彈性力學平面問題的基本理論

1、要點要點 建立平面問題的基本方程建立平面問題的基本方程：平衡微分方程；幾何方程；物理方程；變形：平衡微分方程；幾何方程；物理方程；變形協(xié)調(diào)方程；邊界條件的描述；方程的求協(xié)調(diào)方程；邊界條件的描述；方程的求解方法等解方法等2-1 2-1 平面應力問題與平面應變問題平面應力問題與平面應變問題2-2 2-2 平衡微分方程平衡微分方程2-3 2-3 平面問題中一點的應力狀態(tài)平面問題中一點的應力狀態(tài)2-4 2-4 幾何方程幾何方程 剛體位移剛體位移2-5 2-5 物理方程物理方程2-6 2-6 邊界條件邊界條件2-7 2-7 圣維南原理及其應用圣維南原理及其應用2-8 2-8 按位移求解平面問題按位移求解

2、平面問題2-9 2-9 按應力求解平面問題按應力求解平面問題 相容方程相容方程2-10 2-10 常體力情況下的簡化常體力情況下的簡化 應力函數(shù)應力函數(shù)2-1 2-1 平面應力問題與平面應變問題平面應力問題與平面應變問題1. 平面應力問題平面應力問題(1) 幾何特征幾何特征xyyztba等厚度薄板：等厚度薄板： 一個方向的尺寸一個方向的尺寸比另兩個方向的尺寸小得多。比另兩個方向的尺寸小得多。, tatb如：板式吊鉤，旋轉(zhuǎn)圓盤，工字形梁的腹板等如：板式吊鉤，旋轉(zhuǎn)圓盤，工字形梁的腹板等(2) 受力特征受力特征 外力（體力、面力）方向平行于板面，大小沿板厚外力（體力、面力）方向平行于板面，大小沿板厚

3、方向不變化，且面力只作用于板的周邊。方向不變化，且面力只作用于板的周邊。xyyztba(3) 應力特征應力特征如圖選取坐標系，以板的中面如圖選取坐標系，以板的中面為為xy 平面，垂直于中面的任一直線平面，垂直于中面的任一直線為為 z 軸。軸。 由于板面上不受力，有由于板面上不受力，有02tzz02tzzx02tzzy因板很薄，且外力因板很薄，且外力沿沿 z 軸方向不變。軸方向不變。0z0zx可認為整個薄板的可認為整個薄板的各點都有：各點都有：由剪應力互等定理，有由剪應力互等定理，有0zy0yzzy0 xzzx結(jié)論：結(jié)論：平面應力問題只有三個應力分量：平面應力問題只有三個應力分量：),(yxxy

4、yxxy),(yxxx),(yxyyxyxyxyxyxyyxxy應變分量、位移分量也僅為應變分量、位移分量也僅為 x、y 的函數(shù)，與的函數(shù)，與 z 無關。無關。2. 平面應變問題平面應變問題(1) 幾何特征幾何特征水壩水壩滾柱滾柱厚壁圓筒厚壁圓筒無限長等直柱形體：一個無限長等直柱形體：一個方向的尺寸比另兩個方向方向的尺寸比另兩個方向的尺寸大得多，且沿縱向的尺寸大得多，且沿縱向幾何形狀和尺寸不變化。幾何形狀和尺寸不變化。(2) 外力特征外力特征 外力（體力、面力）方向平行于橫截外力（體力、面力）方向平行于橫截面，大小沿縱向長度不變化，面，大小沿縱向長度不變化，且面力只作且面力只作用于柱體的側(cè)面。

5、用于柱體的側(cè)面。(3) 變形特征變形特征 如圖建立坐標系：以任一橫截面為如圖建立坐標系：以任一橫截面為 xy 面，任一縱線為面，任一縱線為 z 軸。軸。 設設 z方向為無限長，則任一橫截面均為對稱面，方向為無限長，則任一橫截面均為對稱面，, u,x,x沿沿 z方向都不變化，僅為方向都不變化，僅為 x，y 的函數(shù)。的函數(shù)。水壩水壩因為任一橫截面均為對稱面，則有因為任一橫截面均為對稱面，則有0w所有各點的位移矢量都平行于所有各點的位移矢量都平行于 x y 平面。平面。 平面位移問題平面位移問題0z0yzzy0 xzzx),(yxyy),(yxxx),(yxxyyxxy 平面應變問題平面應變問題注：

6、注：(1)平面應變問題中平面應變問題中0z但是，但是，0z)(yxz(2)平面應變問題中應力分量：平面應變問題中應力分量：)0(,zyzxxyzyx 僅為僅為 x y 的函數(shù)。的函數(shù)。可近似為平面應變問題的例子：可近似為平面應變問題的例子：煤礦巷道的變形與破壞分析；擋土墻；重力壩等。煤礦巷道的變形與破壞分析；擋土墻；重力壩等。 如圖所示三種情形，是否都屬平面問題？是平面應力如圖所示三種情形，是否都屬平面問題？是平面應力問題還是平面應變問題？問題還是平面應變問題？平面應力問題平面應力問題平面應變問題平面應變問題非平面問題非平面問題兩類平面問題：兩類平面問題：平面應力問題平面應力問題幾何特征幾何特

7、征受力特征受力特征應力特征應力特征yxxyyx,平面應變問題平面應變問題幾何特征幾何特征;受力特征受力特征;應變特征。應變特征。yxxyyx,xyyztba水水壩壩滾滾柱柱（2）位移邊界條件）位移邊界條件3. 平面問題的求解平面問題的求解問題：問題： 已知：外力（體力、面力），邊界條件，材料特性已知：外力（體力、面力），邊界條件，材料特性求：求：xyyx,xyyx,vu, 僅為僅為 x y 的函數(shù)的函數(shù)需建立三個方面的關系：需建立三個方面的關系：（1）靜力學關系：）靜力學關系：（2）幾何學關系：）幾何學關系：（3）物理學關系：）物理學關系：形變與應力間的關系。形變與應力間的關系。應力與體力、面

