2009年四川高考理科數(shù)學(xué)卷（含詳細(xì)答案解析）

1、2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（四川卷）數(shù) 學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)科）第卷本試卷共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。參考公式：如果事件互斥，那么球的表面積公式 其中表示球的半徑如果事件相互獨(dú)立，那么 球的體積公式 其中表示球的半徑 一、選擇題：1.設(shè)集合則.【考點(diǎn)定位】本小題考查解含有絕對(duì)值的不等式、一元二次不等式，考查集合的運(yùn)算，基礎(chǔ)題。解析：由題，故選擇C。解析2：由故，故選C.已知函數(shù)連續(xù)，則常數(shù)的值是. . . .w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【考點(diǎn)定位】本小題考查函數(shù)的連續(xù)性，考查分段函數(shù)，基礎(chǔ)題。解析：由題得，故選擇B。解析

2、2：本題考查分段函數(shù)的連續(xù)性由，由函數(shù)的連續(xù)性在一點(diǎn)處的連續(xù)性的定義知，可得故選B.復(fù)數(shù)的值是. . . .【考點(diǎn)定位】本小題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，基礎(chǔ)題。解析：，故選擇A。4.已知函數(shù)，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A.函數(shù)的最小正周期為 B.函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)C.函數(shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng) D.函數(shù)是奇函數(shù)【考點(diǎn)定位】本小題考查誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的奇偶性、周期、單調(diào)性等，基礎(chǔ)題。（同文4）解析：由函數(shù)的可以得到函數(shù)是偶函數(shù)，所以選擇D5.如圖，已知六棱錐的底面是正六邊形，則下列結(jié)論正確的是. .平面 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m C. 直線(xiàn)平面.【考點(diǎn)定位】本小

3、題考查空間里的線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面關(guān)系，基礎(chǔ)題。（同文6）解：由三垂線(xiàn)定理，因AD與AB不相互垂直，排除A；作于，因面面ABCDEF，而AG在面ABCDEF上的射影在AB上，而AB與BC不相互垂直，故排除B；由，而EF是平面PAE的斜線(xiàn)，故排除C，故選擇D。解析2：設(shè)低面正六邊形邊長(zhǎng)為，則，由平面可知，且，所以在中有直線(xiàn)與平面所成的角為，故應(yīng)選D。6.已知為實(shí)數(shù)，且。則“”是“”的A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件w.w.w.k.s.5.u.c.o.m C充要條件 D. 既不充分也不必要條件【考點(diǎn)定位】本小題考查不等式的性質(zhì)、簡(jiǎn)單邏輯，基礎(chǔ)題。（同文7）解析：推不出；但，故選擇B。解析2：令

4、，則；由可得，因?yàn)?，則，所以。故“”是“”的必要而不充分條件。7.已知雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)分別為，其一條漸近線(xiàn)方程為，點(diǎn)在該雙曲線(xiàn)上，則=A. B. C .0 D. 4 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【考點(diǎn)定位】本小題考查雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程、雙曲線(xiàn)的定義，基礎(chǔ)題。（同文8）解析：由題知，故，故選擇C。解析2：根據(jù)雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程可求出雙曲線(xiàn)方程，則左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，再將點(diǎn)代入方程可求出，則可得，故選C。8.如圖，在半徑為3的球面上有三點(diǎn)，球心到平面的距離是，則兩點(diǎn)的球面距離是A. B. C. D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【考點(diǎn)定位】本小題考查球的截面圓性質(zhì)、球面距，

5、基礎(chǔ)題。（同文9）解析：由知截面圓的半徑，故，所以?xún)牲c(diǎn)的球面距離為，故選擇B。解析2：過(guò)球心作平面的垂線(xiàn)交平面與，則在直線(xiàn)上，由于，所以，由為等腰直角三角形可得，所以為等邊三角形，則兩點(diǎn)的球面距離是。9.已知直線(xiàn)和直線(xiàn)，拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)到直線(xiàn)和直線(xiàn)的距離之和的最小值是A.2 B.3 C. D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【考點(diǎn)定位】本小題考查拋物線(xiàn)的定義、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，綜合題。解析：直線(xiàn)為拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)，由拋物線(xiàn)的定義知，P到的距離等于P到拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的距離，故本題化為在拋物線(xiàn)上找一個(gè)點(diǎn)使得到點(diǎn)和直線(xiàn)的距離之和最小，最小值為到直線(xiàn)的距離，即，故選擇A。解析2：如下圖，由題意可知10

6、.某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸、B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸、B原料3噸。銷(xiāo)售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)5萬(wàn)元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)3萬(wàn)元，該企業(yè)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過(guò)13噸，B原料不超過(guò)18噸，那么該企業(yè)可獲得最大利潤(rùn)是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A. 12萬(wàn)元 B. 20萬(wàn)元 C. 25萬(wàn)元 D. 27萬(wàn)元w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【考點(diǎn)定位】本小題考查簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃，基礎(chǔ)題。（同文10）解析：設(shè)甲、乙種兩種產(chǎn)品各需生產(chǎn)、噸，可使利潤(rùn)最大，故本題即已知約束條件，求目標(biāo)函數(shù)的最大值，可求出最優(yōu)解為，故，故選擇D。11.3

