離散傅里葉變換及應用

1、MATLAB離散傅里葉變換及應用一、DFT與IDFT、DFS、DTFT的聯(lián)系1、 序列的傅里葉變換(DFT)和逆變換(IDFT)在實際中常常使用有限長序列。如果有限長序列信號為x(n)，則該序列的離散傅里葉變換對可以表示為 (12-1) (12-2)已知x(n)0，1，2，3，4，5，6，7，求x(n)的DFT和IDFT。要求：(1)畫出序列傅里葉變換對應的|X(k)|和argX(k)圖形。(2)畫出原信號與傅里葉逆變換IDFTX(k)圖形進行比較。程序源代碼：xn=0,1,2,3,4,5,6,7; N=length(xn);n=0:(N-1);k=0:(N-1);Xk=xn*exp(-j*2

2、*pi/N).(n'*k);x=(Xk*exp(j*2*pi/N).(n'*k)/N;subplot(2,2,1),stem(n,xn);title('x(n)');subplot(2,2,2),stem(n,abs(x);title('IDFT|X(k)|');subplot(2,2,3),stem(k,abs(Xk);title('|X(k)|');subplot(2,2,4),stem(k,angle(Xk);title('arg|X(k)|');運行圖如下：從得到的結果可見，與周期序列不同的是，有限長序列本

3、身是僅有N點的離散序列，相當于周期序列的主值部分。因此，其頻譜也對應序列的主值部分，是含N點的離散序列。2、 序列DFT與周期序列DFS已知周期序列的主值x(n)0，1，2，3，4，5，6，7，求x(n)周期重復次數(shù)為4次時的DFS。要求：(1)畫出原主值和信號周期序列信號。(2)畫出序列傅里葉變換對應的和的圖形。程序源代碼：xn=0,1,2,3,4,5,6,7;N=length(xn);n=0:4*N-1;k=0:4*N-1;xn1=xn(mod(n,N)+1); Xk=xn1*exp(-j*2*pi/N).(n'*k); subplot(2,2,1),stem(xn); title

4、('原主值信號x(n)');subplot(2,2,2),stem(n,xn1); title('周期序列信號');subplot(2,2,3),stem(k,abs(Xk); title('|X(k)|');subplot(2,2,4),stem(k,angle(Xk); title('arg|X(k)|');運行結果如下：由這個周期序列的實驗我們可以看出，有限長序列x(n)可以看成是周期序列的一個周期；反之，周期序列可以看成是有限長序列x(n)以N為周期的周期延拓。頻域上的情況也是相同的。從這個意義上說，周期序列只有有限個序列

5、值有意義。3、 序列DFT與離散時間傅里葉變換DTFT的聯(lián)系求x(n)0，1，2，3，4，5，6，7，0n7的DTFT，將(2p，2p)區(qū)間分成500份。要求：(1)畫出原信號。(2)畫出由離散時間傅里葉變換求得的幅度譜X(ejw)和相位譜argX(ejw)圖形。程序源代碼：xn=0,1,2,3,4,5,6,7;N=length(xn);n=0:N-1;w=linspace(-2*pi,2*pi,500); X=xn*exp(-j*n'*w);subplot(3,1,1),stem(n,xn,'k');ylabel('x(n)');subplot(3,1

6、,2),plot(w,abs(X),'k');axis(-2*pi,2*pi,1.1*min(abs(X),1.1*max(abs(X);ylabel('幅度譜');subplot(3,1,3),plot(w,angle(X),'k');axis(-2*pi,2*pi,1.1*min(angle(X),1.1*max(angle(X);ylabel('相位譜');運行結果如下：由圖12-3可以看出，兩者有一定的差別。主要原因在于，該例進行DTFT時，X(ejw)在單位圓上取250個點進行分割；而圖12-1進行DFT時，X(k)是在

7、單位圓上N8的等間距點上取值，X(k)的序列長度與X(ejw)相比不夠長。4仍然用x(n)0，1，2，3，4，5，6，7，將x(n)的有限長序列后面補足至N100，求其DFT，并與例3進行比較。程序源代碼：N=100;xn=0,1,2,3,4,5,6,7,zeros(1,N-8); n=0:(N-1);k=0:(N-1);Xk=xn*exp(-j*2*pi/N).(n'*k); x=(Xk*exp(j*2*pi/N).(n'*k)/N; subplot(2,1,1),stem(k,abs(Xk); title('|X(k)|');subplot(2,1,2),s

8、tem(k,angle(Xk); title('arg|X(k)|');運行結果如下：二、序列的移位和周期延拓運算。已知，利用MATLAB生成并圖示序列其中程序清單如下：N=24;M=8;m=3;n=0:N-1;xn=0.8.n.*(n>=0 & n<M);subplot(3,1,1);stem(n,xn,'.');grid;axis(0 length(xn),0 1);title('序列x(n)');xc=xn(mod(n,8)+1); subplot(3,1,2);stem(n,xc,'.');grid;a

9、xis(0 length(xc),0 1);title('序列x(n)的周期延拓序列');xm=xn(m+1:M) xn(1:m); xm=xm zeros(1,N-length(xm);subplot(3,1,3);stem(n,xm,'.');grid;axis(0 length(xm),0 1);title('圓周移位序列x(n+m)');運行結果如下：三、利用MATLAB驗證N 點DFT的物理意義。試繪制出 幅度頻譜和相位頻譜，并分別計算N=8和N=16時的DFT。程序源代碼：N1=8;N2=16; % 設置兩種DFT的長度n=0:N1-

10、1;k1=n;k2=0:N2-1;w=(0:2047)*2*pi/2048;Xw=(1-exp(-j*4*w)./(1-exp(-j*w); xn=n>=0 & n<4; Xk1=fft(xn,N1); Xk2=fft(xn,N2); subplot(3,1,1);plot(w/pi,abs(Xw); grid;title('序列x(n)的幅頻曲線|X(ejomega)|');subplot(3,1,2);stem(k1*2/N1,abs(Xk1),'.'); grid;title('序列x(n)的8點DFT');subplo

11、t(3,1,3);stem(k2,abs(Xk2),'.');grid;title('序列x(n)的16點DFT');運行結果如下；四、利用DFT計算線性卷積已知序列x1(n)=0.9n,n=0:11;h(n)=R9(n) 求x1(n)*h(n)；x1(n)與h(n)的10點圓周卷積。程序源代碼:n1=0:9;n2=0:11;m=0:N1-1;n=0:N1-1;N=12;N1=10;x1=0.9.n2;x11=0.9.n1;x2=ones(1,9);x3=conv(x1,x2)x5=x11,zeros(1,N1-length(x11);x6=x2,zeros(1,N1-length(x2);H=zeros(N1,N1);x6=x6 zeros(1,N1-length(x6);for n=1:N1 H(n,:)=x6(mod(n-m-1,N1)+1);endx4=x5*H'subplot(221),stem(x1,'.');title('原序列x1')axis(-1,14,0.6*min(x1),1.1*max(x1);subplot(222),stem(x2,'.');title('原序列x2')axis(-1,11,0,1.1*max(x2);subplot(223