概率的定義及其確定方法

1、事件的事件的概率概率就是事件發(fā)生的可能性大小的一個(gè)數(shù)值度量就是事件發(fā)生的可能性大小的一個(gè)數(shù)值度量. 更重要的是對(duì)事件出現(xiàn)的可能性的大小有一更重要的是對(duì)事件出現(xiàn)的可能性的大小有一個(gè)定量的描述個(gè)定量的描述.2 概率的定義及其確定方法概率的定義及其確定方法 研究隨機(jī)現(xiàn)象不僅關(guān)心試驗(yàn)中會(huì)出現(xiàn)哪些事件，或者某事研究隨機(jī)現(xiàn)象不僅關(guān)心試驗(yàn)中會(huì)出現(xiàn)哪些事件，或者某事件發(fā)生的可能性大不大，件發(fā)生的可能性大不大， 準(zhǔn)確了準(zhǔn)確了解事件發(fā)生的可能性即概率的大小，對(duì)人們的生活有重要意義解事件發(fā)生的可能性即概率的大小，對(duì)人們的生活有重要意義. 即只有一個(gè)定性的描述是不夠的，即只有一個(gè)定性的描述是不夠的， 這就需要有一個(gè)度

2、量事件發(fā)生可能性大小的數(shù)量指這就需要有一個(gè)度量事件發(fā)生可能性大小的數(shù)量指標(biāo)，標(biāo)， 了解來(lái)商場(chǎng)購(gòu)物的顧客人數(shù)的各種可能性了解來(lái)商場(chǎng)購(gòu)物的顧客人數(shù)的各種可能性大小，合理配置服務(wù)人員大小，合理配置服務(wù)人員. . 了解每年最大洪水超警了解每年最大洪水超警戒線可能性大小，合理確定戒線可能性大小，合理確定堤壩高度堤壩高度. . 例如，了解發(fā)生意外人身事故的可能性大小例如，了解發(fā)生意外人身事故的可能性大小,確定保險(xiǎn)金額確定保險(xiǎn)金額. .特殊特殊1933年年, kolmogorov 柯?tīng)柲缏宸蚩聽(tīng)柲缏宸?隨機(jī)試驗(yàn)所有可能結(jié)果隨機(jī)試驗(yàn)所有可能結(jié)果為為有限個(gè)等可能有限個(gè)等可能的情形；的情形； 將等可能思想發(fā)展

3、到含將等可能思想發(fā)展到含無(wú)窮多個(gè)元素的樣本空間無(wú)窮多個(gè)元素的樣本空間 輸光、得輸光、得分問(wèn)題分問(wèn)題 克服等可能克服等可能觀點(diǎn)不易解觀點(diǎn)不易解決的問(wèn)題決的問(wèn)題 公理化定義公理化定義古典、幾何定義古典、幾何定義 頻率定義頻率定義 但在此基礎(chǔ)但在此基礎(chǔ)上建立起了概率論的宏偉大廈上建立起了概率論的宏偉大廈. 它們它們?cè)谟?jì)算概率時(shí)很有用，尤其是加法公式在計(jì)算概率時(shí)很有用，尤其是加法公式.若對(duì)于若對(duì)于 中的每一個(gè)事件中的每一個(gè)事件A F F，定義在，定義在F F上的一個(gè)實(shí)值函數(shù)上的一個(gè)實(shí)值函數(shù) P( (A) )滿(mǎn)足：滿(mǎn)足：( (2) ) P( ( ) )= 1 ， ( (3) ) 若事件若事件A1 , A

4、2 , , An , 兩兩互不相容，則有兩兩互不相容，則有 )()()()(2121nnAPAPAPAAAP( (1) ) 若事件若事件A F，則，則 P( (A) ) 0 ， 設(shè)設(shè) 是一個(gè)樣本空間是一個(gè)樣本空間, F F 為的某些子集組成的一個(gè)事件域?yàn)榈哪承┳蛹M成的一個(gè)事件域,1.2.1 概率的公理化定義概率的公理化定義 定義定義2 稱(chēng)稱(chēng)P( (A) )為為事件事件A的概率的概率， 在學(xué)習(xí)幾何和代數(shù)時(shí)，我們已經(jīng)知道公理是數(shù)學(xué)體系的基礎(chǔ)在學(xué)習(xí)幾何和代數(shù)時(shí)，我們已經(jīng)知道公理是數(shù)學(xué)體系的基礎(chǔ). 柯?tīng)柲缏宸蛱岢龅墓頌閿?shù)很少且極為簡(jiǎn)單，柯?tīng)柲缏宸蛱岢龅墓頌閿?shù)很少且極為簡(jiǎn)單，非負(fù)性非負(fù)性 正則

