數(shù)學(xué)歸納法典型例題

1、課前探究學(xué)習(xí)課前探究學(xué)習(xí)活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動(dòng)課堂講練互動(dòng)數(shù)學(xué)歸納法是用來證明某些與 有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種方法基本步驟：證明：當(dāng) 時(shí)，命題成立；假設(shè) 時(shí)命題成立，證明：當(dāng) 時(shí)，命題成立根據(jù)可以斷定命題對(duì)一切正整數(shù)nn0都成立數(shù)學(xué)歸納法部分?jǐn)?shù)學(xué)歸納法部分1數(shù)學(xué)歸納法正整數(shù)2數(shù)學(xué)歸納法證明步驟nn0nk (k n0)nk1課前探究學(xué)習(xí)課前探究學(xué)習(xí)活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動(dòng)課堂講練互動(dòng)1.說明：歸納法是一種推理方法，數(shù)學(xué)歸納法是一種證明方法歸納法幫助我們提出猜想，而數(shù)學(xué)歸納法的作用是證明猜想“觀察猜想證明”是解答與正整數(shù)有關(guān)命題的有效途徑課前探究學(xué)習(xí)課前探究學(xué)習(xí)活頁規(guī)范訓(xùn)練活

2、頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動(dòng)課堂講練互動(dòng)利用數(shù)學(xué)歸納法證明的命題范圍比較廣泛，可以涵蓋代數(shù)、三角恒等式、不等式、數(shù)列、幾何問題、整除性問題等等，所涉及的題型主要有以下幾個(gè)方面：(1)已知數(shù)列的遞推公式，求通項(xiàng)或前n項(xiàng)和；(2)由一些恒等式、不等式改編的探究性問題，求使命題成立的參數(shù)的值或范圍；(3)猜想并證明對(duì)正整數(shù)n都成立的一般性命題2.數(shù)學(xué)歸納法的主要應(yīng)用課前探究學(xué)習(xí)課前探究學(xué)習(xí)活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動(dòng)課堂講練互動(dòng)(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明的對(duì)象是與正整數(shù)n有關(guān)的命題(2)在用數(shù)學(xué)歸納法證明中，兩個(gè)基本步驟缺一不可3應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的注意事項(xiàng)課前探究學(xué)習(xí)課前探究學(xué)習(xí)活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練

3、課堂講練互動(dòng)課堂講練互動(dòng)【例1】 用數(shù)學(xué)歸納法證明：1427310n(3n 1)n(n1)2(其中nN) 題型一恒等式問題課前探究學(xué)習(xí)課前探究學(xué)習(xí)活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動(dòng)課堂講練互動(dòng) (1)當(dāng)n1時(shí)，左邊144，右邊1224，左邊右邊，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN N，k1)時(shí)等式成立，即1427310k(3k1)k(k1)2，那么，當(dāng)nk1時(shí)，1427310k(3k1)(k1)3(k1)1k(k1)2(k1)3(k1)1(k1)(k24k4)(k1)(k1)12，即當(dāng)nk1時(shí)等式也成立根據(jù)(1)和(2)，可知等式對(duì)任何nN N都成立證明課前探究學(xué)習(xí)課前探究學(xué)習(xí)活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)

4、范訓(xùn)練課堂講練互動(dòng)課堂講練互動(dòng)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的等式命題時(shí)，關(guān)鍵在于“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項(xiàng)，項(xiàng)的多少與n的取值是否有關(guān)，由nk到nk1時(shí)，等式兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)難點(diǎn)在于尋找nk時(shí)和nk1時(shí)的等式的聯(lián)系課前探究學(xué)習(xí)課前探究學(xué)習(xí)活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動(dòng)課堂講練互動(dòng)課前探究學(xué)習(xí)課前探究學(xué)習(xí)活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動(dòng)課堂講練互動(dòng)課前探究學(xué)習(xí)課前探究學(xué)習(xí)活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動(dòng)課堂講練互動(dòng)課前探究學(xué)習(xí)課前探究學(xué)習(xí)活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動(dòng)課堂講練互動(dòng)【例2】 幾個(gè)半圓的圓心在同一條直線l上，這幾個(gè)半圓每兩個(gè) 都相交，

5、且都在直線l的同側(cè)，求證這些半圓被所有的交點(diǎn) 最多分成的圓弧段數(shù)為f(n)n2.(n2，nN)題型二幾何問題課前探究學(xué)習(xí)課前探究學(xué)習(xí)活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動(dòng)課堂講練互動(dòng)課前探究學(xué)習(xí)課前探究學(xué)習(xí)活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動(dòng)課堂講練互動(dòng) 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是“找項(xiàng)”，即幾何元素從k個(gè)變成k1個(gè)時(shí)，所證的幾何量將增加多少，這需用到幾何知識(shí)或借助于幾何圖形來分析，實(shí)在分析不出來的情況下，將nk1和nk分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加說明即可，這也是用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何命題的一大技巧課前探究學(xué)習(xí)課前探究學(xué)習(xí)活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動(dòng)課堂

