坐標(biāo)在能量表象中的矩陣表示16.( 4、5) 一維諧振子t= 0時(shí)處于基態(tài)'-o和第一激發(fā)態(tài)的疊加態(tài)- (x,0)二C o( X)亠1( x)XX其中 *o(x)二 N

28、oe 2 一 ，'-；1(X) = N 1e 22 . x(1)求t時(shí)刻位置和動(dòng)量的平均值 ：:：x t，: p t ；(2) 證明對(duì)于一維諧振子的任何狀態(tài)，t時(shí)刻位置和動(dòng)量的平均值有關(guān)系;d1x tp t ；dtm(3) 求t時(shí)刻能量的平均值H t 17.( 4)設(shè)體系處于屮=0丫1°+。2丫21狀態(tài)(已歸一化，即|G|2+|C2|2=1 )。求 ?的可能測值及平均值； ?的可能測值及相應(yīng)的幾率。1i a18. ( 4)設(shè)一量子體系處于用波函數(shù)(汕：).(e "sin cost)所描述的量子態(tài)中。試求丿4兀(1) 在該態(tài)下E的可能測值和各個(gè)值出現(xiàn)的幾率；(2) ?

29、的平均值19. (6) t = 0 時(shí)氫原子的波函數(shù)為 (r ,0) 2 - 1oo 210' 2， 2113 21 。忽略自旋和<10躍遷。2(1) 寫出系統(tǒng)能量、角動(dòng)量平方L及角動(dòng)量z分量Lz的可能測值(表示成基本物理的函數(shù)即可);(2) 上述物理量的可能測值出現(xiàn)的幾率和期望值；(3) 寫出t時(shí)刻的波函數(shù)。A b20. (6)求勢場V(r) 2中的粒子的能級(jí)和定態(tài)波函數(shù)(A,B>0 )r r21. (7、8)設(shè)有一個(gè)定域電子，受到沿x方向均勻磁場 B的作用，Hamiltonian量(不考慮軌道運(yùn)動(dòng))eB eB 表為H =Sx =CTx。設(shè)t = 0時(shí)電子自旋"

30、向上” (Sz = ),求0時(shí)？的平均值。me 2mc2e在均勻磁場中的勢能為：VB，其中_gs2meS，( 2)為電子的磁矩，自旋用22. (8)假設(shè)一個(gè)定域電子(忽略電子軌道運(yùn)動(dòng))在均勻磁場中運(yùn)動(dòng)，磁場B沿z軸正向，電子磁矩泡利矩陣？?表示。2(1)求定域電子在磁場中的哈密頓量，并列出電子滿足的薛定諤方程:23.(3)假設(shè)t =0時(shí)，電子自旋指向x軸正向，即S，求t 0時(shí),2求t 0時(shí)，電子自旋指向 y軸負(fù)向，即s,的幾率是多少?2自旋s的平均值;(8)自旋S = "2，并具有自旋磁矩 M?二S的粒子處于沿 x方向的均勻磁場B中。 粒子的Sz = 2，求在以后任意時(shí)刻發(fā)現(xiàn)粒子具有

31、Sy二；2的幾率。已知t=0時(shí),24.(8)在SZ表象中求自旋角動(dòng)量在 (sinrcos，sinr sin，cosr)方向的投影Sn =S<sin J cos £ sin J sinSzcosr的本征值和所屬的本征函數(shù)。25. ( 8)兩個(gè)自旋為1/2的粒子，在(qz,S2z)表象中的表示為2«i 是第i2個(gè)粒子自旋向上的幾率，Pi是第i個(gè)粒子自旋向下的幾率。a. 求哈密頓量H? = V0(；1x；2y 一二2x)的本征值和本征函數(shù)( V為一常數(shù))；b. t=0時(shí)，體系處于態(tài)>1= 一2=12二一1=0，求t時(shí)刻發(fā)現(xiàn)體系在態(tài)-：»二：2 = 0,-二2

