統(tǒng)計學第四章

1、第四章 推斷統(tǒng)計概述第一部分 概率論基本知識 一、概率的定義；二、概率的性質(zhì)；三、概率的加法定理和乘法定理 四、概率分布類型四、概率分布類型 概率分布（probability distribution）是指對隨機變量取不同值時的概率的描述，一般用概率分布函數(shù)進行描述。 依不同的標準，對概率分布可作不同的分類。、離散型分布與連續(xù)型分布 依隨機變量的類型，可將概率分布分為離散型概率分布與連續(xù)型概率分布。 教育統(tǒng)計學中最常用的離散型分布是二項分布，最常用的連續(xù)型分布是正態(tài)分布。 、經(jīng)驗分布與理論分布 依分布函數(shù)的來源，可將概率分布分為經(jīng)驗分布與理論分布。 經(jīng)驗分布（empirical distrib

2、ution）是指根據(jù)觀察或?qū)嶒炈@得的數(shù)據(jù)而編制的次數(shù)分布或相對頻率分布。 理論分布（theoretical distribution）是按某種數(shù)學模型計算出的概率分布。 、基本隨機變量分布與抽樣分布 依所描述的數(shù)據(jù)的樣本特性，可將概率分布分為基本隨機變量分布與抽樣分布（sampling distribution）。 基本隨機變量分布是隨機變量各種不同取值情況的概率分布， 抽樣分布是從同一總體內(nèi)抽取的不同樣本的統(tǒng)計量的概率分布。第二部分 幾種常見的概率分布 一、二項分布 二項分布（binomial distribution）是一種具有廣泛用途的離散型隨機變量的概率分布，它是由貝努里創(chuàng)始的，因此

3、又稱為貝努里分布。 2二項分布函數(shù) 二項分布是一種離散型隨機變量的概率分布。 用 n 次方的二項展開式來表達在 n 次二項試驗中成功事件出現(xiàn)的不同次數(shù)（X0，1，n）的概率分布，叫做二項分布函數(shù)。 二項展開式的通式（即二項分布函數(shù)）： 成功概率 p；樣本容量 n 在成功概率為p的總體中隨機抽樣，抽取樣本容量為n的樣本中，有X次為成功的概率： （X0，1，n） 稱X服從參數(shù)為n，p的二項分布，記為： XB(n,p) 其中，0p1 二項分布的性質(zhì) 二項分布有如下性質(zhì)： 當p=q時，圖形是對稱的。 當pq時，直方圖呈偏態(tài)。pq與pq時的偏斜方向相反。 3二項分布的平均數(shù)和標準差 如果二項分布滿足pq

4、且 nq5（或者pq且 np5時，二項分布接近于正態(tài)分布?？捎孟旅娴姆椒ㄓ嬎愣椃植嫉钠骄鶖?shù)和標準差。 二項分布的平均數(shù)為 二項分布的標準差為 4二項分布的應用 二項分布函數(shù)除了用來求成功事件恰好出現(xiàn)X次的概率之外，在教育中主要用來判斷試驗結(jié)果的機遇性與真實性的界限。 一個學生憑猜測做10個是非題，平均可以猜對5題。什么情況下可以說他是真會而不是猜測呢？ 解：猜對與猜錯的概率：p=q=1/2。 猜對8的概率為0.044 猜對9題的概率為0.010 猜對10題的概率為0.001 猜對8題以上的概率為：0.044+0.010+0.001=0.055 一個教師對8個學生的作業(yè)成績進行猜測，如果教師猜

