數(shù)學(xué)建模作業(yè)、微分方程實驗、北京工業(yè)大學(xué)

1、2 微分方程實驗1、微分方程穩(wěn)定性分析繪出下列自治系統(tǒng)相應(yīng)的軌線，并標(biāo)出隨t增加的運(yùn)動方向，確定平衡點(diǎn)，并按穩(wěn)定的、漸近穩(wěn)定的、或不穩(wěn)定的進(jìn)行分類：解：（1）由f（x）=x=0，f（y）=y=0；可得平衡點(diǎn)為（0,0），系數(shù)矩陣，求得特征值1=1，2=1；p=-(1+2)=-2<0，q=12=1>0；對照穩(wěn)定性的情況表，可知平衡點(diǎn)（0，0）是不穩(wěn)定的。圖形如下：（2）如上題可求得平衡點(diǎn)為（0,0），特征值1=-1，2=2；p=-(1+2)=-1<0，q=12=-2<0；對照穩(wěn)定性的情況表，可知平衡點(diǎn)（0，0）是不穩(wěn)定的。其圖形如下：（3）如上題可求得平衡點(diǎn)為（0,0），

2、特征值1=0 + 1.4142i，2=0 - 1.4142i；p=-(1+2)= 0，q=12=1.4142>0；對照穩(wěn)定性的情況表，可知平衡點(diǎn)（0，0）是不穩(wěn)定的。其圖形如下：（4）如上題可求得平衡點(diǎn)為（1,0），特征值1=-1，2=-2；p=-(1+2)= 3>0，q=12=2>0；對照穩(wěn)定性的情況表，可知平衡點(diǎn)（1，0）是穩(wěn)定的。其圖形如下：2、種群增長模型一個片子上的一群病菌趨向于繁殖成一個圓菌落.設(shè)病菌的數(shù)目為N，單位成員的增長率為r1，則由Malthus生長律有，但是，處于周界表面的那些病菌由于寒冷而受到損傷，它們死亡的數(shù)量與N1/2成比例，其比例系數(shù)為r2，求N

3、滿足的微分方程.不用求解，圖示其解族.方程是否有平衡解，如果有，是否為穩(wěn)定的?解：由題意很容易列出N滿足的微分方程：令=0，可求得方程的兩個平衡點(diǎn)N1=0,N2=進(jìn)而求得令可求得N=則N=N1，N=N2，N=可以把第一象限劃為三部分，且從下到上三部分中分別有；。則可以畫出N（t）的圖形，即微分方程的解族，如下圖所示：由圖形也可以看出，對于方程的兩個平衡點(diǎn)，其中N1=0是不穩(wěn)定的；N2=是穩(wěn)定的。3、有限資源競爭模型1926年Volterra提出了兩個物種為共同的、有限的食物來源而競爭的模型假設(shè)，稱為物種i對食物不足的敏感度，（1）證明當(dāng)x1(t0)>0時，物種2最終要滅亡;（2）用圖形分

4、析方法來說明物種2最終要滅亡.解：（1）由上述方程組f（x1）=0，f（x2）=0，可得方程的平衡點(diǎn)為P0（0,0），P1（,0），P2（0, ）.對平衡點(diǎn)P0（0,0），系數(shù)矩陣則p=-（b1+b2）<0，所以該平衡點(diǎn)不穩(wěn)定。對平衡點(diǎn)P1（,0），系數(shù)矩陣則p= ，q= ，由題意，x1(t0)>0，可以得出p>0,q>0,因此該平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的。即時，說明物種2最終要滅亡。對平衡點(diǎn)P2（0, ），同理可以得到q<0，在該平衡點(diǎn)不穩(wěn)定。因此，在，x1(t0)>0的條件下，物種2最終要滅亡。（2）對于線性方程組在平面上匹配兩條直線l1和l2，由題意，x1(t0)

5、>0，可將第一象限分為三個區(qū)域。在最左邊區(qū)域，都大于0；在中間區(qū)域，都小于0，在最右邊區(qū)域，分別是大于0和小于0.，由各區(qū)域中的取值可得到如下圖形：由圖也可以看出，隨著時間的增加，物種1最終能達(dá)到穩(wěn)定值，物種2最終要滅亡。4、蝴蝶效應(yīng)與混沌解考慮Lorenz模型其中=10，=28，=8/3，且初值為,x1（0）=x2（0）=0，x3（0）=，為一個小常數(shù)，假設(shè)=10-10，且0t100。（1）用函數(shù)ode45求解，并畫出x2x1,x2x3,x3x1的平面圖；（2）適當(dāng)?shù)卣{(diào)整參數(shù)，值，和初始值x1（0），x2（0）=0，x3（0），重復(fù)一的工作，看有什么現(xiàn)象發(fā)生。解：（1）編寫Lorenz

