小學(xué)奧數(shù)工程問題匯總

1、.工程問題講解一：例：一件工作，甲做10 天可完成，乙做15 天可完成 . 問兩人合作幾天可以完成？法一：一件工作看成1 個(gè)整體，因此可以把工作量算作1. 所謂工作效率，就是單位時(shí)間內(nèi)完成的工作量，我們用的時(shí)間單位是“天”，1 天就是一個(gè)單位，所需時(shí)間 =工作量工作效率=6（天） ?兩人合作需要6 天 . 這是工程問題中最基本的問題。法二：為了計(jì)算整數(shù)化（盡可能用整數(shù)進(jìn)行計(jì)算），把工作量多設(shè)份額. 此題， 10 與 15 的最小公倍數(shù)是30. 設(shè)全部工作量為30 份 . 那么甲每天完成3 份，乙每天完成2 份 . 兩人合作所需天數(shù)是30（3+ 2 ） = 6 （天）數(shù)計(jì)算，就方便些.法三： 2

2、. 或者說“工作量固定，工作效率與時(shí)間成反比例”. 甲、乙工作效率的比是1510=3 2. 當(dāng)知道了兩者工作效率之比，從比例角度考慮問題，也需時(shí)間是Word 格式.因此，在下面例題的講述中，不完全采用通常教科書中“把工作量設(shè)為整體1”的做法，而偏重于“整數(shù)化”或“從比例角度出發(fā)”，也許會(huì)使我們的解題思路更靈活一些.一、兩個(gè)人的問題：標(biāo)題上說的“兩個(gè)人”，也可以是兩個(gè)組、兩個(gè)隊(duì)等等的兩個(gè)集體.例 1 一件工作，甲做9 天可以完成，乙做6 天可以完成 . 現(xiàn)在甲先做了3 天，余下的工作由乙繼續(xù)完成. 乙需要做幾天可以完成全部工作？答：乙需要做4 天可完成全部工作.解二： 9 與 6 的最小公倍數(shù)是

3、18. 設(shè)全部工作量是18 份 . 甲每天完成2 份，乙每天完成3 份 . 乙完成余下工作所需時(shí)間是（ 18- 23 ）3= 4 （天） .解三： 甲與乙的工作效率之比是6 9= 2 3.甲做了 3 天，相當(dāng)于乙做了2 天 . 乙完成余下工作所需時(shí)間是6-2=4 （天） .例 2 一件工作，甲、乙兩人合作30 天可以完成，共同做了6 天后，甲離開了，由乙繼續(xù)做了40 天才完成 . 如果這件工作由甲或乙單獨(dú)完成各需要多少天？解： 共做了 6 天后，原來，甲做24 天，乙做24 天，現(xiàn)在，甲做0 天，乙做40=（ 24+16）天 . 這說明原來甲24 天做的工作，可由乙做16 天來代替 . 因此甲

4、的工作效率如果乙獨(dú)做，所需時(shí)間是如果甲獨(dú)做，所需時(shí)間是答：甲或乙獨(dú)做所需時(shí)間分別是75 天和 50 天.Word 格式.例 3 某工程先由甲獨(dú)做63 天，再由乙單獨(dú)做28 天即可完成；如果由甲、乙兩人合作，需48 天完成 . 現(xiàn)在甲先單獨(dú)做 42 天，然后再由乙來單獨(dú)完成，那么乙還需要做多少天？解：先對(duì)比如下： 甲做 63 天，乙做 28 天；甲做 48 天，乙做 48 天 . 就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的甲先單獨(dú)做42 天，比 63 天少做了63-42=21 （天），相當(dāng)于乙要做因此，乙還要做28+28= 56（天） .答：乙還需要做56

5、天.例 4 一件工程，甲隊(duì)單獨(dú)做10 天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做30 天完成 . 現(xiàn)在兩隊(duì)合作，其間甲隊(duì)休息了2 天，乙隊(duì)休息了8天（不存在兩隊(duì)同一天休息）. 問開始到完工共用了多少天時(shí)間？解一： 甲隊(duì)單獨(dú)做8 天，乙隊(duì)單獨(dú)做2 天，共完成工作量余下的工作量是兩隊(duì)共同合作的，需要的天數(shù)是2+8+ 1= 11 （天） .答：從開始到完工共用了11天.解二： 設(shè)全部工作量為30 份 . 甲每天完成3 份，乙每天完成1 份. 在甲隊(duì)單獨(dú)做8 天，乙隊(duì)單獨(dú)做2 天之后，還需兩隊(duì)合作（ 30- 38- 12 ）（3+1）= 1 （天） .解三： 甲隊(duì)做 1 天相當(dāng)于乙隊(duì)做3 天 . 在甲隊(duì)單獨(dú)做8 天后，還余下

