數(shù)值分析：5-1 插值問題的提出

1、5.1 插值問題的提出插值問題的提出第五章第五章 函數(shù)近似計算的插值法函數(shù)近似計算的插值法( )iiyf xxf1. 在工程實際問題中,某些變量之間的函數(shù)關(guān)系是存在的, 但通常不能用式子表示,只能由實驗或觀測得到 在一系列離散點上的函數(shù)值. 2( )f x. 有的函數(shù)雖然有表達式,但比較復(fù)雜, 計算函數(shù)很 不經(jīng)濟且不利于在計算機上進行計算.( ,)( ).iixfyf x希望通過這些數(shù)據(jù)計算函數(shù)在其他指定點處的近似值或獲取其他信息,( )( ).P xf x這兩種情況下 都希望用簡單的函數(shù)來逼近原函數(shù)插值問題的提出插值問題的提出插值插值：已知a, b上的函數(shù)y= f (x)在n+1個互異點處的

2、函數(shù)值:fnf2f1f0f(x)xnx2x1x0 x求簡單函數(shù)P (x)，使得( )0,1,( ),*iiP xfin計算 f (x)可通過計算P (x)來近似代替。如下圖所示。yxx0 x1f0f1x2f2xifixi+1fi+1xn-1fn-1xnfnP (x)f(x)一、插值問題一、插值問題的數(shù)學(xué)提法的數(shù)學(xué)提法這就是插值問題, (*)式為插值條件,( )( )P xf x稱函數(shù)為函數(shù)的 插值函數(shù)則稱之為插值多項式為多項式函數(shù)如果,)(xP稱為插值節(jié)點點, 2 , 1 , 0,nixi稱為插值區(qū)間區(qū)間,ba個等分點上若給定如函數(shù)5,0,sinxy 其插值函數(shù)的圖象如圖00.511.522.

3、533.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91sinx的 插 值xy00.511.522.533.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91sinx的 插 值xy00.511.522.533.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91sinx的 插 值xy00.511.522.533.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91sinx的 插 值xy( )( )f xP x對于被插函數(shù)和插值函數(shù)ix在節(jié)點處的函數(shù)值必然相等( )( )P xf x但在節(jié)點外的值可能就會偏離( )( )P xf x因此近似代替必然存在著誤差

4、整體誤差的大小反映了插值函數(shù)的好壞.為了使插值函數(shù)更方便在計算機上運算,一般插值函數(shù)都使用代數(shù)多項式或有理函數(shù).本章討論的就是(代數(shù)代數(shù))多項式插值多項式插值.1. 滿足插值條件的多項式 P(x)是否存在且唯一？2. 若滿足插值條件的P(x)存在,又如何構(gòu)造出P(x);即插值多項式的常用構(gòu)造方法有哪些？3. 用P(x)代替f(x)的誤差估計，即截斷誤差的估計；對于多項式插值，我們主要討論以下幾個問題對于多項式插值，我們主要討論以下幾個問題：4. 當(dāng)插值節(jié)點無限加密時，插值函數(shù)是否收斂于 f(x)。二、插值多項式的存在唯一性二、插值多項式的存在唯一性( ) , yf xa b設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的代數(shù)

5、插值多項式為nnnxaxaxaaxP2210)(且滿足()0,1,2, ,niiP xfin.ia其中是n+1個待定的系數(shù)012( ),nnP xa a aa即多項式的系數(shù)滿足線性方程組20102000nnaa xa xa xf201 12111nnaa xa xa xf2012nnnnnnaa xa xa xf-(1)上述方程組的系數(shù)行列式為n+1階Vandermond行列式nnnnnnxxxxxxxxxV212110200111101)(ninijijxxjixx 0定理定理1. 由Cramer法則,線性方程組(1)有唯一解nnnxaxaxaaxP2210)()0,1,2,niiP xfin-(3)-(2),(jixxji若插值節(jié)點則滿足插值條件的次數(shù) n 的插值多項式存在且唯一.雖然線性方程組(1)推出的插值多項式存在且唯一,但通過解但通過解線性方程組線性方程