線性代數(shù)：第6章 二次型.docx

1、第六章二次型二次型的理論起源于二次曲線(曲面)的化簡(jiǎn)問(wèn)題，它在力學(xué)、物理學(xué)以及數(shù)學(xué)的其它分支中都有重要的應(yīng)用。本章主要介紹二次型的定義、標(biāo)準(zhǔn)形和正定二次型。§1二次型的基本概念定義1:形如下列形式的函數(shù)：/0,工2，兀?)=4內(nèi)2+2弓2工1沔+2%,/A+。22工；+2%/2七稱(chēng)為關(guān)于變量沖易，兒的元二次型函數(shù)。簡(jiǎn)稱(chēng)為二次型。記A=(%)療“，為=%.(，”=1,2,，X=(而,也,')，則有f(而,易,.)=XI4X,亦記為f(X)=XAX.式中對(duì)稱(chēng)矩陣A稱(chēng)為二次型對(duì)應(yīng)的矩陣，A的秩的定義為二次型的秩。稱(chēng)為=弓山+.+弓月1也=&5+%)%為變量的線性變換，記C=

2、(%)網(wǎng),丫=(凹況，義)'，則變量的線性變換又可寫(xiě)成X=CY.如果C可逆，稱(chēng)為非退化的線性變換；如果C不可逆，稱(chēng)為退化的線性變換。在本書(shū)中要求矩陣C可逆。如果C為正交矩陣，稱(chēng)變量的線性變換為正交變換。性質(zhì)1：二次型/經(jīng)過(guò)線性變換后仍為二次型。X=CY證明：/(X)=YVACY,因?yàn)?C0C)'=C'AC,C0C對(duì)稱(chēng)，為新二次型所對(duì)應(yīng)的矩陣。定義2：若階方陣A,B存在可逆矩陣C,使得C'AC=B,稱(chēng)矩陣A與8合同。容易驗(yàn)證下列性質(zhì)：1) A與A合同；2）若A與B合同，則B與A合同；3）若A與B合同，B與C合同，貝UA與C合同。由于矩陣C可逆，所以合同的兩個(gè)矩陣的

3、秩相同。05x2為二次型，并寫(xiě)出該例1：驗(yàn)證/(xpx2,x3)=(xpx2,x3)1、4二次型對(duì)應(yīng)的矩陣。解：f(xx,x2,x3)=x+3x,x2+2XW+x2x+5x2x3+4沔石4-2+2x=X)2+4xyx2+6也易+6x2Xj+q23、/、而=（工"2，毛）203。32）123、從而二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為A=203。32,§2標(biāo)準(zhǔn)形只含平方項(xiàng)的二次型稱(chēng)為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形。本節(jié)的一個(gè)重要結(jié)果是：任一二次型可經(jīng)過(guò)變量的線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形。系數(shù)在實(shí)（復(fù)）數(shù)域上的二次型稱(chēng)為實(shí)（復(fù)）二次型，這里討論的二次型指的是實(shí)二次型。由第5章可知對(duì)于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A,存在正交矩陣Q,使得QrA

4、Q=.。I人J對(duì)于A對(duì)應(yīng)的二次型f（X）=X'AX,取X=QYf則有/（X）=（QY）fAQY=（九,，人為A的特征值）。從而任一實(shí)二次型一定可以化為標(biāo)準(zhǔn)形。實(shí)際上復(fù)二次型也有類(lèi)似的結(jié)果。例2：求二次型f=2玉工+2玉沔一2x,x4-2x2x3+2x2x44-2x3x4的標(biāo)準(zhǔn)形。解：二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為I0-111-1010J|2E-A|=-112-1=(A+3)(2-1)3oA的特征值為人=一3,義=1（三重根）。當(dāng)2=-3時(shí),<-3-1-11、q00-1)-1-31-1>0101-11-3-10011-1-1_3>、°00°，外=11、-1,單位