5、對的可能性為13，問： 平均能猜對幾個學生的成績？ 假如規(guī)定猜對95，才算這個教師有一定的評判能力，那么這個教師至少要猜對幾個學生？ (1)( 2) 這個教師至少要猜對5個學生，才有一定的評判能力正態(tài)分布 正態(tài)分布（normal distribution）也稱為常態(tài)分布，是連續(xù)型隨機變量概率分布的一種，是在數(shù)理統(tǒng)計的理論與實際應用中占有最重要地位的一種理論分布。 正態(tài)分布由棣莫弗于1733年發(fā)現(xiàn)的。拉普拉斯、高斯對正態(tài)分布的研究也做出了貢獻，故有時稱正態(tài)分布為高斯分布。1.正態(tài)分布曲線函數(shù)正態(tài)分布曲線函數(shù)又稱概率密度函數(shù)（即方程），其一般公式為公式所描述的正態(tài)曲線，由和兩個參數(shù)決定。XN(m,

6、s2), 將N改為頻率，正態(tài)曲線形態(tài)不變。正態(tài)曲線的特征 關于x=對稱。在x=處取得該概率密度函數(shù)的最大值，在 處有拐點，表現(xiàn)為鐘形曲線。 決定曲線在橫軸上的位置， 增大，曲線沿橫軸向右移；反之， 減小，曲線沿橫軸向左移。 決定曲線的形狀，當 恒定時， 越大，數(shù)據(jù)越分散，曲線越“矮胖”； 越小, 數(shù)據(jù)越集中，曲線越瘦高。曲線下面積為1。 正態(tài)曲線下的面積規(guī)律 正態(tài)曲線關于均數(shù)對稱；對稱的區(qū)域內(nèi)面積相等； 對任意正態(tài)曲線，按標準差為單位，對應的面積相等；正態(tài)曲線下面積的含義m-1.64s m+1.64s內(nèi)面積為90%； m-1.96s m+1.96s內(nèi)面積為95%； m-2.58s m+2.58

7、s內(nèi)面積為99%。 1.曲線下面積是全體數(shù)據(jù)落入某區(qū)間的概率； 2.曲線下面積是落入某區(qū)間的數(shù)據(jù)占全體數(shù)據(jù)的比例標準正態(tài)分布曲線將標準分數(shù)代入正態(tài)曲線函數(shù)，則公式變換為標準正態(tài)分布函數(shù)： 以為橫坐標，以為縱坐標，可繪制標準正態(tài)分布曲線。 標準正態(tài)分布曲線的縱線高度為概率密度，曲線下的面積為概率。3標準正態(tài)分布曲線的特點 曲線在處達到最高點 曲線以處為中心，雙側(cè)對稱 曲線從最高點向左右緩慢下降，向兩側(cè)無限延伸，但永不與基線相交。 標準正態(tài)分布曲線的平均數(shù)為，標準差為。 從3至3之間幾乎分布著全部數(shù)據(jù)（99.73%）。 曲線的拐點為正負一個標準差處。4.正態(tài)曲線的面積與縱線 1）累積正態(tài)分布函數(shù)

8、正態(tài)曲線與基線之間某一區(qū)間的面積，相當于能在該區(qū)間找到個體的概率。曲線下的面積，即累積概率是用積分表示的。 累積正態(tài)分布函數(shù)是：2）標準正態(tài)曲線下面積的求法 利用積分公式可求出正態(tài)曲線下任何區(qū)間的面積，但需要計算，非常麻煩。 統(tǒng)計學家已編制好了標準正態(tài)分布表，使用非常方便。 2）已知曲線下面積求Z值 求Z=0以上或以下某一面積相對應的Z值 求與正態(tài)曲線上端或下端某一面積相對應的Z值 求與正態(tài)曲線下中央部位某一面積相對應的Z值3)正態(tài)曲線的縱線 正態(tài)曲線的縱線高度Y是橫軸上某一Z值的頻率密度（即概率） （1）已知Z值求縱線高度 （2）已知面積求縱線高度三、正態(tài)分布的應用1以標準分數(shù)表示考試成績