6、（甲隊(duì)）10-8= 2（天）工作量 . 相當(dāng)于乙隊(duì)要做 23=6（天） . 乙隊(duì)單獨(dú)做 2 天后，還余下（乙隊(duì)） 6-2=4 （天）工作量 .4=3+1 ，其中 3 天可由甲隊(duì) 1 天完成，因此兩隊(duì)只需再合作 1 天 .例 5 一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做20 天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做30 天完成 . 現(xiàn)在他們兩隊(duì)一起做，其間甲隊(duì)休息了3 天，乙隊(duì)休息了若干天. 從開始到完成共用了16 天 . 問乙隊(duì)休息了多少天？解一： 如果 16 天兩隊(duì)都不休息，可以完成的工作量是由于兩隊(duì)休息期間未做的工作量是Word 格式.乙隊(duì)休息期間未做的工作量是乙隊(duì)休息的天數(shù)是答：乙隊(duì)休息了5天半.解二： 設(shè)全部工作量為60 份

7、. 甲每天完成3 份，乙每天完成2 份 . 兩隊(duì)休息期間未做的工作量是（ 3+2）16- 60= 20（份） .因此乙休息天數(shù)是（20- 3 3 ）2= 5.5（天） .解三： 甲隊(duì)做 2 天，相當(dāng)于乙隊(duì)做3 天 . 甲隊(duì)休息 3 天，相當(dāng)于乙隊(duì)休息4.5 天.如果甲隊(duì) 16 天都不休息，只余下甲隊(duì)4 天工作量，相當(dāng)于乙隊(duì)6 天工作量，乙休息天數(shù)是 16-6-4.5=5.5（天） .例 6 有甲、乙兩項(xiàng)工作，張單獨(dú)完成甲工作要10 天，單獨(dú)完成乙工作要15 天；李單獨(dú)完成甲工作要 8天，單獨(dú)完成乙工作要 20 天 . 如果每項(xiàng)工作都可以由兩人合作，那么這兩項(xiàng)工作都完成最少需要多少天？解： 很明

8、顯，李做甲工作的工作效率高，張做乙工作的工作效率高. 因此讓李先做甲，張先做乙 .設(shè)乙的工作量為 60份（ 15 與 20 的最小公倍數(shù)），張每天完成4 份，李每天完成 3 份 .8 天，李就能完成甲工作. 此時(shí)張還余下乙工作（60-4 8）份 . 由張、李合作需要（ 60-4 8）（4+3）=4（天） .8+4=12 （天） .答：這兩項(xiàng)工作都完成最少需要12 天 . （最優(yōu)化）例 7 一項(xiàng)工程，甲獨(dú)做需10 天，乙獨(dú)做需15 天，如果兩人合作，他要 8 天完成這項(xiàng)工程，兩人合作天數(shù)盡可能少，那么兩人要合作多少天？解： 設(shè)這項(xiàng)工程的工作量為30 份，甲每天完成3 份，乙每天完成2 份 .兩人

9、合作，共完成30.8 + 20.9= 4.2（份） .因?yàn)閮扇撕献魈鞌?shù)要盡可能少，獨(dú)做的應(yīng)是工作效率較高的甲. 因?yàn)橐? 天內(nèi)完成，所以兩人合作的天數(shù)是（ 30-3 8）（4.2-3 ） =5（天） . 很明顯，最后轉(zhuǎn)化成“雞兔同籠”型問題.例 8 甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比單獨(dú)做時(shí)Word 格式.如果這件工作始終由甲一人單獨(dú)來做，需要多少小時(shí)？解： 乙 6 小時(shí)單獨(dú)工作完成的工作量是乙每小時(shí)完成的工作量是兩人合作6 小時(shí)，甲完成的工作量是甲單獨(dú)做時(shí)每小時(shí)完成的工作量甲單獨(dú)做這件工作需要的時(shí)間是答：甲單獨(dú)完成這件工作需要33小時(shí).二、多人的工程問題例 9 一件工作，甲、