6、講練互動(dòng)課前探究學(xué)習(xí)課前探究學(xué)習(xí)活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動(dòng)課堂講練互動(dòng)課前探究學(xué)習(xí)課前探究學(xué)習(xí)活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動(dòng)課堂講練互動(dòng) 題型三不等式問題課前探究學(xué)習(xí)課前探究學(xué)習(xí)活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動(dòng)課堂講練互動(dòng)課前探究學(xué)習(xí)課前探究學(xué)習(xí)活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動(dòng)課堂講練互動(dòng)課前探究學(xué)習(xí)課前探究學(xué)習(xí)活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動(dòng)課堂講練互動(dòng)課前探究學(xué)習(xí)課前探究學(xué)習(xí)活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動(dòng)課堂講練互動(dòng)課前探究學(xué)習(xí)課前探究學(xué)習(xí)活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動(dòng)課堂講練互動(dòng)【例4】 (12分)在數(shù)列an，bn中，a12，b14，且an， bn

7、，an1成等差數(shù)列，bn，an1，bn1成等比數(shù)列(nN) 求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測an，bn的通項(xiàng)公 式，并證明你的結(jié)論 歸納猜想證明是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一， 此類問題可分為歸納性問題和存在性問題，本例中歸納性問 題需要從特殊情況入手，通過觀察、分析、歸納、猜想，探 索出一般規(guī)律題型四“歸納、猜想、證明”問題審題指導(dǎo)課前探究學(xué)習(xí)課前探究學(xué)習(xí)活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動(dòng)課堂講練互動(dòng)課前探究學(xué)習(xí)課前探究學(xué)習(xí)活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動(dòng)課堂講練互動(dòng)課前探究學(xué)習(xí)課前探究學(xué)習(xí)活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動(dòng)課堂講練互動(dòng)【題后反思】 對(duì)于已知遞推公式求通項(xiàng)公式

8、，可以把遞推公式變形轉(zhuǎn)化成我們熟悉的知識(shí)來解決，當(dāng)用上述方法不能解決問題時(shí)，常用歸納、猜想和證明的方法來解決問題，用該法要求計(jì)算準(zhǔn)確，歸納、猜想正確然后用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想對(duì)任何自然數(shù)都成立課前探究學(xué)習(xí)課前探究學(xué)習(xí)活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動(dòng)課堂講練互動(dòng)【訓(xùn)練4】 設(shè)數(shù)列an滿足an1an2nan1，n1,2,3， (1)當(dāng)a12時(shí)，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一個(gè)通項(xiàng) 公式； (2)當(dāng)a13時(shí)，證明對(duì)所有的n1，有ann2. (3)在（2）的前提下，證明：2111111121naaa課前探究學(xué)習(xí)課前探究學(xué)習(xí)活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動(dòng)課堂講練互動(dòng)(2)證明當(dāng)n1時(shí)，

9、a1312，不等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k1)時(shí)不等式成立，即akk2，那么，ak1ak(akk)1(k2)(k2k)1k3.即nk1時(shí)，ak1(k1)2.由可知，對(duì)n1，都有ann2.（3）證明（略）學(xué)生證自己證課前探究學(xué)習(xí)課前探究學(xué)習(xí)活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動(dòng)課堂講練互動(dòng)【示例】 當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，7n1能否被8整除？若能，用數(shù)學(xué)歸 納法證明；若不能，請(qǐng)舉出反例 錯(cuò)解 (1)當(dāng)n1時(shí)，718能被8整除命題成立 (2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)命題成立，即7k1能被8整除則當(dāng)nk1 時(shí)，7k117(7k1)6不能被8整除 由(1)和(2)知，n為正奇數(shù)時(shí)，7n1不能被8整除題型五 整除問題課前探究學(xué)習(xí)課前探究學(xué)習(xí)活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動(dòng)課堂講練互動(dòng) 不要機(jī)械套用數(shù)學(xué)歸納法中的兩個(gè)步驟，而忽略了n是正奇數(shù)的條件證明前要看準(zhǔn)已知條件正解 (1)當(dāng)n1時(shí)，718能被8整除，命題成立；(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)命題成立，即7k1能被8整除，則當(dāng)nk2時(shí)，7k2172(7k1)17249(7k1)48，因?yàn)?k1能被8整除，且48能被8整除，所以7k21能被8整除所以當(dāng)nk2時(shí)命題成立由(1)和(2)知，當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，7k1能被8整