32、二：1 = 1的幾率(注：Gx,y為第i個(gè)粒子泡利算符的x, y分量)26. ( 8)考慮由兩個(gè)自旋為 1的粒子組成的體系，總自旋，求總自旋的平方及z分量(Z) 的共同本征態(tài)，并表示成?和S2本征函數(shù)乘積的線性疊加(取 ？=1)。AA27. (8) 一束自旋為 丄的粒子進(jìn)入Stern-Gerlach裝置SG (I)后被分成兩束，去掉其中爲(wèi)二-'的一22束，另一束(Sz = 一1辦)進(jìn)入第二個(gè) SG (II ), SG (I)與SG (II)的夾角為。則粒子2束穿過SG (II)后又被分為兩束，求這兩束粒子的相對(duì)數(shù)目之比。28. （ 8）試求：？z表象中；？x的矩陣表示29. （8）自旋

33、為1/2的粒子，其自旋角動(dòng)量算符和動(dòng)量算符分別為S和P?。令1 Px, Py, Pz-1/2為 Px,Py,Pz 和Sz的共同本征態(tài)，其本征值分別為Px, Py, Pz和士 h/2，算符?= § P。試問：（1） A是否為厄米算符？在以| Px，Py, Pz，±1/2 A為基的空間中，A的矩陣形式如何？（2） A的本征值是什么？求出的共同本征函數(shù)系30. （ 8）對(duì)自旋為1/2的粒子，Sy和Sz是自旋角動(dòng)量算符，求F?二A$?y BSz的本征函數(shù)和本征值（A與B是實(shí)常數(shù)）31. （ 8）電子處于沿y軸方向的均勻恒定磁場 B中，t=0時(shí)刻在Sz表象中電子的自旋態(tài)為hCOS。&

34、#39;-（0）=，不考慮電子的軌道運(yùn)動(dòng)。lsinc（丿（1）求任意t>0時(shí)刻體系的自旋波函數(shù)（t）；（2 ）在t時(shí)刻電子自旋各分量的平均值；（3）指出哪些自旋分量是守恒量，并簡述其理由。32. （ 8）考慮兩個(gè)電子組成的系統(tǒng)。它們空間部分波函數(shù)在交換電子空間部分坐標(biāo)時(shí)可以是對(duì)稱的或是反對(duì)稱的。由于電子是費(fèi)米子，整體波函數(shù)在交換全部坐標(biāo)變量（包括空間部分和自旋部分） 時(shí)必須是反對(duì)稱的。（1） 假設(shè)空間部分波函數(shù)是反對(duì)稱的，求對(duì)應(yīng)自旋部分波函數(shù)?？傋孕惴x為：S二S! q。 求：S2和Sz的本征值；（2） 假設(shè)空間部分波函數(shù)是對(duì)稱的，求對(duì)應(yīng)自旋部分波函數(shù)，S2和Sz的本征值；（3） 假

35、設(shè)兩電子系統(tǒng)哈密頓量為：H nJ：心，分別針對(duì)（1）（2）兩種情形，求系統(tǒng)的能量。解：1）I,分1自醸三重態(tài)（spin kripleC哈密頓:H = jg利用：坷22h'-2x-h?ft對(duì)門轆，吃態(tài)：=h Jj*對(duì)他能氐=-h241針對(duì)白旋單態(tài):era那分液菌數(shù)炬反對(duì)稱的.自施部分應(yīng)對(duì)稱:牢間部分波丞數(shù)起對(duì)稱的.門旋部分應(yīng)反對(duì)齡村應(yīng)總Fl癥平方屮木IT值為;2h対應(yīng)總Fl旌第三分塑S_本征值分別為；h廠九06對(duì)問”總自庭卡方0本征值為:0一 11匚二.T-. !:(Jhl133. （ 8）兩個(gè)電子處在自旋單態(tài)（00）（1） ：（2） - ：（1）（2）中，其中、：分別是自旋算符2Sz

