學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知障礙及解決方法

1、學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知障礙及解決方法湖南吉首市民中 張 斌內(nèi)容提要：本文首先揭示了數(shù)學(xué)概念的一般認(rèn)知過程及影響概念認(rèn)知的一些因素，而后論述了學(xué)生的數(shù)學(xué)概念系統(tǒng)，并分析了產(chǎn)生錯(cuò)誤認(rèn)知的原因，最后提出了一些解決的辦法。關(guān)鍵詞：認(rèn)知過程、感性材料、辯證思維、唯物論、實(shí)踐論等概念是數(shù)學(xué)認(rèn)知過程中最普遍的形式，是反映數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的思維形式。因此它是產(chǎn)生數(shù)學(xué)判斷、推理、論證的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，學(xué)生在解決問題時(shí)出錯(cuò)或產(chǎn)生困難，原因往往在于概念的理解上產(chǎn)生了障礙，所以必須十分重視數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)。一、數(shù)學(xué)概念的一般認(rèn)知過程為探尋學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知，在此我們研究數(shù)學(xué)概念的一般認(rèn)知過程，對數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知有兩種

2、方式：概念的形成和同化。概念的形成是在給定的數(shù)學(xué)條件下，從大量具體例子出發(fā)，從學(xué)生實(shí)際經(jīng)驗(yàn)的肯定例證中，以歸納的方法概括一類事物的本質(zhì)屬性。其主要依靠的對具體事物的概括，它的心理過程如圖： 辨別刺激模式我們我們的我們的找共同屬性確認(rèn)本質(zhì)屬性 比較、分化抽象、檢驗(yàn)內(nèi)化形成概念符號化在應(yīng)用中鞏固與遷移概括從概念形成的流程圖中可以看出，其基石為辨別刺激模式即具體的現(xiàn)實(shí)模型，若離開了這個(gè)現(xiàn)實(shí)模型，那么概念形成將變?yōu)闊o源之水，當(dāng)然也將影響學(xué)生對概念的掌握。概念的同化是把要學(xué)習(xí)的概念與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的概念建立起聯(lián)系，然后進(jìn)行比較，強(qiáng)化其本質(zhì)屬性，它依靠學(xué)生對經(jīng)驗(yàn)的概括和新舊知識的聯(lián)系，是一種高層次的概念學(xué)

3、習(xí)的形式，其實(shí)質(zhì)是對抽象化的事物的概括。由此我們可以看出：原有知識經(jīng)驗(yàn)的多少，原有概念掌握程度的高低，都將對學(xué)生的概念學(xué)習(xí)產(chǎn)生影響。對照分析一下概念的兩種認(rèn)知方式，可發(fā)現(xiàn)這兩種認(rèn)知過程的共同點(diǎn)：1、二者都必須對概念進(jìn)行概括，即把要學(xué)習(xí)的概念屬性提取出來，以區(qū)分不同屬性的概念。這樣，概括能力水平的高低也就成為左右學(xué)生學(xué)習(xí)概念的一個(gè)重要因素。2、二者都存在一個(gè)比較、分化、類化的過程。概念形成過程中要找出共同屬性就必須把具體數(shù)學(xué)事物進(jìn)行比較，尋找其共同點(diǎn)，從而把屬性不同的事物區(qū)分開來，把屬性相同的事物概括成一類，以此強(qiáng)化本質(zhì)屬性。概念的同化過程也要通過比較來加強(qiáng)對新概念的理解，通過分化、類化的方法來

4、強(qiáng)化本質(zhì)屬性。這些程序的進(jìn)行及程序的完成都將涉及到學(xué)生的辯證思維水平，因此可以說辯證思維的強(qiáng)弱也將影響著學(xué)生對概念的理解。3、兩種對新概念的認(rèn)知方式來源于現(xiàn)實(shí)世界中的一類對象，即認(rèn)識概念的基礎(chǔ)在于對現(xiàn)實(shí)原型或原有概念的掌握。 通過以上分析,我們可以總結(jié)出影響數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的幾種因素：（一） 感性材料和感性經(jīng)驗(yàn) 概念的形成主要依賴到的是對感性經(jīng)驗(yàn)的概括。因此，感性材料或感性經(jīng)驗(yàn)是影響概念學(xué)習(xí)的主要因素。概念形成過程中的感性材料越清晰，本質(zhì)屬性就越鮮明，學(xué)生就越容易掌握概念。如學(xué)習(xí)“棱錐”概念時(shí)，給出金字塔模型這個(gè)感性材料，則顯然更容易讓學(xué)生理解棱錐的概念。在概念同化過程中，學(xué)生通過概括已有的知識經(jīng)