10、乙兩人合作36 天完成，乙、丙兩人合作45 天完成，甲、丙兩人合作要60 天完成 . 問甲一人獨(dú)做需要多少天完成？解：設(shè)這件工作的工作量是1.甲、乙、丙三人合作每天完成Word 格式.減去乙、丙兩人每天完成的工作量，甲每天完成答：甲一人獨(dú)做需要90 天完成 .例 9 也可以整數(shù)化，設(shè)全部工作量為180 份，甲、乙合作每天完成5 份，乙、丙合作每天完成4 份，甲、丙合作每天完成 3 份. 請(qǐng)?jiān)囈辉嚕?jì)算是否會(huì)方便些？例 10 一件工作，甲獨(dú)做要12 天，乙獨(dú)做要18 天，丙獨(dú)做要24 天 . 這件工作由甲先做了若干天，然后由乙接著做，乙做的天數(shù)是甲做的天數(shù)的3 倍，再由丙接著做，丙做的天數(shù)是乙做

11、的天數(shù)的2 倍，終于做完了這件工作. 問總共用了多少天？解： 甲做 1 天，乙就做3 天，丙就做32=6（天） .說明甲做了2 天，乙做了23=6（天），丙做26=12( 天），三人一共做了2+6+12=20（天） .答：完成這項(xiàng)工作用了20 天.本題整數(shù)化會(huì)帶來計(jì)算上的方便.12 ，18， 24 這三數(shù)有一個(gè)易求出的最小公倍數(shù)72. 可設(shè)全部工作量為72. 甲每天完成 6，乙每天完成4，丙每天完成3. 總共用了例 11 一項(xiàng)工程，甲、乙、丙三人合作需要13 天完成 . 如果丙休息2 天，乙就要多做4 天，或者由甲、乙兩人合作1天 . 問這項(xiàng)工程由甲獨(dú)做需要多少天？解： 丙 2 天的工作量，相

12、當(dāng)乙4 天的工作量 . 丙的工作效率是乙的工作效率的42=2（倍），甲、乙合作1 天，與乙做 4 天一樣 . 也就是甲做1 天，相當(dāng)于乙做3 天，甲的工作效率是乙的工作效率的3 倍.Word 格式.他們共同做13 天的工作量，由甲單獨(dú)完成，甲需要答：甲獨(dú)做需要26 天.事實(shí)上，當(dāng)我們算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3 2 1，就知甲做1 天，相當(dāng)于乙、丙合作1 天 . 三人合作需13 天，其中乙、丙兩人完成的工作量，可轉(zhuǎn)化為甲再做13 天來完成 . （ OK）例 12 某項(xiàng)工作，甲組3 人 8 天能完成工作，乙組4 人 7 天也能完成工作. 問甲組 2 人和乙組7 人合作多少時(shí)間能完成這項(xiàng)工作

13、？解一： 設(shè)這項(xiàng)工作的工作量是1.甲組每人每天能完成乙組每人每天能完成甲組 2 人和乙組7 人每天能完成答：合作3 天能完成這項(xiàng)工作.解二： 甲組 3 人 8 天能完成，因此2 人 12 天能完成；乙組4 人 7 天能完成，因此7 人 4 天能完成 .現(xiàn)在已不需顧及人數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為：甲組獨(dú)做12 天，乙組獨(dú)做4 天，問合作幾天完成？小學(xué)算術(shù)要充分利用給出數(shù)據(jù)的特殊性. 解二是比例靈活運(yùn)用的典型，如果你心算較好，很快就能得出答數(shù).Word 格式.例 13 制作一批零件，甲車間要10 天完成，如果甲車間與乙車間一起做只要6 天就能完成 . 乙車間與丙車間一起做，需要 8 天才能完成 . 現(xiàn)在三個(gè)車

14、間一起做，完成后發(fā)現(xiàn)甲車間比乙車間多制作零件2400 個(gè) . 問丙車間制作了多少個(gè)零件？解一： 仍設(shè)總工作量為1.甲每天比乙多完成因此這批零件的總數(shù)是丙車間制作的零件數(shù)目是答：丙車間制作了4200 個(gè)零件 .解二： 10 與 6 最小公倍數(shù)是30. 設(shè)制作零件全部工作量為30 份 . 甲每天完成3 份，甲、乙一起每天完成5 份，由此得出乙每天完成2 份. 乙、丙一起，8 天完成 . 乙完成 82=16（份），丙完成30-16=14 （份），就知乙、丙工作效率之比是 16 14=8 7.已知甲、乙工作效率之比是3 2= 12 8. 綜合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是12 8 7.當(dāng)三個(gè)車間一

