第二章水靜力學(xué)(環(huán)境)

1、【教學(xué)基本要求【教學(xué)基本要求】1.1.正確理解靜水壓強的兩個重要特性和等壓面的正確理解靜水壓強的兩個重要特性和等壓面的性質(zhì)。性質(zhì)。2.2.掌握靜水壓強基本公式和物理意義，會用基本掌握靜水壓強基本公式和物理意義，會用基本公式進行靜水壓強計算。公式進行靜水壓強計算。3.3.掌握靜水壓強的單位和三種表示方法：絕對壓掌握靜水壓強的單位和三種表示方法：絕對壓強、相對壓強和真空度；理解位置水頭、壓強水強、相對壓強和真空度；理解位置水頭、壓強水頭和測壓管水頭的物理意義和幾何意義。頭和測壓管水頭的物理意義和幾何意義。4.4.掌握靜水壓強的測量方法和計算。掌握靜水壓強的測量方法和計算。5.5.會畫靜水壓強分布圖

2、，并熟練應(yīng)用圖解會畫靜水壓強分布圖，并熟練應(yīng)用圖解法和解析法計算作用在平面上的靜水總壓法和解析法計算作用在平面上的靜水總壓力。力。6.6.會正確繪制壓力體剖面圖，掌握曲面上會正確繪制壓力體剖面圖，掌握曲面上靜水總壓力的計算。靜水總壓力的計算。1.1.水靜力學(xué)的任務(wù)：是研究液體處于靜止?fàn)顟B(tài)水靜力學(xué)的任務(wù)：是研究液體處于靜止?fàn)顟B(tài)下的平衡規(guī)律及其實際應(yīng)用。下的平衡規(guī)律及其實際應(yīng)用。 2.2.液體的平衡狀態(tài)有兩種：液體的平衡狀態(tài)有兩種：一種是相對靜止?fàn)顟B(tài)；另一種是相對平衡狀態(tài)。一種是相對靜止?fàn)顟B(tài)；另一種是相對平衡狀態(tài)。 注意：液體在平衡狀態(tài)下沒有內(nèi)摩擦力，此時注意：液體在平衡狀態(tài)下沒有內(nèi)摩擦力，此時理

3、想液體和實際液體一樣。理想液體和實際液體一樣。 第二章第二章 水靜力學(xué)水靜力學(xué)一、靜水壓強的定義一、靜水壓強的定義（一）靜水壓力（一）靜水壓力 平衡液體作用在與之接觸的平衡液體作用在與之接觸的表面上的水壓力，稱為靜水壓力。表面上的水壓力，稱為靜水壓力。單位：單位：N或或kN（二）靜水壓強（二）靜水壓強單位：單位：N/m2或或kN/ m2 kpa4 4 二、靜水壓強特性二、靜水壓強特性1.靜水壓強的方向垂直并指向受壓面（靜水壓強的方向垂直并指向受壓面（靜水壓強方向與作靜水壓強方向與作用面的內(nèi)法線方向重合用面的內(nèi)法線方向重合）5 Pnn6 (a)(b) 2. 靜止液體內(nèi)某一點靜止液體內(nèi)某一點靜水壓

4、強的大小與作用面的方位無關(guān)靜水壓強的大小與作用面的方位無關(guān) 在靜止液體中取出以在靜止液體中取出以 O 為頂點的四面體液體微元，它受到的為頂點的四面體液體微元，它受到的質(zhì)量力和表面力必是平衡的，以質(zhì)量力和表面力必是平衡的，以 y 方向方向為例，寫出平衡方程為例，寫出平衡方程Y 是質(zhì)量力在是質(zhì)量力在 y 方向的分量方向的分量zxAAnydd21),cos(ddynzyxVddd61ddxdydzpxpnpzpyxyzno0d),cos(ddVYApApnnyyyn 2. 靜水壓強的大小與作用面的方位無關(guān)靜水壓強的大小與作用面的方位無關(guān) 0d),cos(ddVYApApnnyyyn031Ydyppn