5、驗(yàn)去認(rèn)識理解和區(qū)分事物的各種聯(lián)系和性質(zhì)。要想掌握概念，學(xué)生必須具有并能回想起那些作為定義組成部分的概念，亦即感性經(jīng)驗(yàn)。例如，要學(xué)習(xí)方程的概念，學(xué)生必須首先掌握等式、未知數(shù)等概念，只有如此才能保證學(xué)會(huì)方程的概念，否則，缺乏學(xué)習(xí)方程的前提條件。因此，感性經(jīng)驗(yàn)的豐富與否，將直接影響到學(xué)生對概念的掌握。（二） 概括能力的水平 心理學(xué)研究表明：概括是人們形成和掌握概念的直接前提，沒有概括就不可能形成概念，對具有共同屬性的數(shù)學(xué)事物只有通過概括才能闡明其本質(zhì)屬性和給出概念的定義。 （三） 辯證思維能力水平 對概念比較、分化、類比找出其屬性并區(qū)別于其它的概念，這些工作的完成好壞很大程度上取決于學(xué)生辯證思維水平

6、的高低。如平方與開方、乘與除、加與減等這些對立統(tǒng)一的矛盾事物，引導(dǎo)學(xué)生用矛盾論這個(gè)辯證思維去理解這些概念，就易于學(xué)習(xí)掌握。 二、學(xué)生概念學(xué)習(xí)中的思維障礙及原因現(xiàn)列舉中學(xué)生在數(shù)學(xué)概念認(rèn)識中的一些常見的錯(cuò)誤:(1)運(yùn)算過程中受正負(fù)號困擾，法則遷移困難(2)認(rèn)為是分式(3)認(rèn)為成立(4)混淆(5)不理解幾何中“距離”的定義(6)分不清全等三角形的對應(yīng)角與對應(yīng)邊(7)分不清有理數(shù)與無理數(shù)的區(qū)別(8)認(rèn)為是正確的通過剖析以上錯(cuò)誤，與影響概念認(rèn)知的因素相聯(lián)系，我們可以得出產(chǎn)生錯(cuò)誤認(rèn)知的原因：（一） 對新概念實(shí)物模型或原有概念認(rèn)知模糊 如在小學(xué)階段長期接觸的是算術(shù)數(shù)，在日常生活中也習(xí)慣使用算術(shù)數(shù)，對負(fù)數(shù)在生

7、活中的認(rèn)知不足，因而負(fù)數(shù)認(rèn)知系統(tǒng)不完整，導(dǎo)致對初中的負(fù)數(shù)的概念缺乏感性認(rèn)識，因而難以建立負(fù)數(shù)的概念。又如學(xué)習(xí)“直棱柱”概念時(shí)，若對“棱柱”這個(gè)原有概念認(rèn)識不清，當(dāng)然就談不上對直棱柱概念的學(xué)習(xí)了。（二）數(shù)學(xué)概括能力差，對數(shù)學(xué)概念只憑感覺去認(rèn)知，而沒有用數(shù)學(xué)的理性語言去概括與定義，導(dǎo)致對概念理解模棱兩可，難以抓住本質(zhì)屬性。如認(rèn)為是分式的理由是其含有分?jǐn)?shù)，因而是分式，此理解的錯(cuò)誤在于沒有概括出分式的本質(zhì)特性，而想當(dāng)然地把分式概念認(rèn)為是所有含有分?jǐn)?shù)的式子。又如把圖中點(diǎn)A到直線的“距離”與日常生活中“路程”的概念相混淆而產(chǎn)生的。 (三) 概念在獲得后，沒有鞏固和深化，沒有進(jìn)一步地探尋該概念與其它概念的聯(lián)

8、系與區(qū)別。如對和的平方與平方的和缺乏比較對照，而認(rèn)為；又如：獲得分?jǐn)?shù)的概念后卻不去發(fā)展與深化，沒有同無限循環(huán)小數(shù)聯(lián)系起來，導(dǎo)致把分?jǐn)?shù)與無限循環(huán)小數(shù)割裂開來，認(rèn)為是兩個(gè)不同的數(shù)學(xué)事物。 三、對概念教學(xué)的幾點(diǎn)看法 （一）引入現(xiàn)實(shí)模型，堅(jiān)持概念唯物論 如果離開了客觀存在，離開了從現(xiàn)實(shí)世界獲得的經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)概念也就成了空中樓閣，成為主觀上人造的產(chǎn)物，學(xué)生接受起來當(dāng)然就困難了。因此，要學(xué)生形成準(zhǔn)確概念的首要條件是史學(xué)生活的豐富和合乎實(shí)際的感性材料，讓學(xué)生懂得概念也是一種客觀物質(zhì)的反映，是存在于現(xiàn)實(shí)世界中的。這就要求我們在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，要盡量做到密切聯(lián)系實(shí)際，引導(dǎo)學(xué)生分析日常生活中常見事例，觀察有關(guān)實(shí)物

9、或模型等，在感性認(rèn)識基礎(chǔ)上建立概念。例如教學(xué)“平行線”概念時(shí)，由于學(xué)生對平行線實(shí)例了解比較多，像書桌、課本的左右線或上下邊緣線等，就可以從這些實(shí)際存在的實(shí)物中直接抽象出平行線的概念：在同一平面中的兩條不相交的直線。又如講“拋物線”時(shí)，讓學(xué)生回憶投鉛球時(shí)鉛球在空中運(yùn)行的軌跡，就可使學(xué)生得到對拋物線的感性認(rèn)識，有利于對拋物線的學(xué)習(xí)。（二）對概念作辯證分析 黑格爾指出：“每一概念都處在和其余一切概念的一定關(guān)系中，一定聯(lián)系中?！币箤W(xué)生對概念有清楚、準(zhǔn)確地理解，還必須在感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上，對概念作辯證分析，即通過對比、類比、分析、列舉范例、聯(lián)系與區(qū)別等辯證方法來講解概念，將有助于加深學(xué)生對概念的理解。例

