文科立體幾何知識(shí)點(diǎn)方法總結(jié)高三復(fù)習(xí)

1、立體幾何知識(shí)點(diǎn)整理（文科）3.面面平行:.直線和平面的三種位置關(guān)系:l方法一：用線線平行實(shí)現(xiàn)。1.線面平行l(wèi)/l'm/m'l,m符號(hào)表木:2.線面相交l',m'且相交且相交/方法二：用線面平行實(shí)現(xiàn)。三.垂直關(guān)系:1.線面垂直:符號(hào)表木:3.線在面內(nèi)方法一：用線線垂直實(shí)現(xiàn)。方法二：用面面垂直實(shí)現(xiàn)。2.面面垂直:符號(hào)表木:方法一：用線面垂直實(shí)現(xiàn)。二.平行關(guān)系:方法二：計(jì)算所成二面角為直角。1.線線平行:方法一：用線面平行實(shí)現(xiàn)。方:用線方法二：用面面平行實(shí)現(xiàn)。3.線線垂直:方法一：用線面垂直實(shí)現(xiàn)?，F(xiàn)。若l,m方法四：用向量方法:面垂直實(shí)若向量l和向量m共線且l、m不重

2、合，則l/m。2.線面平行:方法一：用線線平行實(shí)現(xiàn)。方法二：用面面平行實(shí)現(xiàn)。方法三：用平面法向量實(shí)現(xiàn)。若n為平面的一個(gè)法向量，nl且l，則方法二：三垂線定理及其逆定理。方法三：用向量方法:若向量l和向量三.夾角問題。（2）求法:l/m的數(shù)量積為0,則l（一）異面直線所成的角:(1)范圍:(0,90方法一：定義法。步驟1:平移，使它們相交,步驟2:解三角形求出角。余弦定理:找到夾角。（常用到余弦定理）（計(jì)算結(jié)果可能是其補(bǔ)角b方法二：向量法。轉(zhuǎn)化為向量的夾角步驟1:如圖，若平面POA同時(shí)垂直于平面和（計(jì)算結(jié)果可能是其補(bǔ)角）：（二）線面角（1）定義：直線l上任取一點(diǎn)P（交點(diǎn)除外），作PO于O,連結(jié)A

3、O,則AO為斜線PA在面內(nèi)的射影，PAO（圖中）為直線l與面所成的角。（2）范圍：0,90當(dāng)0時(shí)，l或l/當(dāng)90時(shí)，l（3）求法：方法一：定義法。步驟1:作出線面角，并證明。步驟2：解三角形，求出線面角。（三）二面角及其平面角（1）定義：在棱l上取一點(diǎn)P,兩個(gè)半平面內(nèi)分別作l的垂線（射線）m、n,則射線m和n的夾角為面角一l一的平面角。（2）范圍：0,180（3）求法：方法一：定義法。步驟1:作出二面角的平面角（三垂線定理），并證明。步驟2:解三角形，求出二面角的平面角。方法二：截面法。高考題典例則交線（射線）AP和AO的夾角就是二面角。步驟2:解三角形，求出二面角。方法三：坐標(biāo)法（計(jì)算結(jié)果可

4、能與二面角互補(bǔ)）。步驟一：計(jì)算cos步驟二：判斷與者互補(bǔ)。四.距離問題。1 .點(diǎn)面距。方法一：幾何法。步驟1:過(guò)點(diǎn)P作PO于O,線段PO即為所求。步驟2:計(jì)算線段PO的長(zhǎng)度。（直接解三角形；等體積法和等面積法；換點(diǎn)法）2 .線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距。3 .異面直線之間的距離方法一：轉(zhuǎn)化為線面距離。如圖，m和n為兩條異面直線，n且m/,則異面直線m和n之間的距離可轉(zhuǎn)化為直線m與平面之間的距離。方法二：直接計(jì)算公垂線段的長(zhǎng)度。方法三：公式法。如圖，AD是異面直線m和n的公垂線段，m/m',則異面直線m和n之間的距離為:所有棱長(zhǎng)都為2,DAADB的大??；考點(diǎn)1點(diǎn)到平面的距離例1如圖，正