5、yADBC此時，此時，pn，px，py，pz已是同一點（已是同一點（M點）在不同方位作用面上點）在不同方位作用面上的靜壓強，其中斜面的方位的靜壓強，其中斜面的方位 n 又是任取的，這就證明了靜水壓又是任取的，這就證明了靜水壓強的大小與作用面的方位無關(guān)。強的大小與作用面的方位無關(guān)。 當(dāng)四面體微元趨于當(dāng)四面體微元趨于O點點時，注意到質(zhì)量力比起面力時，注意到質(zhì)量力比起面力為 高 階 無 窮 小 ， 即 得為 高 階 無 窮 小 ， 即 得 pn=py，同理有，同理有 pn=px，pn=pzzyxnppppdxdydzpxpnpzpyxyznoPnn),(zyxpp靜止液體中一點的應(yīng)力靜止液體中一點的

6、應(yīng)力在這個表達式中，已在這個表達式中，已包含了應(yīng)力四要素：包含了應(yīng)力四要素：作用點、作用面、受作用點、作用面、受力側(cè)和作用方向。力側(cè)和作用方向。第二節(jié) 液體平衡的微分方程及其積分 1.1.平衡微分方程的推導(dǎo)平衡微分方程的推導(dǎo) 表面力在表面力在 x 方向上的分量只方向上的分量只有左右一對面元上的壓力，有左右一對面元上的壓力，合力為合力為 在靜止液體中取出六面體在靜止液體中取出六面體流體微元，分析其在流體微元，分析其在 x 方向方向的受力。的受力。微元所受微元所受 x 方向上方向上的質(zhì)量力為的質(zhì)量力為 平衡方程為平衡方程為或或同理有同理有和和其中其中 X, Y, Z 是質(zhì)量力是質(zhì)量力 f 的三個分

7、量。的三個分量。01xpX01zpZ01ypY01xpX01ypY01zpZ 平衡微平衡微分方程的分方程的矢量形式矢量形式液體平衡微分方程：液體處于平衡狀態(tài)時，單液體平衡微分方程：液體處于平衡狀態(tài)時，單位質(zhì)量液體所受的表面力與質(zhì)量力彼此相等。位質(zhì)量液體所受的表面力與質(zhì)量力彼此相等。2 2 液體平衡微分方程的積分液體平衡微分方程的積分13 將歐拉平衡微分方程式各式分別乘以將歐拉平衡微分方程式各式分別乘以dx，dy，dz 然后相加得。然后相加得。 上式是不可壓縮均質(zhì)液體平衡微分方程式的另一上式是不可壓縮均質(zhì)液體平衡微分方程式的另一種表達形式。種表達形式。 將歐拉方程前兩式分別對將歐拉方程前兩式分別

8、對y和和x取偏導(dǎo)數(shù)取偏導(dǎo)數(shù) )(ZdzYdyXdxdpdzxpdyypdxxpxYyXxYyXxyp)()(214 同理可得同理可得 滿足上式必然存在力勢函數(shù)滿足上式必然存在力勢函數(shù) 有勢函數(shù)的全微分應(yīng)等于單位質(zhì)量力在空間移動距離所作的有勢函數(shù)的全微分應(yīng)等于單位質(zhì)量力在空間移動距離所作的功：功： 上式表明：作用在液體上的質(zhì)量力必是有勢的力液體才能保上式表明：作用在液體上的質(zhì)量力必是有勢的力液體才能保持平衡，故有持平衡，故有 dWdzdzWdyyWdxxWdp)(zXxZyZzYxYyX),zyxW（zWZyWYxWXZdzYdyXdxdzzWdyyWdxxWdW 對對 進行積分可得進行積分可得

9、 如果已知平衡液體邊界上（或液體內(nèi)）某點如果已知平衡液體邊界上（或液體內(nèi)）某點的壓強為的壓強為 、力勢函數(shù)為、力勢函數(shù)為W0，則積分常數(shù)，則積分常數(shù)得得 CWp00WpC0pdWdp15 )(00WWpp結(jié)論結(jié)論：平衡液體中，邊界上的壓強將等值：平衡液體中，邊界上的壓強將等值地傳遞到液體內(nèi)的一切點上；即當(dāng)?shù)貍鬟f到液體內(nèi)的一切點上；即當(dāng) 增增大或減小時，液體內(nèi)任意點的壓強也相應(yīng)大或減小時，液體內(nèi)任意點的壓強也相應(yīng)地增大或減小同樣數(shù)值。地增大或減小同樣數(shù)值。 此為巴斯加原此為巴斯加原理理0p17 等壓面：靜水壓強值相等的點連接成的面。等壓面：靜水壓強值相等的點連接成的面。 等壓面性質(zhì)：等壓面性質(zhì)：