5、性正則性 可列可列可加性可加性 由概率的三條公理，我們可推導(dǎo)出概率的若干重要性質(zhì)由概率的三條公理，我們可推導(dǎo)出概率的若干重要性質(zhì). 數(shù)學(xué)上所說(shuō)的數(shù)學(xué)上所說(shuō)的“公理公理”，就是一些不加證明而公認(rèn)的前提，就是一些不加證明而公認(rèn)的前提，然后以此為基礎(chǔ)，推演出所討論對(duì)象的進(jìn)一步的內(nèi)容然后以此為基礎(chǔ)，推演出所討論對(duì)象的進(jìn)一步的內(nèi)容.稱(chēng)三元素稱(chēng)三元素( ( ,F,F, P ) )為為概率空間概率空間 . 則從甲城到則從甲城到乙城去旅游就有乙城去旅游就有 5+3+2= 10 個(gè)班次可供選擇個(gè)班次可供選擇. . 無(wú)論通無(wú)論通過(guò)哪種方法都可以完成這件事，過(guò)哪種方法都可以完成這件事，1.2.2 排列與組合公式排列

6、與組合公式 這里我們先簡(jiǎn)要復(fù)習(xí)一下計(jì)算古典概率所要用到的兩個(gè)這里我們先簡(jiǎn)要復(fù)習(xí)一下計(jì)算古典概率所要用到的兩個(gè)基本計(jì)基本計(jì)數(shù)原理數(shù)原理.( (1) ) 加法原理加法原理 設(shè)完成一件事有設(shè)完成一件事有m種方式，種方式， 第一種方式有第一種方式有n1種方法，種方法，第二種方式有第二種方式有n2種方法種方法, ； 第第m種方式有種方式有nm種方法，種方法， 則完成這件事總共有則完成這件事總共有 n1 + n2 + + nm 種方法種方法 . . 例如例如， 甲城到乙城有甲城到乙城有3條旅游路線，條旅游路線， 乙城到丙城有乙城到丙城有2條旅游路線，條旅游路線， 則從甲城經(jīng)乙城到丙城就有則從甲城經(jīng)乙城到丙

7、城就有 3 2= 6 條旅游路線條旅游路線. . 則完成這件事共有則完成這件事共有種不同的方法種不同的方法. .mnnn 21( (2) )乘法原理乘法原理 設(shè)完成一件事有設(shè)完成一件事有m個(gè)步驟，個(gè)步驟， 第一個(gè)步驟有第一個(gè)步驟有n1種方法，種方法，第二個(gè)步驟有第二個(gè)步驟有n2種方法，種方法， ； 第第m個(gè)步驟有個(gè)步驟有nm種方法，種方法， 它們不但可以直接解決不少具體問(wèn)題，同時(shí)也是推導(dǎo)常用它們不但可以直接解決不少具體問(wèn)題，同時(shí)也是推導(dǎo)常用排列組合公式的基礎(chǔ)排列組合公式的基礎(chǔ) . .例如，例如， 甲城到乙城去旅游有甲城到乙城去旅游有3類(lèi)交通工具：汽車(chē)、火車(chē)和飛機(jī)，類(lèi)交通工具：汽車(chē)、火車(chē)和飛機(jī)，

8、 而汽車(chē)有而汽車(chē)有5個(gè)班次，個(gè)班次， 火車(chē)有火車(chē)有5個(gè)班次，個(gè)班次， 飛機(jī)有飛機(jī)有2個(gè)班次，個(gè)班次， 此種重復(fù)此種重復(fù)排列的總數(shù)為排列的總數(shù)為 (1)(1)排列排列 從從n個(gè)不同元素取個(gè)不同元素取 r 個(gè)個(gè)( (r n) )排成一列排成一列( (考慮先后順序考慮先后順序) )， 稱(chēng)其為一個(gè)稱(chēng)其為一個(gè)排列排列. . !)(nnnnpPnnn1221排列、組合的定義及其計(jì)算公式排列、組合的定義及其計(jì)算公式)!(!)()(knnknnnnpkn121(2)(2)重復(fù)重復(fù)排列排列 從從n個(gè)不同元素中每次取個(gè)不同元素中每次取1個(gè)，放回后再取下一個(gè)，個(gè)，放回后再取下一個(gè)，r = n時(shí)稱(chēng)時(shí)稱(chēng)全排列全排列.