5、三棱柱ABCABC的為CCi中點(diǎn).（I）求證：AB1，平面ABD；（n）求二面角（出）求點(diǎn)C到平面A1BD的距離.一考點(diǎn)2異面直線的距離B例2已知三棱錐SABC,底面是邊長(zhǎng)為4J2的正三角形，棱SC的長(zhǎng)為2,且垂直于底面.E、D分別為BC、AB的中點(diǎn)，求CD與SE間的距離.考點(diǎn)3直線到平面的距離例3.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ACi中，G是AAi的中點(diǎn)，求平面GBiDi的距離考點(diǎn)4異面直線所成的角例4如圖，在RtAOB中,0AB斜邊AB4.RtAAOC6過(guò)RtAOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角BAOC的直二面AB的中點(diǎn).(I)求證：平面COD平面AOB；(II)求異面直線AO與CD所成角的大

6、小.BD到C可以通AC角.D是考點(diǎn)5直線和平面所成的角例5.四棱錐SABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC底面ABCD.已知/ABC451,BC22,SA(I)證明SABC；(n)求直線SD與平面SAB所成角的大小.考點(diǎn)6二面角例6.如圖，已知直二面角PQ,APQ,B,C,CACB,BAP45、平面所成的角為30：.(I)證明BC±PQ(II)求二面角BACP的大小.考點(diǎn)7利用空間向量求空間距離和角例7.如圖，已知ABCDAB1C1D1是棱長(zhǎng)為3的正方體,點(diǎn)E在AA上，點(diǎn)F在CC1上，且AEFC11.(1)求證：E,B,F,D1四點(diǎn)共面;2若點(diǎn)G在BC上，BG-,3點(diǎn)M在B

7、Bi上，GM±BF,證:EM±平面BCC向;(3)用表示截面EBFD1和側(cè)面BCC1B1所成的銳二面角的大小,tan一常用結(jié)論1.證明直線與直線的平行的思考途徑:平行；(3)轉(zhuǎn)化為線面平行；】:(1)轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無(wú)交點(diǎn)；(2)轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線(4)轉(zhuǎn)化為線面垂直；(5)轉(zhuǎn)化為面面平行.面平行.3 .證明平面與平面平行的思考途徑：垂直.4 .證明直線與直線的垂直的思考途徑:7 .夾角公式：設(shè)a=(a1，a2,a3),b=(bi,b2,b3),則cosa,b=Wba2b2a3t38 .異面直線所成角:（其中（0Lcos|cos90：）為異面直線a,b所成角,2

8、2222y14X2y2Z2分別表示異面直線a,b的方向向量）IX1X2yiY2Z1Z2I9 .直線AB與平面所成角:arcsinA10、空間四點(diǎn)A、BCP共面11 .二面角l的平面角|AB|OPxOajm為平面的法向量).yOBzOC,且x+y+z=1arccos或|m|n|arccos-|m|n|的法向量）.12 .三余弦定理：設(shè)AC是a內(nèi)的任一條直線，且BOLAC,垂足為C,又設(shè)AO與AB所成的角為1,AB與AC所2.證明直線與平面的平行的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為直線與平面無(wú)公共點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為線線平行；（3）轉(zhuǎn)化為面（1）轉(zhuǎn)化為判定二平面無(wú)公共點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為線面平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面（1

9、）轉(zhuǎn)化為相交垂直；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（3）轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；（4）轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.5 .證明直線與平面垂直的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；（2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；（3）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；（4）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面；（5）轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平面的交線垂直6 .證明平面與平面的垂直的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直.成的角為2,AO與AC所成的角為.貝Ucoscos1cos13.空間兩點(diǎn)間的距離公式方A(X1,認(rèn)),B(X2,y2,Z2),則dA,B=|AB|%ABA1

