最新實數(shù)講義---教師版

1、精品文檔精品文檔學(xué)員編號:學(xué)員姓名:講義編號:組長簽字:課時數(shù)：3輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)科教師:實數(shù)授課日期及時段2014 年 11月 7 日 18:3020:30教學(xué)目標(biāo)掌握實數(shù)的范圍以及實數(shù)大小比較、平方根和立方根重點、難點實數(shù)的范圍、無理數(shù)的判斷教學(xué) 內(nèi) 容、疑難講解二、知識點梳理考點三、平方根、算數(shù)平方根和立方根1、平方根如果一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)就叫做a的平方根（或二次方跟）一個數(shù)有兩個平方根,它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方根 正數(shù)a的平方根記做“±啟”。2、算術(shù)平方根正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，記作 力后”。正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個，零的算

2、術(shù)平方根是零a ( a >0);注意后的雙重非負(fù)性:a -0a的三次方根）。-a ( a<0)3、立方根如果一個數(shù)的立方等于a,那么這個數(shù)就叫做a的立方根（或一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負(fù)數(shù)有一個負(fù)的立方根；零的立方根是零注意：如二二=-%,這說明三次根號內(nèi)的負(fù)號可以移到根號外面考點二、實數(shù)的概念及分類1、實數(shù)的分類(3分)正有理數(shù)廠 有理數(shù) 零有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)實數(shù)X負(fù)有理數(shù)正無理數(shù) 1L無理數(shù)J'無限不循環(huán)小數(shù)L負(fù)無理數(shù)整數(shù)包括正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)。正整數(shù)又叫自然數(shù)。正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。2、無理數(shù)在理解無理數(shù)時，要抓住 無限不循環(huán)”這一點

3、，歸納起來有四類：(1)開方開不盡的數(shù)，如y7,3/2等；(2)有特定意義的數(shù)，如圓周率 冗，或化簡后含有 冗的數(shù)，如乙+8等；3(3)有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如 0.1010010001等;(4)某些三角函數(shù)，如sin60o等(這類在初三會出現(xiàn))考點三、實數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和絕對值1、相反數(shù)實數(shù)與它的相反數(shù)是一對數(shù)(只有 符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)， 零的相反數(shù)是零)，從 數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個數(shù)所對應(yīng)的點關(guān)于原點對稱，如果 a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0, a=-b,反之亦成立。2、絕對值一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點與原點的距離，間NO零的絕對值是它本身，若間=a,則a>Q若同=

4、-a,則a&Q正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反 而小。3、倒數(shù)如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=1,反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1。零沒有倒數(shù)。 考點四、實數(shù)大小的比較1、數(shù)軸規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸(畫數(shù)軸時，要注意上述規(guī)定的三要素缺一不 可)O解題時要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，理解實數(shù)與數(shù)軸的點是一一對應(yīng)的，并能靈活運用。2、實數(shù)大小比較的幾種常用方法(1)數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。(2)求差比較：設(shè)a、b是實數(shù)，a -b 0 = a b,a-b=0= a=b,a。b :二 0 a : baaa(3)

5、求冏比較法：設(shè)a、b是兩正頭數(shù)， 一>1u a>b；=1仁a = b； < 1a < b;bbb(4)絕對值比較法：設(shè)a、b是兩負(fù)實數(shù)，則|a|b|u a<b。（5）平方法：設(shè)a、b是兩負(fù)實數(shù)，則a2 >b2 u a <b?？键c五、科學(xué)記數(shù)法和近似數(shù)1、有效數(shù)字一個近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說它精確到哪一位，這時，從 左邊第一個不是零的數(shù)字起 到 右邊精確的數(shù)位止的所有數(shù)字，都叫做這個數(shù)的 有效數(shù)字2、科學(xué)記數(shù)法把一個數(shù)寫做考點六、實數(shù)的運算士 a父10n的形式，其中1 w a < 10, ：（做題的基礎(chǔ)，分值相當(dāng)大）n是整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)