15、起做時(shí)，丙制作的零件個(gè)數(shù)是2400（12- 8 ） 7= 4200 （個(gè)） . （差倍）例 14 搬運(yùn)一個(gè)倉庫的貨物，甲需要10 小時(shí)，乙需要12 小時(shí)，丙需要15 小時(shí) . 有同樣的倉庫A 和 B，甲在 A 倉庫、乙在 B 倉庫同時(shí)開始搬運(yùn)貨物，丙開始幫助甲搬運(yùn)，中途又轉(zhuǎn)向幫助乙搬運(yùn). 最后兩個(gè)倉庫貨物同時(shí)搬完. 問丙幫助甲、乙各多少時(shí)間？解： 設(shè)搬運(yùn)一個(gè)倉庫的貨物的工作量是1. 現(xiàn)在相當(dāng)于三人共同完成工作量2，所需時(shí)間是Word 格式.答：丙幫助甲搬運(yùn)3 小時(shí)，幫助乙搬運(yùn) 5 小時(shí) .解本題的關(guān)鍵， 是先算出三人共同搬運(yùn)兩個(gè)倉庫的時(shí)間. 本題計(jì)算當(dāng)然也可以整數(shù)化，設(shè)搬運(yùn)一個(gè)倉庫全部工作量為

16、60. 甲每小時(shí)搬運(yùn)6 ，乙每小時(shí)搬運(yùn)5 ，丙每小時(shí)搬運(yùn)4.三人共同搬完，需要602 （ 6+5+ 4 ）= 8（小時(shí)） .甲需丙幫助搬運(yùn)（60- 68）4= 3（小時(shí)） .乙需丙幫助搬運(yùn)（60- 58）4= 5（小時(shí)） .三、水管問題例 15 甲、乙兩管同時(shí)打開，9 分鐘能注滿水池. 現(xiàn)在，先打開甲管，10 分鐘后打開乙管，經(jīng)過3 分鐘就注滿了水池 . 已知甲管比乙管每分鐘多注入0.6 立方米水，這個(gè)水池的容積是多少立方米？甲每分鐘注入水量是乙每分鐘注入水量是因此水池容積是答：水池容積是27 立方米 .例 16 有一些水管，它們每分鐘注水量都相等. 現(xiàn)在按預(yù)定時(shí)間注滿水池，如果開始時(shí)就打開1

17、0 根水管，中途不增開水管，也能按預(yù)定時(shí)間注滿水池. 問開始時(shí)打開了幾根水管？Word 格式.答：開始時(shí)打開6根水管 .例 17 蓄水池有甲、丙兩條進(jìn)水管，和乙、丁兩條排水管. 要灌滿一池水，單開甲管需3 小時(shí)，單開丙管需要5 小時(shí) .要排光一池水，單開乙管需要乙、的順序輪流打開1 小時(shí)，問多少時(shí)間后水開始溢出水池？，否則開甲管的過程中水池里的水就會(huì)溢出 .（此處取5 因?yàn)楣嗟谋扰诺牧看螅┮院螅?20 小時(shí)），池中的水已有Word 格式.此題與廣為流傳的“青蛙爬井”是相仿的：一只掉進(jìn)了枯井的青蛙，它要往上爬30 尺才能到達(dá)井口，每小時(shí)它總是爬 3 尺，又滑下 2 尺. 問這只青蛙需要多少小時(shí)才

18、能爬到井口？看起來它每小時(shí)只往上爬3- 2= 1 （尺），但爬了27 小時(shí)后，它再爬 1 小時(shí)，往上爬了 3 尺已到達(dá)井口 .因此，答案是 28 小時(shí)，而不是30小時(shí).例 18 一個(gè)蓄水池，每分鐘流入4 立方米水 . 如果打開 5 個(gè)水龍頭， 2 小時(shí)半就把水池水放空，如果打開8 個(gè)水龍頭，1 小時(shí)半就把水池水放空. 現(xiàn)在打開13 個(gè)水龍頭，問要多少時(shí)間才能把水放空？解： 先計(jì)算 1 個(gè)水龍頭每分鐘放出水量 .2 小時(shí)半比1 小時(shí)半多 60 分鐘，多流入水4 60= 240（立方米） .時(shí)間都用分鐘作單位，1 個(gè)水龍頭每分鐘放水量是240 （ 5 150- 8 90 ） = 8 （立方米），8

19、 個(gè)水龍頭 1 個(gè)半小時(shí)放出的水量是8 8 90，其中 90 分鐘內(nèi)流入水量是 490，因此原來水池中存有水8 8 90-4 90= 5400 （立方米） .打開 13 個(gè)水龍頭每分鐘可以放出水813，除去每分鐘流入4，其余將放出原存的水，放空原存的5400，需要5400 （8 13- 4） =54（分鐘） . 答：打開13 個(gè)龍頭，放空水池要54 分鐘 .水池中的水，有兩部分，原存有水與新流入的水，就需要分開考慮，解本題的關(guān)鍵是先求出池中原存有的水. 這在題目中卻是隱含著的. （牛吃草）例 19 一個(gè)水池，地下水從四壁滲入池中，每小時(shí)滲入水量是固定的. 打開 A 管， 8 小時(shí)可將滿池水排空

