第二章概率GAI

1、第第2 2章章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布2.2 2.2 離散型隨機(jī)變量及其分布離散型隨機(jī)變量及其分布2.1 2.1 隨機(jī)變量隨機(jī)變量2.3 2.3 隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)2.5 2.5 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布隨機(jī)變量的函數(shù)的分布2.4 2.4 連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布第第2 2章章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布2.1 2.1 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果有些是與數(shù)量對應(yīng)的. 11點(diǎn)點(diǎn) 22點(diǎn)點(diǎn) 66點(diǎn)點(diǎn) 44點(diǎn)點(diǎn) 55點(diǎn)點(diǎn) 33點(diǎn)點(diǎn)例如,擲一次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù). . 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1, iiXi點(diǎn)點(diǎn)而有些隨機(jī)試驗(yàn)，表面上看

2、其試驗(yàn)結(jié)果與數(shù)而有些隨機(jī)試驗(yàn)，表面上看其試驗(yàn)結(jié)果與數(shù)量沒有對應(yīng)關(guān)系，但我們可以將其數(shù)量化。量沒有對應(yīng)關(guān)系，但我們可以將其數(shù)量化。例例2.1 2.1 拋擲一枚硬幣兩次拋擲一枚硬幣兩次, ,觀察出現(xiàn)正面觀察出現(xiàn)正面( (記為記為H H ) )和反面和反面 ( (記為記為T T ) )的情況的情況. .,SHH HT TH TT樣本空間樣本空間0, , ( )1, , 2, .eTTXX eeHTTHeHH或 2 , 1 , 0,)(eXHHTHHTTT或或設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E E 的樣本空間為的樣本空間為S S , ,定義樣本空間定義樣本空間S上的上的實(shí)值單值函數(shù)實(shí)值單值函數(shù)ReXeSeX )(

3、, 表示方法：表示方法：稱稱 為為隨機(jī)變量隨機(jī)變量.)(eXX 等。等。，或或 ZYX,S1e2e3e 3X e 2X eXR 1X e 6 , 5 , 4 , 32 點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)大大于于A例如,擲一次骰子觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù). BX出現(xiàn)兩點(diǎn)2XI |( )e X eI |( )P XIP eX eI. I此時(shí)有此時(shí)有它表示事件它表示事件 2 XA第第2 2章章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布2.2 2.2 離散型隨機(jī)變量及其分布離散型隨機(jī)變量及其分布 例如,擲骰子朝上一面的點(diǎn)數(shù)、一晝夜120接到的呼叫次數(shù)等均為離散型隨機(jī)變量。而某元件壽命的所有可能取值充滿一個(gè)區(qū)間而某元件壽命的所有可能取值充滿一個(gè)區(qū)

4、間, ,無法按一定無法按一定次序一一列舉出來次序一一列舉出來, ,因而它是一個(gè)非離散型隨機(jī)變量因而它是一個(gè)非離散型隨機(jī)變量. .分布律也可以表示為表格形式或矩陣形式 注注( (1)1)上述兩條性質(zhì)是分布律必須具有的性質(zhì).如果一個(gè)數(shù)列 具有以上兩條性質(zhì),則它可以作為某離散型隨機(jī)變量的分布律. (2) IxiiIxiiPxXPIXP)(040202002121.)()()(APAPAAPXP320121212121.)()()(AAPAAPAAAAPXP例例如圖電子線路中裝有兩個(gè)并聯(lián)繼電器。假設(shè)這如圖電子線路中裝有兩個(gè)并聯(lián)繼電器。假設(shè)這兩個(gè)繼電器是否接通具有隨機(jī)性，且彼此獨(dú)立。兩個(gè)繼電器是否接通具