8、力間的關系；應力與體力、面力間的關系；形變與位移間的關系；形變與位移間的關系；建立邊界條件：建立邊界條件： 平衡微分方程平衡微分方程 幾何方程幾何方程 物理方程物理方程（1）應力邊界條件）應力邊界條件2-2 2-2 平衡微分方程平衡微分方程xyxyxyPBACxyO取微元體取微元體PABC（P點附近點附近），），dxPAdyPB DfxfydyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyyZ 方向取單位長度。方向取單位長度。設設P點應力已知：點應力已知：yxxyyx,體力：體力：fx ，fyAC面：面：222)(! 21dxxdxxxxxdyyyxyx222)(! 21dxxdxxxyxyxyd

9、xxxxBC面：面：dxxxyxydyyyy 注：注： 這里用了小變形假定，以變形前的這里用了小變形假定，以變形前的尺寸代替變形后尺寸。尺寸代替變形后尺寸。xyxyxyPBACxyODfxfydyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyy由微元體由微元體PABC平衡，得平衡，得 0DM21)(dxdydxxxyxy21)(dydxdyyyxyx整理得：整理得：dyydxxyxyxxyxy2121yxxy當當0, 0dydx時，有時，有 剪應力互等定理剪應力互等定理21dxdyxy21dydxyx0 xyxyxyPBACxyODfxfydyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyy0 xF1

10、)(dydxxxx1)(dxdyyyxyx01dydxfx兩邊同除以兩邊同除以dx dy，并整理得：，并整理得：0 xyxxfyx0yF1)(11)(dxdyxdxdxdyyxyxyyyy011dydxfdyyxy兩邊同除以兩邊同除以dx dy，并整理得：，并整理得：0yxyyfxy1dyx1dxyx平面問題的平衡微分方程：平面問題的平衡微分方程：00yyxyxyxxfyxfyx（2-2）說明：說明：（1）兩個平衡微分方程，三個未知量：）兩個平衡微分方程，三個未知量：yxxyyx, 超靜定問題，需找補充方程才能求解。超靜定問題，需找補充方程才能求解。（2）對于平面應變問題，）對于平面應變問題，

11、z方向自成平衡，方向自成平衡， x、y方向的方向的平衡方程相同，故上述方程兩類平面問題均適用；平衡方程相同，故上述方程兩類平面問題均適用；（3）平衡方程中不含）平衡方程中不含E、，方程與材料性質(zhì)無關（鋼、方程與材料性質(zhì)無關（鋼、石料、混凝土等）；石料、混凝土等）；（4）整個彈性體（包括內(nèi)部、邊界）平衡條件都須滿足。）整個彈性體（包括內(nèi)部、邊界）平衡條件都須滿足。xyxyxyPBACxyODfxfydyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyy2-3 2-3 平面問題中一點的應力狀態(tài)平面問題中一點的應力狀態(tài)1. 斜面上的應力斜面上的應力（1）斜面上應力在坐標方向的分量）斜面上應力在坐標方向的分

12、量px，pyxyOdxdydsPABppxpyNyxxyxy設設P點的應力分量已知：點的應力分量已知：yxxyyx,斜面斜面AB上的應力矢量上的應力矢量: p 斜面外法線斜面外法線 N 的關于坐標軸的方向余弦：的關于坐標軸的方向余弦： myN),cos(lxN),cos(dyl ds dxm ds由微元體平衡：由微元體平衡： , 0 xF02111ldsmdsfdspdxdyxxyxx整理得：整理得： xyyylmp（2-3）11102xyxxxldsmdsl dsm dsp dsf yxxxmlp, 0yF得：得： （2-4）外法線外法線 同樣，由同樣，由 xyOdxdydsPABppxpy

13、Nyxxyxy（2）斜面上的正應力與剪應力）斜面上的正應力與剪應力NNxyNmplp yxNmplp xyyylmpyxxxmlp（2-3）（2-4）將式（將式（2-3）（）（2-4）代入，并整理得：）代入，并整理得：xyyxNlmml222xyxyNmllm)()(22（2-5）（2-6）說明：說明：（1）運用了剪應力互等定理：）運用了剪應力互等定理：yxxy（2） 的正負號規(guī)定：的正負號規(guī)定：N 將將 N 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動90而到達而到達 的方向是順時針的，的方向是順時針的，則該則該 為正；反之為負。為正；反之為負。NN 任意斜截面上應力計算公式任意斜截面上應力計算公式（3）若）若AB面為物體的邊

14、界面為物體的邊界S，則，則yyfp xxfp ()()()()xsyxsxysxysylmfmlf（2-18） 平面問題的應力邊界條件平面問題的應力邊界條件2. 一點的主應力與應力主向一點的主應力與應力主向xyOdxdydsPABppxpyNyxxyxyNNxyNmplp yxNmplp （1）主應力）主應力 若某一斜面上若某一斜面上 ，則該斜面上的正，則該斜面上的正應力應力 稱為該點一個主應力稱為該點一個主應力 ；0NN當當 時，有時，有0NpNmplpyxxyyylmpyxxxmlpmlmxyylmlyxx求解得：求解得：yyxlmyxxlm0)()(22xyyxyx222122xyyxy

15、x（2-7） 平面應力狀態(tài)主應力的計算公式平面應力狀態(tài)主應力的計算公式主應力主應力 所在的平面所在的平面 稱為主平面；稱為主平面；主應力主應力 所在平面的法線方向所在平面的法線方向 稱為應力主向；稱為應力主向；由式（由式（2-7）易得：）易得：yx21I 平面應力狀態(tài)應力第一不變量平面應力狀態(tài)應力第一不變量（2）應力主向）應力主向yyxlmyxxlm 設設1 與與 x 軸的夾角為軸的夾角為1， 1與坐標軸正向的與坐標軸正向的方向余弦為方向余弦為 l1、m1，則則2222222cos)90cos(cossintanlm)(2yxy或 設設2 與與 x 軸的夾角為軸的夾角為2， 2與坐標軸正向的方