9、. 由乘法原理，此種排列的總數(shù)為由乘法原理，此種排列的總數(shù)為 顯然顯然 如此連續(xù)取如此連續(xù)取r 次次( (r可以大于可以大于n) )所得的排列稱(chēng)為所得的排列稱(chēng)為重復(fù)排列重復(fù)排列， rn 此種重復(fù)此種重復(fù)組合的總數(shù)為組合的總數(shù)為 由乘法原理，由乘法原理，組合總數(shù)為組合總數(shù)為此種組合的總數(shù)記為此種組合的總數(shù)記為 或或 ， ! )(!kknnkPCknkn (3)(3)組合組合knC kn從從n個(gè)不同元素任取個(gè)不同元素任取 k 個(gè)個(gè)( ( k n) )并成一組并成一組( (不考慮先后順序不考慮先后順序) )，稱(chēng)其為一個(gè)稱(chēng)其為一個(gè)組合組合. . (2)(2)重復(fù)重復(fù)組合組合 從從n個(gè)不同元素中每次取個(gè)

10、不同元素中每次取1個(gè)，放回后再取下一個(gè)，個(gè)，放回后再取下一個(gè)，如此連續(xù)取如此連續(xù)取r 次次( (r可以大于可以大于n) )所得的組合稱(chēng)為所得的組合稱(chēng)為重復(fù)組合重復(fù)組合， 1 rnrC 使用排列組合的概念與公式時(shí)，應(yīng)注意其對(duì)有序與無(wú)序、使用排列組合的概念與公式時(shí)，應(yīng)注意其對(duì)有序與無(wú)序、重復(fù)與不重復(fù)的要求重復(fù)與不重復(fù)的要求. 則稱(chēng)則稱(chēng)n( (A) )為為事件事件A 發(fā)生的發(fā)生的頻數(shù)頻數(shù),稱(chēng)比值稱(chēng)比值 為事件為事件 A 在在 n 次試驗(yàn)中出現(xiàn)的次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率頻率, 定義定義1 如果在如果在 n 次重復(fù)試驗(yàn)中事件次重復(fù)試驗(yàn)中事件A 發(fā)生了發(fā)生了n( (A) )次次, nAn)(記為記為 f n (

11、 A )，nAnAfn)()( 即即A 發(fā)生的發(fā)生的頻繁程度頻繁程度 基本性質(zhì)基本性質(zhì);1)(0)1( Afn( (3) ) 設(shè)設(shè)A1, A2, , Ak 兩兩互不相容的事件，則兩兩互不相容的事件，則;1)()2( nf)()()()(2121knnnknAfAfAfAAAf 穩(wěn)定性穩(wěn)定性事件的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性事件的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性 ？非負(fù)性非負(fù)性 正規(guī)性正規(guī)性 有限有限可加性可加性 1.2.3 確定概率的頻率方法確定概率的頻率方法參見(jiàn)參見(jiàn)P14 的的三個(gè)例子三個(gè)例子 即滿(mǎn)足公理化定義即滿(mǎn)足公理化定義. 并且當(dāng)并且當(dāng)實(shí)驗(yàn)重復(fù)次數(shù)實(shí)驗(yàn)重復(fù)次數(shù) n 較大時(shí)，可用頻率給出概率的一個(gè)近似值較大時(shí)，可用頻率給出概率

12、的一個(gè)近似值. 用頻率確定概率是一種常用的方法. 其基本思想是：其基本思想是： (1) (1) 與考察事件與考察事件 A 有關(guān)的隨機(jī)現(xiàn)象可大量重復(fù)進(jìn)行；有關(guān)的隨機(jī)現(xiàn)象可大量重復(fù)進(jìn)行； (2) (2) 人們長(zhǎng)期實(shí)踐表明：人們長(zhǎng)期實(shí)踐表明： 隨著實(shí)驗(yàn)重復(fù)次數(shù)隨著實(shí)驗(yàn)重復(fù)次數(shù) n 的增加，的增加，頻率頻率 f n( (A) )會(huì)穩(wěn)定在某一常數(shù)會(huì)穩(wěn)定在某一常數(shù) a 附近，附近，稱(chēng)常數(shù)稱(chēng)常數(shù) a 為頻率的為頻率的穩(wěn)定值穩(wěn)定值；這個(gè)頻率的穩(wěn)定值就是我們所求的概率；這個(gè)頻率的穩(wěn)定值就是我們所求的概率； (3) (3) 頻率方法的缺點(diǎn)頻率方法的缺點(diǎn) 現(xiàn)實(shí)中，人們無(wú)法把一個(gè)實(shí)驗(yàn)無(wú)現(xiàn)實(shí)中，人們無(wú)法把一個(gè)實(shí)驗(yàn)無(wú)限次

