數值計算方法--第4-1 講--拉格朗日插值PPT課件

1、插 值 法第第 二二 章章8/eol/jpk/course/welcome.jsp?courseId=1220 插值法的一般理論 Newton插值 Lagrange插值 分段低次插值 Hermite插值、樣條插值13425知知 識識 結結 構構 圖圖插插值值法法Lagrange插值插值NewtonNewton插值插值插插值值Hermite樣條插值樣條插值誤差估計誤差估計分段插值分段插值兩點式兩點式點斜式點斜式 等距節(jié)點等距節(jié)點 算算法法比比較較推廣方法推廣方法均差均差差分差分一般理論插值多項式 NewtonNewton 前插后插公式問題的引入插值法及其相關概

2、念一般插值多項式的原理一般插值的程序設計插值法概述實際問題試驗數據觀測數據內在規(guī)律函數關系期望期望期望 數學的期望與煩惱實驗數據是否存在內在規(guī)律? 實驗數據的內在規(guī)律是什么? 內在規(guī)律是否有函數解析式?反映內在規(guī)律的解析式是什么?x0121 .00 .8 4 1 30 .8 4 3 80 .8 4 6 11 .10 .8 6 4 30 .8 6 6 50 .8 6 8 6標準正態(tài)分布函數 (x)查查 函函 數數 表表插值引例插值引例引例引例1插值法概述 問題的引入求求 (1.014)xy機翼下機翼下輪廓線輪廓線求機翼下輪廓線上一點的近似數值該點的值是多少該點的值是多少?引例引例2插值法概述 問

3、題的引入求任一插值點*()ixx 處的插值.*y已知 n+1個節(jié)點(,) (0,1,),iixyin 其中ix互不相同，不妨設),10bxxxan插值問題的提法插值問題的提法插值法概述 插值問題的一般提法0 x1xnx0y1y*y*x 構造平面曲線使其通過所有節(jié)點，即：( )yG x ()iiyG x (0,1,., )in 插值法概述 插值法的基本思路 構造一個（相對簡單的）函數使其通過所有節(jié)點，即：( )yG x ()iiyG x (0,1,.,)in 思路 目標求點*()ixx 處的插值*( *)yG x 0 x1xnx0y1y*y*x插值法的一般定義 ,)(上上有有定定義義在在區(qū)區(qū)間間

4、設設函函數數baxfy 且且已已知知在在點點bxxxan 10,:10nyyy上上的的值值分分別別為為使使）（函函數數,xP若存在一簡單若存在一簡單iiyxP )().(),(11210ni ,)()(的的插插值值函函數數為為則則稱稱xfxP稱為插值稱為插值點點nxxx,10稱稱為為插插值值區(qū)區(qū)間間，包包含含插插值值節(jié)節(jié)點點的的區(qū)區(qū)間間,ba的的方方法法稱稱為為插插值值法法。求求插插值值函函數數)(xP節(jié)點，節(jié)點，？ 插值法的概念插值法的概念插值函數插值插值法主要概念本本章章只只討討論論多多項項式式插插值值和分段插值。和分段插值。,)(10nnxaxaaxP 的代數多項式，即的代數多項式，即是

5、次數不超過是次數不超過若若nxP)(分段插值。分段插值。為分段多項式，就稱為為分段多項式，就稱為若若)(xP三角插值。三角插值。為三角多項式，就稱為為三角多項式，就稱為若若)(xP插值法的一般定義 插值法的概念分段插值插值多項式三角插值主要概念一般插值多項式原理證設有 n+1個互不相同的節(jié)點),.2 , 1 , 0(),(niyxii 則存在唯一的多項式： )1(.)(2210nnnxaxaxaaxL 使得)2(),.2 , 1 , 0()(njyxLjjn 構造方程組)3(.22101121211000202010 nnnnnnnnnnyxaxaxaayxaxaxaayxaxaxaa 插值法

6、原理一般插值多項式原理 nnnnnxxxxxxA1111100 naaaX10 nyyyY10令： 方程組的矩陣形式如下： 0)(110 ninjjixxA由于由于)4(YAX 所以方程組（4）有唯一解。 .)(2210唯唯一一存存在在從從而而nnnxaxaxaaxL 證畢 【注1】只要n+1個節(jié)點互異，滿足上述插值條件的多項式是唯一存在的?！咀?】如果不限制多項式的次數，插值多項式并不唯一。 插值法原理證X=x0,x1,x2,x3=10,11,12,13;y=y0,y1,y2,y3=2.3026,2.3979,2.4849,2.5649;A=TransposeTablex0j,x1j,x2j

7、,x3j,j,0,3;MatrixForm%;AA=LinearSolveA,y/NX1=1,x,x2,x3;X1.AAN%/.x-11.75,10程序設計程序設計 插值法的程序設計A=0,-1,1.5,4.25,5.1,35.21g1=ListPlotTableA,Prolog-AbsolutePointSize10;InterpolationA,InterpolationOrder-2g2=Plot%x,x,0,5.1;Showg1,g2N%3.66,5繪制點圖點的絕對直徑插值、插入程序設計xy(3.66)19.716G Lagrange插值多項式的構造插值多項式的構造Lagrange插值