5、有隨機(jī)性，且彼此獨(dú)立。已知每個(gè)繼電器接通的概率為已知每個(gè)繼電器接通的概率為0.8，設(shè)，設(shè)X為線路為線路中接通的繼電器的個(gè)數(shù)。求（中接通的繼電器的個(gè)數(shù)。求（1）X的概率分布；的概率分布；（2）線路接通的概率。）線路接通的概率。解解: (1)X可能的取值可能的取值0,1,2設(shè)設(shè)Ai=第第i個(gè)繼電器接通個(gè)繼電器接通, i=1,212640808022121.)()()(APAPAAPXP.960640320211XPXPXP（2）線路接通的概率。）線路接通的概率。X的概率分布為的概率分布為12X 0 1 2Pk0.04 0.32 0.6412. 06 . 02 . 0)()()(02121 APAP

6、AAPXP48. 06 . 08 . 0)()()(42121APAPAAPXP二二. . 離散型隨機(jī)變量的常用分布離散型隨機(jī)變量的常用分布1012 XPXPXP264. 0)999. 0()001. 0()999. 0()001. 0(19991110001000001000 CC.,).(.20210201202020kCkXPkkk例例一種一種40瓦的燈泡，規(guī)定其使用壽命超過瓦的燈泡，規(guī)定其使用壽命超過2000小小時(shí)的為正品，否則為次品。已知有很大一批這時(shí)的為正品，否則為次品。已知有很大一批這個(gè)樣的燈泡，其次品率為個(gè)樣的燈泡，其次品率為0.2.現(xiàn)從這批燈泡中現(xiàn)從這批燈泡中隨機(jī)的抽取隨機(jī)的

7、抽取20只做壽命試驗(yàn)，問這只做壽命試驗(yàn)，問這20只燈泡中只燈泡中恰有恰有k只次品的概率。只次品的概率。解解: 抽樣數(shù)相對于燈泡總數(shù)很小，看作放回抽樣抽樣數(shù)相對于燈泡總數(shù)很小，看作放回抽樣設(shè)設(shè)X為為20只燈泡中的次品數(shù)，則只燈泡中的次品數(shù)，則X 0 1 2 3 4 5 6 P0.012 0.058 0.137 0.205 0.218 0.175 0.109X 7 8 9 10 11 20 P0.055 0.022 0.007 0.002 0.001 當(dāng)當(dāng) 時(shí)效果較好時(shí)效果較好.20,0.05np20000404020000)101 ()10(101 1CXPxP20001. 020000.864

8、7. 01353. 01! 021)101 (1 120200004020000eCxPekppCkknkkn!)1 (第第2 2章章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布2.3 2.3 隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù) 如果將如果將 X 看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么分布函數(shù)那么分布函數(shù) F(x) 的值就表示的值就表示 X落在區(qū)間落在區(qū)間,(x的概率的概率.設(shè)設(shè) X 是一個(gè)是一個(gè) 隨機(jī)變量，稱隨機(jī)變量，稱)(xXPxF)(x為為 X 的分布函數(shù)的分布函數(shù). 記作記作 X F(x) 或或 FX(x). xX x 由定義，對任意實(shí)數(shù)由定義，對任意實(shí)數(shù) x1x2，隨機(jī)點(diǎn)落，隨

9、機(jī)點(diǎn)落在區(qū)間（在區(qū)間（ x1 , x2 的概率為：的概率為：P x11.1c.arctan)()()(xxdxxfxF2112.)()(411113FXP.)()(14113dxxfXP1.均勻分布均勻分布它的實(shí)際背景是：它的實(shí)際背景是： X 取值取值在區(qū)間在區(qū)間(a, b) 上，并且上，并且取值取值在在(a, b)中任意小區(qū)間內(nèi)的中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個(gè)小區(qū)間的長度概率與這個(gè)小區(qū)間的長度成正比成正比.則則 X 具有具有(a,b)上的上的均勻分布均勻分布.)(xfab1ba( )F xaxOb1 公交線路上兩輛公共汽車前后通過某汽車停公交線路上兩輛公共汽車前后通過某汽車停車站的時(shí)間，車站的時(shí)