20、，打開C 管，12 小時(shí)可將滿池水排空. 如果打開 A， B 兩管， 4 小時(shí)可將水排空. 問打開 B，C 兩管，要幾小時(shí)才能將滿池水排空？解： 設(shè)滿水池的水量為1.A 管每小時(shí)排出A管 4 小時(shí)排出Word 格式.因此， B，C 兩管齊開，每小時(shí)排水量是B， C 兩管齊開，排光滿水池的水，所需時(shí)間是答： B ， C 兩管齊開要4小時(shí) 48 分才將滿池水排完.本題也要分開考慮，水池原有水（滿池）和滲入水量. 由于不知具體數(shù)量，像工程問題不知工作量的具體數(shù)量一樣.這里把兩種水量分別設(shè)成“1”. 但這兩種量要避免混淆. 事實(shí)上，也可以整數(shù)化，把原有水設(shè)為8 與 12 的最小公倍數(shù) 24.17 世紀(jì)

21、英國(guó)偉大的科學(xué)家牛頓寫過一本普遍算術(shù)一書，書中提出了一個(gè)“牛吃草”問題，這是一道饒有趣味的算術(shù)題 . 從本質(zhì)上講，與例18 和例 19 是類同的 . 題目涉及三種數(shù)量：原有草、新長(zhǎng)出的草、牛吃掉的草. 這與原有水量、滲入水量、水管排出的水量，是完全類同的.講解二：例 1、甲、乙二人同時(shí)從兩地出發(fā)，相向而行。走完全程甲需60 分鐘，乙需40 分鐘。出發(fā)后5 分鐘，甲因忘帶東西而返回出發(fā)點(diǎn)，取東西又耽誤了5 分鐘。甲再出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間兩人相遇？分析： 這道題看起來像行程問題，但是既沒有路程又沒有速度，所以不能用時(shí)間、路程、速度三者的關(guān)系來解答。甲出發(fā) 5 分鐘后返回，路上耽誤10 分鐘，再加上取東西

22、的5 分鐘，等于比乙晚出發(fā)15 分鐘。我們將題目改述一下：完成一件工作，甲需60 分鐘，乙需40 分鐘，乙先干15 分鐘后，甲、乙合干還需多少時(shí)間？由此看出，這道題應(yīng)該用工程問題的解法來解答。答：甲再出發(fā)后15 分鐘兩人相遇。例 2、單獨(dú)完成一件工作，甲按規(guī)定時(shí)間可提前2 天完成，乙則要超過規(guī)定時(shí)間3 天才能完成。如果甲、乙二人合做2 天后，剩下的繼續(xù)由乙單獨(dú)做，那么剛好在規(guī)定時(shí)間完成。問：甲、乙二人合做需多少天完成？分析與解： 乙單獨(dú)做要超過3 天，甲、乙合做2 天后乙繼續(xù)做，剛好按時(shí)完成，說明甲做2 天等于乙做3 天，即完成這件工作，乙需要的時(shí)間是甲的Word 格式.乙需要 10+5=15

23、（天）。甲、乙合作需要例 3、放滿一個(gè)水池的水，若同時(shí)打開1，2，3號(hào)閥門，則 20 分鐘可以完成；若同時(shí)打開2， 3， 4 號(hào)閥門，則21分鐘可以完成；若同時(shí)打開1，3， 4 號(hào)閥門，則28 分鐘可以完成；若同時(shí)打開1， 2，4 號(hào)閥門，則 30分鐘可以完成。問：如果同時(shí)打開1， 2，3， 4 號(hào)閥門，那么多少分鐘可以完成？分析與解： 同時(shí)打開1，2， 3 號(hào)閥門1 分鐘，再同時(shí)打開 2， 3， 4 號(hào)閥門 1 分鐘，再同時(shí)打開 1， 3， 4號(hào)閥門1 分鐘，再同時(shí)打開 1，2， 4 號(hào)閥門 1 分鐘，這時(shí)，1， 2， 3，4 號(hào)閥門各打開了3 分鐘，放水量等于一例 4、 某工程由一、二、三