6、函數(shù)，function xdot=lorenz1(t,x,b,a,c)xdot=-b*x(1)+x(2)*x(3); -a*x(2)+a*x(3); -x(1)*x(2)+c*x(2)-x(3);對各參數(shù)賦值并用ode45函數(shù)求解，可得數(shù)值解：Columns 1 through 9 0 0.1250 0.2500 0.3750 0.5000 0.5352 0.5705 0.6057 0.6409 0 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 0

7、.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 Columns 10 through 18 0.6761 0.7114 0.7466 0.7818 0.8308 0.8797 0.9286 0.9776 1.0105 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.

8、0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 Columns 19 through 27 1.0434 1.0763 1.1092 1.1421 1.1750 1.2079 1.2409 1.2797 1.3186 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

9、0.0000 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 Columns 28 through 36 1.3575 1.3964 1.4246 1.4528 1.4810 1.5092 1.5374 1.5656 1.5938 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0008 0.0011 0.0015 0.0021 0.0029 0.0004 0.0006 0.0008 0.0012 0.0016 0.0023 0.0032 0.004

10、5 0.0063.Columns 5590 through 5598 99.5751 99.5921 99.6090 99.6260 99.6462 99.6664 99.6867 99.7069 99.7338 16.9457 16.5261 16.2010 15.9854 15.8978 16.0348 16.4476 17.1933 18.7894 -3.3551 -3.7119 -4.1098 -4.5568 -5.1636 -5.8601 -6.6527 -7.5438 -8.8677 -5.3476 -5.9274 -6.5941 -7.3519 -8.3766 -9.5370 -

11、10.8209 -12.1944 -14.0725 Columns 5599 through 5607 99.7608 99.7878 99.8148 99.8306 99.8465 99.8623 99.8782 99.8940 99.9099 21.2186 24.4709 28.2629 30.5354 32.6533 34.4645 35.8466 36.7149 37.0528 -10.3044 -11.7459 -12.9932 -13.5361 -13.8800 -13.9854 -13.8351 -13.4302 -12.7919 -15.7415 -16.8309 -16.9

12、274 -16.3648 -15.3302 -13.8707 -12.0805 -10.1013 -8.1005 Columns 5608 through 5613 99.9257 99.9416 99.9562 99.9708 99.9854 100.0000 36.8957 36.3239 35.5248 34.5435 33.4481 32.2971 -11.9606 -10.9899 -10.0237 -9.0332 -8.0563 -7.1223 -6.2187 -4.5596 -3.2818 -2.2590 -1.4835 -0.9275x2x1,x2x3,x3x1的平面圖分別如下

13、：（2）令參數(shù)，值各減1，初始值x1（0），x2（0）不變，x3（0）=10-8分別得到得到x2x1,x2x3,x3x1的平面圖如下：可以看出，參數(shù)，值各減1，初始值x1（0），x2（0）不變，x3（0）數(shù)值變?yōu)閤3（0）=10-8，參數(shù)和初始值很小的改變，就會導(dǎo)致最后圖形發(fā)生很大的變化。5、用微分方程考察共振現(xiàn)象設(shè)物體沿x軸運(yùn)動(如圖所示)其平衡位置取為原點(diǎn)0，物體的質(zhì)量為1，在時間t物體的位置為x(t)其所受的恢復(fù)為(如彈性力等)與物體所在位置的坐標(biāo)成正比，即k2x,其中常數(shù)k稱為恢復(fù)系數(shù)，運(yùn)動過程所受的阻力(由于介質(zhì)及摩擦等)設(shè)與速度成正比，即，h>0，稱為阻尼系數(shù)。（1）根據(jù)Ne

14、wton第二定律，建立相應(yīng)的微分方程.不妨設(shè)初始位置為1，初始速度為0,取k=2, h=0(當(dāng)h = 0稱為簡諧振動的方程)和h=0.1，用Matlab軟件得到相應(yīng)的數(shù)值解，并在t-x平面上畫出x（t）的圖形。（2）如果物體還受到附加外力的干擾，且外力是一個依據(jù)時間t的函數(shù)f(t)(設(shè)f (t)=B sinwt)，建立相應(yīng)的微分方程(該方程稱為強(qiáng)迫振動方程).在上述參數(shù)不變的情況下，取振幅B=1，分別取w=1, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8, 2.0, 2.2,2.4, 2.6, 2.8, 3.0，用Matlab軟件得到相應(yīng)的數(shù)值解，并在t-x平面上畫出x(t)的圖形。（3）分別對上述