16、向余弦為與坐標軸正向的方向余弦為 l2、m2，則則1111111cos)90cos(cossintanlmxyx1xyx2)(1yxy或應力主向的計算公式：應力主向的計算公式：yxyxyx2211tantan（2-8）由由yx21得得)(12xyxxy12tan1tantan21顯然有顯然有表明：表明：1 與與 2 互相垂直?；ハ啻怪薄＝Y(jié)論結(jié)論任一點任一點P，一定存在兩，一定存在兩 互相互相垂直的主應力垂直的主應力1 、 2 。（3）N 的主應力表示的主應力表示xyOpNN2dxdydsPABN1由由xyyxNlmml222xyxyNmllm)()(222212mlN)(12 lmN2212)

17、(l1 與與 2 分別為最大和最小應力。分別為最大和最小應力。（4）一點的最大應力與最小應力：）一點的最大應力與最小應力：最大、最小正應力：最大、最小正應力：由：由：2212mlN2212)1 (llN2212)( l)(1221m表明：表明： 主應力主應力 中，一定包含最大、最小正應力。中，一定包含最大、最小正應力。 21,xyOdxdydsPABN12sNN最大、最小剪應力：最大、最小剪應力：由由)(12 lmN)1 (2lm122 ml)(1122llN)(1242llN)(21411222lN顯然，當顯然，當)21(0212ll時，時，N為最大、最小值：為最大、最小值：221minma

18、x由由21l得，得，max、 min 的方向與的方向與1 （ 2 ）成成45。)1 (2lm最大、最小剪應力最大、最小剪應力由由)(12 lmN122 ml)(1122llN)(1242llNxyOdxdydsPABN12sNN前面內(nèi)容回顧與小結(jié)：前面內(nèi)容回顧與小結(jié)：基本假定：基本假定：（1） 連續(xù)性假定；連續(xù)性假定；（2） 線彈性假定；線彈性假定；（3） 均勻性假定；均勻性假定；（4） 各向同性假定；各向同性假定；（5）小變形假定。）小變形假定。（掌握這些假定的含義及作用）（掌握這些假定的含義及作用）（1）兩類平面問題：）兩類平面問題：平面應力問題平面應力問題幾何特征幾何特征受力特征受力特征

19、應力特征應力特征yxxyyx,平面應變問題平面應變問題幾何特征幾何特征;受力特征受力特征;應變特征。應變特征。yxxyyx,xyyztba水水壩壩滾滾柱柱)0, 0,(yzxzzxyyx)0, 0,(yzxzzxyyx，（2）平面問題的平衡微分方程：）平面問題的平衡微分方程：00yyxyxyxxfyxfyx（2-2）xyOdxdydsPABppxpyNyxxyxyNNxyyylmpyxxxmlp（2-3）（2-4）xyyxNlmml222xyxyNmllm)()(22（2-5）（2-6）()()()()xsyxsxysxysylmfmlf（2-18） 平面問題的應力邊界條件平面問題的應力邊界條

20、件2212mlN)(12 lmN2212)(l（3）斜面上的應力）斜面上的應力yxyxyx2211tantan（2-8）表明：表明：1 與與 2 互相垂直?；ハ啻怪?。（4）一點的主應力、應力主向、最）一點的主應力、應力主向、最大最小應力大最小應力222122xyyxyx（2-7）221minmaxmax、 min 的方向與的方向與1 （ 2 ）成成45。2-4 2-4 幾何方程幾何方程 剛體位移剛體位移建立平面問題中應變與位移的關系建立平面問題中應變與位移的關系 幾何方程幾何方程1. 幾何方程幾何方程一點的變形一點的變形長度的改變；長度的改變；角度的改變；角度的改變；xyOP考察考察P點鄰域內(nèi)

21、的變形：點鄰域內(nèi)的變形：PAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvvdyPB dxPA變形前變形前變形后變形后PABBPAuvdxxvvdxxuudyyuudyyvv注：這里略去了二階以上高階無窮小量。注：這里略去了二階以上高階無窮小量。xyOPPAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvvPA的正應變：的正應變：secvdydydyydyvyyPB的正應變：的正應變：secudxdxdxxdxuxxP點的剪應變：點的剪應變：P點兩直角線段夾角的變化點兩直角線段夾角的變化yuxvxy(1)yuudyuydytantan(1)xvvdxvxdxxyvxuyxyO

22、PPAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvv整理得：整理得：yuxvyvxuxyyx幾何方程幾何方程（2-9）說明：說明：（1）反映任一點的位移與該點應變間的關系，反映任一點的位移與該點應變間的關系，是彈性力學的基本方程之一。是彈性力學的基本方程之一。（2） 當當 u、v 已知，則已知，則 可完全確定；可完全確定；xyyx,（積分會出現(xiàn)積分常數(shù)，要由邊界條件確定。）積分會出現(xiàn)積分常數(shù)，要由邊界條件確定。）（3）xy 以兩線段夾角減小為正，增大為負。以兩線段夾角減小為正，增大為負。反之，已知反之，已知 ，不能完全確定，不能完全確定 u、v。xyyx,2. 剛體位移剛體位移物體

23、無變形，只有剛體位移。物體無變形，只有剛體位移。 即：即： ,0, 0, 0時當xyyxxvxfyuyf0201)()(0 xux0yvy0yuxvxy(a)(b)(c)由由(a)、(b)可求得：可求得： )()(21xfvyfu(d)將將(d)代入代入(c)，得：，得： 0)()(21dxxdfdyydf或?qū)懗桑夯驅(qū)懗桑?dxxdfdyydf)()(21上式中，左邊僅為上式中，左邊僅為 y 的函數(shù)，的函數(shù)，右邊僅右邊僅 x 的函數(shù)，的函數(shù)，兩邊只能等兩邊只能等于同一常數(shù)，即于同一常數(shù)，即 dyydf)(1(e)積分積分(e) ，得：，得： dxxdf)(2(f)其中，其中，u0、v0為積分常