10、4.異面直線間的距離:d222x)0yJ(Z24).（i1/2是兩異面直線，其公垂向量為n,c、d分別是11,12上任一點(diǎn),d為l1,l2間的距離）.15 .點(diǎn)B到平面的距離:16 .三個(gè)向量和的平方公式:1ABn|(I為平面的法向量,|n|2屯屯(abc)abAB是經(jīng)過(guò)面的一條斜線，A）17.2，cIa2JrcJra17c2長(zhǎng)度為l的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長(zhǎng)分別為22222222l11l2l3cos1cos2cos31sin111、.2sin212、 l3,.2sin夾角分別為1、2、3,則有18.19.,正方體的棱切球的直徑是正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)，正方體的球與正四面體的組合體：

11、棱長(zhǎng)為a的正四面體的內(nèi)切球的半徑體積法）（立體幾何中長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)的公式是其特例）S面積射影定理S.（平面多邊形及其射影的面積分別是S、S,它們所在平面所成銳二面角的）.cos球的組合體（1）球與長(zhǎng)方體的組合體：長(zhǎng)方體的外接球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng).（2）球與正方體的組合體：正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長(zhǎng)外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線長(zhǎng).（3）為:fa,外接球的半徑為a.20.?求點(diǎn)到面的距離的常規(guī)方法是什么？（直接法、二溫馨提示：1.在用反三角函數(shù)表示直線的傾斜角、兩條異面直線所成的角等時(shí)，你是否注意到它們各自的取值范圍及義?異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的取值范圍依次

12、Of-也小0I）£直線的傾斜角、?i到%的角、"與乙的夾角的取值范圍依次是反正弦、反余弦、反正切函數(shù)的取值范圍分別是三解題思路：1、平行垂直的證明主要利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化：段各。川-英）線面平行的判定:a/b,b面,aa/面線面平行的性質(zhì)：三垂線定理（及逆定理）：線面垂直：面面垂直：2、三類角的定義及求法（1）異面直線所成的角0,0°<0<90°（2）直線與平面所成的角0,0°<0<90°（三垂線定理法：AC”作或證AB，3于B,作BO，棱于O,連AO,則AO，棱l,/AOB為所求。）三類角的求法：找出或作出有關(guān)

13、的角。證明其符合定義，并指出所求作的角。計(jì)算大小（解直角三角形，或用余弦定理）高中數(shù)學(xué)立體幾何空間距離1 .兩條異面直線間的距離和兩條異面直線分別垂直相交的直線,叫做這兩條異面直線的公垂線;兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長(zhǎng)度，叫做兩條異面直線的距離.2 .點(diǎn)到平面的距離從平面外一點(diǎn)引一個(gè)平面的垂線，這點(diǎn)和垂足之間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離.3 .直線與平面的距離如果一條直線和一個(gè)平面平行，那么直線上各點(diǎn)到這平面的距離相等，且這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離叫做這條直線和平面的距離.4 .兩平行平面間的距離和兩個(gè)平行平面同時(shí)垂直的直線，叫做這兩平行平面的公垂線，它夾在兩個(gè)平行

14、平面間的公垂線段的員叫做這兩個(gè)平行平面的距離題型一：兩條異面直線間的距離【例1】如圖，在空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a,E、F分別是AB、CD的中點(diǎn).求證：EF是AB和CD的公垂線；(2)求AB和CD間的距離；【規(guī)范解答】證明：連結(jié)AF,BF,由已知可得AF=BF.又因?yàn)锳E=BE,所以FELAB交AB于E.同理EFLDC交DC于點(diǎn)F.所以EF是AB和CD的公垂線.(2)在RtBEF中，BF=a,BE=1a,22所以EF2=BF2-BE2=-a2,即EF=_a.22例1題圖2由(1)知EF是AB、CD的公垂線段，所以AB和CD間的距離為a2【例2】如圖，正四面體A