7、位男生和3位女生共6位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 【考點(diǎn)定位】本小題考查排列綜合問(wèn)題，基礎(chǔ)題。解析：6位同學(xué)站成一排，3位女生中有且只有兩位女生相鄰的排法有種，其中男生甲站兩端的有，符合條件的排法故共有188解析2：由題意有,選B。 12.已知函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的不恒為零的偶函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，則的值是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A.0 B. C.1 D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【考點(diǎn)定位】本小題考查求抽象函數(shù)的函數(shù)值之賦值法，綜合題。（同文12）解析

8、：令，則；令，則由得，所以，故選擇A。2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（四川卷）數(shù) 學(xué)（理科）第卷考生注意事項(xiàng)：請(qǐng)用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上書(shū)寫(xiě)作答，在試題卷上書(shū)寫(xiě)作答無(wú)效二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分把答案填在題中橫線(xiàn)上13.的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是 （用數(shù)字作答）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【考點(diǎn)定位】本小題考查二項(xiàng)式展開(kāi)式的特殊項(xiàng)，基礎(chǔ)題。（同文13）解析：由題知的通項(xiàng)為，令得，故常數(shù)項(xiàng)為。14.若與相交于A、B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線(xiàn)互相垂直，則線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度是 w 【考點(diǎn)定位】本小題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、兩直線(xiàn)的位置關(guān)系等知識(shí)，綜合題。解析：由題

9、知，且，又，所以有，。15.如圖，已知正三棱柱的各條棱長(zhǎng)都相等，是側(cè) 棱的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)所成的角的大小是 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【考點(diǎn)定位】本小題考查異面直線(xiàn)的夾角，基礎(chǔ)題。解析：不妨設(shè)棱長(zhǎng)為2，選擇基向量，則，故填寫(xiě)。法2：取BC中點(diǎn)N，連結(jié)，則面，是在面上的射影，由幾何知識(shí)知，由三垂線(xiàn)定理得，故填寫(xiě)。16設(shè)是已知平面上所有向量的集合，對(duì)于映射，記的象為。若映射滿(mǎn)足：對(duì)所有及任意實(shí)數(shù)都有，則稱(chēng)為平面上的線(xiàn)性變換?，F(xiàn)有下列命題：設(shè)是平面上的線(xiàn)性變換，則 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 對(duì)設(shè)，則是平面上的線(xiàn)性變換；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 若是平面上的

10、單位向量，對(duì)設(shè)，則是平面上的線(xiàn)性變換；設(shè)是平面上的線(xiàn)性變換，若共線(xiàn)，則也共線(xiàn)。其中真命題是 （寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）【考點(diǎn)定位】本小題考查新定義，創(chuàng)新題。解析：令，由題有，故正確；由題，即，故正確；由題，即，故不正確；由題，即也共線(xiàn)，故正確；三、解答題：本大題共6小題，共74分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17. （本小題滿(mǎn)分12分）在中，為銳角，角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，且（I）求的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （II）若，求的值。本小題主要考查同角三角函數(shù)間的關(guān)系，兩角和差的三角函數(shù)、二倍角公式、正弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)及基本運(yùn)算能力。解：（）、為銳角，又， 6分（）由（）知,.

11、 由正弦定理得，即， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ， ， 12分18. （本小題滿(mǎn)分12分）為振興旅游業(yè)，四川省2009年面向國(guó)內(nèi)發(fā)行總量為2000萬(wàn)張的熊貓優(yōu)惠卡，向省外人士發(fā)行的是熊貓金卡（簡(jiǎn)稱(chēng)金卡），向省內(nèi)人士發(fā)行的是熊貓銀卡（簡(jiǎn)稱(chēng)銀卡）。某旅游公司組織了一個(gè)有36名游客的旅游團(tuán)到四川名勝旅游，其中是省外游客，其余是省內(nèi)游客。在省外游客中有持金卡，在省內(nèi)游客中有持銀卡。（I）在該團(tuán)中隨機(jī)采訪(fǎng)3名游客，求恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人的概率；（II）在該團(tuán)的省內(nèi)游客中隨機(jī)采訪(fǎng)3名游客，設(shè)其中持銀卡人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望。本小題主要考察相互獨(dú)立事件、互斥事件、隨機(jī)

12、變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等概率計(jì)算，考察運(yùn)用概率只是解決實(shí)際問(wèn)題的能力。 解：（）由題意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省內(nèi)游客有9人，其中6人持銀卡。設(shè)事件為“采訪(fǎng)該團(tuán)3人中，恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人”， 事件為“采訪(fǎng)該團(tuán)3人中，1人持金卡，0人持銀卡”， 事件為“采訪(fǎng)該團(tuán)3人中，1人持金卡，1人持銀卡”。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 所以在該團(tuán)中隨機(jī)采訪(fǎng)3人，恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人的概率是。6分（）的可能取值為0，1，2，3 , ， 所以的分布列為0123 所以， 12分 19（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，是等腰直角