10、間，即乘客的候車時(shí)間等即乘客的候車時(shí)間等.均勻分布常見于均勻分布常見于下列情形下列情形： 如在數(shù)值計(jì)算中，由于四舍五如在數(shù)值計(jì)算中，由于四舍五 入，小數(shù)點(diǎn)后某入，小數(shù)點(diǎn)后某一位小數(shù)引入的一位小數(shù)引入的誤差誤差；1530102511110152530dd30303PXPXxx即乘客候車時(shí)間少于5分鐘的概率為132.指數(shù)分布指數(shù)分布指數(shù)分布具有指數(shù)分布具有無記憶性無記憶性常用于可靠性統(tǒng)計(jì)研究常用于可靠性統(tǒng)計(jì)研究中，如元件的壽命，隨中，如元件的壽命，隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)的服務(wù)時(shí)間機(jī)服務(wù)系統(tǒng)的服務(wù)時(shí)間等等.若若 X具有概率密度具有概率密度000)(xxexfx0則稱則稱 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，

11、的指數(shù)分布，記為記為 XE( ) .( )f xxO課堂練習(xí)課堂練習(xí)若若 X表示某元件的壽命（小時(shí)），其概率密度為表示某元件的壽命（小時(shí)），其概率密度為000)(xxexfx0 求（求（1）X的分布函數(shù)的分布函數(shù)F(X)；（；（2）已知該元件已）已知該元件已使用使用s小時(shí)，再能使用小時(shí)，再能使用t小時(shí)的概率小時(shí)的概率。引例：高爾頓釘板試驗(yàn)引例：高爾頓釘板試驗(yàn)這條曲線就近似我們將要介紹的這條曲線就近似我們將要介紹的正態(tài)分布正態(tài)分布的密度曲線。的密度曲線。3.正態(tài)分布正態(tài)分布xO)(xf22()21( )e,2xf xxR特點(diǎn)是特點(diǎn)是“兩頭低，中間高，左右對稱兩頭低，中間高，左右對稱”. .鐘形曲

12、線鐘形曲線1xO)(xfxO)(xf123122()21( )e,2xf xxR122()21( )e,2xf xxR4.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布1, 0Rxexx,21)(222( ,)XN xO)(xRxdtexxt,21)( 22)(1)(xx標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布210) 0(XP),(2NX（2）XYN(0,1) （1） XN(0,1)，)(bYaP)(bXaP).()()(abbXaP).()(ab解解 合格品的概率為合格品的概率為),06. 0,05.10(2NX例例 已知某臺機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長度已知某臺機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長度X（單位：厘米）（單位：厘米）服從參數(shù)服從參數(shù) 的正態(tài)分布

13、。規(guī)定螺栓的正態(tài)分布。規(guī)定螺栓長度在長度在10.050.12內(nèi)為合格品，試求螺栓為內(nèi)為合格品，試求螺栓為合格品的概率。合格品的概率。06. 0,05.10).(12005101200510XP)12.005.10()12.005.10(9544.01)2(2)2()2( 練習(xí)練習(xí) 公共汽車車門的高度是按男子與車門公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機(jī)會在頂頭碰頭機(jī)會在0.01以下來設(shè)計(jì)的以下來設(shè)計(jì)的. .設(shè)男子設(shè)男子身高身高XN( (170, ,62),),問車門高度應(yīng)如何確定問車門高度應(yīng)如何確定? ? 解解: : 設(shè)車門高度為設(shè)車門高度為h cm, ,按設(shè)計(jì)要求按設(shè)計(jì)要求P(X h)0.