15、圖形講行分析，并解釋為什么會出現(xiàn)這些現(xiàn)象。解：（1）根據(jù)Newton第二定律，F(xiàn)=ma，可得微分方程：由題意知邊界值：x(0)=1,x(0)=0, 令y1=x，y2=，可將二階方程轉(zhuǎn)化為：其中，m=1；g=9.8；k=2當(dāng)h=0時，由matlab解得數(shù)值解：Columns 1 through 9 0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0002 0.00021.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000Columns 10 through 18 0.0004 0.0

16、006 0.0009 0.0011 0.0022 0.0032 0.0043 0.0054 0.01081.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0001 1.0001 1.0003Columns 19 through 27 0.0162 0.0216 0.0271 0.0541 0.0812 0.1083 0.1353 0.2155 0.29561.0008 1.0014 1.0021 1.0085 1.0191 1.0339 1.0528 1.1326 1.2461.Columns 100 through 108 8.2321 8.3593 8

17、.4615 8.5636 8.6658 8.7679 8.8766 8.9852 9.09393.5019 3.2161 2.9505 2.6641 2.3688 2.0769 1.7834 1.5214 1.3034Columns 109 through 117 9.2025 9.3142 9.4260 9.5377 9.6494 9.7371 9.8247 9.9124 10.00001.1393 1.0345 1.0001 1.0383 1.1467 1.2773 1.4438 1.6412 1.8634h=0時，x（t）圖形如下所示：當(dāng)h=0.1時，由matlab解得數(shù)值解： Colu

18、mns 1 through 9 0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0002 0.00021.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000Columns 10 through 18 0.0004 0.0006 0.0009 0.0011 0.0022 0.0032 0.0043 0.0054 0.01081.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0001 1.0001 1.0003Columns 19 through

19、27 0.0162 0.0216 0.0271 0.0541 0.0812 0.1083 0.1353 0.2156 0.29581.0008 1.0014 1.0021 1.0085 1.0190 1.0336 1.0523 1.1308 1.2417.Columns 109 through 117 8.5631 8.6690 8.7749 8.8809 8.9868 9.1223 9.2579 9.3934 9.52892.5857 2.4563 2.3294 2.2106 2.1049 1.9952 1.9213 1.8880 1.8962Columns 118 through 121

20、9.6467 9.7645 9.8822 10.00001.9353 2.0016 2.0909 2.1979h=0.1時，x（t）圖形如下所示：（2）如果還受到外力干擾，則微分方程變?yōu)椋簩⑵浠癁橐浑A方程組：其中，m=1；g=9.8；k=2；B=1；h=0.1；用Matlab解得數(shù)值解：w=1時Columns 1 through 9 0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0002 0.00021.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000.Columns 118

21、through 121 9.8207 9.8804 9.9402 10.00001.8973 1.9210 1.9503 1.9846w=1.2時Columns 1 through 9 0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0002 0.00021.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000.Columns 118 through 121 9.8281 9.8854 9.9427 10.00001.6999 1.7568 1.8199 1.8886w=1.4時Co

22、lumns 1 through 9 0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0002 0.00021.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000.Columns 118 through 125 9.6236 9.7309 9.8382 9.9454 9.9591 9.9727 9.9864 10.0000 2.2401 2.3171 2.4084 2.5103 2.5238 2.5373 2.5510 2.5647w=1.4時Columns 1 through 9

23、0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0002 0.00021.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000.Columns 118 through 121 9.7823 9.8549 9.9274 10.0000 2.1150 2.0676 2.0285 1.9979w=1.6時Columns 1 through 9 0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0002 0.00021.0000 1.0000 1.0

24、000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000.Columns 118 through 121 9.6933 9.7955 9.8978 10.00000.8062 0.7503 0.7562 0.8231w=1.8時Columns 1 through 9 0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0002 0.00021.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000.Columns 118 through 121 9.775

25、2 9.8501 9.9251 10.0000 0.8629 1.0850 1.3383 1.6174w=2.0時Columns 1 through 9 0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0002 0.00021.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000.Columns 118 through 121 9.7538 9.8359 9.9179 10.00002.3278 2.6023 2.8705 3.1243.w=3.0時Columns 1 through

26、 9 0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0002 0.00021.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000.Columns 118 through 121 9.7495 9.8330 9.9165 10.00002.2414 2.3303 2.4145 2.4915如上圖所示，w分別為1.0；1.2；.；3.0時x（t）的圖形。當(dāng)h=0時，即無阻尼振動的情況下，得到t（x）圖形如下所示：（3）由上述圖形可以看出，不考慮外加作用力時，當(dāng)沒有摩擦等阻力的時候，簡

