厚積薄發(fā)-高考數(shù)學(xué)四十一講---第十九講不等式的應(yīng)用問題

1、第十九講 不等式的應(yīng)用問題一、引言本講主要學(xué)習(xí)絕對值不等式及高次、分式不等式的解法，應(yīng)用不等式求最值，不等式證明的主要方法，能夠利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的極值；了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍，會用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單問題本講考綱要求：熟練運(yùn)用不等式的知識綜合解決函數(shù)、方程中的有關(guān)問題；通過不等式的基本知識、基本方法在代數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等各部分知識中的應(yīng)用，深化數(shù)學(xué)知識間的融匯貫通，從而提高分析問題解決問題的能力本講命題方向為：1結(jié)合指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù)考查函數(shù)的性質(zhì)，解不等式的試題常以填空題、解答題形式出現(xiàn)；2以當(dāng)前經(jīng)濟(jì)、社會、生活為背景與不等式綜合

2、的應(yīng)用題仍是高考的熱點，主要考查考生閱讀以及分析、解決問題的能力；3在函數(shù)、不等式、數(shù)列、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點命題，特別注意與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)綜合命題這一變化趨勢二、考點梳理1絕對值的幾何意義：是指數(shù)軸上點到原點的距離；是指數(shù)軸上兩點間的距離2含絕對值的不等式的性質(zhì)：，當(dāng)時，左邊等號成立；當(dāng)時，右邊等號成立，當(dāng)時，左邊等號成立；當(dāng)時，右邊等號成立進(jìn)而可得：3絕對值不等式的解法：（1）解含絕對值的不等式的基本思想是去掉絕對值符號，將其等價轉(zhuǎn)化為一元一次（二次）不等式（組）進(jìn)行求解； （2）去掉絕對值的主要方法有： 公式法：，或定義法：，零點分段法；平方法：不等式兩邊都是非負(fù)時，兩邊同時平方

3、 4分式不等式的解法：， ， 5常用的證明不等式的方法（1）比較法（2）綜合法 （3）分析法（4）反證法（5）放縮法 （6）換元法（7）構(gòu)造法6柯西不等式（1）代數(shù)形式：設(shè)均為實數(shù)，則，其中當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立（2）推廣形式：設(shè)均為實數(shù)，則：，其中當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立（3）幾何意義：設(shè)，為平面上以原點O為起點的兩個非零向量，它們的終點分別為A（），B（），那么它們的數(shù)量積為，而，所以柯西不等式的幾何意義就是：，其中當(dāng)且僅當(dāng)兩個向量方向相同或相反（即兩個向量共線）時等號成立（4）向量形式：設(shè)，為平面上的兩個向量，則，其中當(dāng)且僅當(dāng)兩個向量方向相同或相反（即兩個向量共線）時等號成立7數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法

4、適用于有關(guān)自然數(shù)n的命題具體來講，數(shù)學(xué)歸納法常用來證明恒等式，不等式，數(shù)的整除性，幾何中計數(shù)問題，數(shù)列的通項與和等(1)數(shù)學(xué)歸納法的基本形式：設(shè)是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若 成立(奠基); 假設(shè)成立()，可以推出成立(歸納)，則 對一切大于等于的自然數(shù)都成立(2)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用具體常用數(shù)學(xué)歸納法證明：恒等式，不等式，數(shù)的整除性，幾何中計算問題，數(shù)列的通項與和等三、典型例題選講題型1：高次不等式、分式不等式、絕對值不等式的解法及其應(yīng)用例1 解不等式：(1) ； （2）；（1）解法一：原不等式等價于原不等式解集為解法二：把方程 的三個根-5,-4,2順次標(biāo)在數(shù)軸上,然后從右上開始畫線順次經(jīng)過三個根(