5、化得/?,=-1-1'2-1(1-1-11)P-1-11、-111-10000-111-10000<1-1-1<0000>rr<-r100%=0，3=14=0O<0>施密特正交化得:單位化得:7/11/、1V67T，尤=01川，兀=2oJ1°71/12JA=1"IT,四三10-022431取P=(/3,""/a)，則P為正交矩陣，作線性變換X=PY,則有f=一3)+y；+y；+y：。除上述方法外，還可用中學(xué)的配方法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。下面以具體的例子來(lái)說(shuō)明配方法。例3：用配方法化二次型f=2石易+2-6%2%3

6、為標(biāo)準(zhǔn)形。為=Ji+力q1o、易=凹一力，即x=c/,g=1-10為=為、001,可逆。則f=一2y；-4乂為+8）必解：令=Z|+Z3y2=z2-2z3,亦即Y=C2Zf=2（劣一乃）2-2乂+Sy2y3一2yj=2（劣一y3）2一2（力一2y3）2+6y；。>3=Z3>3=Z3q01、H1-1）C2=01-2可逆。記c=gg=1-13、001；即，作線性變換X=CZ,y2-2y3=z2則有./'=2z；-2z；+6z；o配方法的思想是:選擇某平方項(xiàng)的未知量，把所有含此未知量的項(xiàng)放在一起,添加一些平方項(xiàng)配成完全平方項(xiàng)，再用遞推法做下去。若只有交叉項(xiàng)，采用例3中開(kāi)始的做法構(gòu)

7、造平方項(xiàng)，再按上面方法繼續(xù)。需要說(shuō)明的是如果未知量較多，用配方法比較麻煩，這里只作一般了解即可。對(duì)于實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，適當(dāng)排列未知量的次序可使=4"+4片一弓土桌dryr.,為二次型的秩,°（，=1,2,再作線性變換：扁=Zf則有/*（X,X2，.,X）=Z+.+Z；-zMZ；O上述形式稱(chēng)為實(shí)二次型/（而，工2,天）的規(guī)范形。關(guān)于規(guī)范形有下列定理。定理1（慣性定理）：實(shí)二次型一定存在線性變換化為規(guī)范形。而且規(guī)范形是唯一的，即規(guī)范形中的P,尸是確定的。證明省略。規(guī)范形中，p稱(chēng)為正慣性指標(biāo)，,一稱(chēng)為負(fù)慣性指標(biāo)，p_（r_p）=2p_r稱(chēng)為符號(hào)差，慣性定理說(shuō)明實(shí)二次型的線性變換不

8、改變二次型的正（負(fù)）慣性指標(biāo)。§3正定二次型本節(jié)仍在實(shí)數(shù)域上討論二次型。定義3：元實(shí)二次型f（X）=XfAX,如果對(duì)任意實(shí)維列向量X。更0,均有xnx°（）o,則/稱(chēng)為正（負(fù)）定二次型，對(duì)應(yīng)的對(duì)稱(chēng)矩陣人稱(chēng)為正（負(fù)）定矩陣。若把定義中的”>（v）”改為”2（9”，則稱(chēng)二次型/（或矩陣人）為半正（負(fù)）定的。例如/（xi,a2,x3）=xi2+2%2+3x為正定二次型，/'（工,易,工3）=蚌+是為半正定二次型。定理2：關(guān)于元二次型正定，下列命題等價(jià)：1）/正定（A正定）；2）正慣性指標(biāo)等于；3）A的特征值全大于0；4）存在可逆矩陣C,使得CAC=E；5）存在實(shí)可逆

9、矩陣8,使得A=BfB.證明：1）=2）若不然，p<n,即有線性變換X=CY,X=CYf（x）=*+.+/_）鬲y2f取*=（o,o,.,l）,x°=c*莉，則</（X0）<0,矛盾。由慣性定理，可知2）與3）等價(jià)，2）與4）等價(jià)。4）=>5）人=（。一|）'。一，記B=C,則有A=B'B°5）=>1）VX°h0,因?yàn)锽可逆，所以BX°，0。從而Xo'AX。=Xo'B'BX。=（欣（）'（欣0）>0。從而f正定。11%k對(duì)于對(duì)稱(chēng)矩陣A,稱(chēng)勾=Q=l,2,）為A的A階順序主