13、地重復(fù)下去，限次地重復(fù)下去， 因此要精確地得到頻率的穩(wěn)定值是困難的因此要精確地得到頻率的穩(wěn)定值是困難的. 但頻率方法提供了概率的一個(gè)可供想象的具體值，但頻率方法提供了概率的一個(gè)可供想象的具體值， 故故稱(chēng)頻率為概率的稱(chēng)頻率為概率的估計(jì)值估計(jì)值. 這正是頻率方法最有價(jià)值的地方這正是頻率方法最有價(jià)值的地方. 1.2.4 確定概率的古典方法確定概率的古典方法古典方法的基本思想古典方法的基本思想 ：(1) (1) 樣本空間樣本空間 只有有限多個(gè)樣本點(diǎn)，只有有限多個(gè)樣本點(diǎn)， (2) (2) 每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等，每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等， ;,21n 即即等可能性等可能性這樣就把求概率問(wèn)題轉(zhuǎn)化為這

14、樣就把求概率問(wèn)題轉(zhuǎn)化為計(jì)數(shù)問(wèn)題計(jì)數(shù)問(wèn)題 .設(shè)事件設(shè)事件 A 由由 k 個(gè)樣本點(diǎn)組成個(gè)樣本點(diǎn)組成 ，即，即由可加性知由可加性知 A 的概率為：的概率為：, ,21kiiiA )()()(21kiiiPPP nk A 包含的樣本點(diǎn)數(shù)包含的樣本點(diǎn)數(shù) 中的樣本點(diǎn)總數(shù)中的樣本點(diǎn)總數(shù) 中的樣本點(diǎn)總數(shù)中的樣本點(diǎn)總數(shù)包含的樣本點(diǎn)數(shù)包含的樣本點(diǎn)數(shù) Ank )(AP稱(chēng)此概率為稱(chēng)此概率為古典概率古典概率. 這種確定概率的方法稱(chēng)為這種確定概率的方法稱(chēng)為古典方法古典方法 . 同時(shí)擲兩枚均勻硬幣同時(shí)擲兩枚均勻硬幣, 分別求事件分別求事件A = 兩枚都出現(xiàn)正面兩枚都出現(xiàn)正面, , B = 一枚出現(xiàn)反面一枚出現(xiàn)反面 和和 C

15、 = 兩枚都出現(xiàn)反面兩枚都出現(xiàn)反面 的概率的概率. 解解 同時(shí)擲兩枚硬幣有同時(shí)擲兩枚硬幣有 4 個(gè)等可能的結(jié)果，即樣本空間為個(gè)等可能的結(jié)果，即樣本空間為例例1 1(P(P1414 例例9) ) =(正正, ,正正) ), ( (正正, ,反反) ), ( (反反, ,正正) ), ( (反反, ,反反)4 個(gè)等可能個(gè)等可能古典概型古典概型又事件又事件A, B, C 分別包含分別包含 1個(gè)、個(gè)、2個(gè)和個(gè)和 1個(gè)樣本點(diǎn)，個(gè)樣本點(diǎn)，;41)( AP;2142)( BP.41)( CP 排列組合是計(jì)算古典概率的重要工具排列組合是計(jì)算古典概率的重要工具 列列 舉舉 法法(2)(2) 先任取一只先任取一只

16、, 作測(cè)試后不放回作測(cè)試后不放回, 在剩下的中再任取一只在剩下的中再任取一只. 一個(gè)盒子中裝有一個(gè)盒子中裝有10個(gè)大小、形狀完全相同的晶體管，個(gè)大小、形狀完全相同的晶體管，其中其中 3 只是次品只是次品. 例例2 (P(P14 例例10) ) 按下列兩種方法抽取晶體管：按下列兩種方法抽取晶體管：(1)(1) 先任取一只先任取一只, 作測(cè)試后放回盒中作測(cè)試后放回盒中, 再任取下一只；再任取下一只；有放回抽樣有放回抽樣無(wú)放回抽樣無(wú)放回抽樣 試分別對(duì)這兩種抽樣方法試分別對(duì)這兩種抽樣方法, 求從這求從這10只晶體只晶體管任取管任取 2 只中，恰有一只是次品的概率只中，恰有一只是次品的概率.解解 設(shè)設(shè)

