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1、課前探究學(xué)習課前探究學(xué)習活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動課堂講練互動數(shù)學(xué)歸納法是用來證明某些與 有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種方法基本步驟:證明:當 時,命題成立;假設(shè) 時命題成立,證明:當 時,命題成立根據(jù)可以斷定命題對一切正整數(shù)nn0都成立數(shù)學(xué)歸納法部分數(shù)學(xué)歸納法部分1數(shù)學(xué)歸納法正整數(shù)2數(shù)學(xué)歸納法證明步驟nn0nk (k n0)nk1課前探究學(xué)習課前探究學(xué)習活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動課堂講練互動1.說明:歸納法是一種推理方法,數(shù)學(xué)歸納法是一種證明方法歸納法幫助我們提出猜想,而數(shù)學(xué)歸納法的作用是證明猜想“觀察猜想證明”是解答與正整數(shù)有關(guān)命題的有效途徑課前探究學(xué)習課前探究學(xué)習活頁規(guī)范訓(xùn)練活
2、頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動課堂講練互動利用數(shù)學(xué)歸納法證明的命題范圍比較廣泛,可以涵蓋代數(shù)、三角恒等式、不等式、數(shù)列、幾何問題、整除性問題等等,所涉及的題型主要有以下幾個方面:(1)已知數(shù)列的遞推公式,求通項或前n項和;(2)由一些恒等式、不等式改編的探究性問題,求使命題成立的參數(shù)的值或范圍;(3)猜想并證明對正整數(shù)n都成立的一般性命題2.數(shù)學(xué)歸納法的主要應(yīng)用課前探究學(xué)習課前探究學(xué)習活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動課堂講練互動(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明的對象是與正整數(shù)n有關(guān)的命題(2)在用數(shù)學(xué)歸納法證明中,兩個基本步驟缺一不可3應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的注意事項課前探究學(xué)習課前探究學(xué)習活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練
3、課堂講練互動課堂講練互動【例1】 用數(shù)學(xué)歸納法證明:1427310n(3n 1)n(n1)2(其中nN) 題型一恒等式問題課前探究學(xué)習課前探究學(xué)習活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動課堂講練互動 (1)當n1時,左邊144,右邊1224,左邊右邊,等式成立(2)假設(shè)當nk(kN N,k1)時等式成立,即1427310k(3k1)k(k1)2,那么,當nk1時,1427310k(3k1)(k1)3(k1)1k(k1)2(k1)3(k1)1(k1)(k24k4)(k1)(k1)12,即當nk1時等式也成立根據(jù)(1)和(2),可知等式對任何nN N都成立證明課前探究學(xué)習課前探究學(xué)習活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)
4、范訓(xùn)練課堂講練互動課堂講練互動用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的等式命題時,關(guān)鍵在于“先看項”,弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律,等式的兩邊各有多少項,項的多少與n的取值是否有關(guān),由nk到nk1時,等式兩邊會增加多少項難點在于尋找nk時和nk1時的等式的聯(lián)系課前探究學(xué)習課前探究學(xué)習活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動課堂講練互動課前探究學(xué)習課前探究學(xué)習活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動課堂講練互動課前探究學(xué)習課前探究學(xué)習活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動課堂講練互動課前探究學(xué)習課前探究學(xué)習活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動課堂講練互動【例2】 幾個半圓的圓心在同一條直線l上,這幾個半圓每兩個 都相交,
5、且都在直線l的同側(cè),求證這些半圓被所有的交點 最多分成的圓弧段數(shù)為f(n)n2.(n2,nN)題型二幾何問題課前探究學(xué)習課前探究學(xué)習活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動課堂講練互動課前探究學(xué)習課前探究學(xué)習活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動課堂講練互動 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是“找項”,即幾何元素從k個變成k1個時,所證的幾何量將增加多少,這需用到幾何知識或借助于幾何圖形來分析,實在分析不出來的情況下,將nk1和nk分別代入所證的式子,然后作差,即可求出增加量,然后只需稍加說明即可,這也是用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何命題的一大技巧課前探究學(xué)習課前探究學(xué)習活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動課堂