10、 1 1在平衡液體中等壓面即是等勢面。在平衡液體中等壓面即是等勢面。 2 2等壓面與質(zhì)量力正交。等壓面與質(zhì)量力正交。(a)(b)(c) 三、三、等壓面 油水界面18 19 第三節(jié)第三節(jié) 重力作用下靜水壓強的分布規(guī)律重力作用下靜水壓強的分布規(guī)律1.靜水壓強基本方程式根據(jù)靜力平衡方程得根據(jù)靜力平衡方程得：表明：僅受重力作用的靜水中任一點的靜水壓強等于液體表面壓強加上液體的容重與該點淹沒深度的乘積。h000PPshsPsP整理得：20 21 重力作用下重力作用下 X0，Y0，Zg ，代入平衡，代入平衡微分方程式微分方程式 積分得積分得 而自由面上而自由面上 得出靜止液體中任意點的靜水壓強計算公式：得

11、出靜止液體中任意點的靜水壓強計算公式： 式中式中 ：表示該點在自由面以下的淹沒：表示該點在自由面以下的淹沒 深度。深度。 ：自由面上的氣體壓強。：自由面上的氣體壓強。 hpzzpp0210)(zh0pdzZdzYdyXdxdp)(Cpz00,ppzz四個容器內(nèi)水深均為H，則哪個容器底面靜水壓強最大？1234HHHH水面均為大氣壓強，當(dāng)水深H和底面積A均相等時，問底面壓強是否相同？底面所受的靜水壓力是否相同？HH24 例例1：如圖，一封閉水箱，其自由面上氣體壓強為：如圖，一封閉水箱，其自由面上氣體壓強為25kPa，試問水箱中，試問水箱中A、B兩點的靜水壓強何處大？兩點的靜水壓強何處大？已知已知h

12、1為為5m，h2為為2m。 kPa6 .44kPa74m5sm8 . 9mkg1000kPa25202310ghppghppBA25 例例2: 如圖，有一底部水平側(cè)壁傾斜之油槽，側(cè)壁傾角如圖，有一底部水平側(cè)壁傾斜之油槽，側(cè)壁傾角為為30，被油淹沒部分壁長，被油淹沒部分壁長L為為6m，自由面上的壓，自由面上的壓強強 ，油的密度，油的密度 為為0.816kg/m3，問槽底板，問槽底板上壓強為多少？上壓強為多少？ kPa98ap 槽底板為水平面，故為槽底板為水平面，故為等壓面。底板在液面下等壓面。底板在液面下的淹沒深度為：的淹沒深度為：m330sinO Lh 底板上的壓強為：底板上的壓強為：122k

13、Pam3kgN8 . 9mkg3 .816kPa983ghppaB2.2.絕對壓強、相對壓強、真空值絕對壓強、相對壓強、真空值 A絕對壓強基準絕對壓強基準A點絕點絕對壓強對壓強B點真空壓強點真空壓強A點相點相對壓強對壓強B點絕對壓強點絕對壓強相對壓強基準相對壓強基準O大氣壓強大氣壓強 paO壓強壓強 壓強壓強 p記值的零點不同，有不同的名稱：記值的零點不同，有不同的名稱： 以完全真空為以完全真空為零點，記為零點，記為 p絕對壓強兩者的關(guān)系為兩者的關(guān)系為: p= p- pa 以當(dāng)?shù)卮髿鈮阂援?dāng)?shù)卮髿鈮?pa 為零點，記為為零點，記為 p 相對壓相對壓強為負值時，強為負值時，其絕對值稱為其絕對值稱為

14、真空壓強。真空壓強。 相對壓強真空壓強BA絕對壓強基準絕對壓強基準A點絕點絕對壓強對壓強B點真空壓強點真空壓強A點相點相對壓強對壓強B點絕對壓強點絕對壓強相對壓強基準相對壓強基準O大氣壓強大氣壓強 paO壓強壓強 今后討論壓強一般指今后討論壓強一般指相對壓強，省略下標，相對壓強，省略下標，記為記為p，若指絕對壓強，若指絕對壓強則特別注明。則特別注明。 例題例題3：一封閉水箱，自由面上氣體的壓強：一封閉水箱，自由面上氣體的壓強p0=85kpa,求液面下淹沒深度求液面下淹沒深度h為為1m處的絕對壓強、處的絕對壓強、相對壓強和真空度。相對壓強和真空度。hp0C 解：解：C點的絕對壓強為：點的絕對壓強