9、比較學生的考試成績時，使用原始分數(shù)不合理 原始分制度沒有提示考生成績在考生團體成績中的位置。 由于各科命題難度不同，導致各科原始分之間不能直接比較，造成分數(shù)解釋上的困難。 各科原始分相加不合理。 2確定等級評定的人數(shù) 例：若有100人某種能力呈正態(tài)分布，欲將其分成五個等距的等級，問各等級應有多少人？ 解：65=1.2。 每個等級應占1.2個標準差的距離。3、確定錄取分數(shù)線 例：某項職業(yè)錄取考試，準備在參加的1600考生中錄取200人，考試分數(shù)分布接近正態(tài)分布，平均分數(shù)為74，標準差為11，問錄取分數(shù)線是多少？ 解：將200/1600=0.125作為正態(tài)分布上端的面積。 P=0.5-0.125=

10、0.375，則Z=1.15 錄取分數(shù)線為4.確定正態(tài)分布下特定分數(shù)段內(nèi)的人數(shù)或某面積下（或人數(shù)）的分數(shù)段 例1：某地區(qū)某年高考物理科考生4.7萬，平均分為57.08，標準差為18.04。試問： 成績在90分以上有多少人？ 成績在80分到90分之間有多少人？ 成績在60分以下有多少人？解：先算出90分、80分、60分的標準分數(shù)。例2：某次測驗分數(shù)為正態(tài)分布，其平均分為72分，標準差為6分，問：95%的學生分數(shù)落在平均數(shù)上下多少分中間？99%的學生分數(shù)落在平均數(shù)上下多少分中間解：將95%和99%看作是正態(tài)曲線中央部分的面積。則， 第三部分 抽樣分布的基本原理一、抽樣的基本概念 1.總體與抽樣 2.

11、抽樣的基本方法1） 簡單隨機抽樣 2）等距抽樣 3）分層隨機抽樣二、抽樣分布區(qū)分三種不同性質(zhì)的分布： 總體分布：總體內(nèi)個體數(shù)值的頻數(shù)分布 樣本分布：樣本內(nèi)個體數(shù)值的頻數(shù)分布 抽樣分布：某一種統(tǒng)計量的概率分布1. 抽樣分布的概念2平均數(shù)抽樣分布的幾個定理（中心極限定理） 從總體中隨機抽出容量為n的一切可能樣本的平均數(shù)之平均數(shù)等于總體的平均數(shù)。 容量為n的平均數(shù)在抽樣分布上的標準差（即平均數(shù)的標準誤），等于總體標準差除以n的平方根。從正態(tài)總體中，隨機抽取的容量為n的一切可能樣本平均數(shù)的分布也呈正態(tài)分布；雖然總體不呈正態(tài)分布，如果樣本容量較大，也接近于正態(tài)分布二、標準誤 某種統(tǒng)計量在抽樣分布上的標準

12、差，稱為標準誤。如:平均數(shù)抽樣分布的標準差稱為平均數(shù)的標準誤；標準差抽樣分布的標準差稱為標準差的標準誤。 標準誤用來衡量抽樣誤差。 標準誤越小，表明樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)的值越接近，樣本對總體越有代表性，用樣本統(tǒng)計量推斷總體參數(shù)的可靠度越大。 因此，標準誤是統(tǒng)計推斷可靠性的指標平均數(shù)標準誤的計算1總體正態(tài)，總體標準差已知（不管樣本容量大小），或總體非正態(tài)，總體標準差已知，大樣本 平均數(shù)的標準誤為：平均數(shù)標準誤的計算2總體正態(tài)，總體標準差未知（不管樣本容量大小），或總體非正態(tài)，總體標準差未知，大樣本。當總體標準差未知，需要用樣本標準差來估計。 總體標準差的無偏估計量：平均數(shù)標準誤為： ， 因為未知