6、記數(shù)法。1、加法交換律a b =b a2、加法結(jié)合律(a b) c = a (b c)3、乘法交換律ab = ba4、乘法結(jié)合律(ab)c =a(bc)5、乘法對加法的分配律a(b c) = ab ac三、典型例題1.下面幾個數(shù)：01237 , 1.01001000122?,杉，其中，無理數(shù)的個數(shù)有（）A、 1B、2C、3D、41.010010001 ，3兀,后是無理數(shù)解析：本題主要考察對無理數(shù)概念的理解和應(yīng)用，其中, 故選C2 （2分）（2013?可北）下列運算中，正確的是（9= ±3B.)C.(-2) 0=0D.29分析：根據(jù)算術(shù)平方根的定義，立方根的定義，致對各選項分析判斷后利

7、用排除法求解.任何數(shù)的零次哥等于1,負(fù)整數(shù)指數(shù)次哥等于正整數(shù)指數(shù)次哥的倒解答：解：A、代=3,故本選項錯誤；B、w-8=-2,故本選項錯誤；C、（ - 2） 0=1,故本選項錯誤；1D、2噎故本選項正確.故選D.點評：本題考查了任何不等于零的數(shù)的零次哥等于1,負(fù)整數(shù)指數(shù)次哥等于正整數(shù)指數(shù)次哥的倒數(shù)，算術(shù)平方根、支方根的定義，是基礎(chǔ)題，熟記概念與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.練習(xí):負(fù)整數(shù)指數(shù)備；算術(shù)平方根；立方根；零指數(shù)哥.716288精品文檔1、下列說法中正確的是（）A、J所的平方根是 冷 B、1的立方根是小C、JI =±1D、一后是5的平方根的相反數(shù)【答案】本題主要考察平方根、算術(shù)平方根、立方

8、根的概念，.匚=9, 9的平方根是冷，A正確.1的立方根是1,員二1 , 一后是5的平方根，B、C、D都不正確.2、如圖，以數(shù)軸的單位長線段為邊做一個正方形，以數(shù)軸的原點為圓心，正方形對角線長為半徑畫弧，交數(shù)軸正 半軸于點A ,則點A表示的數(shù)是（）1A、1 2B、1.4C、忘D、正【答案】本題考察了數(shù)軸上的點與全體實數(shù)的一一對應(yīng)的關(guān)系正方形的邊長為1,對角線為J5,由圓的定義知|AO|=也，. . A表示數(shù)為 M ,故選C.3+加兀一助【答案】: 兀二 3.1415 , 9V 3 兀< 10 因此3市9>0, 3乃10V 0 9）:面小 3一。3兒 9 （3“ 1。）L4、（201

9、2貴州安順）在實數(shù)：3.14159, %萬，1.0100100014.21，兀，與中，無理數(shù)的（）A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個考點：無理數(shù)。解答：解：力肩=4，無理數(shù)有：1.010010001，兀故選B.5. （2012六盤水）數(shù)字 貶,Tt, 煙，cos45 ； 0.32中是無理數(shù)的個數(shù)有（）個.A. 1B. 2C. 3D. 4考點：無理數(shù)；特殊角的三角函數(shù)值。分析：根據(jù)無理數(shù)的三種形式：開方開不盡的數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)，含有兀的數(shù)，結(jié)合所給的數(shù)據(jù)判斷即可.解答：解： a=2, cos45°=,精品文檔精品文檔所以數(shù)字 W，1 為郎泵cos45°, 0 Q

10、中無理數(shù)的有： 血,兀，cos45°,共3個. 3故選C.點評：此題考查了無理數(shù)的 定義，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是掌握無理數(shù)的三種形式.6. （2012您東南州）計算1 2等于（）A. 1B. 3C. - 1D. - 3解析：-1 - 2= - 3.故選D.7. （2012湖北荊門）下列實數(shù)中，無理數(shù)是（）A . - ,B.兀 C.代 D. |-2|解析：A、-至是有理數(shù)，故本選項錯誤；B、是無理數(shù)，故本選項正確；C、V9=3 ,是有理數(shù)，故本選項錯誤；D、|-2|=2,是有理數(shù)，故本選項錯誤；故選B.3.設(shè)辰二值,則下列結(jié)論正確的是（）A.，B.：卜、"C.D. . II .