24、小隊(duì)合干，需要8 天完成；由二、三、四小隊(duì)合干，需要10 天完成；由一、四小隊(duì)合干，需 15 天完成。如果按一、二、三、四、一、二、三、四、的順序，每個(gè)小隊(duì)干一天地輪流干，那么工程由哪個(gè)隊(duì)最后完成？分析與解： 與例 4 類似，可求出一、二、三、四小隊(duì)的工作效率之和是例 5 甲、乙、丙三人做一件工作，原計(jì)劃按甲、乙、丙的順序每人一天輪流去做，恰好整天做完，并且結(jié)束工作的是乙。若按乙、丙、甲的順序輪流件工作，要用多少天才能完成？分析與解： 把甲、乙、丙三人每人做一天稱為一輪。在一輪中，無論誰先誰后，完成的總工作量都相同。所以三種順序前面若干輪完成的工作量及用的天數(shù)都相同（見下圖虛線左邊），相差的就

25、是最后一輪（見下圖虛線右邊）。Word 格式.由最后一輪完成的工作量相同，得到競(jìng)賽一：1 甲、乙兩人共同加工一批零件，8 小時(shí)司以完成任務(wù)如果甲單獨(dú)加工，便需要12 小時(shí)完成現(xiàn)在甲、乙兩人共同生產(chǎn)了 22 小時(shí)后，甲被調(diào)出做其他工作，由乙繼續(xù)生產(chǎn)了420 個(gè)零件才完成任務(wù)問乙一共加工零件多少個(gè)?51 11【分析與解】 乙單獨(dú)加工，每小時(shí)加工=.81224甲調(diào)出后，剩下工作乙需做21184小時(shí) )，所以乙每小時(shí)加工零件842小時(shí)(8 2)( )=(420=25 個(gè)，則 25824555加工 22 25=60(個(gè)) ，因此乙一共加工零件60+420 480( 個(gè)) 52 某工程先由甲單獨(dú)做63 天

26、，再由乙單獨(dú)做28 天即可完成如果由甲、乙兩人合作，需48天完成現(xiàn)在甲先單獨(dú)做 42 天，然后再由乙來單獨(dú)完成，那么還需做多少天?【分析與解】由右表知，甲單獨(dú)工作15 天相當(dāng)于乙單獨(dú)工作20天，也就是甲單獨(dú)工作3 天相當(dāng)于乙單獨(dú)工作 4 天所以，甲單獨(dú)工作 63 天，相當(dāng)于乙單獨(dú)工作6334=84天，即乙單獨(dú)工作84+28=112 天即可完成這項(xiàng)工程現(xiàn)在甲先單獨(dú)做 42 天，相當(dāng)于乙單獨(dú)工作4234=56天，即乙還需單獨(dú)工作112 56=56 天即可完成這項(xiàng)工程3有一條公路，甲隊(duì)獨(dú)修需10 天，乙隊(duì)獨(dú)修需12 天，丙隊(duì)獨(dú)修需15 天現(xiàn)在讓3 個(gè)隊(duì)合修，但中間甲隊(duì)撤出去到另外工地，結(jié)果用了6 天

27、才把這條公路修完當(dāng)甲隊(duì)撤出后，乙、丙兩隊(duì)又共同合修了多少天才完成?【分析與解】甲、乙、丙三個(gè)隊(duì)合修的工作效率為1+111天完成的工程量為13，而12+ =，那么它們 646=101542實(shí)際上因?yàn)橹型境烦黾钻?duì)6 天完成了的工程量為1所以 3 1=1 是因?yàn)榧钻?duì)的中途撤出造成的，甲隊(duì)需1 1=5( 天) 才能完成1 的工程量，所以甲隊(duì)在6 天內(nèi)撤出222102了 5 天 所以，當(dāng)甲隊(duì)撤出后，乙、丙兩隊(duì)又共同合修了5 天才完成Word 格式.4 一件工程，甲隊(duì)獨(dú)做12 天可以完成，甲隊(duì)做3 天后乙隊(duì)做2 天恰好完成一半現(xiàn)在甲、乙兩隊(duì)合做若干天后，由乙隊(duì)單獨(dú)完成，做完后發(fā)現(xiàn)兩段所用時(shí)間相等，則共用了

