數學歸納法典型例題

1、課前探究學習課前探究學習活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練課堂講練互動課堂講練互動數學歸納法是用來證明某些與 有關的數學命題的一種方法基本步驟：證明：當 時，命題成立；假設 時命題成立，證明：當 時，命題成立根據可以斷定命題對一切正整數nn0都成立數學歸納法部分數學歸納法部分1數學歸納法正整數2數學歸納法證明步驟nn0nk (k n0)nk1課前探究學習課前探究學習活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練課堂講練互動課堂講練互動1.說明：歸納法是一種推理方法，數學歸納法是一種證明方法歸納法幫助我們提出猜想，而數學歸納法的作用是證明猜想“觀察猜想證明”是解答與正整數有關命題的有效途徑課前探究學習課前探究學習活頁規(guī)范訓練活

2、頁規(guī)范訓練課堂講練互動課堂講練互動利用數學歸納法證明的命題范圍比較廣泛，可以涵蓋代數、三角恒等式、不等式、數列、幾何問題、整除性問題等等，所涉及的題型主要有以下幾個方面：(1)已知數列的遞推公式，求通項或前n項和；(2)由一些恒等式、不等式改編的探究性問題，求使命題成立的參數的值或范圍；(3)猜想并證明對正整數n都成立的一般性命題2.數學歸納法的主要應用課前探究學習課前探究學習活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練課堂講練互動課堂講練互動(1)用數學歸納法證明的對象是與正整數n有關的命題(2)在用數學歸納法證明中，兩個基本步驟缺一不可3應用數學歸納法的注意事項課前探究學習課前探究學習活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練

3、課堂講練互動課堂講練互動【例1】 用數學歸納法證明：1427310n(3n 1)n(n1)2(其中nN) 題型一恒等式問題課前探究學習課前探究學習活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練課堂講練互動課堂講練互動 (1)當n1時，左邊144，右邊1224，左邊右邊，等式成立(2)假設當nk(kN N，k1)時等式成立，即1427310k(3k1)k(k1)2，那么，當nk1時，1427310k(3k1)(k1)3(k1)1k(k1)2(k1)3(k1)1(k1)(k24k4)(k1)(k1)12，即當nk1時等式也成立根據(1)和(2)，可知等式對任何nN N都成立證明課前探究學習課前探究學習活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)

4、范訓練課堂講練互動課堂講練互動用數學歸納法證明與正整數有關的等式命題時，關鍵在于“先看項”，弄清等式兩邊的構成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項，項的多少與n的取值是否有關，由nk到nk1時，等式兩邊會增加多少項難點在于尋找nk時和nk1時的等式的聯系課前探究學習課前探究學習活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練課堂講練互動課堂講練互動課前探究學習課前探究學習活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練課堂講練互動課堂講練互動課前探究學習課前探究學習活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練課堂講練互動課堂講練互動課前探究學習課前探究學習活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練課堂講練互動課堂講練互動【例2】 幾個半圓的圓心在同一條直線l上，這幾個半圓每兩個 都相交，

5、且都在直線l的同側，求證這些半圓被所有的交點 最多分成的圓弧段數為f(n)n2.(n2，nN)題型二幾何問題課前探究學習課前探究學習活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練課堂講練互動課堂講練互動課前探究學習課前探究學習活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練課堂講練互動課堂講練互動 用數學歸納法證明幾何問題的關鍵是“找項”，即幾何元素從k個變成k1個時，所證的幾何量將增加多少，這需用到幾何知識或借助于幾何圖形來分析，實在分析不出來的情況下，將nk1和nk分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加說明即可，這也是用數學歸納法證明幾何命題的一大技巧課前探究學習課前探究學習活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練課堂講練互動課堂

6、講練互動課前探究學習課前探究學習活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練課堂講練互動課堂講練互動課前探究學習課前探究學習活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練課堂講練互動課堂講練互動 題型三不等式問題課前探究學習課前探究學習活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練課堂講練互動課堂講練互動課前探究學習課前探究學習活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練課堂講練互動課堂講練互動課前探究學習課前探究學習活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練課堂講練互動課堂講練互動課前探究學習課前探究學習活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練課堂講練互動課堂講練互動課前探究學習課前探究學習活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練課堂講練互動課堂講練互動【例4】 (12分)在數列an，bn中，a12，b14，且an， bn

7、，an1成等差數列，bn，an1，bn1成等比數列(nN) 求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測an，bn的通項公 式，并證明你的結論 歸納猜想證明是高考重點考查的內容之一， 此類問題可分為歸納性問題和存在性問題，本例中歸納性問 題需要從特殊情況入手，通過觀察、分析、歸納、猜想，探 索出一般規(guī)律題型四“歸納、猜想、證明”問題審題指導課前探究學習課前探究學習活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練課堂講練互動課堂講練互動課前探究學習課前探究學習活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練課堂講練互動課堂講練互動課前探究學習課前探究學習活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練課堂講練互動課堂講練互動【題后反思】 對于已知遞推公式求通項公式

8、，可以把遞推公式變形轉化成我們熟悉的知識來解決，當用上述方法不能解決問題時，常用歸納、猜想和證明的方法來解決問題，用該法要求計算準確，歸納、猜想正確然后用數學歸納法證明猜想對任何自然數都成立課前探究學習課前探究學習活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練課堂講練互動課堂講練互動【訓練4】 設數列an滿足an1an2nan1，n1,2,3， (1)當a12時，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一個通項 公式； (2)當a13時，證明對所有的n1，有ann2. (3)在（2）的前提下，證明：2111111121naaa課前探究學習課前探究學習活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練課堂講練互動課堂講練互動(2)證明當n1時，

9、a1312，不等式成立假設當nk(k1)時不等式成立，即akk2，那么，ak1ak(akk)1(k2)(k2k)1k3.即nk1時，ak1(k1)2.由可知，對n1，都有ann2.（3）證明（略）學生證自己證課前探究學習課前探究學習活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練課堂講練互動課堂講練互動【示例】 當n為正奇數時，7n1能否被8整除？若能，用數學歸 納法證明；若不能，請舉出反例 錯解 (1)當n1時，718能被8整除命題成立 (2)假設當nk時命題成立，即7k1能被8整除則當nk1 時，7k117(7k1)6不能被8整除 由(1)和(2)知，n為正奇數時，7n1不能被8整除題型五 整除問題課前探究學習課前探究學習活頁規(guī)范訓練活頁規(guī)范訓練課堂講練互動課堂講練互動 不要機械套用數學歸納法中的兩個步驟，而忽略了n是正奇數的條件證明前要看準已知條件正解 (1)當n1時，718能被8整除，命題成立；(2)假設當nk時命題成立，即7k1能被8整除，則當nk2時，7k2172(7k1)17249(7k1)48，因為7k1能被8整除，且48能被8整除，所以7k21能被8整除所以當nk2時命題成立由(1)和(2)知，當n為正奇數時，7k1能被8整