5、奇穿偶不穿)，其解集如下圖的陰影部分（2）解：原不等式可化為把方程的三個根順次標(biāo)在數(shù)軸上然后從右上開始畫線順次經(jīng)過三個根，其解集如下圖的陰影部分原不等式解集為歸納小結(jié)：用“穿根法”解不等式時應(yīng)注意：各一次項中的系數(shù)必為正；對于偶次或奇次重根可轉(zhuǎn)化為不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”例2 解下列分式不等式：（1）；（2）解：（1）原不等式等價于 用“穿根法”其解集如下圖的陰影部分：原不等式解集為（2）原不等式等價于 用“穿根法” 原不等式解集為歸納小結(jié)：當(dāng)分式不等式化為時，要注意它的等價變形要注意找零點去絕對值符號最好畫數(shù)軸，零點分段，然后從左向右逐段討論，這樣做條理分

6、明、不重不漏例3 解不等式分析：解此題的關(guān)鍵是去絕對值符號，而去絕對值符號有兩種方法：一是根據(jù)絕對值的意義；二是根據(jù)絕對值的性質(zhì)：或，因此本題有如下兩種解法解法一：原不等式即或故原不等式的解集為解法二：原不等式等價于即故原不等式的解集為歸納小結(jié)：解含絕對值的不等式，關(guān)鍵是要把它化為不含絕對值的不等式，然后把不等式等價轉(zhuǎn)化為不等式組，變成求不等式組的解例4 求使不等式有解的的取值范圍解法一：設(shè)，則有作出函數(shù)f(x)的圖象,得：要使不等式成立，只需a>1，故a的取值范圍為a>1解法二：設(shè)數(shù)x，3，4在數(shù)軸上對應(yīng)的點分別為P，A，B，如下圖，由絕對值的幾何定義，原不等式|PA|+|PB|

7、a的意義是P到A、B的距離之和小于a因為|AB|=1，故數(shù)軸上任一點到A、B距離之和大于（等于）1即 ，故當(dāng)時,故a的取值范圍為a>1歸納小結(jié)：本題考查絕對值不等式的恒成立問題，解法一用 “零點分段法” 去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為一個分段函數(shù)，再用函數(shù)的圖象求解解法二用絕對值的幾何定義出發(fā),尋找不等式的幾何意義求解兩種方法各有特點,都是解決此類問題的常用方法例5 解不等式(1)；(2)解：(1)原不等式可化為：,整理，得解之，得不等式的解集為x|-3<x<2(2)原不等式兩邊同除以 得,設(shè),則,解得,即或原不等式的解集為x|歸納小結(jié)：解指數(shù)不等式的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式在解的過程

8、中要特別注意未知數(shù)的取值范圍及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性第（2）小題中先用到了“換元法”轉(zhuǎn)化為二次不等式后再用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出解集例6 解不等式(1)；(2)解：（1）原不等式等價于原不等式的解集為x|-2<x<-1或4<x<7（2）原不等式等價于或解之得：4<x5原不等式的解集為x|4<x5歸納小結(jié)： 在解對數(shù)不等式時，除要注意根據(jù)底數(shù)結(jié)合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化外，還要注意使對數(shù)有意義的未知數(shù)的取值范圍、對數(shù)的運(yùn)算法則和換底公式的應(yīng)用題型2：證明不等式例7 求證分析：此題的難度在于，所求證不等式的左端有多項和且難以合并，右邊只有一項注意到這是一個嚴(yán)格不等式，

9、為了左邊的合并需要考查左邊的式子是否有規(guī)律，這只需從下手考查即可證明：，歸納小結(jié)：此題證明過程并不復(fù)雜，但思路難尋本題所采用的方法也是解不等式時常用的一種方法，即放縮法這類題目靈活多樣，需要巧妙變形，問題才能化隱為顯，這里變形的這一步極為關(guān)鍵不能放縮不夠或放縮過頭，財時放縮后便于求和例8 用數(shù)學(xué)歸納法證明，分析：要證等式的左邊共項，右邊共項，與相比左邊增二項，右邊增一項，而且左、右兩邊的首項不同因此，由“”到“”時要注意項的合并證明：（1）當(dāng)時，左邊=，右邊，命題成立（2）假設(shè)當(dāng)時命題成立，即那么當(dāng)時，左邊 上式表明，當(dāng)時命題也成立由（1）和（2）知，命題對一切自然數(shù)均成立歸納小結(jié)：用數(shù)學(xué)歸納

