工程圖學基礎(chǔ)：第3章 投影變換

1、第第3 3章章 投影變換投影變換3.1 3.1 概概 述述3.2 3.2 換面法換面法3.3 3.3 換面法的應(yīng)用換面法的應(yīng)用3.4 3.4 旋轉(zhuǎn)法旋轉(zhuǎn)法3.1 3.1 概概 述述 當直線或平面相對于投影面處于特殊位置時，它們的投當直線或平面相對于投影面處于特殊位置時，它們的投影反映線段的實長、平面的實形及其與投影面的傾角，當它影反映線段的實長、平面的實形及其與投影面的傾角，當它們處于垂直位置時，其中有一投影具有積聚性。們處于垂直位置時，其中有一投影具有積聚性。aabb 兩點之間距離兩點之間距離aabbcc三角形實形三角形實形abcdabcd 兩平面夾角兩平面夾角aabbbaabccddaab

2、bcc 投影變換就是將直線或平面從一般位置變換為和投影面平投影變換就是將直線或平面從一般位置變換為和投影面平行或垂直的位置，以簡便作圖。行或垂直的位置，以簡便作圖。投影變換的方法投影變換的方法1. 換面法換面法 保持幾何元素的位置保持幾何元素的位置不動，而建立新的直角投不動，而建立新的直角投影面體系影面體系 2. 旋轉(zhuǎn)法旋轉(zhuǎn)法 保持原直角投影面體系保持原直角投影面體系不動，將空間幾何元素繞某不動，將空間幾何元素繞某個選定的軸旋轉(zhuǎn)個選定的軸旋轉(zhuǎn) XaVAHCB c b a bcV1X1c1b1a13.2 3.2 換面法換面法3.2.1 3.2.1 更換投影面的原則更換投影面的原則3.2.2 3.

3、2.2 點的投影變換規(guī)律點的投影變換規(guī)律3.2.3 3.2.3 四個基本問題四個基本問題3.2.1 更換投影面的原則a1c1b1V/H 體系變換為體系變換為V1/H 體系體系XaVAHCB c b a bcV1X1c1b1a11. 1. 新投影體系的建立新投影體系的建立bcabacXVHX1V1H 空間幾何元素的位置保持不動，用新的投影面來代替舊空間幾何元素的位置保持不動，用新的投影面來代替舊的投影面，使對新投影面的相對位置變成有利解題的位置，的投影面，使對新投影面的相對位置變成有利解題的位置，然后找出其在新投影面上的投影。然后找出其在新投影面上的投影。VAHCBc bX aabc V1X1c

4、1 b1a12. 2. 新投影面的選擇原則新投影面的選擇原則 (1) (1) 新投影面必須與空間幾何元素處于新投影面必須與空間幾何元素處于有利于解題有利于解題的特殊位置。的特殊位置。 (2) (2) 新投影面必須新投影面必須垂直垂直于不變投影面，構(gòu)成一個相于不變投影面，構(gòu)成一個相互垂直的兩投影面的新體系?；ゴ怪钡膬赏队懊娴男麦w系。3.2.2 3.2.2 點的投影變換規(guī)律點的投影變換規(guī)律1. 1. 點的一次變換點的一次變換VHX舊投影體系舊投影體系 X VH 新投影體系新投影體系V1HX1 A點的兩個投影點的兩個投影：a， a A點的兩個投影點的兩個投影：a，a1 X1V1ax1V1HX1ax1

5、a1 A a aaxaVHX a axa1 點的點的投影變換投影變換規(guī)律規(guī)律V1HX1ax1VHXX1V1ax1a1 A a aaxaVHX a axa1 點的新投影和不變投影的連線，必垂直于新投影軸。點的新投影和不變投影的連線，必垂直于新投影軸。點的新投影到新投影軸的距離等于點的舊投影到舊投影點的新投影到新投影軸的距離等于點的舊投影到舊投影軸的距離。軸的距離。點投影變換的作圖點投影變換的作圖更換更換H H面面VHXV1HX1 由點的不變投影向新投影軸作由點的不變投影向新投影軸作垂線垂線，并在垂線上量取，并在垂線上量取一段距離，使這段距離等于舊投影到舊投影軸的距離。一段距離，使這段距離等于舊投

