高一復(fù)習(xí)資料——15三角函數(shù)

1、第十五講：任意角的三角函數(shù)導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解任意角的概念.2.了解弧度制的概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化.3.理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義1任意角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線OA繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置OB所成的圖形旋轉(zhuǎn)開始時(shí)的射線OA叫做角的_，射線的端點(diǎn)O叫做角的_，旋轉(zhuǎn)終止位置的射線OB叫做角的_，按_時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做正角，按_時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做負(fù)角若一條射線沒作任何旋轉(zhuǎn)，稱它形成了一個(gè)_角(1)象限角使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，角的終邊落在第幾象限，就說這個(gè)角是_角(2)象限界角(即終邊在坐標(biāo)軸上的角)終邊在x軸上

2、的角表示為_；終邊在y軸上的角表示為_；終邊落在坐標(biāo)軸上的角可表示為_(3)終邊相同的角所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合_或_，前者用角度制表示，后者用弧度制表示(4)弧度制把長(zhǎng)度等于_長(zhǎng)的弧所對(duì)的_叫1弧度的角以弧度作為單位來度量角的單位制，叫做_，它的單位符號(hào)是_，讀作_，通常略去不寫(5)度與弧度的換算關(guān)系360_ rad；180_ rad；1_ rad；1 rad_57.30.(6)弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式l_，即弧長(zhǎng)等于_S扇_.2三角函數(shù)的定義（1）任意角的三角函數(shù)定義：以角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，則 ； ； 定義拓展

3、：在角的終邊上任取一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離記為，則 ； ； ；(2)三角函數(shù)值的符號(hào)各象限的三角函數(shù)值的符號(hào)如下圖所示，三角函數(shù)正值歌：一全正，二正弦，三正切，四余弦(3)三角函數(shù)線下圖中有向線段MP，OM，AT分別表示_，_和_比較，的大小關(guān)系： 。探究點(diǎn)一角的概念例1(1)如果角是第三象限角，那么，角的終邊落在第幾象限；(2)寫出終邊落在直線yx上的角的集合；(3)若168k360 (kZ)，求在0，360)內(nèi)終邊與角的終邊相同的角變式遷移1若是第二象限的角，試分別確定2，的終邊所在位置例1（1）已知sin 0，則角是 （ ）A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角（2

4、）若sincos0, 則是第 象限的角;探究點(diǎn)二弧長(zhǎng)與扇形面積例2(1)已知扇形的周長(zhǎng)為10，面積為4，求扇形中心角的弧度數(shù)；(2)已知扇形的周長(zhǎng)為40，當(dāng)它的半徑和中心角取何值時(shí)，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？探究點(diǎn)三三角函數(shù)的定義例3已知角的終邊在直線3x4y0上，求sin ，cos ，tan 的值變式遷移3已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(4a,3a) (a0)，求sin ，cos ，tan 的值1若0x和cos x同時(shí)成立的x的范圍是 ()A.x B.x C.x D.x2已知為第三象限的角，則所在的象限是 ()A第一或第二象限 B第二或第三象限C第一或第三象限 D第二或第四象限3若1弧度的

5、圓心角所對(duì)弦長(zhǎng)等于2，則這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)等于()Asin B. C. D2sin 4已知點(diǎn)P落在角的終邊上，且0,2)，則的值為_5閱讀下列命題：若點(diǎn)P(a,2a) (a0)為角終邊上一點(diǎn)，則sin ；同時(shí)滿足sin ，cos 的角有且只有一個(gè)；設(shè)tan 且0 (為象限角)，則在第一象限其中正確命題為_(將正確命題的序號(hào)填在橫線上)6已知扇形OAB的圓心角為120，半徑長(zhǎng)為6，(1)求的弧長(zhǎng)；(2)求弓形OAB的面積7在單位圓中畫出適合下列條件的角的終邊的范圍，并由此寫出角的集合：(1)sin ；(2)cos .第十二講：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.能利用單位圓中的三

6、角函數(shù)線推導(dǎo)出，的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式.2.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2xcos2x1，tan x.自主梳理1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：_.(2)商數(shù)關(guān)系：_.2誘導(dǎo)公式(1)sin(2k)_，cos(2k)_，tan(2k)_，(2)sin()_，cos()_，tan()_.(3)sin()_，cos()_，tan()_.(4)sin()_，cos()_，tan()_.(5)sin_，cos_.(6)sin_，cos_.3誘導(dǎo)公式的作用是把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，一般步驟為：自我檢測(cè)1(2010全國(guó))cos 300等于 ()A B C. D.2若3si