10、法證明與自然數(shù)有關(guān)的一些等式命題，關(guān)鍵在于“先看項”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項，項的多少與的取值是否有關(guān)，由到時，等式兩邊會增加多少項題型3：不等式的應(yīng)用例9 若 求的最小值，并求最小值點解：由柯西不等式得歸納小結(jié)：柯西不等式是基本而重要的不等式，是推證其他許多不等式的基礎(chǔ)，有著廣泛的應(yīng)用此題應(yīng)用的是柯西不等式的代數(shù)形式，為了符合公式的結(jié)構(gòu)，用了一個“”的湊形技巧常用的還有兩個推論：其中；其中題型4：不等式的應(yīng)用例10 （1）（2009海南理）已知函數(shù)（）作出函數(shù)y=f(x)的圖象；（）解不等式解：（）圖象如 （）不等式即,由得由函數(shù)f(x)圖象可知，原不等式的解集為（2）

11、（2009寧夏理）如下圖，O為數(shù)軸的原點，A,B,M為數(shù)軸上三點，C為線段OM上的動點，設(shè)x表示C與原點的距離，y 表示C到A距離4倍與C到B距離的6倍的和（）將y表示成x的函數(shù)；（）要使y的值不超過70，x 應(yīng)該在什么范圍內(nèi)取值？解:（）（）依題意,x滿足解不等式組，其解集為9，23，所以歸納小結(jié)：本題考查數(shù)學(xué)建模思想和絕對值不等式的解法,要注意絕對值的定義的使用例11 （2008廣東文）某單位用2160萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房經(jīng)測算，如果將樓房建為(10)層，則每平方米的平均建筑費用為560+48（單位：元）為了使樓房每平方米的平均綜合費

12、用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？（注：平均綜合費用平均建筑費用+平均購地費用，平均購地費用）解：設(shè)樓房每平方米的平均綜合費為f（）元，則，,令,得當(dāng)時，；當(dāng)時，因此，當(dāng)時，f（x）取最小值答：為了樓房每平方米的平均綜合費最少，該樓房應(yīng)建為15層歸納小結(jié)：通過實際情景建立函數(shù)關(guān)系式并與導(dǎo)數(shù)知識交匯命題成為高考的亮點，解題的關(guān)鍵是建立函數(shù)模型，通過函數(shù)的性質(zhì)特別是單調(diào)性建立不等關(guān)系求得結(jié)果在學(xué)習(xí)時應(yīng)加強(qiáng)這方面訓(xùn)練，提高應(yīng)用意識，總結(jié)不等式的應(yīng)用規(guī)律，才能提高解決問題的能力例12 （2008山東理）等比數(shù)列的前n項和為，已知對任意的點均在函數(shù)的圖象上（）求r的值；（）當(dāng)b=2時，記證明：對任意的nN*，

13、不等式成立解（）因為對任意的,點，均在函數(shù)且均為常數(shù)）的圖象上所以得,當(dāng)時,當(dāng)時，,又因為為等比數(shù)列,所以,公比為,（）當(dāng)b=2時，,則,所以下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立當(dāng)時,左邊=,右邊=,因為,所以不等式成立假設(shè)當(dāng)時不等式成立,即成立則當(dāng)時,左邊所以當(dāng)時,不等式也成立由、可得不等式恒成立歸納小結(jié)：本題主要考查了等比數(shù)列的定義,通項公式,以及已知求的基本題型,并運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題,以及放縮法證明不等式四、本專題總結(jié)1在復(fù)習(xí)不等式的解法時，加強(qiáng)等價轉(zhuǎn)化思想的訓(xùn)練與復(fù)習(xí)解不等式的過程是一個等價轉(zhuǎn)化的過程，通過等價轉(zhuǎn)化可簡化不等式（組），以快速、準(zhǔn)確求解加強(qiáng)函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用訓(xùn)練不等式、函數(shù)、方程三者密不可分，相互聯(lián)系、互相轉(zhuǎn)化如求參數(shù)的取值范圍問題，函數(shù)與方程思想是解決這類問題的重要方法在不等式的證明中，加強(qiáng)化歸思想的復(fù)習(xí)，證不等式的過程是一個把已知條件向要證結(jié)論的一個轉(zhuǎn)化過程，既可考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識，又可考查學(xué)生分析問題和解決問題的