36、=圧/2和Sz =-淚2的單粒子自旋態(tài)。（1 ）試證明：（00）是算符?2的本征態(tài)（篦和?2分別是兩個(gè)單電子的自旋算符）；（2）如果測量一個(gè)電子的自旋z分量，得Sz二/2，那么測量另一個(gè)電子的自旋Sz二/2的概率是多少？（3 ）如果測量（00）態(tài)的一個(gè)電子的自旋 Sy，測量結(jié)果表明它處在 Sy二/2的本征態(tài)，那么再測量另一個(gè)電子自旋 x分量，得到Sx二- /2的概率是多少？34. （8）由兩個(gè)非全同粒子組成的體系，二粒子自旋均為/2，不考慮軌道運(yùn)動(dòng)，粒子間相互作用可寫作H = ASi s。設(shè)初始時(shí)刻（t = 0 ）粒子1自旋朝上（Siz = 1/2 ），粒子2自旋朝下(Siz = 1 / 2

37、) o 求 t 時(shí)刻（1）粒子1自旋向上的概率；（2）粒子1和2自旋均向上的概率;（3）總自旋為0和1的概率35. （ 8）質(zhì)量為m的一個(gè)粒子在邊長為 a的立方盒子中運(yùn)動(dòng)，粒子所受勢能V（x, y,z）由下式給出:0,x 乏（0,a（0,a （0,a ）V（x, y, z）=| pothers（i）列出定態(tài)薛定諤方程，并求系統(tǒng)能量本征值和歸一化波函數(shù)；（ii）假設(shè)有兩個(gè)電子在立方盒子中運(yùn)動(dòng)，不考慮電子間相互作用，系統(tǒng)基態(tài)能是多少？并寫出歸一化系統(tǒng)基態(tài)波函數(shù)（提示：電子自旋為g，是費(fèi)米子）；（iii）假設(shè)有兩個(gè)玻色子在立方盒子中運(yùn)動(dòng),不考慮玻色子間相互作用,系統(tǒng)基態(tài)能是多少?并寫出歸一化系統(tǒng)基態(tài)

38、波函數(shù)。36. （ 2、4、6、8 ）已知t =0時(shí)，氫原子的波函數(shù)為f （r ,Sz,t0)=1 .'100 (r)2'、3； /2211(r )J其中'nlm（r）二 Rn.（r）Ylm（l）滿足歸一化條件.nlm （）di =1。試（1）寫出任意t時(shí)刻的波函數(shù)T（r,sz,t）（2）求能量E、軌道角動(dòng)量L2和?z、自旋Sz的可能取值和相應(yīng)的幾率以及平均值（3）計(jì)算t時(shí)刻自旋分量 Sx的平均值Sxh（4） 寫出t時(shí)刻電子處在以原子核為球心，半徑為 R的球體積內(nèi)，且 Sz的幾率的表達(dá)2式37. （ 6、10）粒子處在無限深球方勢阱中（1）求其徑向波函數(shù) Rnr,0（r

39、）和能量本征值Enr,0 ；（2）今加上一微擾V'- ；r （；為小量），求能量一級(jí)修正值（只求第一激發(fā)態(tài)nr =1的結(jié)果）°38. （6、10） 一維無限深方勢阱（0 ： x a）中的粒子受到微擾4 Acosa(0 ： x a)的作用，其中 A為常數(shù)。求基態(tài)能量的二級(jí)近似與波函數(shù)的一級(jí)近似。39.(3、10 ) 一維諧振子的哈密頓為"d +12x2,若再加上2m dx22個(gè)外場作用R' = ax (a：1)，使用微擾論計(jì)算體系的能量到二級(jí)修正，并與嚴(yán)格解比較。40.(10)有一兩能級(jí)體系，哈密頓量為H?二H?0 H?'，在H?0表象中，F(xiàn)?0和H?