10、子。婦akk式。于是有下列定理：定理3：f（X）=XfAX正定，當(dāng)且僅當(dāng)A的各階順序主子式全大于0。證明省略。例4：判斷二次型f=-2x-6a；-4-2xtx24-2x）x3是否為負(fù)定二次型。解：因?yàn)橐?'=2工2+6工；+4云一2工/2-2而易，對(duì)應(yīng)矩陣為A=60,廠10牝2-212>0,=11>0,-16-16-10所以（-/）正定，從而/負(fù)定。A的各階順序主子式:-10=38>0o4例5：取何值時(shí)，二次型/=石2+5£+2田易一2叫工3+4工2馮是正定的？J，-1、解：/對(duì)應(yīng)的矩陣為人=r12,若/正定，貝U廠123,1t-11t4=lo,=>0

11、,A.=t12>0,解得<r<0,t15-1254即一史<，v0時(shí)，二次型/是正定的。例6：設(shè)元實(shí)二次型f(X)=XfAX和g(X)=XX,且g(X)正定。證明存在可逆線性變換x=cy，使得這兩個(gè)二次型同時(shí)化為標(biāo)準(zhǔn)形/=XA|yJ2，k=g=£"。k=證明：因?yàn)锽正定，故存在可逆矩陣G，使得=EO考察矩陣O=C4G，有If=CACy=CACX=D,所以。為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣。故存在正交矩陣G使得C；DJ=C/CjACC=令C=C,C2,則CrBC=（GG）7BGG=c；（C：BC）C2=C2rEC2=E。久、CTAC=Cj（CAC,）C2=CJdc2=%.。

12、取可逆線性變換X=CY,則有/=幺=力對(duì)2。R=1k=這個(gè)例子是把兩個(gè)二次型同時(shí)化為標(biāo)準(zhǔn)形，它在微振動(dòng)理論中是十分有用的。對(duì)定理2和定理3稍作修改，可得二次型半正定的相關(guān)結(jié)果：定理4：下列命題等價(jià)：1) /半正定(A半正定)；2) 正慣性指標(biāo)p=r；3) A的全部特征值大于或等于0；(E0、4) 存在可逆矩陣C,使得CfAC=r；°5) 存在實(shí)方陣8,使得A=B'B；6) A的各階順序主子式大于或等于0。1.2.3.習(xí)題六寫(xiě)出二次型的矩陣表示形式：1)f=x2+4y2+z2+4xy+2xz+4yz；2）f=x2+y2-7z2-2xy-4xz-4yz；3）fg2xx2+4xx3

13、2x（x4+6x2Aj4x2x4o化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形：1）f=2蚌+3%2+3蚌+4x2%3；2)/=#+x；+X；+£+2工內(nèi)_2工內(nèi)_2易石+2毛工4。判斷下列二次型的正定性：1)f=3工2+4,2+5z?+4"4yz；2）f=-5蚌-_4g+4工易；3)f=2工易+2工工3-6x2x3o，為何值時(shí)，下列二次型是正定的:1)f=2、+x；+£+2x,x2+tx2x3；2)/*=+4x；+工；+2囚易+10為工3+6易天。4. 如果二次型f=XfAX,對(duì)于任意維列向量X。，都有Xo'AX°=O。證明4=0。5. 如果A是正定矩陣，證明A"是正定矩陣。6. 如果A,B是階正定矩陣，上>0,/>0。證明加+/B為正定矩陣。7. 設(shè)A是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，證明當(dāng)實(shí)數(shù)，充分大之后，tE+A是正定矩陣。提