7、n cos 0，則的值為 ()A. B. C. D23是第一象限角，tan ，則sin 等于()A. B. C D4cos()sin()的值是 ()A. B C0D.5已知cos()，則sin()_.探究點(diǎn)一利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)、求值例1已知x0，sin xcos x.(1)求sin2xcos2x的值；(2)求的值變式遷移1已知sin(3)2sin，求下列各式的值(1)；(2)sin2sin 2.探究點(diǎn)二利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)、求值例2(2011合肥模擬)已知sin，(0，)(1)求的值；(2)求cos的值變式遷移2設(shè)f() (12sin 0)，則f_.探究點(diǎn)三綜合應(yīng)用例3在ABC中，若s

8、in(2A)sin(B)，cos Acos(B)，求ABC的三個(gè)內(nèi)角變式遷移3已知ABC中，sin Acos A，(1)求sin Acos A；(2)判斷ABC是銳角三角形還是鈍角三角形；(3)求tan A的值一、選擇題1已知ABC中，則cos A等于 ()A.B. CD2已知tan ，且為第二象限角，則sin 的值等于 ()A.B C.D3已知f()，則f()的值為 ()A.BCD.4設(shè)f(x)asin(x)bcos(x)，其中a、b、都是非零實(shí)數(shù)，若f(2 002)1，則f(2 003)等于 ()A1B0C1D2二、填空題5已知是第二象限的角，tan ，則cos _.6sin21sin22

9、sin23sin289_.7若tan 2，則cos2_.三、解答題8已知f().(1)化簡(jiǎn)f()；(2)若是第三象限角，且cos()，求f()的值9化簡(jiǎn)： (kZ)第十二講：兩角和與差的正、余弦和正切公式導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.會(huì)用向量數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式.2.能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式.3.能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式.4.熟悉公式的正用、逆用、變形應(yīng)用自主梳理1(1)兩角和與差的余弦cos()_，cos()_.(2)兩角和與差的正弦sin()_，sin()_.(3)兩角和與差的正切tan()_，tan()_.其變形為：tan tan tan(

10、)(1tan tan )，tan tan tan()(1tan tan )2輔助角公式asin bcos sin()，自我檢測(cè)1計(jì)算sin 43cos 13cos 43sin 13的結(jié)果等于 ()A.B.C.D.2已知cossin ，則sin的值是 ()AB.CD.3函數(shù)f(x)sin 2xcos 2x的最小正周期是 ()A.BC2D44設(shè)0cos ，則的取值范圍是 ()A.B. C.D.5已知向量a(sin x，cos x)，向量b(1，)，則|ab|的最大值為()A1B.C3D9探究點(diǎn)一給角求值問題(三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值)例1求值： 2sin 50sin 10(1tan 10)；變式遷移

11、1求值：；探究點(diǎn)二給值求值問題(已知某角的三角函數(shù)值，求另一角的三角函數(shù)值)例2已知0，cos，sin，求sin()的值變式遷移2(2011廣州模擬)已知tan2，tan .(1)求tan 的值；(2)求的值探究點(diǎn)三給值求角問題(已知某角的三角函數(shù)值，求另一角的值)例3已知0，tan ，cos().(1)求sin 的值；(2)求的值變式遷移3(2011岳陽模擬)若sin A，sin B，且A、B均為鈍角，求AB的值例4已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，|ab|.(1)求cos()的值；(2)若0，且sin ，求sin 的值求值中主要有三類求值問題：(1)“給角求值”：

12、一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系，解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解(2)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系(3)“給值求角”：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角一、選擇題1已知sinsin ，則cos等于 ()ABC.D.2已知cossin ，則sin的值是 ()AB.CD.3已知向量a，b(4,4cos )，若ab，則sin等于 ()A

13、BC.D.4函數(shù)ysin xcos x圖象的一條對(duì)稱軸方程是 ()AxBx CxDx5在ABC中，3sin A4cos B6,4sin B3cos A1，則C的大小為)A.B. C.或D.或二、填空題6設(shè)sin ，tan()，則tan()_.7(2011惠州月考)已知tan 、tan 是方程x23x40的兩根，且、，則tan()_，的值為_三、解答題8已知，且sin()，cos .求sin ；9. 已知，(0，)，且tan()，tan ，求2的值第十二講：簡(jiǎn)單的三角恒等變換導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟練應(yīng)用.2.能運(yùn)用兩角和與差的三角公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換自主梳理1

14、二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2_；(2)cos 2_11_；(3)tan 2_ (且k)2公式的逆向變換及有關(guān)變形(1)sin cos _；(2)降冪公式：sin2_，cos2_；升冪公式：1cos 2_，1cos 2_；變形：1sin 2sin2cos22sin cos _.自我檢測(cè)1(2010陜西)函數(shù)f(x)2sin xcos x是 ()A最小正周期為2的奇函數(shù) B最小正周期為2的偶函數(shù)C最小正周期為的奇函數(shù) D最小正周期為的偶函數(shù)2函數(shù)f(x)cos 2x2sin x的最小值和最大值分別為 ()A3,1B2,2 C3，D2，3函數(shù)f(x)sin xcos x的最小值是 (