40、'表示為乍1 0H?' = b'0 1 A3 E2丿J 0丿H?o =F?'為微擾，b表示微擾程度，試求 H的本征值和本征態(tài)。41.(10)設(shè)Hamilton量的矩陣形式為：H0 0 c-2,42.(1)(2)(3)設(shè)c<<1，應(yīng)用微擾論求 H本征值到二級(jí)近似;求H的精確本征值;在怎樣條件下，上面二結(jié)果一致。(io)設(shè)在表象H?o中,"1 0 0 x巾1 1 "#0 = E00 1 02 1 0 1e 0 2J 1 2>二H?0 ，H0與微擾H? 的矩陣為其中Eo與2Eo分別是基態(tài)與激發(fā)態(tài)的零級(jí)近似能量,c是微小量。(1)

41、求基態(tài)的一級(jí)近似能量與零級(jí)近似態(tài)矢43.(2) 激發(fā)態(tài)的二級(jí)近似能量與一級(jí)近似態(tài)矢。00、0a0X0引0a0b1°01°b°。用微擾法求能量至二級(jí)修(10)已知系統(tǒng)的哈密頓量為 H。正。44.(10)設(shè)粒子在二維無限深勢阱V(X, y) = *x“a中運(yùn)動(dòng)，設(shè)加上微擾 otherwhereH?i二xy(0 ： x, y a)。求基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)的一階能量修正。45. ( 10 ) 一個(gè)取向用角坐標(biāo)71和.確定的轉(zhuǎn)子作受礙轉(zhuǎn)動(dòng)，用下述哈密頓描述：46.48.49.* = aL2 B 2 cos（2），式中a和B均為常數(shù)，且A B，l?是角動(dòng)量平方算符。試用一級(jí)微擾論

42、計(jì)算系統(tǒng)的p能級(jí)（1=1）的分裂，并算出微擾后的零級(jí)近似波函數(shù)。（3、10）對(duì)于一維諧振子，取基態(tài)試探波函數(shù)形式為2e'x ,為參數(shù)。用變分法求基態(tài)能量，并VW與嚴(yán)格解進(jìn)行比較。47.（10）氫原子處于基態(tài)：沿 z方向加一個(gè)均勻弱電場名，視電場為微擾。求電場作用后的基態(tài)波函 數(shù)（一級(jí)近似），能級(jí)（二級(jí)近似），平均電矩和電極化系數(shù)Ax (A 0)(10)考慮體系 H?二 T V(x)，且 V(x)珂一' )a.利用變分法，取試探波函數(shù)為弓1（x）二1/2eJ22b21 ，（不考慮自旋）。求基態(tài)能量上限;b.我們知道，如試探波函數(shù)為2（x）二2x 蘭1/2e2b2，則基態(tài)能量上限為

43、b數(shù)。已知o*nedx2 dx =2n 151.（ 10）質(zhì)量為，的粒子在一維勢場°°, z< 0中運(yùn)動(dòng)，式中G a 0。Gz, z> 0（1）用變分法計(jì)算基態(tài)能量時(shí)，在 么？z 0區(qū)域內(nèi)的試探波函數(shù)應(yīng)取下列波函數(shù)中的哪一個(gè)？為什(a)z z2,2(b) e'z(c) ze隹,(d )sinz2 281 1/3/ A h 1/3E（）（）。對(duì)這兩個(gè)基態(tài)的能量上限，你能接受哪一個(gè)？為什么?4兀m（2）算出基態(tài)能量。提示：必要時(shí)可利用積分公式:zne_zdz 二n!n 1 a52. (10)質(zhì)量為 m的的粒子在勢場 V(x)=*:, x 02Cx , x 0(C 0)中運(yùn)動(dòng)。(1) 用變分法估算粒子基態(tài)能量，試探波函數(shù)取屮(x) = Axe曲，九為變分參量。(2) 它是解的上限，還是下限？將它同精確解比