6、影到舊投影軸的距離。aa X1H1Vaxax1ax1更換更換V V面面a1a1 XVHaa axVXHa2aaa1XVHX1HV12. 2. 點的兩次變換點的兩次變換V1X1X2H2V1H2X2a2a1 a Aa 兩次換面是在第一次換面的基礎(chǔ)上進行。必須一個投兩次換面是在第一次換面的基礎(chǔ)上進行。必須一個投影面變換之后，在新的兩投影面體系中再影面變換之后，在新的兩投影面體系中再交替地交替地更換另一更換另一個投影面。同時，新、舊投影面的概念也隨之改變。個投影面。同時，新、舊投影面的概念也隨之改變。3.2.3 3.2.3 四個基本問題四個基本問題1. 1. 將一般位置直線變?yōu)閷⒁话阄恢弥本€變?yōu)橥队懊?/p>

7、平行線投影面平行線VHXA aBb a bV1X1 a1 b1a1b1 X1V1H ba b aXVH 投影面傾斜線經(jīng)一次換面后可變?yōu)橥队懊嫫叫芯€。投影面傾斜線經(jīng)一次換面后可變?yōu)橥队懊嫫叫芯€。直線在新投影面上的投影反映直線的實長及其與不變直線在新投影面上的投影反映直線的實長及其與不變投影面的傾角。投影面的傾角。把一般位置直線把一般位置直線AB變?yōu)樽優(yōu)镠1投影面平行線投影面平行線 。b a baXHVX1H1Va1b1 2. 2. 將一般位置直線變?yōu)閷⒁话阄恢弥本€變?yōu)橥队懊娲怪本€投影面垂直線 將投影面傾斜線變換為投影面垂直線，需要經(jīng)過兩次將投影面傾斜線變換為投影面垂直線，需要經(jīng)過兩次換面，首先將

8、投影面傾斜線變換成為某投影面的平行線，換面，首先將投影面傾斜線變換成為某投影面的平行線，然后再將投影面平行線變換成為另一投影面的垂直線。然后再將投影面平行線變換成為另一投影面的垂直線。 VH a aXB b bAa b abXVHX1H1V1X1V1a1b1X2H2a2b2ax2H2V1X2a2b2 a1 b1 a aX b bcc 思考題思考題 如何求點如何求點C到直線到直線AB的距離？的距離？XH1V1a aXVHb ba2 b2X1HV1a1 b1 提示提示3. 3. 將一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵鎸⒁话阄恢闷矫孀優(yōu)橥队懊娲怪泵?在平面內(nèi)在平面內(nèi)取一條投影面平行線取一條投影面平行線，經(jīng)一

9、次換面后變換成，經(jīng)一次換面后變換成新投影面的垂直線，則該平面變成新投影面的垂直面。新投影面的垂直線，則該平面變成新投影面的垂直面。ddaXVHbbacca1b1d1 (c1 )V1X1HXbcdab1d1 (c1 )a1X1HadbABCDa cXVHbbac d db1 a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H14. 4. 將一般位置平將一般位置平面面變?yōu)樽優(yōu)橥队懊嫫叫忻嫱队懊嫫叫忻?需經(jīng)幾次變換？需經(jīng)幾次變換？一次換面一次換面, ,把一般把一般位置平面變換成新位置平面變換成新投影面的垂直面；投影面的垂直面；二次換面，再變換二次換面，再變換成新投影面的平行成新投影面的平行面。面。AD

10、是是正正平線平線換面法解題的基本過程換面法解題的基本過程 分析已給條件的空間情況，弄清原始條件中分析已給條件的空間情況，弄清原始條件中物體與原投影物體與原投影面的相對位置，面的相對位置，并把這些條件抽象成幾何元素（點、直線并把這些條件抽象成幾何元素（點、直線、平面等）。、平面等）。 根據(jù)要求得到的結(jié)果，確定出有關(guān)幾何根據(jù)要求得到的結(jié)果，確定出有關(guān)幾何元素對新投影面應(yīng)元素對新投影面應(yīng)處于什么樣的特殊位置處于什么樣的特殊位置（垂直或平行），據(jù)此選擇正確的（垂直或平行），據(jù)此選擇正確的解題思路與方法。解題思路與方法。 在具體作圖過程中，要注意新投影與原投影在變換前后的在具體作圖過程中，要注意新投影與