15、)A1BC.D14已知A、B為直角三角形的兩個(gè)銳角，則sin Asin B ()A有最大值，最小值0 B有最小值，無最大值C既無最大值也無最小值 D有最大值，無最小值探究點(diǎn)一三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)例1求函數(shù)y74sin xcos x4cos2x4cos4x的最大值和最小值變式遷移1(2011泰安模擬)已知函數(shù)f(x).(1)求f的值；(2)當(dāng)x時(shí)，求g(x)f(x)sin 2x的最大值和最小值探究點(diǎn)二三角函數(shù)式的求值例2已知sin(2)sin(2)，(，)，求2sin2tan 1的值變式遷移2(1)已知是第一象限角，且cos ，求的值(2)已知cos()，求cos(2)的值探究點(diǎn)三三角恒等式的證明例

16、3已知sin(2)3sin ，設(shè)tan x，tan y，記yf(x)(1)求證：tan()2tan ；(2)求f(x)的解析表達(dá)式；(3)若角是一個(gè)三角形的最小內(nèi)角，試求函數(shù)f(x)的值域三角恒等變換的常用方法、技巧和原則：(1)在化簡(jiǎn)求值和證明時(shí)常用如下方法：切割化弦法，升冪降冪法，和積互化法，輔助元素法，“1”的代換法等(2)常用的拆角、拼角技巧如：2()()，()，()，是的二倍角等(3)化繁為簡(jiǎn)：變復(fù)角為單角，變不同角為同角，化非同名函數(shù)為同名函數(shù)，化高次為低次，化多項(xiàng)式為單項(xiàng)式，化無理式為有理式消除差異：消除已知與未知、條件與結(jié)論、左端與右端以及各項(xiàng)的次數(shù)、角、函數(shù)名稱、結(jié)構(gòu)等方面的

17、差異 一、選擇題1已知00)與直線ya相交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|最小值為，則函數(shù)f(x)sin xcos x的單調(diào)增區(qū)間是 ()A. (kZ) B. (kZ)C. (kZ) D. (kZ)3函數(shù)f(x)tan x (0)的圖象的相鄰的兩支截直線y所得線段長(zhǎng)為，則f的值是 ()A0B1C1D.4函數(shù)yxcos x的部分圖象是圖中 ()5(2011三明模擬)若函數(shù)ysin xf(x)在，上單調(diào)遞增，則函數(shù)f(x)可以是()A1Bcos x Csin xDcos x二、填空題6設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)f(x)sin x的圖象C的一個(gè)對(duì)稱中心，若點(diǎn)P到圖象C的對(duì)稱軸的距離的最小值是，則f(x)的最小正周期是_7

18、函數(shù)f(x)2sin 對(duì)于任意的xR，都有f(x1)f(x)f(x2)，則|x1x2|的最小值為_8定義在區(qū)間上的函數(shù)y6cos x的圖象與y5tan x的圖象的交點(diǎn)為P，過點(diǎn)P作PP1x軸于點(diǎn)P1，直線PP1與ysin x的圖象交于點(diǎn)P2，則線段P1P2的長(zhǎng)為_三、解答題9已知函數(shù)f(x)2sin(x)a(0)與g(x)2cos(2x)1的圖象的對(duì)稱軸完全相同(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(3)當(dāng)x0，時(shí)，f(x)的最小值為2，求a的值10已知向量a(sin x，2sin x)，b(2cos x，sin x)，定義f(x)ab.(1)求函數(shù)yf(x)，

19、xR的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若函數(shù)yf(x) (00，0)的圖象可由函數(shù)ysin x的圖象作如下變換得到：（1）相位變換：ysin xysin(x)，把ysin x圖象上所有的點(diǎn)向_(0)或向_(0)平行移動(dòng)_個(gè)單位（2）周期變換：ysin (x)ysin(x)，把ysin(x)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)_(01)到原來的_倍(縱坐標(biāo)不變)（3）振幅變換：ysin (x)yAsin(x)，把ysin(x)圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)_(A1)或_(0A0，0)，x(，)表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)，則_叫做振幅，T_叫做周期，f_叫做頻率，_叫做相位，_叫做初相函數(shù)yAcos(x)的最小正周期為_yAtan(x)的最小正周期為_自我檢測(cè)1要得到函數(shù)ysin的圖象，可以把函數(shù)ysin 2x的圖象()A向左平移個(gè)單位 B向右平移個(gè)單位C向左平移個(gè)單位 D向右平移個(gè)單位2已知函數(shù)f(x)sin (xR，0)的最小正周期為.將yf(x)的圖象向左平移|個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則的一個(gè)值是()A.B.C.D.3已知函數(shù)f(x)sin(x)(xR，0)的最小正周期為，為了得到函數(shù)g(x)cos x的圖象，只要將yf(x)的圖象 ()A向左平移個(gè)單位