17、A = 抽取的抽取的 2 2 只晶體管中恰有一只是次品只晶體管中恰有一只是次品 ( (1) )有放回抽樣：有放回抽樣：由于每次都是從由于每次都是從10只中取只中取 10 10 種取法種取法 即即 的樣本點(diǎn)數(shù)的樣本點(diǎn)數(shù) n = 10 2，第第 1 次取到合格品，且第次取到合格品，且第 2 次取到次品次取到次品第第 1 次取到次品，且第次取到次品，且第 2 次取到合格品次取到合格品A: 7 3 3 7 共有共有 7 3 + 3 7 = 42 種取法種取法 古典概型古典概型 .10042)( AP( (2) )無(wú)放回抽樣：無(wú)放回抽樣： 第第 1 次是從次是從10只中取只中取, 第第 2 次是從次是從

18、 9 只中取，只中取， 10 9 種取法種取法 即即 的樣本點(diǎn)數(shù)的樣本點(diǎn)數(shù) n = 10 9，A: 共有共有 7 3 + 3 7 = 42 種取法種取法 古典概型古典概型 .9042)( AP 現(xiàn)從這現(xiàn)從這 N 件中任件中任取取 n 件件( (不放回不放回) ), 設(shè)有設(shè)有 N 件產(chǎn)品件產(chǎn)品, 其中有其中有 M 件次品件次品, 解解,)(nNmnMNmMCCCAP 例例3( (抽樣模型抽樣模型) ) 設(shè)設(shè) A = 恰抽到恰抽到 m 件次品件次品 求其中恰有求其中恰有 m 件次品的概率件次品的概率.次品次品正品正品N M 件正件正品品 含的樣本點(diǎn)數(shù)為含的樣本點(diǎn)數(shù)為 , nNC只能取自只能取自 M

19、 件次品件次品A 的次品有的次品有 種取法，種取法， mMCA 的正品有的正品有 種取法，種取法， mnMNC 故故 A 含的樣本點(diǎn)數(shù)為含的樣本點(diǎn)數(shù)為 , mnMNmMCC . ,min, 2, 1nMm 超幾何分布超幾何分布的概率公式的概率公式 在電話號(hào)碼簿中任取一個(gè)電話號(hào)碼在電話號(hào)碼簿中任取一個(gè)電話號(hào)碼, ,求后面求后面 4 4個(gè)個(gè)數(shù)字全不同的概率數(shù)字全不同的概率( (設(shè)后面設(shè)后面 4 4個(gè)數(shù)中的每一個(gè)數(shù)都是等可能地取個(gè)數(shù)中的每一個(gè)數(shù)都是等可能地取自自 0- -9 這這 10 個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)) ). . 解解 所求概率與號(hào)碼的位數(shù)無(wú)關(guān)所求概率與號(hào)碼的位數(shù)無(wú)關(guān), 允許重復(fù)允許重復(fù) 求求樣本空間樣本

20、點(diǎn)總數(shù)樣本空間樣本點(diǎn)總數(shù) 和和 求求事件所含樣本點(diǎn)數(shù)事件所含樣本點(diǎn)數(shù) 的計(jì)數(shù)方法不同的計(jì)數(shù)方法不同 從從10個(gè)不同數(shù)字中個(gè)不同數(shù)字中取取4個(gè)的排列個(gè)的排列 例例4(P(P15 例例12) ) 設(shè)設(shè) A = 后后 4 4 位數(shù)字全不相同位數(shù)字全不相同 , 含樣本點(diǎn)數(shù)含樣本點(diǎn)數(shù): 10 4,A 所含樣本點(diǎn)數(shù)為所含樣本點(diǎn)數(shù)為 , 410A. 405. 010)(4410 AAP 求這求這 4 只鞋子中至少有只鞋子中至少有 2 只只配成一雙鞋的概率配成一雙鞋的概率？解解方法方法 1樣本空間樣本點(diǎn)數(shù)為樣本空間樣本點(diǎn)數(shù)為 , 410C12122415CCCC 5 雙不同的鞋中任取雙不同的鞋中任取 4 只，