24、數(shù)。為積分常數(shù)。 （x、y方向的剛體位移），代入（方向的剛體位移），代入（d）得）得:(2-10)xvvyuu00 剛體位移表達式剛體位移表達式討論：討論： (2-10)xvvyuu00 剛體位移表達式剛體位移表達式（1）2222yxvu,0, 000時當vu僅有僅有x方向平移。方向平移。（2）, 0,0vuu則,0, 000時當uv僅有僅有y方向平移。方向平移。, 0,0uvv則（3）,0, 000時當uvxvyu則xyOPyxrrxyxyxytantan說明：說明：OPr P點沿切向繞點沿切向繞O點轉(zhuǎn)動點轉(zhuǎn)動 繞繞O點轉(zhuǎn)過的微小角度（剛性轉(zhuǎn)動）點轉(zhuǎn)過的微小角度（剛性轉(zhuǎn)動）yuxvyvxux

25、yyx（2-9）幾何方程：幾何方程：(2-10)xvvyuu00剛體位移表達式：剛體位移表達式：xyOPPAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvv小小 結(jié)：結(jié)：2-5 2-5 物理方程物理方程建立：平面問題中應力與應變的關系建立：平面問題中應力與應變的關系物理方程也稱：本構(gòu)方程、本構(gòu)關系、物性方程。物理方程也稱：本構(gòu)方程、本構(gòu)關系、物性方程。1. 各向同性彈性體的物理方程各向同性彈性體的物理方程 在完全彈性和各向同性的情況下，物性方程即為材料力學在完全彈性和各向同性的情況下，物性方程即為材料力學中的廣義虎克（中的廣義虎克（Hooke）定律。）定律。)(1yxzzE)(1zx

26、xxE)(1xzyyExyxyG1yzyzG1zxzxG1（2-13）其中：其中：E 為拉壓彈性模量；為拉壓彈性模量；G為剪切彈性模量；為剪切彈性模量；為橫向變形系數(shù)，為橫向變形系數(shù)，又稱泊松比。又稱泊松比。)1 (2EG（1）平面應力問題的物理方程）平面應力問題的物理方程)(1yxzzE)(1zxxxE)(1xzyyExyxyG1yzyzG1zxzxG1由于平面應力問題中由于平面應力問題中)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2（2-15） 注：注：(1) 0z()()1zxyxyE (2) 物理方程的另一形式物理方程的另一形式)(12xyyE)(12yxxExyxyE)1 (20z

27、xyzz（2）平面應變問題的物理方程）平面應變問題的物理方程由于平面應變問題中由于平面應變問題中)1(12yxxExyxyE)1 (2（2-16） 注：注：(2) 平面應變問題平面應變問題 物理方程的另一形式：物理方程的另一形式：)1(12xyyE由式（由式（2-13）第三式，得）第三式，得)(1yxzzE)(1zxxxE)(1xzyyExyxyG1yzyzG1zxzxG1（2-13）()zxy 0zxyzz(1) 平面應變問題中平面應變問題中0z，但，但0z()zxy （3）兩類平面問題物理方程的轉(zhuǎn)換：）兩類平面問題物理方程的轉(zhuǎn)換：)1(12yxxExyxyE)1 (2（2-16） )1(1

28、2xyyE)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2 （2-15）(1) 平面應力問題平面應力問題平面應變問題平面應變問題材料常數(shù)的轉(zhuǎn)換為：材料常數(shù)的轉(zhuǎn)換為：1(2) 平面應變問題平面應變問題平面應力問題平面應力問題材料常數(shù)的轉(zhuǎn)換為：材料常數(shù)的轉(zhuǎn)換為：21E12)1 ()21 (EEE本章前面主要內(nèi)容回顧：本章前面主要內(nèi)容回顧：1.兩類平面問題：兩類平面問題：平面應力問題平面應力問題平面應變問題平面應變問題幾何特征幾何特征;受力特征受力特征;應力特征。應力特征。幾何特征幾何特征;受力特征受力特征;應變特征。應變特征。yxxyyx,yxxyyx,xyyztba水水壩壩滾滾柱柱2.平面問題的

29、基本方程：平面問題的基本方程：（1）平衡方程：）平衡方程：00yyxyxyxxfyxfyx（2-2）（2）幾何方程）幾何方程：yuxvyvxuxyyx（2-9）（3）物理方程：）物理方程：)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2（2-15）平面應力問題平面應力問題)1(12yxxExyxyE)1 (2（2-16）)1(12xyyE平面應變問題平面應變問題3. 平面問題一點的應力、應變分析平面問題一點的應力、應變分析(b) 主應力與應力主向主應力與應力主向222122xyyxyx（2-7）yxyxyx2211tantan（2-8）(a) 任意斜面上應力任意斜面上應力xyyylmpyxxx

30、mlpxyxyNmllm)()(22或或2212mlN)(12 lmN2212)(lxyyxNlmml222yx21I 平面應力狀態(tài)應力第一不變量平面應力狀態(tài)應力第一不變量(c) 最大、最小剪應力及其方向最大、最小剪應力及其方向221minmaxmax、 min 的方向與的方向與1 （ 2 ）成成45。2-6 2-6 邊界條件邊界條件1. 彈性力學平面問題的基本方程彈性力學平面問題的基本方程（1）平衡微分方程：）平衡微分方程：00yyxyxyxxfyxfyx（2-2）（2）幾何方程：）幾何方程：yuxvyvxuxyyx（2-9）（3）物理方程：（平面應力）物理方程：（平面應力）)(1xyyE)

