多元函數(shù)積分

1、多元函數(shù)積分1. 利用積分區(qū)域的對(duì)稱性化簡(jiǎn)多元函數(shù)的積分1.1 利用積分區(qū)域的對(duì)稱性化簡(jiǎn)多元函數(shù)的重積分題型一 計(jì)算積分區(qū)域具有對(duì)稱性，被積函數(shù)具有奇偶性的重積分類型（一） 計(jì)算積分區(qū)域具有對(duì)稱性、被積函數(shù)具有奇偶性的二重積分常用下述命題簡(jiǎn)化計(jì)算二重積分.命題1 若f(x,y)在積分區(qū)域D上連續(xù)，且D關(guān)于y軸（或x軸）對(duì)稱，則（1）f(x,y)是D上關(guān)于x（或y）的奇函數(shù)時(shí)，有；（2）f(x,y)是D上關(guān)于x（或y）的偶函數(shù)時(shí)，有；其中D1是D落在y軸（或x軸）一側(cè)的那一部分區(qū)域.命題2 若D關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱，D1為D中對(duì)應(yīng)于x0,y0（或x0,y0）的部分，則命題3 設(shè)積分區(qū)域D對(duì)稱于原點(diǎn)

2、，對(duì)稱于原點(diǎn)的兩部分記為D1和D2.（1）（2）命題4 積分區(qū)域D關(guān)于具有輪換對(duì)稱性，則記D位于直線y=x上半部分區(qū)域?yàn)镈1,則類型（二） 計(jì)算積分區(qū)域具有對(duì)稱性，被積函數(shù)具有奇偶性的三重積分.常用下述命題簡(jiǎn)化具有上述性質(zhì)的三重積分的計(jì)算.命題1若關(guān)于xOy平面對(duì)稱，而1是對(duì)應(yīng)于z0的部分，則若關(guān)于yOz平面（或zOx平面）對(duì)稱，f關(guān)于x（或y）為奇函數(shù)或偶函數(shù)有類似結(jié)論.命題2 若關(guān)于xOy平面和xOz平面均對(duì)稱（即關(guān)于x軸對(duì)稱），而1為對(duì)應(yīng)于z0,y0的部分，則若關(guān)于xOz平面和yOz平面均對(duì)稱（即關(guān)于z軸對(duì)稱），或者關(guān)于xOy平面和yOz平面均對(duì)稱，那么也有類似結(jié)論.命題3 如果積分區(qū)域

3、關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)平面對(duì)稱，而1是位于第一象限的部分，則命題4 若積分區(qū)域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且被積函數(shù)關(guān)于x,y,z為奇函數(shù)，即題型三 計(jì)算積分區(qū)域具有輪換對(duì)稱性的三重積分命題5 如果積分區(qū)域關(guān)于變量x,y,z具有輪換對(duì)稱性（即x換成y,y換成z,z換成x，其表達(dá)式不變），則.1.2 利用積分區(qū)域的對(duì)稱性化簡(jiǎn)第一類曲線積分、曲面積分題型一 計(jì)算積分曲線（面）具有對(duì)稱性的第一類曲線（面）積分類型（一） 計(jì)算積分曲線具有對(duì)稱性的第一類曲線積分命題1.2.1 設(shè)曲線L關(guān)于y軸對(duì)稱，則 其中L1是L在x0的那段曲線，即L1是L在y軸右側(cè)的部分；若曲線L關(guān)于x軸對(duì)稱，則有上述類似結(jié)論.命題1.2.2 設(shè)f(x,y

4、)在分段光滑曲線L上連續(xù)，若L關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則 其中L1為L(zhǎng)的右半平面或上半平面部分.類型（二） 計(jì)算積分曲面具有對(duì)稱性的第一類曲面積分第一類曲面積分的奇偶對(duì)稱性與三重積分類似，可利用下述命題簡(jiǎn)化計(jì)算.命題1.2.3 設(shè)積分曲面關(guān)于yOz對(duì)稱，則 其中1是在yOz面的前側(cè)部分.若關(guān)于另外兩坐標(biāo)面有對(duì)稱性，則有類似結(jié)論.注意 不能把向xOy面上投影，因第一類曲面積分的投影域面積不能為0.題型二 計(jì)算平面積分曲線關(guān)于y=x對(duì)稱的第一類曲線積分命題1.2.4 若L關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則.題型三 計(jì)算空間積分曲線具有輪換對(duì)稱性的第一類曲線積分命題1.2.5 若曲線方程中的三變量x,y,z具有輪換對(duì)稱性