14、01或或 P(X h) 0.99，下面我們來求滿足上式的最小的下面我們來求滿足上式的最小的 h. .因?yàn)橐驗(yàn)閄N( (170, ,62),),) 1 , 0(6170NX )6170(h故故 P(X0.996170h所以所以 = =2.33, ,即即 h=170+13.98 184設(shè)計(jì)車門高度為設(shè)計(jì)車門高度為184厘米時(shí)，可使男子與厘米時(shí)，可使男子與車門碰頭機(jī)會不超過車門碰頭機(jī)會不超過0.01.),(2NY時(shí)，時(shí)，6826. 0)|(|YP9544. 0)2|(|YP9974. 0)3|(|YP可以認(rèn)為，可以認(rèn)為，Y 的取值幾乎全部集中在的取值幾乎全部集中在3,3區(qū)間內(nèi)區(qū)間內(nèi). . 這在統(tǒng)計(jì)學(xué)

15、上稱作這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱作“3 3 準(zhǔn)則準(zhǔn)則” （三倍標(biāo)準(zhǔn)差原則）（三倍標(biāo)準(zhǔn)差原則）. .第第2 2章章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布2.5 2.5 隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布一、問題的提出一、問題的提出42d求截面面積求截面面積 A= 的分布的分布.例如，已知圓軸截面直徑例如，已知圓軸截面直徑 d 的分布，的分布，例如，已知商品銷量例如，已知商品銷量X 的分布，求銷售收入的分布，求銷售收入Y=CX的分布。（的分布。（C為價(jià)格）為價(jià)格）設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X 的分布已知，的分布已知，Y=g (X) (設(shè)設(shè)g是連是連續(xù)函數(shù)），如何由續(xù)函數(shù)），如何由 X 的分布求出的分布求出 Y 的分布

16、？的分布？二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布11350.30.40.10.2YP0140.10.60.3ZP21YX135112(1)ZX401P0.30.40.10.2X1021如果如果g(xk)中有一些是相同的，把它們作適當(dāng)中有一些是相同的，把它們作適當(dāng)并項(xiàng)即可并項(xiàng)即可.一般，若一般，若X是離散型是離散型 r.v ，X的概率函數(shù)為的概率函數(shù)為Xnnpppxxx2121則則 Y=g(X) nnpppxgxgxg2121)()()(二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布1.分布函數(shù)法分布函數(shù)法例例 已知已知XN(0,1)， 求求Y的概率密度函數(shù)。的概率密

17、度函數(shù)。XeY 001)(,)(PyePyYPyFyXY.)(ln)(,)(lndxxyXPyePyYPyFyyXY02dyydFyfYY)()(0100000yyyyydxxdydyyfyY)(ln)()(ln)()()()()()()(yayafybybfdxxfdydybya2112)(yXPyXPyYPyFY21)(yXdxxf)21)(21()(yyfyfXY102112121其他yy其他03141yy)()()()()()()(yayafybybfdxxfdydybya( )YFy2.公式法公式法211 1ln ,1,ln,1,e( )e0,0,XYyyfyyyfyy其他.其他.

18、( )( ) , ,( )0, XYfh yh yyfy其他.例例 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X在在(0,1)上服從均勻分布，求上服從均勻分布，求Y=-2lnX的概率密度的概率密度.解：解：在區(qū)間在區(qū)間(0,1)上上,函數(shù)函數(shù)lnx0, 02xy于是于是 y在區(qū)間在區(qū)間(0,1)上單調(diào)下降，有反函數(shù)上單調(diào)下降，有反函數(shù)2/)(yeyhx由前述定理得由前述定理得其它, 010,)()()(2/2/2/yyyXYedyedefyf注意取注意取絕對值絕對值其它, 010,)()()(2/2/2/yyyXYedyedefyf其它, 010, 1)(xxfX已知已知X在在(0,1)上服從均勻分布，上服從均勻分布，代入代入 的表達(dá)式中的表達(dá)式中)(yfY其它,)(/00212yeyfyY得得即即Y服從參數(shù)為服從參數(shù)為1/2的指數(shù)分布的指數(shù)分布.例例 已知某臺機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長度已知某臺機(jī)器生產(chǎn)的