28、多少天?【分析與解】甲隊(duì)做6 天完成一半，甲隊(duì)做3 天乙隊(duì)做 2天也完成一半。所以甲隊(duì)做3 天相當(dāng)于乙隊(duì)做2 天即甲的工作效率是乙的2 ，從而乙單獨(dú)做122=8( 天 ) 完成，所以兩段所用時(shí)間相等，每段時(shí)間應(yīng)是：2338(1+l+) 3( 天) ，因此共用 326( 天 ) 35抄一份書稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相當(dāng)甲、乙每天工作效率和的 1 如果 3 人合抄只需8 天就完成了，那么乙一人單獨(dú)抄需要多少天才能完成？51 ，又已知甲每天抄寫量等于乙、丙兩人每天抄寫量之和，因此【分析與解】 已知甲、乙、丙合抄一天完成書稿的8甲兩天抄寫書稿的1 ，即甲每天抄

29、寫書稿的1 ；8161 ，即丙每天抄寫書稿的1 ；于是可知乙每天抄寫由于丙抄寫5 天相當(dāng)于甲乙合抄一天，從而丙6 天抄寫書稿的書稿的111 1848.8164824所以乙一人單獨(dú)抄寫需要1 1=24 天才能完成246 游泳池有甲、乙、丙三個(gè)注水管如果單開甲管需要20 小時(shí)注滿水池；甲、乙兩管合開需要8 小時(shí)注滿水池；乙、丙兩管合開需要6 小時(shí)注滿水池那么，單開丙管需要多少小時(shí)注滿水池?【分析與解】乙管每小時(shí)注滿水池的113-=,82040丙管每小時(shí)注滿水池的13116-=.40120因此，單開丙管需要1 11=120=1010(小時(shí))12011117一件工程，甲、乙兩人合作8 天可以完成，乙、

30、丙兩人合作6 天可以完成，丙、丁兩人合作12 天可以完成那么甲、丁兩人合作多少天可以完成?【分析與解】甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是1、1、 1.對(duì)于工作效率有 ( 甲，乙 )+( 丙，丁 ) ( 乙，丙 )=( 甲，丁 ) 8612即 1+1 1=1 ，所以甲、丁合作的工作效率為1 81262424所以，甲、丁兩人合作24 天可以完成這件工程8一項(xiàng)工作，甲、乙兩人合做8 天完成，乙、丙兩人合做9 天完成，丙、甲兩人合做18 天完成那么丙一個(gè)人來做，完成這項(xiàng)工作需要多少天?【分析與解】方法一：對(duì)于工作效率有：( 甲，乙 )+( 乙，丙 ) ( 丙，甲 )=2 乙，即 1+1 1=1

31、3 為兩倍乙的工作效率，所以乙的工作效率為21 891872144Word 格式.而對(duì)于工作效率有， ( 乙，丙 ) 乙 =丙，那么丙的工作效率為1 13 11 1914448那么丙一個(gè)人來做，完成這項(xiàng)工作需=48 天48方法二： 2( 甲，乙，丙 )=( 甲 +乙)+( 乙、丙 )+( 甲、丙 ) 1 1 1 21 ，所以 ( 甲，乙，丙 )=21221 ，21 89187272144即甲、乙、丙3 人合作的工作效率為144那么丙單獨(dú)工作的工作效率為2111 ，那么丙一個(gè)人來做，完成這項(xiàng)工作需48 天1448489某工程如果由第 1、2、 3 小隊(duì)合干需要12 天才能完成；如果由第1、 3、

32、 5 小隊(duì)合干需要 7 天才能完成；如果由第 2、4、5 小隊(duì)合干需要 8 天才能完成；如果由第1、3、4 小隊(duì)合干需要 42 天才能完成那么這5 個(gè)小隊(duì)一起合干需要多少天才能完成這項(xiàng)工程 ?【分析與解】由已知條件可得，對(duì)于工作效率有：(1、 2、 3)+(1 、3、 5)+2(2 、 4、 5)+(1 、 3、4)=3(1 、2、 3、 4、 5) 所以 5 個(gè)小隊(duì)一起合作時(shí)的工作效率為：（ 1 1211 ）311278426所以 5 個(gè)小隊(duì)合作需要6 天完成這項(xiàng)工程.評(píng)注：這類需綜合和差倍等知識(shí)的問題在工程問題中還是很常見的.10 一個(gè)水箱，用甲、乙、丙三個(gè)水管往里注水若只開甲、丙兩管，甲

33、管注入18 噸水時(shí)，水箱已滿；若只開乙、丙兩管，乙管注入27 噸水時(shí)，水箱才滿又知，乙管每分鐘注水量是甲管每分鐘注水量的2 倍則該水箱最多可容納多少噸水 ?【分析與解】設(shè)甲管注入18 噸水所需的時(shí)間為“ 1”，而乙管每分鐘注水量是甲管每分鐘注水量的2 倍，那么乙管注入 18 噸的水所需時(shí)間為“O . 5”，所以乙管注入27 噸水所需的時(shí)間為27180.5=0.75.以下采用兩種方法：方法一：設(shè)丙在單位時(shí)間內(nèi)注入的水為“1”，那么有：因此 18+“1”=27+“O. 75”，則“0 . 25”=9 噸，所以“ 1”=36 噸，即丙在單位時(shí)間內(nèi)灌入36 噸的水所以水箱最多可容納18+36=54 噸