15、為：3.2kpa2kpa. 3988 .94PPP8 .941/8 . 9/100085a23，真空度為點存在真空相對壓強為負值，說明點的相對壓強為：CckpamsmmkgkpaghPPo例題例題4：若已知抽水機吸水管中某點絕對壓強：若已知抽水機吸水管中某點絕對壓強為為80kN/m2，試將該點絕對壓強、相對壓強，試將該點絕對壓強、相對壓強和真空度用水柱及水銀柱表示出來（已知當(dāng)和真空度用水柱及水銀柱表示出來（已知當(dāng)?shù)卮髿鈮簭姙榈卮髿鈮簭姙?8kpa ）。）。3.3.測壓管高度、測壓管水頭及真空度測壓管高度、測壓管水頭及真空度 在靜水壓強分布公式在靜水壓強分布公式 中，各項都為長度量綱，稱中，各項

16、都為長度量綱，稱為水頭（液柱高）。為水頭（液柱高）。 Cpz 位置水頭位置水頭，以任取水平面為基準面，以任取水平面為基準面 z=0 ，鉛垂向，鉛垂向 上為正。上為正。 z 壓強水頭壓強水頭，以大氣壓為基準，用相對壓強代入計，以大氣壓為基準，用相對壓強代入計 算。算。 p 測壓管水頭測壓管水頭。 pz 靜水壓強方程式的幾何意義：靜止液體內(nèi)任何一點的測壓管靜水壓強方程式的幾何意義：靜止液體內(nèi)任何一點的測壓管水頭等于常數(shù)（液體僅受重力作用）。水頭等于常數(shù)（液體僅受重力作用）。 在內(nèi)有液體的容器壁選定測點，垂直于壁在內(nèi)有液體的容器壁選定測點，垂直于壁面打孔，接出一端開口與大氣相通的玻璃管，即為測壓管。

17、面打孔，接出一端開口與大氣相通的玻璃管，即為測壓管。/ApAz/BpBzOO 測壓管內(nèi)的靜止液面上測壓管內(nèi)的靜止液面上 p = 0 ，其液面高程即為，其液面高程即為測點處的測點處的 ，所以，所以叫測壓管水頭。叫測壓管水頭。 pz 測壓管水頭的含義 敞口容器和封口容器接上測壓管后的情況如圖 總勢能總勢能 位置水頭（勢能）與壓強水頭（勢位置水頭（勢能）與壓強水頭（勢能）可以互相轉(zhuǎn)換，但它們之和能）可以互相轉(zhuǎn)換，但它們之和 測壓管水頭（總勢能）測壓管水頭（總勢能）是保持不變的。是保持不變的。4. 靜水壓強的方程式的物理意義靜水壓強的方程式的物理意義 位置位置勢能勢能，（從，（從基準面基準面 z =

18、0 算起鉛算起鉛垂向上為正。垂向上為正。 ） z 壓強勢能壓強勢能（從（從大氣壓強算起）大氣壓強算起） 液體的平衡規(guī)律表明 靜水壓強方程式的物理意義：僅在重力作用下，靜止液體內(nèi)靜水壓強方程式的物理意義：僅在重力作用下，靜止液體內(nèi)任何一點對同一基準面的單位勢能為一常數(shù)。任何一點對同一基準面的單位勢能為一常數(shù)。34 當(dāng)當(dāng)A A點壓強較小時：點壓強較小時： 1 1）. .增大測壓管標尺增大測壓管標尺讀數(shù)，提高測量精度。讀數(shù)，提高測量精度。 5.5.靜水壓強及等壓面的應(yīng)用（靜水壓強及等壓面的應(yīng)用（壓強的測量壓強的測量 ） 用測壓管測量34 gphA 2）.把測壓管傾斜放置（見圖）把測壓管傾斜放置（見圖

19、） 用測壓管測量A當(dāng)被測點壓強很大時：所需測壓管很長，這時可以改用當(dāng)被測點壓強很大時：所需測壓管很長，這時可以改用U U形形水銀測壓計。水銀測壓計。36 (a)(b) 如果連通的靜止液體區(qū)域如果連通的靜止液體區(qū)域包括多種液體，則須在它們包括多種液體，則須在它們的分界面處作過渡。的分界面處作過渡。U U形水銀測壓計形水銀測壓計試求試求A、B兩點間的壓強差兩點間的壓強差 即使在連通的即使在連通的靜止液體區(qū)域中靜止液體區(qū)域中任何一點的壓強任何一點的壓強都不知道，也可都不知道，也可利用液體的平衡利用液體的平衡規(guī)律，知道其中規(guī)律，知道其中任 何 二 點 的 壓任 何 二 點 的 壓差，這就是壓差差，這就

