有限元法與程序-形函數(shù)構(gòu)造

1、 補(bǔ)充：補(bǔ)充： 單元和插值形函數(shù)構(gòu)造單元和插值形函數(shù)構(gòu)造上次課內(nèi)容回顧上次課內(nèi)容回顧 單元形函數(shù)單元形函數(shù)單元位移函數(shù)取決于插值函數(shù)即形函數(shù)，形函數(shù)是定義與單元內(nèi)坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，對(duì)平面問(wèn)題，形函數(shù)確定的單元位移表示為：1 ,0 ijjijijNxyij11 v= nniiiiiiuN uN v不難證明：形函數(shù)具備如下基本性質(zhì)1. 形函數(shù)的性質(zhì)單元形函數(shù)單元形函數(shù)形函數(shù)應(yīng)保證用它定義的位移函數(shù)滿(mǎn)足收斂性要求，即滿(mǎn)足完備性條件和協(xié)調(diào)性條件。形函數(shù)滿(mǎn)足單元位移插值完備性的充要條件為1, =niiiNx y xx2. 收斂性的要求1, =1niiNx y1, =yniiiNx y y形函數(shù)的構(gòu)造方法形

2、函數(shù)的構(gòu)造方法利用形函數(shù)在節(jié)點(diǎn)上的性質(zhì)，利用幾何方法構(gòu)造；然后再用位移函數(shù)的完備性和協(xié)調(diào)性來(lái)校核。1. 廣義坐標(biāo)法2. 幾何法（自然坐標(biāo)法）首先將單元位移表示為多項(xiàng)式，然后利用單元的幾何參數(shù)和節(jié)點(diǎn)位移來(lái)確定多項(xiàng)式的待定常數(shù)，從而用單元形函數(shù)和節(jié)點(diǎn)位移表示位移函數(shù)。形函數(shù)的構(gòu)造方法形函數(shù)的構(gòu)造方法2. 幾何法（自然坐標(biāo)法）11( , ),( ,)mkkimkiikF x yNx yF x y回顧拉格朗日插值方法構(gòu)造方法：以平面問(wèn)題為例，先做一組（m條）不通過(guò)節(jié)點(diǎn)i但通過(guò)單元其他所有節(jié)點(diǎn) 的不可約曲線(xiàn)Fk=0，然后按下式計(jì)算求得Ni后，檢驗(yàn)由它們構(gòu)造的位移函數(shù)是否滿(mǎn)足完備性和協(xié)調(diào)性要求。例1 四結(jié)

3、點(diǎn)四邊形單元)4 , 3 , 2 , 1()1)(1 (41iNiii式中i、i是結(jié)點(diǎn)i的局部坐標(biāo) 4141iiiiiiuN uvN v單元單元2 2 2 3 4 1 形函數(shù)的構(gòu)造方法形函數(shù)的構(gòu)造方法21(1)(1)4N同理： 母單元母單元2 2 2 3 4 1 形函數(shù)的構(gòu)造方法形函數(shù)的構(gòu)造方法做兩條直線(xiàn)過(guò)節(jié)點(diǎn)做兩條直線(xiàn)過(guò)節(jié)點(diǎn)2, 3, 4，但不，但不過(guò)節(jié)點(diǎn)過(guò)節(jié)點(diǎn)1，1(1)0F2(1)0F11111111114N31(1)(1)4N41(1)(1)4N例1 四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元)4 , 3 , 2 , 1()1)(1 (41iNiii式中i、i是結(jié)點(diǎn)i的局部坐標(biāo) 母單元母單元2 2 2 3

4、 4 1 形函數(shù)的構(gòu)造方法形函數(shù)的構(gòu)造方法合并表示為合并表示為完備性檢驗(yàn)完備性檢驗(yàn)411iiN41iiiN41iiiN例2 八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元形函數(shù)的構(gòu)造方法形函數(shù)的構(gòu)造方法iiiiiivNvuNu81812/ )1)(1 (4/ ) 1)(1)(1 (2/ )1)(1 (4/ ) 1)(1)(1 (2/ )1)(1 (4/ ) 1)(1)(1 (2/ )1)(1 (4/ ) 1)(1)(1 (287265243221NNNNNNNN形函數(shù)的構(gòu)造方法形函數(shù)的構(gòu)造方法對(duì)節(jié)點(diǎn)對(duì)節(jié)點(diǎn)1，做三條直線(xiàn)過(guò)節(jié)點(diǎn)，做三條直線(xiàn)過(guò)節(jié)點(diǎn)2, 3, 4, 5, 6, 7, 8，但不過(guò)節(jié)點(diǎn)，但不過(guò)節(jié)點(diǎn)1，1(1)0

5、F2(1)0F1111111111111114N 310F 過(guò)過(guò)3,4,5過(guò)過(guò)5,6,7過(guò)過(guò)2,8則則形函數(shù)的構(gòu)造方法形函數(shù)的構(gòu)造方法對(duì)節(jié)點(diǎn)對(duì)節(jié)點(diǎn)2，做三條直線(xiàn)過(guò)節(jié)點(diǎn)，做三條直線(xiàn)過(guò)節(jié)點(diǎn)1, 3, 4, 5, 6, 7, 8，但不過(guò)節(jié)點(diǎn)，但不過(guò)節(jié)點(diǎn)1，110F 210F 222221111111112N310F 過(guò)過(guò)3,4,5過(guò)過(guò)5,6,7過(guò)過(guò)7,8,1則則同理，構(gòu)造同理，構(gòu)造N3，N4，N8完備性檢驗(yàn)和協(xié)調(diào)性檢驗(yàn)完備性檢驗(yàn)和協(xié)調(diào)性檢驗(yàn)例3 五結(jié)點(diǎn)四邊形單元（過(guò)渡單元）過(guò)渡單元過(guò)渡單元2 2 2 3 4 1 形函數(shù)的構(gòu)造方法形函數(shù)的構(gòu)造方法5 對(duì)節(jié)點(diǎn)對(duì)節(jié)點(diǎn)1，做三條直線(xiàn)過(guò)節(jié)點(diǎn)，做三條直線(xiàn)過(guò)節(jié)點(diǎn)2