34、的水方法二： 也就是說甲、丙合用的工作效率是乙、丙合用工作效 率 的3 4再設(shè)甲單獨(dú)灌水的工作效率為“1”，那么乙單獨(dú)灌水的工作效率為“2”，有1+丙 = 3 (2+ 丙) ；所以丙的工作4Word 格式.效率為“ 2”，即丙的工作效率等于乙的工作效率，那么在乙、丙合灌時(shí)，丙也灌了27 噸，那么水箱最多可容納27+27=54 噸水11. 某水池的容積是 100立方米，它有甲、乙兩個(gè)進(jìn)水管和一個(gè)排水管甲、乙兩管單獨(dú)灌滿水池分別需要10 小時(shí)和 15 小時(shí)水池中原有一些水，如果甲、乙兩管同時(shí)進(jìn)水而排水管放水，需要6 小時(shí)將水池中的水放完；如果甲管進(jìn)水而排水管放水，需要2 小時(shí)將水池中的水放完問水池

35、中原有水多少立方米?【分析與解】甲每小時(shí)注水10010=10( 立方米 ) ，乙每小時(shí)注水20，10015=(立方米 )3設(shè)排水管每小時(shí)排水量為“排”，則( “排” 10 20) 3=( “排” 10) ，整理得 3“排” 350=“排” 10,2“排” =40，則“排” =2033所以水池中原有水(20 10) 2=20(立方米 ) 12一個(gè)水池，底部安有一個(gè)常開的排水管，上部安有若干個(gè)同樣粗細(xì)的進(jìn)水管當(dāng)打開4 個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要 5 小時(shí)才能注滿水池；當(dāng)打開2 個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要15 小時(shí)才能注滿水池現(xiàn)在需要在2 小時(shí)內(nèi)將水池注滿，那么最少要打開多少個(gè)進(jìn)水管 ?【分析與解】記水池的容積為“1”

36、，設(shè)每個(gè)進(jìn)水管的工作效率為“進(jìn)”，排水管的工作效率為“排”，那么有：4“進(jìn)”“排”= 1 ，2“進(jìn)”“排”= 1.515所以有， 2“進(jìn)” =(1 1)=2 ，那么“進(jìn)”= 1 ，則“排”= 1.515151515題中需同時(shí)打開 x 個(gè)進(jìn)水管2 小時(shí)才能注滿，有：x“進(jìn)”“排”= 1 ，即 1x 1=1 ，解得 x=8.5215152所以至少需打開 9 個(gè)進(jìn)水管，才能在2 小時(shí)內(nèi)將水池注滿13蓄水池有甲、 丙兩條進(jìn)水管和乙、丁兩條排水管 要灌滿一池水， 單開甲管需要3 小時(shí)，單開丙管需要5 小時(shí)要排光一池水，單開乙管需要4 小時(shí)，單開丁管需要 6 小時(shí)現(xiàn)在池內(nèi)有1 池水如果按甲、乙、丙、丁的順

37、序循環(huán)6開各水管，每次每管開1 小時(shí)，問經(jīng)過多少時(shí)間后水開始溢出水池?【分析與解】方法一： 甲、乙、丙、丁四個(gè)水管， 按順序各開 l 小時(shí)，共開 4 小時(shí)， 池內(nèi)灌進(jìn)的水是全池的1 134 11=70.5 6 6最優(yōu)情況為：在完整周期后的1 小時(shí)內(nèi)灌滿一池水因?yàn)榇藭r(shí)為甲管進(jìn)水時(shí)間，且甲的效率是四條管子中最大的那么在最優(yōu)情況下：完整周期只需注入1 1 11池水1703042632所需周期數(shù)為267717173那么，至少需要5 個(gè)完整周期，而5 個(gè)完整周期后，水池內(nèi)有水5=6606124Word 格式.剩下 l 3 1 池水未灌滿，而完整周期后l小時(shí)內(nèi)為甲注水時(shí)間，有11 3( 小時(shí)).44434所以，需5 個(gè)完整周期即 20小時(shí)，再加上3 小時(shí)，即203 小時(shí)后水開始溢出441111方