11、原投影在變換前后的關(guān)系，關(guān)系， 既要在新投影體系中正確無誤地求得結(jié)果，又能既要在新投影體系中正確無誤地求得結(jié)果，又能將結(jié)果將結(jié)果返回到原投影體系中去。返回到原投影體系中去。3.3 3.3 換面法應(yīng)用換面法應(yīng)用 求求C點到直線點到直線AB的距離，就是求垂線的距離，就是求垂線CK的實長。當直線的實長。當直線AB垂直于投影面時，垂直于投影面時，CK平行于投影面，其投影反映實長。平行于投影面，其投影反映實長。距離距離如何確定如何確定k k1 1點點的位置？的位置？APBKCca(bk)例例1 求點求點C到直線到直線AB的距離。的距離。X2H2V1X1HV1a2b2d2c2b1a1d1c1k1l1lkb

12、abdcaXVHdclkk2l2 例例2 求交叉兩直線求交叉兩直線AB與與CD的公垂線的公垂線 。 H2Ba2（b2）Ac2d2CDKLl2k2e例例3 已知已知E到平面到平面ABC的距離為的距離為N，求，求E點的正面投影點的正面投影e 。a c b bac eNkN ddX1VH1b1a1c1d1k1ke1例例4 過點過點C作直線作直線CD與與AB相交成相交成60角。角。 AB與與CD都平行于投影面時，其投影的夾角才反映實際大都平行于投影面時，其投影的夾角才反映實際大?。ㄐ。?0），因此需將），因此需將AB與與C點所確定的平面變換成投影面點所確定的平面變換成投影面平行面。平行面。 d X1H

13、V1X1V1H2ab a c b XVHca2b260c1 d2a1 b1 dc2 d1 有幾個解？有幾個解？例例5 求平面求平面ABC和和ABD的兩面角的兩面角。 H2V1X2HV1X1c d b a dacbd1 c1 a1 d2b1 c2a2 b2VHX 當當兩平面的交線兩平面的交線垂直于投影面時，則兩平面垂直于該投垂直于投影面時，則兩平面垂直于該投影面，它們的投影積聚成直線，直線間的夾角為所求。影面，它們的投影積聚成直線，直線間的夾角為所求。.換面法解題中典型問題的分析換面法解題中典型問題的分析 求直線實長和與投影面的傾角求直線實長和與投影面的傾角 將直線變換成投影面的平行線。將直線變

14、換成投影面的平行線。 求平面圖形實形求平面圖形實形 將平面變換成投影面的平行面。將平面變換成投影面的平行面。 求平面與投影面的傾角求平面與投影面的傾角 將平面變換成投影面的垂直面。將平面變換成投影面的垂直面。 求夾角求夾角 兩直線之間兩直線之間的夾角的夾角 將兩直線組成的平面變換成投影面平行面將兩直線組成的平面變換成投影面平行面。 兩平面之間兩平面之間的夾角的夾角 將兩平面變換成投影面的垂直面，即應(yīng)將兩平面的交線變將兩平面變換成投影面的垂直面，即應(yīng)將兩平面的交線變換成投影面的垂直線換成投影面的垂直線。 換面法解題中典型問題的分析換面法解題中典型問題的分析 求距離求距離 點與直線的距離點與直線的距離 將直線變換成投影面垂直線將直線變換成投影面垂直線 將點與直線組成的平面變換成投影面的平行面。將點與直線組成的平面變換成投影面的平行面。 點與平面的距離點與平面的距離 將平面變換成投影面垂直面。將平面變換成投影面垂直面。 兩平行線的距離兩平行線的距離 將兩直線變換成投影面垂直線。將兩直線變換成投影面垂直線。 兩平行平面的距離兩平行平面的距離 將兩平面變換成投影面垂直面將兩平面變換成投影面垂直面。 已知已知BD為為ABC中的