21、只，例例5(P(P16 例例13) ) 設(shè)設(shè) A= 取的取的 4 只鞋子中至少有只鞋子中至少有 2 只配成一雙只配成一雙 , , 25C2512122415CCCCC 先從先從5雙中任取雙中任取 1雙雙從余下的從余下的 4 雙中任取雙中任取 2雙雙從這從這 2雙中各任取雙中各任取 1只只 A= 4 只鞋中恰有只鞋中恰有 2 只配成一雙只配成一雙 4 只鞋恰好配成兩雙只鞋恰好配成兩雙 .2113)(4102512122415 CCCCCCAP方法方法 2 A 取的取的 4 只鞋子中沒(méi)有成雙的只鞋子中沒(méi)有成雙的 ,先從先從5雙中任取雙中任取 4 雙雙 在從這在從這4雙中各取雙中各取 1只只4111

22、152222CCCCC 4111152222410813()1()11.2121CCCCCP AP AC 所求為所求為“至少至少”或或“至多至多”的問(wèn)題，用余概公式簡(jiǎn)單的問(wèn)題，用余概公式簡(jiǎn)單還有其它解法嗎？還有其它解法嗎？錯(cuò)在何處？錯(cuò)在何處？在用排列組合公式計(jì)算古典概型時(shí)在用排列組合公式計(jì)算古典概型時(shí)必須注意不要重復(fù)計(jì)數(shù)，也不要遺漏必須注意不要重復(fù)計(jì)數(shù)，也不要遺漏 從從5雙不同的鞋中任取雙不同的鞋中任取4只，求這只，求這 4 只鞋中至少有只鞋中至少有 2 只配只配成一雙鞋的概率成一雙鞋的概率？4102815)(CCCAP 先從先從5雙中任取雙中任取 1雙雙從余下的從余下的 8只中任取只中任取

23、2只只32 410252815)(CCCCAP 15C28C這這 2只鞋有只鞋有“不不成雙成雙”和和“成成雙雙”兩種情形兩種情形與與5雙中任取一雙雙中任取一雙時(shí)已出現(xiàn)時(shí)已出現(xiàn)“4只恰只恰有兩雙有兩雙”的情形重的情形重復(fù)復(fù)正確做法正確做法 多算了多算了 種種25C解法解法 3 同樣的同樣的“4只配成兩雙只配成兩雙”算了兩次算了兩次 P( (A) )= “等可能性等可能性”是一種假設(shè)，在實(shí)際應(yīng)用中，我們需要根據(jù)實(shí)際情況去判是一種假設(shè)，在實(shí)際應(yīng)用中，我們需要根據(jù)實(shí)際情況去判斷是否可以認(rèn)為各基本事件或樣本點(diǎn)是等可能的斷是否可以認(rèn)為各基本事件或樣本點(diǎn)是等可能的. 1、在應(yīng)用古典概型時(shí)必須注意、在應(yīng)用古典

24、概型時(shí)必須注意“等可能性等可能性”的條件的條件再次提醒注意：再次提醒注意： 在實(shí)際應(yīng)用中，往往只能在實(shí)際應(yīng)用中，往往只能“近似地近似地”出現(xiàn)等可能，出現(xiàn)等可能，“完全地完全地”等可能是等可能是很難見(jiàn)到的很難見(jiàn)到的. 在許多場(chǎng)合，在許多場(chǎng)合，由對(duì)稱(chēng)性和均衡性，由對(duì)稱(chēng)性和均衡性，我們就可以認(rèn)為基本事件是等可我們就可以認(rèn)為基本事件是等可能的并在此基礎(chǔ)上計(jì)算事件的概率能的并在此基礎(chǔ)上計(jì)算事件的概率.2、用排列組合公式計(jì)算樣本點(diǎn)數(shù)時(shí)必須注意不要重復(fù)計(jì)數(shù)，也、用排列組合公式計(jì)算樣本點(diǎn)數(shù)時(shí)必須注意不要重復(fù)計(jì)數(shù)，也不要遺漏不要遺漏例例6 擲兩枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和等于擲兩枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和等于3 的概率的概率