27、諧運(yùn)動一直進(jìn)行下去，當(dāng)有摩擦等阻力的時候，其振幅會逐漸的減小，最后趨近于零，但是周期不會發(fā)生變化。在外加一個作用力之后，整個運(yùn)動情況就發(fā)生了很大的變化。首先剛開始的振幅和周期都變化很大，后來隨著時間的推移，他們也逐漸開始趨于穩(wěn)定。但是，穩(wěn)定之后的振幅和周期都各不相同，與外力的頻率有直接的關(guān)系，這就是受迫振動，不僅跟系統(tǒng)本身的性質(zhì)有關(guān)，還和外界干擾的情況有很大關(guān)系?；謴?fù)系數(shù)k與w的值越接近時，隨著時間增加，物體的振動振幅會一直增大，當(dāng)w=k=2時，物體的振幅增大的速度最快，可以預(yù)見，在t趨于無窮大時，振幅也趨于無窮大，這就是共振現(xiàn)象。也就是當(dāng)外力與系統(tǒng)處于共振時，會引起振幅無限增大的振動，這在機(jī)

28、械和建筑中一般是必須嚴(yán)格避免的。6、人口模型與曲線擬合問題表2.1列出的是美國1790一1980年的人口統(tǒng)計表.（1）試用Malthus人口模型，按三段時間(1'790-1850,1850-1910,1910-1970)分別確定其增長率r。并將數(shù)據(jù)和不同r值的三段曲線畫在同一張圖上.（2）利用Logistic模型，重新確定固有增長率r和最大容量Nm，作圖，再利用該模型得到的結(jié)果預(yù)測1990年的美國人口數(shù)。解：（1）分段研究，我們先求出增長率，編寫命令如下：t = 10 : 10 : 70;x = 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2;p = polyfit(t,

29、 log(x), 1); p得到結(jié)果p = 0.0296即17901850年時間段的增長率是0.0296同理可以得到另外兩段的增長率，1850-1910年 為0.022619101970年為0.0129每次畫出圖形，使用以下命令plot(t, x, 'bx');hold on在以上每一次求時順便畫出圖形，得到最后的總圖如下(2)利用Logistics模型，將以上所有數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，編寫程序如下t = 0 : 10 : 190;x = 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 1

30、31.7 150.7 179.3 204.0 226.5;f = inline('p(1)./(1+p(2)*exp(-p(3).*t)','p','t');p = lsqcurvefit(f, 300, 50, 0.02, t, x);得到結(jié)果人口最大容量Nm是360.3560（百萬），增長率r是0.0234如下圖所示：輸入t_pre = 200;x_pre = p(1) ./ (1 + p(2) * exp(-p(3)*t_pre) );可得最后的結(jié)果，即1990年的人口總數(shù)x_pre =241.7704萬人。如下圖：7、加分實驗（餐廳廢物的

31、堆肥優(yōu)化問題）一家環(huán)保餐廳用微生物將剩余的食物變成肥料。餐廳每天將剩余的食物制成槳狀物并與蔬菜下腳及少量紙片混合成原料，加入真菌菌種后放入容器內(nèi)。真菌消化這此混合原料，變成肥料，由于原料充足，肥料需求旺盛，餐廳希望增加肥料產(chǎn)量。由于無力購置新設(shè)備，餐廳希望用增加真菌活力的辦法來加速肥料生產(chǎn).試通過分析以前肥料生產(chǎn)的記錄(如表2.2所示)，建立反映肥料生成機(jī)理的數(shù)學(xué)模型，提出改善肥料生產(chǎn)的建議。解答：1.問題條件假設(shè)1）每次堆肥的質(zhì)量相等2）所給的幾次堆肥混合物的比例僅由當(dāng)天的實際情況決定3）所有分離肥倉工作條件相同4）每磅蔬菜可提供的氧氣量相等5）細(xì)菌消耗的溶解氧氣完全由蔬菜葉提供6）每天提供

32、的廢物混合物中的化學(xué)成分大致相同7）廢物混合物在喂給細(xì)菌前混合均勻并保持良好的通氣環(huán)境。2.問題分析 堆肥是利用微生物的分解作用將有機(jī)廢物轉(zhuǎn)化成無害穩(wěn)定形式的生物化學(xué)過程，要提高堆肥產(chǎn)量方法之一就是通過增強(qiáng)細(xì)菌的生長繁殖能力以提高分解率。 細(xì)菌群體的增長一般要經(jīng)歷延滯期，加速生長期、對數(shù)生長期、減數(shù)生長期、穩(wěn)定期、加速死亡期和對數(shù)死亡期。另外，對數(shù)生長期培養(yǎng)基中所有養(yǎng)分都過剩，細(xì)菌可以充分繁殖，其倍增速率恒定，取決于底物濃度、溫度、水活度、供氧量。對于當(dāng)前該餐廳來說底物濃度由每天的剩余食物、蔬菜葉和碎紙屑決定。碎紙屑是吸收水分的調(diào)理劑，微菌呼吸所需要的溶解氧由蔬菜也提供，水活度可以通過測定相對