11、. . 1.解析：（估算）因為 5 j屈旅 ,所以選B3 （2012 婁底）計算:|2|+ （ 3） 0=.考點：實數(shù)的運算；零指數(shù)哥。專題：計算題。分析：分別根據(jù)絕對值的性質(zhì)、0指數(shù)哥及算術(shù)平方根的定義計算出各數(shù)，再根據(jù)實數(shù)的運算法則進(jìn)行計算即可. 解答：解：原式=2+1-2=1 .故答案為：1 .點評：本題考查的是實數(shù)的運算，熟知絕對值的性質(zhì)、0指數(shù)哥及算術(shù)平方根的定義是解答此題的關(guān)鍵.4. （2012 福州）（1）計算：|-3|+（兀+ 1）0-機考點：實數(shù)的運算；,零指數(shù)哥.專題：計算題.分析：（1）原式第一項根據(jù)絕對值的代數(shù)意義：負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)進(jìn)行化簡，第二項利用零指數(shù)公

12、式 化簡，第三項利用 五=|a|化簡，合并后即可得到結(jié)果；解答：（1）解：|- 3|+（什 1）044=3+1 2= 2練習(xí)：1、1） 1.25的算術(shù)平方根是 ;平方根是 .2） -27立方根是.精品文檔32【答案】1) 2 ; 2 .2) -3. 3)2 , ±13,32. (20127K州)計算： H V3 I - V12+2sin60 + (-) 1.33、(2012 廣東)計算： V2- 2sin45 - ( 1+近)0+2 1.考點：實數(shù)的運算；零指數(shù)哥；負(fù)整數(shù)指數(shù)哥；特殊角的三角函數(shù)值。解答：解：原式=b2X21+工22=-.24. (2012 廣東珠海)計算：( - 2

13、)- I - 11+ (2012- n ) 0- (1) T解： ( - 2)2 T - 1|+ (2012- Tt) 0 - ( ) 1,=0 .=2 1 + 1 -2,欄,則A, B兩點的距離為5、點A在數(shù)軸上表示的數(shù)為 31E，點B在數(shù)軸上表示的數(shù)為 解析：在數(shù)軸上找到A、B兩點，網(wǎng)6、實數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示化簡：a -1.(a-2)2練習(xí)1、如圖，數(shù)軸上表示 1,也 的對應(yīng)點分別為A, B,點B關(guān)于點A的對稱點為C,則點C表示的數(shù)是().A ,加1 B. 1忑 C. 2啦 D.也2【答案】選C2、已知實數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示:化簡2c-a+卜一目_卜+3卜-b6.化簡下列各式:

14、(1) |-1.4_ |(2) | -a142| -1 - '-：| |x-|x-3| (x <3)(5) |x2+6x+10|分析：要正確去掉絕對值符號，就要弄清絕對值符號內(nèi)的數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)還是零，然后根據(jù)絕對值的定義 正確去掉絕對值。解：(1) 1.1垃=1.414 V 1.4 2(2) 兀=3.14159 V 3.142.| -3.142|=3.142-兀,冷石，.|。-,加=6-"(4) .xW3,，x-3W0, |x-|x-3|=|x-(3-x)|2月一3 (q三=|2x-3| =3-2兀 U<-)2hl= 34說明：這里對|2x-3|的結(jié)果采取了分類討

15、論的方法，我們對< °)這個絕對值的基本概念要有清楚的認(rèn)識，并能靈活運用。(5) |x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3) 2+1|,.(x+3)2>0,. -.(x+3)2 + 1>0|x2+6x+10|= x2+6x+10練習(xí):1、化簡:和-2闋+|唬+喝-罹-閩7.已知： /荷=0,求實數(shù)a, b的值。分析：已知等式左邊分母 da + 7不能為0,只能有4(0 + f >0,則要求a+7>0,分子J3M一b +|a2-49|=0,3a - t = 0(- 4? - 0由非負(fù)數(shù)的和的性質(zhì)知：3a-b=0且a2-49=0,由此得不等式

16、組從而求出a, b的值。3a - 6 = 0(0"-49，(2)解：由題意得。+ 7>口'(為由(2)得 a2=49 a= i7由(3)得a>-7, - a=-7不合題意舍去。,只取a=7 把a=7代入得b=3a=21a=7, b=21 為所求。8.已知a、b互為相反數(shù)，d互為倒數(shù)，y 滿足 x-J21 + y2+4y + 4= 0,求(a + b)2008x2 -(cd)2009 y + (a + b + cd)y2 ->y2xy 的值.練習(xí):1、已知(x-6) 2+|y+2z|=0 ,求(x-y) 3-z3 的值。解： (x-6)2+：丁 +|y+2z|