25、.解解 擲兩枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和的可能數(shù)值為擲兩枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和的可能數(shù)值為 2, 3, 4, , 12 , , .111)( AP =(1,1) ), ( (1,2) ), ( (2,1) ), ( (1,3) ), ( (6,6) ) 26 6.181 3、所求為、所求為“至少至少”或或“至多至多”的問(wèn)題，用余概公式簡(jiǎn)單的問(wèn)題，用余概公式簡(jiǎn)單 例例5 4、許多表面上提法不同的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上屬于同一類(lèi)型、許多表面上提法不同的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上屬于同一類(lèi)型 有有n個(gè)人個(gè)人, 每個(gè)人都以相同的概率每個(gè)人都以相同的概率1/N( (Nn) )被分在被分在 N 間房的每一間中間房的每一間中, 求指定的求指定的

26、n間房中各間房中各有一人的概率有一人的概率.人人房房4、許多表面上提法不同的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上屬于同一類(lèi)型、許多表面上提法不同的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上屬于同一類(lèi)型 有有n個(gè)人，設(shè)每個(gè)人的生日是任一天的概率個(gè)人，設(shè)每個(gè)人的生日是任一天的概率為為1/365. 求這求這n ( (n 365) )個(gè)人的生日互不相同個(gè)人的生日互不相同的概率的概率.人人任一天任一天 有有n 個(gè)旅客個(gè)旅客, 乘火車(chē)途經(jīng)乘火車(chē)途經(jīng)N個(gè)車(chē)站，設(shè)每個(gè)車(chē)站，設(shè)每個(gè)人在每站下車(chē)的概率為個(gè)人在每站下車(chē)的概率為1/ N( (N n),), 求指求指定的定的 n 個(gè)站各有一人下車(chē)的概率個(gè)站各有一人下車(chē)的概率.旅客旅客車(chē)站車(chē)站 某城市每周發(fā)生某城市每周發(fā)生7次

27、車(chē)禍次車(chē)禍, 假設(shè)每天發(fā)生假設(shè)每天發(fā)生車(chē)禍的概率相同車(chē)禍的概率相同. 求每天恰好發(fā)生一次車(chē)禍求每天恰好發(fā)生一次車(chē)禍的概率的概率.車(chē)禍車(chē)禍天天分分球球入入箱箱 是常見(jiàn)的幾種模型是常見(jiàn)的幾種模型 .箱中摸球箱中摸球 分球入箱分球入箱 隨機(jī)取數(shù)隨機(jī)取數(shù) 分組分配分組分配 我們介紹了古典概型我們介紹了古典概型. 古典概型的定義簡(jiǎn)單，但計(jì)算復(fù)雜，應(yīng)用方面多古典概型的定義簡(jiǎn)單，但計(jì)算復(fù)雜，應(yīng)用方面多. 例例5例例2、3 設(shè)有設(shè)有 n 個(gè)球，每個(gè)都以相同的概率個(gè)球，每個(gè)都以相同的概率 1/N(N n) 落入落入 N 個(gè)箱子個(gè)箱子中的每一個(gè)中中的每一個(gè)中. 根據(jù)不同條件，分別求事件根據(jù)不同條件，分別求事件 A

28、= 某預(yù)某預(yù)先指定的先指定的 n 個(gè)箱子中各有一球個(gè)箱子中各有一球 的概率的概率 p .1. 球編號(hào)球編號(hào)2. 球不編號(hào)球不編號(hào)每個(gè)箱子只容納一個(gè)球每個(gè)箱子只容納一個(gè)球每個(gè)箱子容納的球數(shù)不限每個(gè)箱子容納的球數(shù)不限每個(gè)箱子只容納一個(gè)球每個(gè)箱子只容納一個(gè)球每個(gè)箱子容納的球數(shù)不限每個(gè)箱子容納的球數(shù)不限 nnNnNnCCNnNNN1) 1() 1( 而與該區(qū)域的位置而與該區(qū)域的位置和形狀無(wú)關(guān)和形狀無(wú)關(guān))， 就形就形 成了確定概率的另一方法成了確定概率的另一方法幾何方法幾何方法. 這無(wú)限多個(gè)樣本點(diǎn)可表示為一個(gè)有度量的幾何區(qū)域時(shí)這無(wú)限多個(gè)樣本點(diǎn)可表示為一個(gè)有度量的幾何區(qū)域時(shí), 借助于古典概率的定義，設(shè)想仍