5、，則.1.3 利用積分區(qū)域的對(duì)稱性化簡(jiǎn)第二類曲線積分、曲面積分題型一 計(jì)算積分曲線具有對(duì)稱性的第二類曲線積分第二類曲線積分的奇偶對(duì)稱性與第一類曲線積分相反，有下述結(jié)論.命題1.3.1 設(shè)L為平面上分段光滑的定向曲線，P(x,y),Q(x,y)連續(xù)，（1）L關(guān)于y軸對(duì)稱，L1是L在y軸右側(cè)部分，則（2）L關(guān)于x軸對(duì)稱，L1為L(zhǎng)在x軸上側(cè)部分，則（3）L關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，L1是L在y軸右側(cè)或x軸上側(cè)部分，則（4）L關(guān)于y=x對(duì)稱，則即若L關(guān)于y=x對(duì)稱，將x與y對(duì)調(diào)，則L關(guān)于直線y=x翻轉(zhuǎn)，即L化為L(zhǎng).因而第二類曲線積分沒(méi)有輪換對(duì)稱性.題型二 計(jì)算積分曲面具有對(duì)稱性的第二類曲面積分命題1.3.2 設(shè)關(guān)

6、于yOz面對(duì)稱，則其中1是在yOz面的前側(cè)部分.這里對(duì)坐標(biāo)y和z的第二類曲面積分只能考慮關(guān)于yOz面的對(duì)稱性，而不能考慮其他面，這一點(diǎn)也與第一類曲面積分不同.2. 交換積分次序及轉(zhuǎn)換二次積分題型一 交換二次積分的積分次序直接例題，無(wú)講解.題型二 轉(zhuǎn)換二次積分轉(zhuǎn)換二次積分是指將極坐標(biāo)系（或直角坐標(biāo)系）下的二次積分轉(zhuǎn)換成直角坐標(biāo)系（或極坐標(biāo)系）下的二次積分.由極坐標(biāo)系（或直角坐標(biāo)系）下的二次積分的內(nèi)外層積分限寫出相應(yīng)的二重積分區(qū)域D的極坐標(biāo)（或直角坐標(biāo)）表示，再確定該區(qū)域D在直角坐標(biāo)系（或極坐標(biāo)系）中的圖形，然后配置積分限.3. 計(jì)算二重積分題型一 計(jì)算被積函數(shù)分區(qū)域給出的二重積分含絕對(duì)值符號(hào)、最

7、值符號(hào)max或min及含符號(hào)函數(shù)、取整函數(shù)的被積函數(shù)，實(shí)際上都是分區(qū)域給出的函數(shù)，計(jì)算其二重積分都需分塊計(jì)算.題型二 計(jì)算圓域或部分圓域上的二重積分當(dāng)積分區(qū)域的邊界由圓弧、過(guò)原點(diǎn)的射線（段）組成，而且被積函數(shù)為或的形狀時(shí)，常作坐標(biāo)變換，利用極坐標(biāo)系計(jì)算比較簡(jiǎn)單.為此，引進(jìn)新變量r,得到用極坐標(biāo)（r，）計(jì)算二重積分的公式： （其中rddr是極坐標(biāo)系下的面積元素）.用極坐標(biāo)系計(jì)算的二重積分，就積分區(qū)域來(lái)說(shuō)，常是圓域（或其一部分）、圓環(huán)域、扇形域等，可按其圓心所在位置分為下述六個(gè)類型（其中a,b,c均為常數(shù)）.類型（一） 計(jì)算圓域x2+y2a上的二重積分.類型（二） 計(jì)算圓域x2+y22ax上的二重