17、=00。且(x-6)2>0, J，次一> 0, |y+2z| >0,幾個非負(fù)數(shù)的和等于零，則必有每個加數(shù)都為7 - 6 = 口-=0”及=。解這個方程組得，(x-y) 3-z3=(6-2) 3-(-1) 3=64+1=652、已知+卜+1|=0那么a+b-c的值為【答案】初中階段的三個非負(fù)數(shù)：石之o ,鼻匕。，同a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-2 8、(9分)(2013?可北)定義新運算：對于任意實數(shù)a, b,都有a® b=a (a-b) +1,等式右邊是通常的加法、減法及乘法運算，比如：2 5=2 X (2-5) +1=2X( - 3) +1=-6+1

18、二5(1)求(-2)3的值；(2)若3x的值小于13,求x的取值范圍，并在圖所示的數(shù)軸上表示出來.IIII口)-3-2-10123考點：解一元一次不等式；有理數(shù)的混合運算；在數(shù)軸上表示不等式的解集.716288專題：新定義.分析： (1)按照定義新運算 ab=a (a- b) +1,求解即可；(2)先按照定義新運算ab=a (a-b) +1,得出3®x,再令其小于13,得到一元一次不等式，解不等式求出x的取值范圍，即可在數(shù)軸上表示.解答：解：(1) - a® b=a (a b) +1,(-2) 3=-2 ( - 2-3) +1=10+1=11 ; 3®x<1

19、3, 3 (3 x) +1 <13,9-3x+1 v 13,-3x<3,x> - 1 .在數(shù)軸上表示如下：t5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5>點評： 本題考查了有理數(shù)的混合運算及一元一次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題，理解新定義法則是解題的關(guān)鍵.練習(xí)：ab(a b,a；0)1、(2010湖北孝感，17, 3分)對實數(shù)a、b,定義運算如下：a*b=4',a (a < b,a = 0)1例如 2*3=2 = - .計算2* ( - 4)有(4) ( 2)【答案】111 八2、（2011湖南湘潭市，16, 3分）規(guī)定一種新的運算：a®b=_

20、 + _,則1®2 =a b-1【答案】1 129判斷下列說法是否正確（1） （一 3）'的算術(shù)平方根是-3；（2）亞行 的平方根是土 15.（3）當(dāng)x=0或2時，工/工一2二0（4） 2是分?jǐn)?shù)析：（1）錯在對算術(shù)平方根的理解有誤，算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù).故百?二屎3（2）亞不表示225的算術(shù)平方根，即 J而 =15.實際上，本題是求15的平方根，故J225的平方根是± <15 .（3）注意到，當(dāng)x=o時，7-2 =70-2 = 7-2 ,顯然此式無意義，發(fā)生錯誤的原因是忽視了 “負(fù)數(shù)沒有平方根”，故XW 0,所以當(dāng)x=2時，xJx 2=0.正（4）錯在對實數(shù)的概

21、念理解不清 .2形如分?jǐn)?shù)，但不是分?jǐn)?shù)，它是無理數(shù) .四、課后練習(xí)1、（2011湖北襄陽，6, 3分）下列說法正確的是A.（±）°是無理數(shù)B.也是有理數(shù)C.V4是無理數(shù)D.3/Z8是有理數(shù)23【答案】D2、（2011貴州貴陽，6, 3分）如圖，矩形 OABC的邊OA長為2 ,邊AB長為1, OA在數(shù)軸上，以原點 。為圓 心，對角線OB的長為半徑畫弧，交正半軸于一點，則這個點表示的實數(shù)是-2-10 1 2 3（第6題圖）（A） 2.5（B） 2啦（C）電（D） V5【答案】D3、（2011湖北宜昌，5, 3分）如圖，數(shù)軸上 A, B兩點分別對應(yīng)實數(shù) a, b,則下列結(jié)論正確的是（）A. a < b B.a = bC. a > bD.ab > 0BA*A *Oa（第5題圖） 【答案】C 4、（2011廣東茂名，9, 3分）對于實數(shù)a、b,給出以下三個判斷：若|a| = |耳，則、瓜=Jb .若同<p卜則a <b . 2. 2若a=，則（-a） =b .其中正確的判斷的個數(shù)是 A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】C5、若a為實數(shù)，下列代數(shù)式中，一定是