二次函數(shù)綜合題——二次函數(shù)與最值問題

1、二次函數(shù)與最值問題一、長度最值【例1】 （2010深圳）如圖，拋物線yax2c（a0）經(jīng)過梯形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)，梯形的底AD在x軸上，其中A（2,0），B（1, 3）（1）求拋物線的解析式； （2）點(diǎn)M為y軸上任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M到A、B兩點(diǎn)的距離之和為最小時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）在第（2）問的結(jié)論下，拋物線上的點(diǎn)P使SPAD=4SABM成立，求點(diǎn)P的坐標(biāo)xyCB_D_AO【例2】 （2011深圳23）如圖13，拋物線y=ax2bxc(a0)的頂點(diǎn)為（1,4），交x軸于A、B，交y軸于D，其中B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,0）（1）求拋物線的解析式（2）如圖14，過點(diǎn)A的直線與拋物線交于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)

2、F，其中E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，若直線PQ為拋物線的對(duì)稱軸，點(diǎn)G為PQ上一動(dòng)點(diǎn)，則x軸上是否存在一點(diǎn)H，使D、G、F、H四點(diǎn)圍成的四邊形周長最小.若存在，求出這個(gè)最小值及G、H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.（3）如圖15，拋物線上是否存在一點(diǎn)T，過點(diǎn)T作x的垂線，垂足為M，過點(diǎn)M作直線MNBD，交線段AD于點(diǎn)N，連接MD，使DNMBMD，若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，說明理由. 【例3】 （2012自貢）如圖，拋物線l交x軸于點(diǎn)A（-3，0）、B（1，0），交y軸于點(diǎn)C（0，-3）將拋物線l沿y軸翻折得拋物線l1（1）求l1的解析式；（2）在l1的對(duì)稱軸上找出點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A1及C兩

3、點(diǎn)的距離差最大，并說出理由；（3）平行于x軸的一條直線交拋物線l1于E、F兩點(diǎn)，若以EF為直徑的圓恰與x軸相切，求此圓的半徑【例4】 （2010廣東22）如圖（1），（2）所示，矩形ABCD的邊長AB=6，BC=4，點(diǎn)F在DC上，DF=2動(dòng)點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)D、B同時(shí)出發(fā)，沿射線DA、線段BA向點(diǎn)A的方向運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)M可運(yùn)動(dòng)到DA的延長線上），當(dāng)動(dòng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，M、N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)連接FM、FN，當(dāng)F、N、M不在同一直線時(shí)，可得FMN，過FMN三邊的中點(diǎn)作PWQ設(shè)動(dòng)點(diǎn)M、N的速度都是1個(gè)單位/秒，M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒試解答下列問題：（1）說明FMNQWP；（2）設(shè)0x4（即M從D到A運(yùn)動(dòng)的時(shí)

4、間段）試問x為何值時(shí)，PWQ為直角三角形？當(dāng)x在何范圍時(shí)，PQW不為直角三角形？（3）問當(dāng)x為何值時(shí)，線段MN最短？求此時(shí)MN的值【例5】 （2010湛江28）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，4)，線段OB繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與x軸的正半軸重合，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A(1)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出經(jīng)過A、O、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)C，使BCOC的值最?。咳舸嬖?，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由； (3)點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在x軸的上方，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，PAB的面積最大？求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和PAB的最大面積AOByx【例6】 （20

5、11清遠(yuǎn)）如圖，拋物線y(x1)2k 與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C (0，3)（1）求拋物線的對(duì)稱軸及k的值；（2）拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P，使得PAPC的值最小，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)M是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在第三象限 當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，AMB的面積最大？求出AMB的最大面積及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)； 當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AMCB的面積最大？求出四邊形AMCB的最大面積及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)【例7】 （2012廣東22）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC、AC.（1）求AB和OC的長；（2）點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E與點(diǎn)A、B不重合）.過點(diǎn)E作直線l平行BC，交AC于點(diǎn)D.設(shè)AE的長為m，ADE的面積為s，求s關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；（3）在（2）的條件下，連接CE，求CDE面積的最大值；此時(shí)，求出以點(diǎn)E為圓心，與BC相切的圓的面積（結(jié)果保留）.【例8】 （2012南充）如圖，C的內(nèi)接AOB中，AB=AO=4，tanAOB=，拋物線y=ax2+bx經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）與點(diǎn)（-2，6）（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）直線m與C相切于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)D動(dòng)點(diǎn)P在線段OB上，從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q在線段DA上，從