8、積分.類型（三） 計(jì)算圓域x2+y2-2ax上的二重積分.類型（四） 計(jì)算圓域x2+y22ay上的二重積分.類型（五） 計(jì)算圓域x2+y2-2ay上的二重積分.類型（六） 計(jì)算圓域x2+y22ax+2by+c上的二重積分.4. 計(jì)算三重積分題型一 計(jì)算積分區(qū)域的邊界方程均為一次的三重積分當(dāng)積分區(qū)域主要由平面圍成時(shí)，宜用直角坐標(biāo)系計(jì)算，如果積分區(qū)域的邊界方程中含某個(gè)坐標(biāo)變量的方程只有兩個(gè)，則可先對(duì)該坐標(biāo)變量積分。題型二 計(jì)算積分區(qū)域?yàn)樾D(zhuǎn)體的三重積分可選用柱面坐標(biāo)計(jì)算。特別當(dāng)被積函數(shù)是兩個(gè)變量的二次齊式時(shí)，常用柱面坐標(biāo)計(jì)算。題型三 計(jì)算積分區(qū)域由球面或球面與錐面所圍成的三重積分積分區(qū)域?yàn)榍蛎婊蚯?/p>

9、面與錐面所圍成的三重積分，采用球面坐標(biāo)系計(jì)算可以減少計(jì)算工作量，特別當(dāng)被積函數(shù)為形如的形式時(shí)，常用球面坐標(biāo)系計(jì)算三重積分。用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分時(shí)，首先，應(yīng)明確球面坐標(biāo)變換，及其參數(shù)，幾何意義；其次，要記住球面坐標(biāo)變換后的體積元素為；最后，根據(jù)積分區(qū)域的幾何形狀及，的幾何意義正確定出三重積分的積分限。本題型還可以選用柱面坐標(biāo)及先二后一的方法進(jìn)行計(jì)算。題型四 計(jì)算被積函數(shù)至少缺兩個(gè)變量的三重積分法一 用先二后一法（截面法）計(jì)算當(dāng)被積函數(shù)至少缺兩個(gè)變量且平行于所缺兩變量的坐標(biāo)面的截面面積又易求時(shí)，可用下述公式將三重積分化為定積分求之。為方便計(jì)，設(shè)被積函數(shù)為f(x)，則，其中z1，z2是向z軸投影而

10、得到的投影區(qū)間z1，z2的端點(diǎn)，而D(z)是用垂直于z軸（平行于xOy平面）的平面截所得的截面，如D(z)的面積易求出，則上述積分即可求出。易知當(dāng)積分區(qū)域由橢球面、球面、柱面、圓錐面或旋轉(zhuǎn)面等曲面或其一部分所圍成時(shí)，相應(yīng)截面D(x)或D(y)或D(z)為圓域，其面積S(x)或S(y)或S(z)易求出。如果被積函數(shù)又至少缺兩個(gè)變量，可先對(duì)所缺的兩個(gè)變量積分，用先二后一法計(jì)算其三重積分。法二 用重心計(jì)算公式求之當(dāng)被積函數(shù)只有一個(gè)變量，而的體積又易求出，則可利用重心計(jì)算公式求其三重積分。題型五 計(jì)算易求出其截面區(qū)域上的二重積分的三重積分可用先二后一法計(jì)算。雖然這時(shí)界面區(qū)域上的二重積分不等于其面積，但

11、由于易求出其值，再計(jì)算一個(gè)單積分，該三重積分也就求出。這時(shí)對(duì)被積函數(shù)不可作要求。當(dāng)截面為圓域或其一部分，被積函數(shù)又為型，常選用上法計(jì)算其三重積分，且常用極坐標(biāo)計(jì)算其截面區(qū)域上的二重積分。因而當(dāng)為旋轉(zhuǎn)體時(shí)，其上的三重積分也可用上法求之。5. 計(jì)算曲線積分題型一 計(jì)算第一類平面曲線積分計(jì)算這類曲線積分的主要方法是根據(jù)積分曲線方程的類型（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)、參數(shù)方程），正確寫出弧長(zhǎng)元素ds的表達(dá)式，將第一類曲線積分轉(zhuǎn)化為定積分（其下限必不超過(guò)上限）的計(jì)算。計(jì)算中要始終注意利用曲線方程化簡(jiǎn)被積函數(shù)（因?yàn)樵诜e分過(guò)程中動(dòng)點(diǎn)始終沿著曲線移動(dòng)，從而其坐標(biāo)滿足曲線方程），這是計(jì)算曲線（面）積分特有的方法，因而可用