31、(1yxxExyxyE)1 (2（2-15）未知量數(shù)：未知量數(shù)：vuxyyxxyyx,8個個方程數(shù)：方程數(shù)：8個個結(jié)論：結(jié)論：在適當?shù)倪吔鐥l件下，上述在適當?shù)倪吔鐥l件下，上述8個方程可解。個方程可解。2. 邊界條件及其分類邊界條件及其分類邊界條件：邊界條件：建立邊界上的物理量與內(nèi)部物理量間的關系。建立邊界上的物理量與內(nèi)部物理量間的關系。xyOqPuSSuSSS是力學計算模型建立的重要環(huán)節(jié)。是力學計算模型建立的重要環(huán)節(jié)。邊界分類邊界分類（1）位移邊界）位移邊界SuS（2）應力邊界）應力邊界（3）混合邊界）混合邊界 三類邊界三類邊界（1）位移邊界條件）位移邊界條件位移分量已知的邊界位移分量已知的邊

32、界 位移邊界位移邊界 用用us 、 vs表示邊界上的位移分量，表示邊界上的位移分量， 表表示邊界上位移分量的已知函數(shù)，則位移邊界條件示邊界上位移分量的已知函數(shù)，則位移邊界條件可表示為：可表示為：vu,vvuuss（2-17） 說明：說明：,0時當 vu稱為固定位移邊界。稱為固定位移邊界。xyOqPuSSuSSS（2）應力邊界條件）應力邊界條件給定面力分量給定面力分量 邊界邊界 應力邊界應力邊界yxff ,xyOdxdydsPABpxpyNyxxyxy由前面斜面的應力分析，得由前面斜面的應力分析，得xyyylmpyxxxmlp式中取：式中?。簓yxxfpfp,sxyxysyysxx,得到：得到：

33、()()()()xsyxsxysxysylmfmlf（2-18）式中：式中：l、m 為邊界外法線關于為邊界外法線關于 x、y 軸的方向軸的方向余弦。如：余弦。如： 垂直垂直 x 軸的邊界：軸的邊界：. 1, 0ml垂直垂直 y 軸的邊界：軸的邊界：. 0, 1ml, xxnxyxxytpl ffpl 常數(shù)常數(shù), yynyxyyxtpl ffpl 常數(shù)常數(shù)例例1如圖所示梁，試寫出其邊界條件。如圖所示梁，試寫出其邊界條件。xyahhq(1), 0 x00( )0( )0 xxuv(2), ax 0, 1ml()()()()xsyxsxysxysylmfmlf0,0 xxyx ax a(3), hy

34、1, 0ml0( 1)0( 1)0 xyxssyxyssq 0,0yyxy hy h(4),yh1, 0ml0( 1)0( 1)00 xyxssyxyss ,0yyxyhyhq 0, 0yxffqffyx , 00, 0yxff例例2 如圖所示三角形懸臂梁，試寫出其邊界條件。如圖所示三角形懸臂梁，試寫出其邊界條件。(1)ABCxyhp(x)p0lAB段（段（y = 0）：）：1, 0ml0)(, 0plxxpffyx代入邊界條件公式，有代入邊界條件公式，有tantantantan( sin) ()cos()0cos()( sin) ()0 xy xyxy xyy xxyy x 00)(plxx

35、pyy00yxy(2) BC段（段（x = l）：）：0|, 0|lxlxvu0( 1)0( 1)0( )xyxyxyp x N(3)AC段（段（y =x tan）:sin)90cos(),cos(xNlcos),cos(yNm0, 0yxff例例3 圖示水壩，試寫出其邊界條件。圖示水壩，試寫出其邊界條件。左側(cè)面：左側(cè)面：sin,cosmlsinyfycosyfx由應力邊界條件公式，有由應力邊界條件公式，有()()()()xsyxsxysxysylmfmlftantan( sin) ()( cos) ()sinyxyxyxyy tantan( cos) ()( sin) ()cosxxyyxx

36、yy 右側(cè)面：右側(cè)面：tanyx 0yxfftantansin()cos()0yx yxyx ytantancos()sin()0 xx yyxx ytanyxsin,cosml例例4 圖示豎柱，試寫出其邊界條件。圖示豎柱，試寫出其邊界條件。左側(cè)面：左側(cè)面：0, 1mlqfy0 xf()()()()xsyxsxysxysylmfmlf2hxqsxysysxysx)(1)(00)(0)(1/2/2()0()xxhxyxhq上側(cè)面：上側(cè)面：)0(y1, 0ml0yf1qfx0 ()1 ()1 ()0 ()0 xsyxsysxysq 00()0()yyyxyq 右側(cè)面：右側(cè)面：0, 1mlqfy0

37、xf2hx 1 ()0 ()00 ()1 ()xsyxsysxysq /2/2()0()xx hxyx hq例例5圖示豎柱，試寫出其邊界條件。圖示豎柱，試寫出其邊界條件。左側(cè)面：左側(cè)面：0, 1ml0yf0 xf0 x 00()0()0 xxxyx右側(cè)面：右側(cè)面：0, 1mlqfy0 xfxh()0 xx h()xyx hq 上側(cè)面：上側(cè)面：1, 0ml0y1yfq 0 xf01()yyq 0()0yxy例例6圖示薄板，在圖示薄板，在y方向受均勻拉力作用，試方向受均勻拉力作用，試證明在板中間突出部分的尖點證明在板中間突出部分的尖點A處無應力處無應力存在。存在。解：解： 平面應力問題平面應力問題

38、0yxffAB 邊界：邊界：111sin,cosml由應力邊界條件公式，有由應力邊界條件公式，有()()()()xsyxsxysxysylmfmlf1111cossin0sincos0 xyxyxy （1）AC 邊界：邊界：12122sincoscosml代入應力邊界條件公式，有代入應力邊界條件公式，有1111cossin0sincos0 xyxyxy （2）A 點同處于點同處于 AB 和和 AC 的邊界，的邊界，滿足式（滿足式（1）和（）和（2），解得），解得0 xyyx A 點處無應力作用點處無應力作用在在 AC、AB 邊界上無面力作用，即邊界上無面力作用，即例例7圖示楔形體，試寫出其邊界

