數(shù)值分析 二分法

1、第七章第七章 非線性方程的求根非線性方程的求根/* Solutions of Nonlinear Equations */求求 f (x) = 0 的根的根7.1 方程求根與二分法一、本章解決的問題一、本章解決的問題二、求根的兩個步驟二、求根的兩個步驟三、二分法三、二分法一、本章解決的問題一、本章解決的問題在科學(xué)計算中常要求解各種方程，在科學(xué)計算中常要求解各種方程，0735 xx這些方程看似簡單，但難于求其精確這些方程看似簡單，但難于求其精確解。而實際問題：解。而實際問題：只要能獲得滿足已只要能獲得滿足已定精確度的近似根就可以了。定精確度的近似根就可以了。高次代數(shù)方程高次代數(shù)方程03cos x

2、ex 超越方程超越方程本章解決的問題：本章解決的問題：f(x)為非線性函數(shù)或高次代數(shù)方程，若有數(shù)為非線性函數(shù)或高次代數(shù)方程，若有數(shù)x*使使f(x*) = 0成立，則稱成立，則稱x*為方程為方程f(x) = 0的根的根(零點零點)。求求 f (x) = 0 的根的根若若f(x)可分解為可分解為)(*)()(xgxxxfm m是正整數(shù)，是正整數(shù)，且且g(x*)0當當m = 1，稱，稱x*是單根；是單根；當當m 1，稱，稱x*是是m重根重根.xy0y=f(x)方程根的幾何意義方程根的幾何意義二、求根的兩個步驟二、求根的兩個步驟(1)確定根的初始近似值確定根的初始近似值(稱之為稱之為初始近似根初始近似

3、根) ，一般為一個包含，一般為一個包含根的區(qū)間，稱為根的區(qū)間，稱為“有根區(qū)間有根區(qū)間”(2)根的精確化。根據(jù)根的初始近根的精確化。根據(jù)根的初始近似值按某種方法逐步精確化，直似值按某種方法逐步精確化，直至滿足預(yù)先要求的精度為止。至滿足預(yù)先要求的精度為止。如何求有根區(qū)間呢？如何求有根區(qū)間呢？逐步掃描法逐步掃描法原理：原理：設(shè)設(shè)f(x)在在a, b連續(xù)，且連續(xù)，且f(a) f(b)0。則由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)知。則由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)知f(x)=0在在(a, b)內(nèi)至少有一個根。若內(nèi)至少有一個根。若f(x)在在a, b上單調(diào)，則上單調(diào)，則f(x)=0在在(a, b)上有且僅有一個根。上有且僅有一個根。xyy=

4、 f(x)0故總假設(shè)故總假設(shè)(a,b)上有唯一根上有唯一根逐步掃描算法逐步掃描算法(1) x0a；(2) 若若 f( x0) f( x0+h)0，則，則x*必在必在( x0 , x0+h)中，取中，取 x0或或 x0+h作為有作為有根區(qū)間，否則轉(zhuǎn)根區(qū)間，否則轉(zhuǎn)(3);(3) x0 x0+h，轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)(2)；例如例如 考慮方程考慮方程01)(3 xxxf解解 由于由于0)(,0)0( ff故方程至少有一個正實根。故方程至少有一個正實根。 設(shè)從設(shè)從x=0出發(fā)，取出發(fā)，取h=0.5為步長向為步長向右計算，將各個點上的函數(shù)值列于右計算，將各個點上的函數(shù)值列于下表：下表：x00.51.01.5 f(x)

5、+由于由于 , 且且 f(x)在區(qū)間在區(qū)間1，1.5上滿足上滿足0)5 . 1(,0)1( ff0211313)(2 xxf由此可知在由此可知在(1，1.5)內(nèi)有且僅有一個內(nèi)有且僅有一個實根，故可取實根，故可取作為有根區(qū)間。作為有根區(qū)間。(1，1.5)下面將介紹幾種常用的數(shù)值解法：下面將介紹幾種常用的數(shù)值解法：二分法二分法簡單迭代法簡單迭代法牛頓迭代法牛頓迭代法弦截法弦截法三、二分法三、二分法 /* Bisection Method */1. 二分法的原理二分法的原理原理：原理：若若 f Ca, b，且，且 f (a) f (b) 0，則則 f 在在 (a, b) 上必有一根上必有一根 x*。2. 二分法的實施二分法的實施 將方程根的將方程根的區(qū)間平分區(qū)間平分為兩個小區(qū)為兩個小區(qū)間，然后間，然后判斷根在哪個小區(qū)間判斷根在哪個小區(qū)間，舍，舍去無根的區(qū)間，而把有根區(qū)間再一去無根的區(qū)間，而把有根區(qū)間再一分為二，再判斷根屬于哪個更小的分為二，再判斷根屬于哪個更小的區(qū)間，如此周而復(fù)始，直到求出滿區(qū)間，如此周而復(fù)