12、曲線方程化簡(jiǎn)被積函數(shù)。代換后歸結(jié)為計(jì)算，而L的弧長(zhǎng)是已知的或易求的。此外，還應(yīng)注意曲線的對(duì)稱性及被積函數(shù)的奇偶性和周期性和物質(zhì)曲線的重心簡(jiǎn)化計(jì)算。注意 若曲線有對(duì)稱性，雖然整個(gè)被積函數(shù)不一定關(guān)于x（或y）為奇、偶函數(shù)，但可進(jìn)一步考察其某一部分是否具有奇偶性，盡量利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算。題型二 求解平面上與路徑無(wú)關(guān)的第二類曲線積分有關(guān)問(wèn)題類型（一） 判斷（證明）平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，并求該積分定理5.1 滿足下列四條件之一，則積分在L所圍的區(qū)域D內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)： （1）存在u(x,y)使得； （2）若D為單連通區(qū)域，且；（但若D不是單連通區(qū)域，在D內(nèi)成立，不能證明在D內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)） （3），l為D內(nèi)

13、任一分段光滑閉曲線； （4）若D為有唯一奇點(diǎn)M0的復(fù)連通域，存在一條環(huán)繞M0的路徑C，使。對(duì)于單連通區(qū)域D，為證Pdx+Qdy存在原函數(shù)u(x,y)，使du=Pdx+Qdy常驗(yàn)證成立。若在單連通區(qū)域D內(nèi)積分與路徑無(wú)關(guān)，則可在D中選取特殊的路徑計(jì)算，其中右端積分為終點(diǎn)變動(dòng)的積分，通常取D中平行于坐標(biāo)軸的折線路徑計(jì)算，設(shè)(x0,y0)為D內(nèi)任一點(diǎn)有，或.若找到了原函數(shù)u(x,y),則.類型（二） 求平面上與路徑無(wú)關(guān)的第二類平面曲線積分被積式中的待定函數(shù)或常數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)由或其他與積分路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條件建立待定函數(shù)(或常數(shù))所滿足的微分方程,求解次微分方程即可確定所求函數(shù)(或常數(shù)).類型（三） 證

14、明Pdx+Qdy存在原函數(shù)u(x,y)并求出u(x,y).定理5.2 設(shè)P(x,y),Q(x,y)在區(qū)域D上連續(xù),則在D內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)的充要條件是在D內(nèi)存在函數(shù)u(x,y)使.值得注意的是,定理5.2只要P,Q在區(qū)域D上連續(xù),對(duì)區(qū)域D是單連通或復(fù)連通都成立.由該定理可知,討論是否與路徑無(wú)關(guān)與討論P(yáng)dx+Qdy是否存在原函數(shù)是一回事.題型三 計(jì)算平面上與路徑有關(guān)的第二類曲線積分雖然題型不同,計(jì)算第二類曲線積分方法有別,但將曲線L的方程代入被積式,化簡(jiǎn)被積函數(shù),及利用各種對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算是計(jì)算第二類曲線積分的各種題型都采用的方法和技巧.類型（一） 計(jì)算平面上與路徑有關(guān)的平面曲線積分求法一 用格林公式求