20、是壓差計的測量原理計的測量原理 用差壓計（比壓計）測量 例題例題5 有一水塔，為量出塔中水位，在地面裝置有一水塔，為量出塔中水位，在地面裝置一一U形水銀測壓計，測壓計左支用軟管與水塔相通。形水銀測壓計，測壓計左支用軟管與水塔相通。今測出測壓計左支水銀面高程今測出測壓計左支水銀面高程H1為為502.00m，左右，左右兩支水銀面高差兩支水銀面高差h1為為116cm，求此時塔中水面高程，求此時塔中水面高程H2。h1H1h221212hHHgghhm 6.靜水壓強的分布圖靜水壓強的分布圖1 1）. .相對壓強分布圖繪制原則：相對壓強分布圖繪制原則：用有向線段（箭頭）長度代表該點靜水壓強的用有向線段（箭

21、頭）長度代表該點靜水壓強的大小大小；用箭頭方向表示靜水壓強的；用箭頭方向表示靜水壓強的方向方向，必須，必須垂直并指向受壓面。垂直并指向受壓面。完整的總壓力求解包括其大完整的總壓力求解包括其大小、方向小、方向 、作用點。、作用點。2）.相對壓強分布圖繪制方法：相對壓強分布圖繪制方法：選兩點、求大小、畫箭桿，選兩點、求大小、畫箭桿，連箭尾，標數(shù)字，畫中間。連箭尾，標數(shù)字，畫中間。43 (a)(b)(c)HHHHPPH/3HHHHhhhLLHHHHhhhHHHhh)(hH 3/LLPPLe請畫出上圖正確的靜水壓強分布圖畫出以上三個容器左側(cè)壁面上的壓強分布圖HHhhhHRhABC液體靜止，試問各測壓管

22、中的水面高度如何？畫注有字母擋水面的靜水壓強分布圖思考題思考題1.1.什么是靜水壓強？靜水壓強有什么特性？什么是靜水壓強？靜水壓強有什么特性？2.2.什么是等壓面？等壓面有什么性質(zhì)？什么是等壓面？等壓面有什么性質(zhì)？3.3.水靜力學(xué)基本方程的形式和表示的物理意義是水靜力學(xué)基本方程的形式和表示的物理意義是什么？什么？4.4.靜止液體中沿水平方向和垂直方向的靜水壓強靜止液體中沿水平方向和垂直方向的靜水壓強是否變化？怎么變化？是否變化？怎么變化？5.5.解釋下列名詞的物理意義：絕對壓強，相解釋下列名詞的物理意義：絕對壓強，相對壓強，真空和真空度，水頭，位置水頭，對壓強，真空和真空度，水頭，位置水頭，壓

23、強水頭和測壓管水頭，并說明水頭與能量壓強水頭和測壓管水頭，并說明水頭與能量的關(guān)系。的關(guān)系。6.6.表示靜水壓強的單位有哪三種？寫出它們表示靜水壓強的單位有哪三種？寫出它們之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。第四節(jié)第四節(jié). .幾種質(zhì)量力同時作用下液體的相對平衡幾種質(zhì)量力同時作用下液體的相對平衡gaahhp 所有流體質(zhì)點加速所有流體質(zhì)點加速度大小、方向都相度大小、方向都相同，重力加上慣性力同，重力加上慣性力仍是均勻的，因此等仍是均勻的，因此等壓面還是平面，但不壓面還是平面，但不再是水平的，除非加再是水平的，除非加速度在鉛垂方向。速度在鉛垂方向。1、直線等加速器皿中液體的相對平衡 相對地面等速直線運動，