33、濕度來決定，其關(guān)系式是： 相對濕度：B=P/P0*100% 水活度： aw=P/P0 其中P為該溶液蒸汽壓，P0為純水蒸汽壓， 在這個堆肥系統(tǒng)中，可供微菌消耗的營養(yǎng)底物和溶解氧都是有限的，他們的消耗會對微菌生長率產(chǎn)生重要影響，一種微菌消耗營養(yǎng)底物的速率和底物濃度之間的關(guān)系式為：ds/dt=KmSX/（Ks+S），式中ds/dt表示為底物的有效消耗率，x表示為微菌濃度，Km表示為最大有效系數(shù)，在高濃度營養(yǎng)底物中最大的物料消耗率（物質(zhì)質(zhì)量/微菌一天的質(zhì)量）；Ks表示為半速系數(shù)（質(zhì)量/體積），S表示為有限底物的濃度（質(zhì)量/體積） 微菌生長過程是一個生物化學(xué)過程，其生長率和溫度之間滿足公式：K=Ae(

34、Ea/RT)，式中K表示為反應(yīng)速度常數(shù)，T表示為反應(yīng)的絕對溫度，R表示氣體常數(shù)，Ea表示反應(yīng)活化能，A表示頻率分子。 我們知道，各種微菌都有一個最適生長溫度，如果溫度控制在最適值是微菌生長速率最高。微菌生長對水活度也有一定的要求，與微菌最高生長速率相對應(yīng)的有一最適水活度。優(yōu)化堆肥意味著盡可能少的時間內(nèi)生產(chǎn)出高質(zhì)量的肥料，參數(shù)的優(yōu)化依賴于所應(yīng)用的系統(tǒng)。3 模型的建立假設(shè)每天投入的廢料比是隨意的，僅僅取決于當(dāng)天的情況，首先從已知數(shù)據(jù)中得到經(jīng)驗最佳比例，由于假設(shè)各次堆肥后肥料質(zhì)量相同，因此堆肥時間較短就對應(yīng)了較好的廢料配比，將12組數(shù)據(jù)按其堆肥日期及完全堆肥時間分成三組，每組中的較優(yōu)比例見下表： 分

35、組每組中的最短天數(shù) 比例 14No.4: 26 203:82:0 58 No.5: 33 79:28:0 912 No.9: 49 82:44:9上述模型顯然過于粗糙模型二：營養(yǎng)底物和氧氣是細(xì)菌生長的兩種底物，物耗公式為： dSi/dt=KmiXSi/(Ksi+Si) （1）i=1時代表營養(yǎng)底物中可降解得有機(jī)物。i=2時代表氧氣。1）在高濃度底物中，物料的轉(zhuǎn)化過程很迅速，進(jìn)一步增加底物濃度就不再引起底物轉(zhuǎn)化率的提高，可假設(shè)S1>>Ks1,S2>>Ks2，則（1）式簡化為：dSi/dt*(1/X)=Kmi， （2）這是關(guān)于底物濃度的零級反應(yīng)，消去X得到：dS1=Km1/K

36、m2*dS2 （3）積分后得：S1(t)=Km1/Km2*S2(t)+S1(0)Km1/Km2*S2(0) (4)2)在低濃度底物中，可假設(shè)S1<<Ks1,S2<<Ks2,則（1）式可簡化為： dSi/dt*(1/X)=Kmi/Ksi*Si (5) 消去X得：dS1/S1 *1/X=Km1*Ks2/(Km2*Ks1)* dS2/S2 (6) 積分后得：S1(t)=S1(0)S2(t)/s2(0)Km1*Ks2/(Km2*Ks1) (7)3)當(dāng)Si=Ksi，i=1,2時有：dS1=Km1/Km2*dS2 下面的步驟就和1相同了4結(jié)果分析： 由上面的計算可知，當(dāng)S>>Ks時，簡化方程為（4）且Km1=Ae(Ea/RT)，其中， R=8.31J/(mol*K）， Ea=51.3KJ/molT=25°C=298K時，Km=12克底物/（克微菌