15、之由知,曲線積分與路徑有關(guān),因而不能改變其積分路徑求積分,其值可用格林公式求之.該法是計(jì)算平面上第二類曲線積分的重要方法.常有以下三種情況:(1)曲線積分滿足格林公式的各個(gè)條件,可使用該公式將曲線積分轉(zhuǎn)化為二重積分求之.(2)曲線不封閉,添加輔助線(例如添加平行于坐標(biāo)軸的直線段使之構(gòu)成封閉曲線),然后用格林公式把求曲線積分轉(zhuǎn)化為易求的二重積分及輔助線上的曲線積分.(3)L所圍區(qū)域含P,Q不連續(xù)點(diǎn)時(shí),設(shè)法使用格林公式.這時(shí)L所圍區(qū)域?yàn)閺?fù)連通區(qū)域,設(shè)法去掉P,Q不連續(xù)的點(diǎn),常用下述各法求出其積分.方法一 將L的方程代入被積函數(shù),有時(shí)可去掉其不連續(xù)的點(diǎn).方法二 構(gòu)造單連通區(qū)域D.常用摳除P,Q不連續(xù)

16、點(diǎn)的小(橢)圓與曲線L和其他曲線圍成單連通區(qū)域D,再在D上使用格林公式.方法三 使用下述復(fù)連通域上的格林公式求之.命題5.1(復(fù)連通域上的格林公式) 設(shè)P(x,y),Q(x,y)在D內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且在D內(nèi)處處成立.L1,L2是任意兩條通向閉路徑,且在各自所圍的區(qū)域內(nèi)有相同的不屬于D的點(diǎn)(稱為奇點(diǎn)或洞點(diǎn)),則.求法二 寫出積分曲線的參數(shù)方程化為定積分計(jì)算計(jì)算與路徑有關(guān)又不便使用格林公式的第二類曲線積分時(shí),常寫出其參數(shù)方程,化為定積分計(jì)算.題型四 計(jì)算空間第二類曲線積分計(jì)算沿空間閉合曲線的第二類曲線積分常用下述各法.法一 借助曲線的參數(shù)方程,化為定積分計(jì)算.法二 投影到坐標(biāo)面上,化為平面上第

17、二類曲線積分計(jì)算.因第二類曲線積分是對(duì)坐標(biāo)的曲線積分,dx,dy,dz是有向弧長(zhǎng)元素在各坐標(biāo)軸上的投影,可將空間曲線上的第二類曲線積分投影到坐標(biāo)面上去計(jì)算.當(dāng)曲線方程含一次方程時(shí),常將一個(gè)變量用另外兩個(gè)變量表示的式子代入被積式,被積函數(shù)就化成二元函數(shù),積分曲線就向相應(yīng)坐標(biāo)面上投影,空間曲線積分就化為平面曲線積分.再用格林公式可化為二重積分計(jì)算.法三 用斯托克斯公式轉(zhuǎn)化為曲面積分計(jì)算.特別當(dāng)曲線封閉,且被積函數(shù)為x,y,z的一次或二次多項(xiàng)式,空間曲線所張成的曲面為平面片或?yàn)椴糠智蛎姹容^簡(jiǎn)單時(shí)常用此法求之.求時(shí)要注意由的定向按右手法則確定曲面的定向.特別當(dāng)時(shí),可選擇特殊的積分路徑求.使用上述三法計(jì)

18、算時(shí),還應(yīng)注意將曲線方程代入被積函數(shù)以化簡(jiǎn)被積式,空間第二類曲線積分對(duì)稱性的情況同平面曲線第二類曲線積分類似,且同樣要加以充分利用以化簡(jiǎn)計(jì)算.法四 當(dāng)Pdx+Qdy+Rdz的原函數(shù)存在并易求時(shí),通過(guò)求原函數(shù)求得曲線積分.6. 計(jì)算曲面積分題型一 計(jì)算第一類曲面積分類型（一） 計(jì)算與曲面外法線向量無(wú)關(guān)的第一類曲面積分這類曲面積分算法是將曲面積分化為投影區(qū)域上的二重積分,為此,需按下列步驟進(jìn)行(1)確定曲面的方程,積分曲面的顯式表示應(yīng)當(dāng)是單值函數(shù),否則需將曲面分片,使分片后的各片曲面為單值函數(shù);(2)由曲面的方程(例如z=z(x,y)算出曲面微元dS(例如);(3)由曲面方程及題中所指出的范圍確定