13、三角形，（I）求證：；（II）設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為，在直線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（III）求二面角的大小。本小題主要考察平面與平面垂直、直線(xiàn)與平面垂直、直線(xiàn)與平面平行、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考察空間想象能力、邏輯推理能力和數(shù)學(xué)探究意識(shí)，考察應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。解法一：（）因?yàn)槠矫嫫矫?平面，平面平面，所以平面所以.因?yàn)闉榈妊苯侨切危?，所以又因?yàn)?，所以，?所以平面。 4分 （）存在點(diǎn),當(dāng)為線(xiàn)段AE的中點(diǎn)時(shí)，PM平面 取BE的中點(diǎn)N，連接AN,MN，則MNPC 所以PMNC為平行四邊形，所以PMCN 因?yàn)镃N在平面BCE內(nèi)，P

14、M不在平面BCE內(nèi)， 所以PM平面BCE 8分 （）由EAAB,平面ABEF平面ABCD，易知，EA平面ABCD作FGAB,交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于G，則FGEA。從而，F(xiàn)G平面ABCD作GHBD于G，連結(jié)FH，則由三垂線(xiàn)定理知，BDFH因此，AEF為二面角F-BD-A的平面角因?yàn)镕A=FE, AEF=45°,所以AFE=90°，F(xiàn)AG=45°.設(shè)AB=1,則AE=1,AF=. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m FG=AF·sinFAG=在RtFGH中，GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,GH=BG·sinGBH=·=在

15、RtFGH中，tanFHG= = 故二面角F-BD-A的大小為arctan. 12分解法二:()因?yàn)锳BE為等腰直角三角形,AB=AE,所以AEAB.又因?yàn)槠矫鍭BEF平面ABCD,AE平面ABEF,平面ABEF平面ABCD=AB,所以AE平面ABCD.所以AEAD.因此,AD,AB,AE兩兩垂直,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立 如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.設(shè)AB=1,則AE=1，B（0，1，0），D (1, 0, 0 ) ,E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).因?yàn)镕A=FE, AEF = 45°,所以AFE= 90°.從而，.所以,.,.所以EFBE, E

16、FBC.因?yàn)锽E平面BCE,BCBE=B ,所以EF平面BCE. () M（0，0，）.P（1, ,0）.從而=（，）.于是所以PMFE，又EF平面BCE，直線(xiàn)PM不在平面BCE內(nèi)，故PM平面BCE. 8分() 設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為，并設(shè)=（x，y，z）=(1，1，0)， 即去y=1，則x=1，z=3，從=（0，0，3）取平面ABD的一個(gè)法向量為=（0，0，1）故二面角F-BD-A的大小為. 12分20（本小題滿(mǎn)分12分）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，離心率，右準(zhǔn)線(xiàn)方程為。（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與該橢圓交于兩點(diǎn)，且，求直線(xiàn)的方程。本小題主要考查直線(xiàn)、橢圓、平面向量等基礎(chǔ)知

17、識(shí)，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題及推理運(yùn)算能力。 解：（）有條件有，解得。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 。 所以，所求橢圓的方程為。4分（）由（）知、。 若直線(xiàn)l的斜率不存在，則直線(xiàn)l的方程為x=-1. 將x=-1代入橢圓方程得。 不妨設(shè)、， . ,與題設(shè)矛盾。 直線(xiàn)l的斜率存在。 設(shè)直線(xiàn)l的斜率為k，則直線(xiàn)的方程為y=k（x+1）。設(shè)、，聯(lián)立，消y得。由根與系數(shù)的關(guān)系知，從而，又，。 。化簡(jiǎn)得解得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 21. （本小題滿(mǎn)分12分）已知函數(shù)。（I）求函數(shù)的定義域，并判斷的單調(diào)性；（II）若（III）當(dāng)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，設(shè)，若函數(shù)的極值存在，求

18、實(shí)數(shù)的取值范圍以及函數(shù)的極值。本小題主要考查函數(shù)、數(shù)列的極限、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)、考查分類(lèi)整合思想、推理和運(yùn)算能力。解：（）由題意知當(dāng)當(dāng)當(dāng).（4分）（）因?yàn)橛珊瘮?shù)定義域知>0,因?yàn)閚是正整數(shù)，故0<a<1.所以（）令 當(dāng)m=0時(shí)，有實(shí)根，在點(diǎn)左右兩側(cè)均有故無(wú)極值 當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)根當(dāng)x變化時(shí)，、的變化情況如下表所示：+0-0+極大值極小值的極大值為，的極小值為 當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)有一個(gè)實(shí)根， 同上可得的極大值為綜上所述，時(shí)，函數(shù)有極值；當(dāng)時(shí)的極大值為，的極小值為當(dāng)時(shí)，的極大值為 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 22. （本小題滿(mǎn)分14分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立，記。（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意正整數(shù)都有；（III）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為。已知正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)任意正整數(shù)恒成立，求