39、條件。圖示楔形體，試寫出其邊界條件。0yxffsin)90cos(l()()()()xsyxsxysxysylmfmlfcos)180cos(m上側(cè)：上側(cè)：tantantantansin()cos()0cos()sin()0 xyxyxyxyyxxyyx下側(cè)：下側(cè)：, 0 xf0l1mqfy0 ()( 1) ()0( 1) ()0 ()xsyxsysxysq 0()0yxy0()yyq tanyx 0y 圖示構(gòu)件，試寫出其應力邊界條件。圖示構(gòu)件，試寫出其應力邊界條件。例例8上側(cè)：上側(cè)：, qfx0l1m0yf0 ()( 1) ()( 1) ()0 ()0 xsyxsysxysq 0()yxyq

40、 0()0yy, 0 xf,sin)90cos(lcosm下側(cè)：下側(cè)：Npfytantantantan( sin) ()cos()0cos()( sin) ()xy xyxy xyy xxyy xp ()()()()xsyxsxysxysylmfmlf0y tanyx（3）混合邊界條件）混合邊界條件(1)物體上的一部分邊界為位移邊界，另一部為應力邊界。物體上的一部分邊界為位移邊界，另一部為應力邊界。(2)物體的同一部分邊界上，其中一個為位移邊界條件，另一為物體的同一部分邊界上，其中一個為位移邊界條件，另一為應力邊界條件。如：應力邊界條件。如：圖圖(a)：連桿支承邊0ysxyf 位移邊界條件位移

41、邊界條件 應力邊界條件應力邊界條件圖圖(b)：齒槽邊0 xsxf0 uus0 vvs 位移邊界條件位移邊界條件 應力邊界條件應力邊界條件2-7 2-7 圣維南原理及其應用圣維南原理及其應用問題的提出：問題的提出：P 解彈性力學問題時，使應力分量、解彈性力學問題時，使應力分量、形變分量、位移分量完全滿足八個基本形變分量、位移分量完全滿足八個基本方程相對容易，但要使邊界條件亦完全方程相對容易，但要使邊界條件亦完全滿足，往往很困難。滿足，往往很困難。關于邊界條件的兩種困難情形：關于邊界條件的兩種困難情形： 1、邊界條件雖已知，但尋求完全滿足邊界條件的解很困難。、邊界條件雖已知，但尋求完全滿足邊界條件

42、的解很困難。2、只知道物體一小部分邊界上所受面力的合力和合力偶，而該面、只知道物體一小部分邊界上所受面力的合力和合力偶，而該面力的具體分布方式卻不明確，從而精確的應力邊界條件無法引入。力的具體分布方式卻不明確，從而精確的應力邊界條件無法引入。 對于以上兩種情況，根據(jù)下述的對于以上兩種情況，根據(jù)下述的“圣維南原理圣維南原理”，我們?nèi)钥傻?，我們?nèi)钥傻玫絾栴}的有用解答。到問題的有用解答。1.圣維南原理圣維南原理(Saint-Venant Principle)原理：原理：若把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但若把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力，則近處的應力分布將有

43、顯著改變，而靜力等效的面力，則近處的應力分布將有顯著改變，而遠處所受的影響可忽略不計。遠處所受的影響可忽略不計。PPPP/2P/2APAPAP 小部分邊界（次要邊界）；小部分邊界（次要邊界）； 靜力等效；靜力等效； 影響范圍限于近處，遠處不受影響；影響范圍限于近處，遠處不受影響；推廣推廣: 如果物體一小部分如果物體一小部分邊界上的面力是一個平衡邊界上的面力是一個平衡力系力系, 那么那么, 這個面力只會這個面力只會使近處產(chǎn)生顯著的應力使近處產(chǎn)生顯著的應力,而遠處的應力可不計。而遠處的應力可不計。 2.圣維南原理的應用圣維南原理的應用(1) 對有些受力邊界，若受力復雜或僅知所受面力的合力和合力偶時

44、。對有些受力邊界，若受力復雜或僅知所受面力的合力和合力偶時。(2) 對有些位移邊界，若位移邊界條件不易滿足時。對有些位移邊界，若位移邊界條件不易滿足時。注意事項：注意事項：(1) 必須滿足靜力等效條件；必須滿足靜力等效條件；(2) 只能在次要邊界上用圣維南原理，在主要邊界上不能使用。只能在次要邊界上用圣維南原理，在主要邊界上不能使用。如：如：AB主要邊界主要邊界PAP次要邊界次要邊界凡根據(jù)凡根據(jù)圣維南原理圣維南原理，通過將原問題小部分邊界上的面力進行靜力等效，通過將原問題小部分邊界上的面力進行靜力等效變換而求得的解答，稱原問題變換而求得的解答，稱原問題“圣維南意義下的精確解圣維南意義下的精確解

45、”（有用解）。（有用解）。 3.3.小小邊界上的靜力等效邊界條件邊界上的靜力等效邊界條件xyh/2h/2lloxxyNFsFMydyNlxhhxFdy )(2/2/2/2()hxyx lshdyF/2/2()hxx lhydyM 有用解在小邊界上滿足的是有用解在小邊界上滿足的是“靜力等效邊界條件靜力等效邊界條件”，即：，即：小邊小邊界上的有用應力解與邊界上的實際面力使整個小邊界微片保持平衡（但在界上的有用應力解與邊界上的實際面力使整個小邊界微片保持平衡（但在小邊界上一般不能保證逐點平衡）小邊界上一般不能保證逐點平衡）。下面以與下面以與x軸垂直的直線小邊界為例，導出靜力等效邊界條件：軸垂直的直線