19、曲面在相應(yīng)的坐標(biāo)面 (例如xOy平面)上的投影區(qū)域(例如Dxy),然后將的方程及dS的表達(dá)式代入被積式,且將積分區(qū)域變?yōu)橥队皡^(qū)域,余下的就是計(jì)算二重積分.上述求解過(guò)程可歸納為一定(曲面的方程)、二求（曲面微元dS）、三代（將的方程及dS的表示式代入被積式）、四替換（將積分區(qū)域用投影區(qū)域替換）、五計(jì)算（二重積分）.由于第一類曲面積分不考慮曲面的側(cè),利用對(duì)稱性的情況與重積分類似,且解題中同樣要充分利用,此外還可以利用物質(zhì)曲面的重心簡(jiǎn)化計(jì)算.類型（二） 計(jì)算與曲面外法線向量有關(guān)的第一類曲面積分利用第一類與第二類曲面積分之間的關(guān)系,有時(shí)將第一類曲面積分轉(zhuǎn)化為第二類曲面積分,再用高斯公式:,.或利用斯托

20、克斯公式化為第二類曲線積分計(jì)算.題型二 計(jì)算第二類曲面積分法一 化為投影區(qū)域上的二重積分計(jì)算以計(jì)算為例的計(jì)算步驟為(1)確定積分曲面的方程z=z(x,y)及其在xOy面上的投影區(qū)域Dxy,并確定曲面的側(cè)是上側(cè)還是下側(cè);(2)把曲面方程z=z(x,y)代入被積函數(shù)中,得到,若曲面是由方程z=z(x,y)所給出的曲面上側(cè),取正號(hào),否則取負(fù)號(hào).另外,兩個(gè)積分及可類似計(jì)算.這樣需將一個(gè)完整的積分向三個(gè)坐標(biāo)面投影.如果曲面方程由z=z(x,y)給出,也可由下述命題,將三個(gè)坐標(biāo)面上的積分轉(zhuǎn)化為一個(gè)坐標(biāo)面上的積分.此法常成為合一投影法.利用上述方法計(jì)算曲面積分時(shí),仍需注意利用奇偶性、對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算.命題6.

21、1 若定曲面由方程z=z(x,y)給出,在xOy平面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy,z(x,y)在Dxy上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),P,Q,R在上連續(xù),則其中正負(fù)號(hào)由的定向確定:法向量指向上側(cè)取正號(hào),否則取負(fù)號(hào).若將投影到y(tǒng)Oz或zOx平面可得類似計(jì)算公式.設(shè)曲面由方程z=z(x,y)給出,當(dāng)取上側(cè)時(shí),有,而,故,即.于是,這樣三個(gè)坐標(biāo)面上的積分就轉(zhuǎn)化為一個(gè)坐標(biāo)面上的積分.同樣,若曲面由方程x=x(y,z)或y=y(x,z)表示且將投影到y(tǒng)Oz或zOx平面也可得到類似公式.一般地,如果曲面方程由z=z(x,y)給出較簡(jiǎn)單.例如,曲面為平面或?yàn)樾D(zhuǎn)拋物面等可用上述合一投影法求其上的第二類曲面積分.法二 使用高斯公式

22、求之高斯公式 設(shè)空間閉區(qū)域是由分片光滑的閉曲面所圍成,函數(shù)P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在區(qū)域上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有,或.這里是的外側(cè),cos,cos,cos是的外法向量的方向余弦.以上兩式均為高斯公式.在以上兩式中令P=x,Q=y,R=z即得,或.使用高斯公式計(jì)算第二類曲面積分有下述幾種情況:(1)曲面積分滿足高斯公式的多個(gè)條件(為封閉曲面,取外側(cè),P,Q,R在上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)),利用該公式可把對(duì)坐標(biāo)的曲面積分轉(zhuǎn)化為三重積分計(jì)算.一般計(jì)算三重積分比計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲面積分容易.計(jì)算過(guò)程要注意使用曲面方程化簡(jiǎn)被積函數(shù),使用奇偶對(duì)稱性及曲面與坐標(biāo)面的垂直性、物質(zhì)立體（物質(zhì)曲面）的重心等簡(jiǎn)化計(jì)算。（2）