24、等加速直線運動，等角速旋相對地面等速直線運動，等加速直線運動，等角速旋轉(zhuǎn)運動。采用達朗貝爾原理，坐標系取在器皿上。轉(zhuǎn)運動。采用達朗貝爾原理，坐標系取在器皿上。 例題例題6 如圖，盛有液體的容器在與水平面成如圖，盛有液體的容器在與水平面成角的斜面由角的斜面由上向下作勻加速直線運動，加速度為上向下作勻加速直線運動，加速度為a。當(dāng)當(dāng)為零時，為零時，顯然液面為水平面顯然液面為水平面。設(shè)。設(shè)加速度為加速度為a時液面時液面與與水水平面成平面成角傾斜。求自由液面。角傾斜。求自由液面。ga解：設(shè)定解：設(shè)定xoz坐標，坐標原點取坐標，坐標原點取在自由液面的中點。相對于此在自由液面的中點。相對于此運動坐標系來說，

25、單位質(zhì)量液運動坐標系來說，單位質(zhì)量液體所受的質(zhì)量力有兩個：一是體所受的質(zhì)量力有兩個：一是垂直向下的單位質(zhì)量重力垂直向下的單位質(zhì)量重力 ，另一是與加速度反向的單位質(zhì)另一是與加速度反向的單位質(zhì)量慣性力量慣性力 。單位質(zhì)量力的。單位質(zhì)量力的三個坐標方向上的分量三個坐標方向上的分量gaffafzyxsin0cosdzfdyfdxfdpzyx00sincosdzgadxa0sincoscgazaxsincos11agatgdxdztg由等壓面方程由等壓面方程有有這是一族平行平面，它們對水平面的傾角這是一族平行平面，它們對水平面的傾角顯然，自由表面還是等壓面，自由表面上的顯然，自由表面還是等壓面，自由表面

26、上的z坐標用坐標用zs表示，按自由表面的邊界條件表示，按自由表面的邊界條件x=0，z=0，定出積分常，定出積分常數(shù)數(shù)c=0，故自由表面方程應(yīng)是，故自由表面方程應(yīng)是0sincosgazaxssincosagaxzs壓強分布規(guī)律依然可由等壓面微分方程積分得出壓強分布規(guī)律依然可由等壓面微分方程積分得出sshagpzzagpgazaxppsinsinsincos000gr2hhpr 如圖，盛有液體的直立如圖，盛有液體的直立圓柱筒繞其中心軸以等角速圓柱筒繞其中心軸以等角速度度旋轉(zhuǎn)，由于液體的粘性，旋轉(zhuǎn)，由于液體的粘性，使筒內(nèi)液體都以等角速度使筒內(nèi)液體都以等角速度旋轉(zhuǎn)，此時液體的自由表面旋轉(zhuǎn)，此時液體的自

27、由表面已由平面變?yōu)樾D(zhuǎn)拋物面。已由平面變?yōu)樾D(zhuǎn)拋物面。下面推導(dǎo)這種以等角速度旋下面推導(dǎo)這種以等角速度旋轉(zhuǎn)的相對平衡情況的等壓面轉(zhuǎn)的相對平衡情況的等壓面方程和壓強分布規(guī)律。方程和壓強分布規(guī)律。2.等角速度轉(zhuǎn)動器皿中液體的相對平衡等角速度轉(zhuǎn)動器皿中液體的相對平衡xyO2x2y2r取與筒一起等角速旋轉(zhuǎn)的運動取與筒一起等角速旋轉(zhuǎn)的運動 坐標系，坐標系，z軸垂直向上，坐標原軸垂直向上，坐標原點取在新自由表面旋轉(zhuǎn)拋物面點取在新自由表面旋轉(zhuǎn)拋物面的頂點的頂點 上。此時流體所受的質(zhì)上。此時流體所受的質(zhì)量力亦是兩個：一是重力，鉛量力亦是兩個：一是重力，鉛垂向下；另一是離心慣性力，垂向下；另一是離心慣性力，與與r

28、軸方向一致。軸方向一致。xyO2x2y2r單位質(zhì)量力在直角坐標軸上的三個分量單位質(zhì)量力在直角坐標軸上的三個分量 gfyfxfzyx22代入歐拉平衡微分方程綜合式代入歐拉平衡微分方程綜合式gdzydyxdxdp22積分，得積分，得cgzrcgzyxp22222222121由由x=0，y=0，z=0處處 p=p0得得c=p0，代入上式整理得，代入上式整理得zgrpp2220此即等角速旋轉(zhuǎn)的直立容器中，液體相對平衡時壓強分布此即等角速旋轉(zhuǎn)的直立容器中，液體相對平衡時壓強分布的一般表達式。自由表面方程為的一般表達式。自由表面方程為grzs222 WWhPdWWydsinWyCsinWhC 總壓力的大小