13、，用S代替：因此，平均數(shù)標準誤的估計值為三平均數(shù)離差統(tǒng)計量的分布由樣本的平均數(shù)對總體平均數(shù)進行估計，首先要了解平均數(shù)離差統(tǒng)計量的分布，才能根據(jù)一定的概率，由樣本的平均數(shù)對總體的平均數(shù)做出估計1總體正態(tài)，已知（不管樣本容量大?。?， 或總體非正態(tài)，已知，大樣本平均數(shù)離差的抽樣分布呈正態(tài)分布2總體正態(tài)，未知（不管樣本容量大小），或總體非正態(tài)，未知，大樣本 平均數(shù)離差的抽樣分布呈t分布t分布的特點形狀與正態(tài)分布曲線相似t分布曲線隨自由度不同而有一簇曲線自由度的計算：自由度是指能夠獨立變化的數(shù)據(jù)個數(shù)或總體參數(shù)估計中變量值能夠獨立變化的個數(shù)。查t分布表時，需根據(jù)自由度及相應的顯著性水平，并要注意是單側(cè)數(shù)據(jù)

14、還是雙側(cè)。有關自由度的其他說明 統(tǒng)計學中：在統(tǒng)計模型中，自由度指樣本中可以自由變動的變量的個數(shù)，當有約束條件時，自由度減少。 自由度計算公式：自由度=樣本個數(shù)-樣本數(shù)據(jù)受約束條件的個數(shù)，即df = n - k（df自由度，n樣本個數(shù)，k約束條件個數(shù)）t分布表的查法 自由度df，t值和概率（面積或顯著性水平） 3總體未知，大樣本時的近似處理 樣本容量增大后，平均數(shù)的抽樣分布接近于正態(tài)分布，可用正態(tài)分布近似處理。 （注意：此時的分布仍然是t分布） 第四部分 參數(shù)估計的基本原理 根據(jù)樣本統(tǒng)計量對相應總體參數(shù)所作的估計叫作總體參數(shù)估計。 總體參數(shù)估計分為點估計和區(qū)間估計。 由樣本的標準差估計總體的標準

15、差即為點估計；而由樣本的平均數(shù)估計總體平均數(shù)的取值范圍則為區(qū)間估計2.區(qū)間估計 以樣本統(tǒng)計量的抽樣分布（概率分布）為理論依據(jù)，按一定概率的要求，由樣本統(tǒng)計量的值估計總體參數(shù)值的所在范圍，稱為總體參數(shù)的區(qū)間估計。 對總體參數(shù)值進行區(qū)間估計，就是要在一定可靠度上求出總體參數(shù)的置信區(qū)間的上下限計算要求： 要知道與所要估計的參數(shù)相對應的樣本統(tǒng)計量的值，以及樣本統(tǒng)計量的理論分布； 要求出該種統(tǒng)計量的標準誤； 要確定在多大的可靠度（或置信度）上對總體參數(shù)作估計，再通過某種理論概率分布表，找出與某種可靠度相對應的該分布橫軸上記分的臨界值，才能計算出總體參數(shù)的置信區(qū)間的上下限。 置信區(qū)間(confidence

16、 interval) 置信度或可靠度，即置信概率，是作出某種推斷時正確的可能性（概率），即1-。 顯著性水平： 置信區(qū)間，也稱置信間距，是指在某一置信度時，總體參數(shù)所在的區(qū)域距離或區(qū)域長度。置信區(qū)間是帶有置信概率的取值區(qū)間。顯著性水平(significance level 對總體平均數(shù)進行區(qū)間估計時，置信概率表示做出正確推斷的可能性，但這種估計還是會有犯錯誤的可能。 顯著性水平就是指估計總體參數(shù)落在某一區(qū)間時，可能犯錯誤的概率，用符號表示。 .平均數(shù)區(qū)間估計的基本原理 通過樣本的平均數(shù)估計總體的平均數(shù) 首先假定該樣本是隨機取自一個正態(tài)分布的總體(或非正態(tài)總體中的n30的樣本)，而計算出來的實際