10、如“一元一次方程”概念，是建立在“元”“次”“方程”這三個(gè)概念基礎(chǔ)上的，只有把“一元一次方程”同這幾個(gè)概念聯(lián)系起來講解，才能使學(xué)生抓住一元一次方程的本質(zhì)。初中數(shù)學(xué)中的乘方與冪、解方程與方程的解等這些既有聯(lián)系又有區(qū)別的概念；正與負(fù)、數(shù)與式、因式分解與整式乘除等對立統(tǒng)一的概念，在講解時(shí)可通過對比、類比、聯(lián)系與區(qū)別的方法讓學(xué)生加以理解。又例如數(shù)的運(yùn)算與式的運(yùn)算可以通過與其對立面溝通，數(shù)的大部分運(yùn)算法則可以遷移到式的運(yùn)算中去，而式的運(yùn)算又使數(shù)的運(yùn)算得以鞏固和深化。（三）堅(jiān)持實(shí)踐論，在實(shí)踐中鞏固和發(fā)展學(xué)生對概念的認(rèn)知 “實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)”“實(shí)踐出真知”。數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)也是這樣，由現(xiàn)實(shí)原型抽象出數(shù)

11、學(xué)概念后，認(rèn)知并沒有結(jié)束，還需再回到實(shí)踐中去，讓學(xué)生在實(shí)踐中運(yùn)用概念，在運(yùn)用中加深對概念的理解。因此，數(shù)學(xué)知識的必要重復(fù)不能歸納為簡單的反饋與鞏固，而是必要的再認(rèn)識過程，對原有知識的重復(fù)學(xué)習(xí)可以使知識上升到一個(gè)更高的層次。差生由于不能體會(huì)到數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐并反作用于實(shí)踐，很難把數(shù)學(xué)思維引向課堂以外的活動(dòng)。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)堅(jiān)持實(shí)踐的觀點(diǎn)，針對學(xué)生的一些錯(cuò)誤認(rèn)識，從典型事例中讓他們逐漸加深對概念的領(lǐng)悟。例如: 化簡時(shí)，學(xué)生易犯錯(cuò)誤為：原式=，此處忽略了算術(shù)根的被開方數(shù)必須為正數(shù)的條件。通過一些實(shí)踐練習(xí)，使學(xué)生對算數(shù)根有了更進(jìn)一步深刻而準(zhǔn)確地理解，從而更加好的掌握了相應(yīng)的概念。（四）注重啟發(fā)學(xué)生思

12、維，培養(yǎng)探索精神與興趣 在高中數(shù)學(xué)起始教學(xué)中，教師必須著重了解和掌握學(xué)生的基礎(chǔ)知識狀況，尤其在講解新知識時(shí)，要嚴(yán)格遵循學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的階段性特點(diǎn)，照顧到學(xué)生認(rèn)知水平的個(gè)性差異，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體意識，發(fā)展學(xué)生的主動(dòng)精神，培養(yǎng)學(xué)生良好的意志品質(zhì)；同時(shí)要培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。興趣是最好的老師，學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有了興趣，才能產(chǎn)生數(shù)學(xué)思維的興奮灶，也就是更大程度地預(yù)防學(xué)生思維障礙的產(chǎn)生。教師可以幫助學(xué)生進(jìn)一步明確學(xué)習(xí)的目的性，針對不同學(xué)生的實(shí)際情況，因材施教，分別給他們提出新的更高的奮斗目標(biāo)，使學(xué)生有一種“跳一跳，就能摸到桃”的感覺，提高學(xué)生學(xué)好高中數(shù)學(xué)的信心。 例：高一年級學(xué)生剛進(jìn)校時(shí)，一般我們都要復(fù)習(xí)一下二次函數(shù)的內(nèi)容，而二次函數(shù)中最大、最小值尤其是含參數(shù)的二次函數(shù)的最大、小值的求法學(xué)生普遍感到比較困難，為此我作了如下題型設(shè)計(jì)，對突破學(xué)生的這個(gè)難點(diǎn)問題有很大的幫助，而且在整個(gè)操作過程中，學(xué)生普遍（包括基礎(chǔ)差的學(xué)生）情緒亢奮，思維始終保持活躍。設(shè)計(jì)如下：1求出下列函數(shù)在x0，3時(shí)的最大、最小值：(1)y=（x1）21， (2)y=（x1）21， (3)y=（x4）21 2求函數(shù)y=x22axa22，x0，3時(shí)的最小值。 3求函數(shù)y=x22x2，xt，t1的最小值。 上述設(shè)計(jì)層層遞進(jìn)，每做完一題，適時(shí)指出解決這類問題的要點(diǎn)，大大