15、BCD的棱長(zhǎng)為1,求異面直線AB、CD之間的距離.設(shè)AB中點(diǎn)為E,連CE、ED.AC=BC,AE=EB.CD±AB.同理DE±AB.AB，平面CED.設(shè)CD的中點(diǎn)為F,連EF,貝UABLEF.同理可證CD±EF./.EF是異面直線AB、CD的距離.例2題圖CE=,CF=FD=1,/EFC=90°22,EF=Jg212立222.AB、CD的距離是2【解后歸納】求兩條異面直線之間的距離的基本方法:(1)利用圖形性質(zhì)找出兩條異面直線的公垂線，求出公垂線段的長(zhǎng)度(2)如果兩條異面直線中的一條直線與過(guò)另一條直線的平面平行，可以轉(zhuǎn)化為求直線與平面的距離(3)如果兩條

16、異面直線分別在兩個(gè)互相平行的平面內(nèi)，可以轉(zhuǎn)化為求兩平行平面的距離題型二：兩條異面直線間的距離【例3】如圖(1)，正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1,求：A到平面BCD的距離;過(guò)A作AOL平面BCD于O,連BO并延長(zhǎng)與CD相交于E,連AE.AB=AC=AD,.1.OB=OC=OD.OBCD的外心.又BD=BC=CD,例3題圖22.O是BCD的中心，BO=-BE=-33又AB=1,且/AOB=90°,.AO=VAB2BO223_23、,61BCD的距離是.3【例4】在梯形ABCD中,AD/BC,/ABC=,AB=aAD=3a且sin/ADC=±5,又PAL平面ABCD,PA=a,求：(

17、1)二面角PCDA的大??；(2)點(diǎn)A到平面PBC的距離.【規(guī)范解答】(1)作AFLDC于F,連結(jié)PF,AP，平面ABCD,AF±DC,.,.PF±DC, /PFA就是二面角P-CD-A的平面角53a在4ADF中，/AFD=90，/ADF=arcsin',AD=3a,.AF=7,在RtPAF中tan/PFA=fA5,/.ZPFA=arctan走.AF3a33(2)PA，平面ABCD,，PABCXBC，AB, .BC,平面PAB,作AHPB,則BCXAH,.-.AH±WPBC,/PAXAB,PA=AB=a,PB=短a,，AH=i2a2【例5】如圖，所示的多面體

18、是由底面為ABCD的長(zhǎng)方體被截面AECiF所截面而得到的，其中AB=4,BC=2,CCi=3,BE=1.(I)求BF的長(zhǎng)；(n)求點(diǎn)C到平面AECiF的距離.解法1:(I)過(guò)E作EH/BC交CCi于H,貝(JCH=BE=1,EH/AD,且EH=AD. .AF/ECi,./FAD=ZCiEH.RtAADFRtAEHC1.DF=CiH=2.BF.BD2DF226.(n)延長(zhǎng)Cie與CB交于G,連AG,則平面AECiF與平面ABCD相交于AG.過(guò)C作CM±AG,垂足為M,連CiM,由三垂線定理可知AG±CiM.由于AG，面CiMC,且AG面AECiF,所以平面AECiF,面CiM

19、C.在RtAC1CM中，作CQXMCi,垂足為Q,則CQ的長(zhǎng)即為C到面AECiF的距離.解法2:(I)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),Ci(0,4,3).設(shè)F(0,0,.AECiF為平行四邊形，z).(II)設(shè)n1為面AEC1F的法向量，顯然n1不垂直于平面又CCi(0,0,3)，設(shè)CCi與n的夾角為a,則cos可設(shè)4,C到平面AECiF的距離為d|CCi|cos【例6】正三棱柱ABCAB1C1的底面邊長(zhǎng)為|CC；|n1|4、334.3333118,對(duì)角線BC10x,y,33n1D>AC的中點(diǎn)。B1D.BD2B1B22溝.A(1)求點(diǎn)