6、講練互動課前探究學(xué)習課前探究學(xué)習活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動課堂講練互動課前探究學(xué)習課前探究學(xué)習活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動課堂講練互動 題型三不等式問題課前探究學(xué)習課前探究學(xué)習活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動課堂講練互動課前探究學(xué)習課前探究學(xué)習活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動課堂講練互動課前探究學(xué)習課前探究學(xué)習活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動課堂講練互動課前探究學(xué)習課前探究學(xué)習活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動課堂講練互動課前探究學(xué)習課前探究學(xué)習活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動課堂講練互動【例4】 (12分)在數(shù)列an,bn中,a12,b14,且an, bn
7、,an1成等差數(shù)列,bn,an1,bn1成等比數(shù)列(nN) 求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜測an,bn的通項公 式,并證明你的結(jié)論 歸納猜想證明是高考重點考查的內(nèi)容之一, 此類問題可分為歸納性問題和存在性問題,本例中歸納性問 題需要從特殊情況入手,通過觀察、分析、歸納、猜想,探 索出一般規(guī)律題型四“歸納、猜想、證明”問題審題指導(dǎo)課前探究學(xué)習課前探究學(xué)習活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動課堂講練互動課前探究學(xué)習課前探究學(xué)習活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動課堂講練互動課前探究學(xué)習課前探究學(xué)習活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動課堂講練互動【題后反思】 對于已知遞推公式求通項公式
8、,可以把遞推公式變形轉(zhuǎn)化成我們熟悉的知識來解決,當用上述方法不能解決問題時,常用歸納、猜想和證明的方法來解決問題,用該法要求計算準確,歸納、猜想正確然后用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想對任何自然數(shù)都成立課前探究學(xué)習課前探究學(xué)習活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動課堂講練互動【訓(xùn)練4】 設(shè)數(shù)列an滿足an1an2nan1,n1,2,3, (1)當a12時,求a2,a3,a4,并由此猜想出an的一個通項 公式; (2)當a13時,證明對所有的n1,有ann2. (3)在(2)的前提下,證明:2111111121naaa課前探究學(xué)習課前探究學(xué)習活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動課堂講練互動(2)證明當n1時,
9、a1312,不等式成立假設(shè)當nk(k1)時不等式成立,即akk2,那么,ak1ak(akk)1(k2)(k2k)1k3.即nk1時,ak1(k1)2.由可知,對n1,都有ann2.(3)證明(略)學(xué)生證自己證課前探究學(xué)習課前探究學(xué)習活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動課堂講練互動【示例】 當n為正奇數(shù)時,7n1能否被8整除?若能,用數(shù)學(xué)歸 納法證明;若不能,請舉出反例 錯解 (1)當n1時,718能被8整除命題成立 (2)假設(shè)當nk時命題成立,即7k1能被8整除則當nk1 時,7k117(7k1)6不能被8整除 由(1)和(2)知,n為正奇數(shù)時,7n1不能被8整除題型五 整除問題課前探究學(xué)習課前探究學(xué)習活頁規(guī)范訓(xùn)練活頁規(guī)范訓(xùn)練課堂講練互動課堂講練互動 不要機械套用數(shù)學(xué)歸納法中的兩個步驟,而忽略了n是正奇數(shù)的條件證明前要看準已知條件正解 (1)當n1時,718能被8整除,命題成立;(2)假設(shè)當nk時命題成立,即7k1能被8整除,則當nk2時,7k2172(7k1)17249(7k1)48,因為7k1能被8整除,且48能被8整除,所以7k21能被8整除所以當nk2時命題成立由(1)和(2)知,當n為正奇數(shù)時,7k1能被8整
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