46、小邊界為例，導出靜力等效邊界條件： 根據(jù)根據(jù)圣維南原理圣維南原理求解，就是將對邊界條件的要求適當放寬，從而求解，就是將對邊界條件的要求適當放寬，從而使問題的求解成為可能。使問題的求解成為可能。例例9圖示矩形截面水壩，其右側(cè)受靜水壓力，圖示矩形截面水壩，其右側(cè)受靜水壓力，頂部受集中力頂部受集中力P作用。試寫出水壩的應力作用。試寫出水壩的應力邊界條件。邊界條件。左側(cè)面：左側(cè)面：0, 1ml0yxffysxysyxsxysxflmfml)()()()(代入應力邊界條件公式代入應力邊界條件公式y(tǒng)hxx右側(cè)面：右側(cè)面：0, 1ml0,yxfyf代入應力邊界條件公式，有代入應力邊界條件公式，有00hxxy

47、hxx上端面：上端面：為次要邊界，可應用圣維南原理。為次要邊界，可應用圣維南原理。法向合力：法向合力：dxyhhy0)(sinP對對O點的合力矩：點的合力矩：xdxyhhy0)(sin2hP0 hxxy切向合力：切向合力：dxyhhyx0)(cosP邊界條件邊界條件vvuuss（2-17） （1）位移邊界條件）位移邊界條件xyOqPuSSuSSS（2）應力邊界條件）應力邊界條件()()()()xsyxsxysxysylmfmlf（2-18） 垂直垂直 x 軸的邊界：軸的邊界：垂直垂直 y 軸的邊界：軸的邊界：特殊情形：特殊情形：上一節(jié)內(nèi)容回顧：上一節(jié)內(nèi)容回顧：, xnxytxxpp常數(shù)常數(shù),

48、ynyxtyypp常數(shù)常數(shù)2-8 2-8 按位移求解平面問題按位移求解平面問題1.彈性力學平面問題的基本方程彈性力學平面問題的基本方程（1）平衡微分方程：）平衡微分方程：00yyxyxyxxfyxfyx（2-2）（2）幾何方程）幾何方程：yuxvyvxuxyyx（2-9）（3）物理方程：）物理方程：)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2（2-15）（4）邊界條件：）邊界條件：（1）（2）()()()()xsyxsxysxysylmfmlfvvuuss, 2.彈性力學問題的求解方法彈性力學問題的求解方法（1）按位移求解（位移法）按位移求解（位移法）以以u、v 為基本未知函數(shù)，導出只含為

49、基本未知函數(shù)，導出只含u、v 的微分方程和邊界的微分方程和邊界條件，并求出條件，并求出u、v ，再由幾何方程求出形變、由物理方程求出再由幾何方程求出形變、由物理方程求出應力分量。應力分量。（2）按應力求解（應力法）按應力求解（應力法）以以應力分量應力分量 為基本未知函數(shù)，導出只含為基本未知函數(shù)，導出只含應力分量應力分量 的微分的微分方程和邊界條件，并求出方程和邊界條件，并求出應力分量應力分量 ；再由物理方程求出形變再由物理方程求出形變分量、由幾何方程求出位移分量。分量、由幾何方程求出位移分量。（3）混合求解）混合求解以部分以部分位移分量位移分量 和部分和部分應力分量應力分量 為基本未知函數(shù)，并

50、求為基本未知函數(shù)，并求出這些未知量出這些未知量，再求出其余未知量。再求出其余未知量。3. 按位移求解平面問題的基本方程按位移求解平面問題的基本方程（1）位移分量應滿足的微分方程）位移分量應滿足的微分方程)(12xyyE)(12yxxExyxyE)1 (2由形變表示應力的物理方程由形變表示應力的物理方程將幾何方程代入，有將幾何方程代入，有xuyvEy21yvxuEx21yuxvExy)1 (2（2-19）（a）將彈性方程式將彈性方程式(a)代入平衡微分方程，化簡有代入平衡微分方程，化簡有021211021211222222222222yxfyxuxvyvEfyxvyuxuE（2-20） 用位移表

51、示的平衡微分方程用位移表示的平衡微分方程 彈性方程彈性方程（2）將邊界條件用位移表示）將邊界條件用位移表示位移邊界條件：位移邊界條件：vvuuss,應力邊界條件：應力邊界條件：()()()()xsyxsxysxysylmfmlfxuyvEy21yvxuEx21yuxvExy)1 (2（a）將彈性方程式（將彈性方程式（a）代入，得）代入，得yssxssfyuxvlxuyvmEfxvyumyvxulE21121122（2-21）（2-17） 用位移表示的應力邊界條件用位移表示的應力邊界條件（3）按位移求解平面問題的基本方程）按位移求解平面問題的基本方程（1）平衡微分方程：）平衡微分方程：02121

52、1021211222222222222yxfyxuxvyvEfyxvyuxuE（2-20）（2）邊界條件：）邊界條件：位移邊界條件：位移邊界條件：vvuuss,（2-17）應力邊界條件：應力邊界條件：yssxssfyuxvlxuyvmEfxvyumyvxulE21121122（2-21）說明：說明：（1）對平面應變問題，只需將式中的）對平面應變問題，只需將式中的E、作相應替換即可。作相應替換即可。（2）一般不用于解析求解，作為數(shù)值求解的基本方程。）一般不用于解析求解，作為數(shù)值求解的基本方程。2-9 2-9 按應力求解平面問題按應力求解平面問題 相容方程相容方程1.變形協(xié)調(diào)方程（相容方程）變形協(xié)