6、, 3, 4, 5，但不過(guò)節(jié)點(diǎn)，但不過(guò)節(jié)點(diǎn)1，1(1)0F2(1)0F111111()11111()4N 30F 過(guò)過(guò)2,3過(guò)過(guò)4,3過(guò)過(guò)5則則例3 五結(jié)點(diǎn)四邊形單元（過(guò)渡單元）過(guò)渡單元過(guò)渡單元2 2 2 3 4 1 形函數(shù)的構(gòu)造方法形函數(shù)的構(gòu)造方法5 對(duì)節(jié)點(diǎn)對(duì)節(jié)點(diǎn)2，做三條直線(xiàn)過(guò)節(jié)點(diǎn)，做三條直線(xiàn)過(guò)節(jié)點(diǎn)1, 3, 4, 5，但不過(guò)節(jié)點(diǎn)，但不過(guò)節(jié)點(diǎn)2，110F 210F 222211111114N 30F過(guò)過(guò)1,4過(guò)過(guò)4,3過(guò)過(guò)5則則例3 五結(jié)點(diǎn)四邊形單元（過(guò)渡單元）過(guò)渡單元過(guò)渡單元2 2 2 3 4 1 形函數(shù)的構(gòu)造方法形函數(shù)的構(gòu)造方法5 對(duì)節(jié)點(diǎn)對(duì)節(jié)點(diǎn)3，做二條直線(xiàn)過(guò)節(jié)點(diǎn)，做二條直線(xiàn)過(guò)節(jié)點(diǎn)1,

7、 2, 4, 5，但不過(guò)節(jié)點(diǎn)，但不過(guò)節(jié)點(diǎn)3，110F 210F 33311111114N過(guò)過(guò)1,4過(guò)過(guò)1,2,5則則同理同理44411111114N22525511111211N三角形高次單元的形函數(shù)三角形高次單元的形函數(shù)可用面積坐標(biāo)表示，其形函數(shù)的構(gòu)造公式為：12311231231(,),(,)mkkimkikF L L LNL L LF L L L351624yx例4 六結(jié)點(diǎn)三角形單元形函數(shù)對(duì)節(jié)點(diǎn)對(duì)節(jié)點(diǎn)1，做兩條直線(xiàn)過(guò)節(jié)，做兩條直線(xiàn)過(guò)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)2, 3, 4, 5, 6，但不過(guò)節(jié)點(diǎn)，但不過(guò)節(jié)點(diǎn)1，即即10L 1102L 111111111212121LLNLLLL同理得同理得因此因此22221

8、NLL33321NLL351624yx例4 六結(jié)點(diǎn)三角形單元形函數(shù)對(duì)節(jié)點(diǎn)對(duì)節(jié)點(diǎn)4，做兩條直線(xiàn)過(guò)節(jié)，做兩條直線(xiàn)過(guò)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)1, 2, 3, 5, 6，但不過(guò)節(jié)點(diǎn)，但不過(guò)節(jié)點(diǎn)4，即即10L 20L 121241212441/2 1/2L LL LNL LL L同理得同理得因此因此5234NL L6314NL L351624yx例4 六結(jié)點(diǎn)三角形單元形函數(shù)協(xié)調(diào)性檢驗(yàn)協(xié)調(diào)性檢驗(yàn)63122331112123123(21)4() 2()()1iiiiiNLLL LL LL LLLLLLL631242353161131(21)444 iiiiiiiiiiN xLL xL L xL L xL L xL xx注意到

9、注意到1242xxx2352xxx3162xxx完備性、協(xié)調(diào)性檢驗(yàn)完備性、協(xié)調(diào)性檢驗(yàn)例例5 十結(jié)點(diǎn)三角形單元的形函數(shù)十結(jié)點(diǎn)三角形單元的形函數(shù)3211011393138332723262215121427) 13 (29),13 (29) 13 (29),13 (29) 13 (29),13 (29) 3 , 2 , 1) 23)(13 (21LLLNLLLNLLLNLLLNLLLNLLLNLLLNiLLLNiiii（十結(jié)點(diǎn)三角形單元十結(jié)點(diǎn)三角形單元yx032164578910位移形函數(shù)為位移形函數(shù)為例6 空間二十結(jié)點(diǎn)六面體單元形函數(shù)的構(gòu)造方法形函數(shù)的構(gòu)造方法對(duì)節(jié)點(diǎn)對(duì)節(jié)點(diǎn)1，做四個(gè)平面過(guò)除節(jié)點(diǎn)，做四個(gè)平面過(guò)除節(jié)點(diǎn)1外的所有節(jié)點(diǎn)外的所有節(jié)點(diǎn)110F 210F 111111111(1)(2)111(1)(2)11(1)(2)8N 420F過(guò)2,3,6,7,13,14,18,19過(guò)5,6,7,8,11,12,14,15則