29、用借助于古典概率的定義，設(shè)想仍用“事件的概率事件的概率”等于等于“部部分分”比比“全體全體”的方法來(lái)規(guī)定事件的概率的方法來(lái)規(guī)定事件的概率. . ( (即樣本點(diǎn)落入某區(qū)即樣本點(diǎn)落入某區(qū)域內(nèi)可能性的大小域內(nèi)可能性的大小 且可用一個(gè)有度量的且可用一個(gè)有度量的幾何區(qū)域來(lái)表示；幾何區(qū)域來(lái)表示； 早在概率論發(fā)展初期，人們就認(rèn)識(shí)到，只考慮有限個(gè)等可能早在概率論發(fā)展初期，人們就認(rèn)識(shí)到，只考慮有限個(gè)等可能樣本點(diǎn)的古典方法是不夠的樣本點(diǎn)的古典方法是不夠的.1.2.5 確定概率的幾何方法確定概率的幾何方法.定義定義( (P.17) ) 若隨機(jī)試驗(yàn)若隨機(jī)試驗(yàn) E 具有以下兩個(gè)特征：具有以下兩個(gè)特征：(1) (1) E

30、 的樣本空間有無(wú)窮多個(gè)樣本點(diǎn)，的樣本空間有無(wú)窮多個(gè)樣本點(diǎn)， (2) (2) 試驗(yàn)中每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同試驗(yàn)中每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同 不過(guò)現(xiàn)在的不過(guò)現(xiàn)在的“部分部分”和和“全全體體”所包含的樣本點(diǎn)是無(wú)限的所包含的樣本點(diǎn)是無(wú)限的. 用什么數(shù)學(xué)工具可以構(gòu)造出這樣的數(shù)學(xué)模型？用什么數(shù)學(xué)工具可以構(gòu)造出這樣的數(shù)學(xué)模型？幾何的觀念幾何的觀念 則稱(chēng)則稱(chēng) E 為為幾何概型幾何概型 . 有度量的區(qū)域有度量的區(qū)域 事件事件A對(duì)應(yīng)的區(qū)域仍以對(duì)應(yīng)的區(qū)域仍以A表示表示的的度度量量的的度度量量 AAP )(長(zhǎng)度長(zhǎng)度面積面積體積體積.僅與該區(qū)域的度量成比例僅與該區(qū)域的度量成比例, 乘客到達(dá)車(chē)站乘客到達(dá)車(chē)站的任意時(shí)刻

31、是等可能的，的任意時(shí)刻是等可能的，例例7(P(P17 例例14) ) 公共汽車(chē)站每隔公共汽車(chē)站每隔 5 分鐘有一輛汽車(chē)通過(guò)，分鐘有一輛汽車(chē)通過(guò)， 求乘客候車(chē)時(shí)間不超過(guò)求乘客候車(chē)時(shí)間不超過(guò) 3 分鐘的概率分鐘的概率. 解解 x 乘客到達(dá)車(chē)站的時(shí)刻乘客到達(dá)車(chē)站的時(shí)刻 一個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，一個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，t 乘客到達(dá)車(chē)站后的第一輛公共汽車(chē)的時(shí)刻，乘客到達(dá)車(chē)站后的第一輛公共汽車(chē)的時(shí)刻，由題意知，乘客只能是在時(shí)間間隔由題意知，乘客只能是在時(shí)間間隔( (t t - -5, ,t t 內(nèi)來(lái)到車(chē)站的，內(nèi)來(lái)到車(chē)站的，故樣本空間故樣本空間 = t t - -5 x t t ， 且且 的度量的度量 = t t - -( (t t - -5 ) )= 5. . 而事件而事件 A= 乘客候車(chē)時(shí)間不超過(guò)乘客候車(chē)時(shí)間不超過(guò) 3 分鐘分鐘 A= x| |t t - -3 x t t , , 且且 A 的度量的度量 = 3. . .6. 053)( 的度量的度量的度量的度量 AAP 設(shè)某吸毒人員強(qiáng)制戒毒期滿(mǎn)后在家接受監(jiān)控，監(jiān)控設(shè)某吸毒人員強(qiáng)制戒毒期滿(mǎn)后在家接受監(jiān)控，監(jiān)控期為期為 L 單位時(shí)間，該期間內(nèi)隨時(shí)可提取尿樣化驗(yàn)單位時(shí)間，該期間內(nèi)隨時(shí)可提取尿樣化驗(yàn). 問(wèn)該人員復(fù)問(wèn)該人員復(fù)