29、總壓力的大小WpCwdDwC PdPyCyyhDyhChyx1. 作用于任意形狀平面上的靜水總壓力第五節(jié)第五節(jié). . 靜止液體作用在平面上的總壓力靜止液體作用在平面上的總壓力 wDWyhyPdwWy dsin2xJsin 總壓力的作用點總壓力的作用點)(sin2WyJCCWyJyyCCCDwyPCsinwdDwC PdPyCyyhDyhChyx常見圖形的形心軸慣性矩常見圖形的形心軸慣性矩12;1233hbJbhJyx363bhJx644dJxbhxyCxyChbxyC63 *當(dāng)閘門為鉛垂置放時，當(dāng)閘門為鉛垂置放時， ，此時，此時L1為為h1， 為為 *對等腰三角形平面，相當(dāng)于等腰梯形平面中令對

30、等腰三角形平面，相當(dāng)于等腰梯形平面中令b0的情況。的情況。 090DL表11 幾種常見平面靜水壓力及作用點位置表平面在水中位置*平面形式靜水總壓力P值壓力中心距水面的斜距矩 形等腰梯形圓 形半圓形sin221LLLbgPLLLLLLLD1112323623sin1bBLbBLgPLbBLbBLLbBLbBLLD226222111sin2812gDLDPDLDLDLLD1112858sin232412gDLDPDLDLDLLD2316332111DDDDPDLbbBLL1LDDDh例題7：一鉛直矩形閘門，已知閘門寬b=1.5m,h1=1m,h2=2m,求水體作用在該閘門上的靜水總壓力及其作用點的

31、位置。AhApPcch1=1mh2=2m 解：總壓力為解：總壓力為AyJyycccD壓力中心為壓力中心為1. 平面上靜水壓強的平均值為作用面（平面圖形）形心處的平面上靜水壓強的平均值為作用面（平面圖形）形心處的壓強?？倝毫Υ笮〉扔谧饔妹嫘涡膲簭??？倝毫Υ笮〉扔谧饔妹嫘涡?C 處的壓強處的壓強 pC 乘上作用乘上作用面的面積面的面積 W . 2. 平面上均勻分布力的合力作用點將是其形心，而靜壓強分平面上均勻分布力的合力作用點將是其形心，而靜壓強分布是不均勻的，浸沒在液面下越深處壓強越大，所以總壓布是不均勻的，浸沒在液面下越深處壓強越大，所以總壓力作用點位于作用面形心以下。力作用點位于作用面形心以

32、下。 結(jié)論：結(jié)論：思考：壓力中心和受壓平面形心的位置之間有什么關(guān)系？什么情況下兩點重合？二二. . 靜止液體作用在曲面上的靜水總壓力靜止液體作用在曲面上的靜水總壓力 由于曲面上各點的法向不同，對曲面由于曲面上各點的法向不同，對曲面 A 求解總壓力求解總壓力 時，必須先分解成各分量計算，然后再合成。時，必須先分解成各分量計算，然后再合成。AAPdHhhH67 68 作用于曲面上任意點的相對的靜水壓強，其大小仍等于該點作用于曲面上任意點的相對的靜水壓強，其大小仍等于該點的淹沒深度乘以液體的單位體積的重量，方向也是垂直指向的淹沒深度乘以液體的單位體積的重量，方向也是垂直指向作用面的這里著重分析二向曲

33、面的靜水總壓力計算如圖：作用面的這里著重分析二向曲面的靜水總壓力計算如圖：取微小面積取微小面積(LK)hPx xWx xxxCwxwxWhWhWhPxddcos Wx 是曲面是曲面W 沿沿 x 軸向軸向 oyz 平平面的投影，面的投影，hxC 是平面圖形是平面圖形Wx 的形心浸深。的形心浸深。xzyWx 方向水平力的大小方向水平力的大小 靜止液體作用在曲面上的總壓力在靜止液體作用在曲面上的總壓力在 x 方向分量方向分量的大小等于作用在曲面沿的大小等于作用在曲面沿 x 軸方向的投影面上的總壓力。軸方向的投影面上的總壓力。 y 方向水平力大小的方向水平力大小的算法與算法與 x 方向相同。方向相同。