53、調(diào)方程（相容方程）按應力求解平面問題的未知函數(shù)：按應力求解平面問題的未知函數(shù)：（2-2）平衡微分方程：平衡微分方程：),(),(),(yxyxyxxyyx0yxyyfyx0yxxxfxy2個方程，個方程，3個未知量，為超靜定問題，個未知量，為超靜定問題，需尋求補充方程。需尋求補充方程。 從幾何、物理從幾何、物理方程著手建立補充方程。方程著手建立補充方程。將幾何方程：將幾何方程：xvyuyvxuxyyx,（2-9）作如下運算：作如下運算：2323xyvyxu22yx22xyyxxy223yxu23xyvxvyuxy2顯然有：顯然有：yxxyxyyx22222（2-22） 形變協(xié)調(diào)方程（或相容方程

54、）形變協(xié)調(diào)方程（或相容方程）即：即： 必須滿足上式才能保證位移分量必須滿足上式才能保證位移分量 u、v 的存在與協(xié)調(diào)，的存在與協(xié)調(diào)，才能求得這些位移分量。才能求得這些位移分量。xyyx,例：考慮不滿足相容方程的形變分量例：考慮不滿足相容方程的形變分量Cxyxy0 x0y其中：其中：C 為常數(shù)。為常數(shù)。由幾何方程得：由幾何方程得：0, 0yvxu積分得：積分得：)()(21xfvyfu由幾何方程的第三式得：由幾何方程的第三式得：CxyxvyuxyCxydxxdfdyydf)()(21顯然，此方程是不可能的，因而不可能存在相應的位移分量。顯然，此方程是不可能的，因而不可能存在相應的位移分量。2.

55、變形協(xié)調(diào)方程的應力表示變形協(xié)調(diào)方程的應力表示（1）平面應力情形）平面應力情形將物理方程代入相容方程，得：將物理方程代入相容方程，得：yxxyxyyx22222（2-22）yxxyxyxyyx22222)1 (2)()(利用平衡微分方程將上式化簡：利用平衡微分方程將上式化簡：)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2（2-15）0yxyyfyx0yxxxfxy（2-2）（a）xfxxyxxxy222xxxyfxyyyxyfyxyfxfyxyxyxyxxy222222將上述兩邊相加：將上述兩邊相加：yfyyxyyxy222（b）將將 (b) 代入代入 (a) ，得：，得：2222()(1)y

56、xxyffxyxy 將將 上式整理得：上式整理得：yfxfyxxyyxyxxyyx22222222)1 ()()(（2-23）應力表示的相容方程應力表示的相容方程（2）平面應變情形）平面應變情形將將 上式中的泊松比上式中的泊松比換為換為 ， 得得1（2-24）（平面應力情形）（平面應力情形）應力表示的相容方程應力表示的相容方程（平面應變情形）（平面應變情形）當體力當體力 fx、fy 為常數(shù)時，兩種平面問題的相容方程相同，即為常數(shù)時，兩種平面問題的相容方程相同，即yfxfyxyxyx11)(22220)(2222yxyx（2-25）3.按應力求解平面問題的基本方程按應力求解平面問題的基本方程（1

57、）平衡微分方程）平衡微分方程0yxyyfyx0yxxxfxy（2-2）（2）相容方程（形變協(xié)調(diào)方程）相容方程（形變協(xié)調(diào)方程）yfxfxyyxyx)1 ()(2222（2-23）（3）邊界條件：）邊界條件：()()()()xsyxsxysxysylmfmlf（2-18）（平面應力情形）（平面應力情形）說明：說明：（1）按應力求解一般只限于求解）按應力求解一般只限于求解應力邊界問題。應力邊界問題。（2）對單連體，由上述方程就可）對單連體，由上述方程就可完全確定應力分量。完全確定應力分量。（3）但對多連體，有時還需利用）但對多連體，有時還需利用位移單值條件，才能完全確位移單值條件，才能完全確定應力分

58、量。定應力分量。例例11下面給出平面應力問題（單連體）的應力場和應變場，試分別判斷它們下面給出平面應力問題（單連體）的應力場和應變場，試分別判斷它們是否為可能的應力場與應變場（不計體力）。是否為可能的應力場與應變場（不計體力）。（1）（2）;,41,233422xyyyxxyyx;2,),(222CxyCyyxCxyyx解解（a）（b）（1） 將式（將式（a）代入平衡微分方程：）代入平衡微分方程：0yxyyfyx0yxxxfxy(2-2)03322xyxy330yy 滿足滿足（2）將式（）將式（a）代入相容方程：）代入相容方程：0)(2222yxyx)4123(422yyxyx2222()xy

59、xy2223(33)yxy 式（式（a）不是一組可能）不是一組可能的應力場。的應力場。0例例11下面給出平面應力問題（單連體）的應力場和應變場，試分別判斷它們下面給出平面應力問題（單連體）的應力場和應變場，試分別判斷它們是否為可能的應力場與應變場（不計體力）。是否為可能的應力場與應變場（不計體力）。（1）（2）;,41,233422xyyyxxyyx;2,),(222CxyCyyxCxyyx（a）（b）（2）解解將式（將式（b）代入應變表示的相容方程：）代入應變表示的相容方程：yxxyxyyx22222222222yxyxCyxx y Cyx222022xyCyxxy22式（式（b）滿足相容方

60、程，）滿足相容方程，（b）為可能的應變分量。）為可能的應變分量。例例12圖示矩形截面懸臂梁，在自由端受集中力圖示矩形截面懸臂梁，在自由端受集中力P作用，不計體力。試根據(jù)作用，不計體力。試根據(jù)材料力學公式，寫出彎曲應力材料力學公式，寫出彎曲應力 和剪應力和剪應力 的表達式，并取擠的表達式，并取擠壓應力壓應力 =0，然后說明這些表達式是否代表正確解。，然后說明這些表達式是否代表正確解。xyxy解解材料力學解答：材料力學解答：0yxyIPyIMx2224xyQSPhyb II 式（式（a）滿足平衡方程和相容方程？）滿足平衡方程和相容方程？（a）式（式（a）是否滿足邊界條件？）是否滿足邊界條件？, y