8、的誤差估計插值的誤差估計Lagrange插值多項式的震蕩插值多項式的震蕩Lagrange插值的程序設計插值的程序設計Lagrange插值插值法的基函數法的基函數拉格朗日插值已知 n+1個節(jié)點, 1 ,0(),(njyxjj 其中jx互不相同，不妨設),10bxxxan 1110( )nnnnnP xa xaxa xa的插值多項式要求形如 插值多項式的基函數例如：nxxxx,.,132 n 次多項式的基（函數）naaaa,.,210n 個系數nnxaxaxaxaa .332210n 次多項式多項式族的構成0011()(),yf xyf x，使使它它滿滿足足，要要求求線線性性插插值值多多項項式式)

9、(1xL100111(),().L xyL xy:如圖所示如圖所示0 x1x0y1y)(xfy )(1xLy 拉格朗日插值 插值多項式的基函數1n 先討論先討論 簡單情形，簡單情形， 假定給定區(qū)間假定給定區(qū)間 及端點函數值，及端點函數值，01,xx若令若令0 x1x100( )lx1( )l x1001( ),xxlxxx 0110( )xxlxxx 線性插值基函數1001 1()()()Lxy lxy lx 線性插值多項式拉格朗日插值 插值多項式的構造( )1010010( )()yyL xyxxxx 點斜式點斜式011010110( )xxxxL xyyxxxx 兩點式兩點式 000110

10、111,()0;0,1.lxlxlxlx 在節(jié)點在節(jié)點 和和 上滿足：上滿足：0 x1x1n )()(kkkkkkxxxxyyyxL 111),(點斜式點斜式11111)( kkkkkkkkyxxxxyxxxxxL)(兩兩點點式式若令若令,)(11 kkkkxxxxxlkkkkxxxxxl 11)(上上滿滿足足條條件件及及在在節(jié)節(jié)點點1 kkxx . 1, 0;0)(, 11111 kkkkkkkkxlxlxlxlkx1 kx10)(xlk)(1xlk 線性插值線性插值基函數基函數)()()(111xlyxlyxLkkkk 線性插值多項式拉格朗日插值 線性插值多項式的構造,)(11 kkkkx

11、xxxxlkkkkxxxxxl 11)(111( )( )( )k kkkL xy lxylx 兩個插值點對應一次基函數，n+1個插值點對應 n 次基函數 n 次基函數應當怎樣構造 ？拉格朗日插值 L-插值多項式的基函數觀察與思考觀察與思考拉格朗日插值 插值多項式的基函數上上滿滿足足條條件件個個節(jié)節(jié)點點在在次次多多項項式式若若njxxxnnjxln 101), 1 ,0()( ), 1 , 0,(., 0;, 1)(nkjjkjkxlkj .,)(,),(),(11010次次插插值值基基函函數數的的為為節(jié)節(jié)點點次次多多項項式式個個就就稱稱這這nxxxxlxlxlnnnn ,)(11 kkkkx

12、xxxxlkkkkxxxxxl 11)(),(),(),1111 kkkkkkyxyxyx通通過過三三點點（使使它它滿滿足足要要求求二二次次插插值值多多項項式式假假定定插插值值節(jié)節(jié)點點為為),(,2,11xLxxxkkk ,)()( 11111 kkkkkkkxxxxxxxxxl）（于于是是,)()()(1111 kkkkkkkxxxxxxxxxl猜想：猜想：.)()()(11111kkkkkkkxxxxxxxxxl 觀察與思考觀察與思考拉格朗日插值 插值多項式的基函數推而廣之推而廣之拉格朗日插值 拉格朗日拉格朗日 插值多項式插值多項式nixxxxxxxxxxxxxxxxxlniiiiiini

13、ii1 , 0,)()()()()()()(:110110 用用基基函函數數法法構構造造jjnjiyxLjijixl )(,0,1)(即即為為則則)()(0 xlyxLiniin 拉格朗日拉格朗日(Lagrange) 插值多項式插值多項式1011().()().().nkkkkkkknxxxxxxxxx （）).()()(101nnxxxxxxx 拉格朗日插值 拉格朗日拉格朗日 插值多項式插值多項式特別函數101()().()()nnnkkknkxLxyxxx 拉格朗日插值多項式拉格朗日插值多項式011011()()()()( )()()()()iiniiiiiiinxxxxxxxxl xxxxxxxxx 01101111()()()()()()()()()()( )()()iiiniiiiiiinninixxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 0( )( )nni iiLxy l x 拉格朗日插值 拉格朗日拉格朗日 插值多項式插值多項式101()().()()nnnkkknkxLxyxxx 拉格朗日插值多項式拉格朗日插值多項式 優(yōu) 點 結構緊湊理論分析方便 改變一個節(jié)點改變一個節(jié)點則全部的插值基函數則全部的插值基函數都改變都改變, ,基函數沒有基函數沒有承襲性承襲性 缺 點 插值主程序插值主程序程序設計程序設計fx