34、 結(jié)論：結(jié)論：hPx xWx xxzyWVWhWhzWzWddsin Wz 是曲面是曲面W 沿沿 z 軸向軸向 oxy 平面平面的投影，的投影，V 稱為稱為壓力體，是曲面壓力體，是曲面 W 與與 Wz 之間的之間的柱體體積。柱體體積。zP z 方向水平力的大小方向水平力的大小hPz zPx xWx xWzWzxzyVpWhnPz zPx xAx xWz zxzy 靜止液體作用在曲面上的總壓力的垂向分量的大靜止液體作用在曲面上的總壓力的垂向分量的大小等于壓力體中裝滿此種液體的重量。小等于壓力體中裝滿此種液體的重量。 總壓力垂向總壓力垂向分量的方向根分量的方向根據(jù)情況判斷。據(jù)情況判斷。VpW 結(jié)論

35、：結(jié)論：還有哪種還有哪種思想可以思想可以求解求解壓力體剖面圖的繪制方法壓力體剖面圖的繪制方法1.1.畫出曲線本身（指曲面壁本身的弧線）；畫出曲線本身（指曲面壁本身的弧線）；2.2.由曲面壁的上下邊緣（或是左右邊緣）向水面由曲面壁的上下邊緣（或是左右邊緣）向水面線或其延長線做垂線；線或其延長線做垂線；3.3.由水面線或水面線的延長線將圖形封閉；由水面線或水面線的延長線將圖形封閉；4.4.壓力體的作用方向是曲面上部受壓，方向向下；壓力體的作用方向是曲面上部受壓，方向向下；下部受壓，方向向上。下部受壓，方向向上。 壓力體應(yīng)由曲面壓力體應(yīng)由曲面 A 向上一直畫到液面所在平面。壓力體中，向上一直畫到液面

36、所在平面。壓力體中，不見得裝滿了液體。不見得裝滿了液體。a有有液液體體AA無無液液體體a有有液液體體AA無無液液體體76 復(fù)雜柱面的壓力體復(fù)雜柱面的壓力體請畫出以下曲面的壓力體圖，并指出垂直壓力的方向請畫出以下曲面的壓力體圖，并指出垂直壓力的方向 三、靜水總壓力 由二力合成定理，曲面所受靜水總壓力的大小為: 80 22zxPPPxzPPtanxzPParctg總壓力總壓力P P的作用線應(yīng)通過的作用線應(yīng)通過P Px x與與P Pz z的交點的交點K K，過，過K K點沿點沿P P的方向延長交曲面于的方向延長交曲面于D D，D D點即為總壓力點即為總壓力P P在在ABAB上的作上的作用點。用點。

37、sinRzD 總壓力各分量的大小已知，指向自己判斷，這樣總壓力的大總壓力各分量的大小已知，指向自己判斷，這樣總壓力的大小和方向就確定了。小和方向就確定了。 總壓力的作用點為水平方向兩條作用線和過壓力體形心的鉛總壓力的作用點為水平方向兩條作用線和過壓力體形心的鉛垂線的交點。垂線的交點。 特別地，當(dāng)曲面是圓柱或球面的一部分時，總壓力是匯交力特別地，當(dāng)曲面是圓柱或球面的一部分時，總壓力是匯交力系的合成，必然通過圓心或球心。系的合成，必然通過圓心或球心。曲面上靜水總壓力的合成例題例題8：某壩頂弧形閘門，：某壩頂弧形閘門，如圖所示。閘門寬如圖所示。閘門寬b=6m,圓圓弧的半徑弧的半徑R=4m，閘門可繞，閘門可繞O軸旋轉(zhuǎn)。軸旋轉(zhuǎn)。O軸和水平面在軸和水平面在同一高程上。試求：當(dāng)壩同一高程上。試求：當(dāng)壩頂水頭頂水頭H=2m時，閘門上所時，閘門上所受的靜水總壓力。受的靜水總壓力。 解解:OB與水平面的夾角可求與水平面的夾角可求:RHarcsinxcxWhPOBCOABABCzSSbSbVP22zxPPP合力的大小為合力的大小為:xzPParctan該合力與水平面的夾角為該合力與水平面的夾角為:zDsinRzD合力作用點的位置為合力作用點的位置為:水面以下水面以下如圖所示：曲面寬如圖所示：曲面寬b=1m的半圓柱面，且直徑的半圓柱面，且直徑D=3m，求該面上的靜水總壓力的大小和方向。，求該面