17、平均數(shù)是無數(shù)容量為n的樣本平均數(shù)中的一個。 根據(jù)樣本平均數(shù)的分布理論，可以對總體平均數(shù)進行估計，并以概率說明其正確的可能性總體平均數(shù)的區(qū)間估計1總體平均數(shù)區(qū)間估計的基本步驟根據(jù)樣本的數(shù)據(jù)，計算樣本的平均數(shù)和標準差；計算平均數(shù)抽樣分布的標準誤；確定置信概率或顯著性水平；根據(jù)樣本平均數(shù)的抽樣分布確定查何種統(tǒng)計表；計算置信區(qū)間；解釋總體平均數(shù)的置信區(qū)間。2平均數(shù)區(qū)間估計的計算總體正態(tài)，已知（不管樣本容量大?。蚩傮w非正態(tài)，已知，大樣本 2平均數(shù)區(qū)間估計的計算 平均數(shù)離差的的抽樣分布呈正態(tài)，平均數(shù)的置信區(qū)間為：=0.05時，總體平均數(shù)區(qū)間估計為 =0.01時，總體平均數(shù)區(qū)間估計為例題：某小學10歲全

18、體女童身高歷年來標準差為6.25厘米，現(xiàn)從該校隨機抽27名10歲女童，測得平均身高為134.2厘米，試估計該校10歲全體女童平均身高的95和99置信區(qū)間。 解：10歲女童的身高假定是從正態(tài)總體中抽出的隨機樣本，并已知總體標準差為=6.25。無論樣本容量大小，一切樣本平均數(shù)的標準分數(shù)呈正態(tài)分布。于是可用正態(tài)分布來估計該校10歲女童身高總體平均數(shù)95和99的置信區(qū)間。其標準誤為當0.95時，1.96因此，該校10歲女童平均身高95的置信區(qū)間為： 當0.99時，2.58因此，該校10歲女童平均身高99的置信區(qū)間為： 總體正態(tài)，未知（不管樣本容量大?。?，或總體非正態(tài)，未知，大樣本平均數(shù)離差的抽樣分布為

19、t分布，平均數(shù)的置信區(qū)間為：例題2：從某小學三年級隨機抽取12名學生，其閱讀能力得分為28，32，36，22，34，30，33，25，31，33，29，26。試估計該校三年級學生閱讀能力總體平均數(shù)95和99的置信區(qū)間。 解：12名學生閱讀能力的得分假定是從正態(tài)總體中抽出的隨機樣本，而總體標準差未知，樣本的容量較?。?1230），t分布接近于正態(tài)分布，因此可用正態(tài)分布近似處理。樣本標準差：當0.95時，1.96因此，該年全部考生作文成績95的置信區(qū)間為：當0.99時，2.58因此，該年全部考生作文成績99的置信區(qū)間為： 總體非正態(tài)，小樣本 不能進行參數(shù)估計，即不能根據(jù)樣本分布對總體平均數(shù)進行估計

20、。第五部分 假設檢驗的基本原理 利用樣本信息，根據(jù)一定概率，對總體參數(shù)或分布的某一假設作出拒絕或保留的決斷，稱為假設檢驗。1假設 假設檢驗一般有兩個互相對立的假設。 H0：零假設，或稱原假設、虛無假設（null hypothesis）、解消假設；是要檢驗的對象之間沒有差異的假設。 H1：備擇假設（alternative hypothesis），或稱研究假設、對立假設；是與零假設相對立的假設，即存在差異的假設。假設檢驗 進行假設檢驗時，一般是從零假設出發(fā)，以樣本與總體無差異的條件計算統(tǒng)計量的值，并分析計算結(jié)果在抽樣分布上的概率，根據(jù)相應的概率判斷應接受零假設、拒絕研究假設還是拒絕零假設、接受研究假設。2小概率事件 樣本統(tǒng)計量的值在其抽樣分布上出現(xiàn)的概率小于或等于事先規(guī)定的水平，這時就認為小概率事件發(fā)生了。把出現(xiàn)概率很小的隨機事件稱為小概率事件。當概率足夠小時，可以作為從實際可能性上把零假設加以否定的理由。因為根據(jù)這個原理認為：在隨機抽樣的條件下，一次實驗竟然抽到與總