復(fù)變函數(shù)與積分變換：1-5 復(fù)變函數(shù)

1、第五節(jié) 復(fù)變函數(shù)一、區(qū)域二、復(fù)變函數(shù)的定義三、復(fù)變函數(shù)的極限及連續(xù)性四、典型例題2一、區(qū)域的概念一、區(qū)域的概念1. 鄰域鄰域:. : )( , 000的鄰域的鄰域內(nèi)部的點(diǎn)的集合稱為內(nèi)部的點(diǎn)的集合稱為的圓的圓為半徑為半徑任意的正數(shù)任意的正數(shù)為中心為中心平面上以平面上以zzzz 2.去心鄰域去心鄰域:. 0 00的去心鄰域的去心鄰域集合為集合為所確定的點(diǎn)的所確定的點(diǎn)的稱由不等式稱由不等式zzz 33.內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn):. , , . , 000的內(nèi)點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn)稱為稱為那末那末于于該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬的一個(gè)鄰域的一個(gè)鄰域存在存在如果如果中任意一點(diǎn)中任意一點(diǎn)為為為一平面點(diǎn)集為一平面點(diǎn)集設(shè)設(shè)Gz

2、GzGzG4.開集開集: 如果如果 G 內(nèi)每一點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn)內(nèi)每一點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn), ,那末那末G 稱稱為開集為開集. .45.區(qū)域區(qū)域: 如果平面點(diǎn)集如果平面點(diǎn)集D滿足以下兩個(gè)條件滿足以下兩個(gè)條件, ,則稱則稱它為一個(gè)區(qū)域它為一個(gè)區(qū)域. .(1) D是一個(gè)是一個(gè)開集開集；(2) D是是連通的連通的, ,就是說就是說D中任何兩點(diǎn)都可以用中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于完全屬于D的一條折線連結(jié)起來的一條折線連結(jié)起來.6.邊界點(diǎn)、邊界邊界點(diǎn)、邊界: 設(shè)設(shè)D是復(fù)平面內(nèi)的一個(gè)區(qū)域是復(fù)平面內(nèi)的一個(gè)區(qū)域, ,如果點(diǎn)如果點(diǎn) P P 不不屬于屬于D, 但在但在 P P 的任意小的鄰域內(nèi)總有的任意小的鄰域內(nèi)總有D中的中

3、的點(diǎn)點(diǎn),這樣的這樣的 P P 點(diǎn)我們稱為點(diǎn)我們稱為D的的邊界點(diǎn)邊界點(diǎn).5D的所有邊界點(diǎn)組成的所有邊界點(diǎn)組成D的的邊界邊界. .說明說明 (1) 區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點(diǎn)所組成的的點(diǎn)所組成的. (2) 區(qū)域區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域閉區(qū)域 .Dz 1C2C3Cz 1C2C3C6以上基以上基本概念本概念的圖示的圖示1z 2z 區(qū)域區(qū)域 0z 鄰域鄰域P 邊界點(diǎn)邊界點(diǎn)邊界邊界7.有界區(qū)域和無界區(qū)域有界區(qū)域和無界區(qū)域:. , , 0, , 界的界的否則稱為無否則稱為無稱為有界的稱為有界的那末那末點(diǎn)都滿足點(diǎn)都滿足使區(qū)域的每一個(gè)使區(qū)

4、域的每一個(gè)即存在即存在為中心的圓里面為中心的圓里面點(diǎn)點(diǎn)可以被包含在一個(gè)以原可以被包含在一個(gè)以原如果一個(gè)區(qū)域如果一個(gè)區(qū)域DMzMD 7(1) 圓環(huán)域圓環(huán)域:;201rzzr 0z 2r1r練習(xí)練習(xí)判斷下列區(qū)域是否有界判斷下列區(qū)域是否有界?(2) 上半平面上半平面:; 0Im z(3) 角形域角形域:;arg0 z(4) 帶形域帶形域:.Imbza 答案答案(1)有界有界; (2) (3) (4)無界無界.xyo8二、復(fù)變函數(shù)的定義二、復(fù)變函數(shù)的定義).( ),( , , , , . zfwzwivuwzGiyxzG 記作記作復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)簡稱簡稱的函數(shù)的函數(shù)是復(fù)變數(shù)是復(fù)變數(shù)那末稱復(fù)變數(shù)那末稱復(fù)

5、變數(shù)之對(duì)應(yīng)之對(duì)應(yīng)與與就有一個(gè)或幾個(gè)復(fù)數(shù)就有一個(gè)或幾個(gè)復(fù)數(shù)每一個(gè)復(fù)數(shù)每一個(gè)復(fù)數(shù)中的中的對(duì)于集合對(duì)于集合按這個(gè)法則按這個(gè)法則個(gè)確定的法則存在個(gè)確定的法則存在如果有一如果有一的集合的集合是一個(gè)復(fù)數(shù)是一個(gè)復(fù)數(shù)設(shè)設(shè)1.復(fù)變函數(shù)的定義復(fù)變函數(shù)的定義:92.單單(多多)值函數(shù)的定義值函數(shù)的定義:. )( , 是單值的是單值的我們稱函數(shù)我們稱函數(shù)那末那末的值的值的一個(gè)值對(duì)應(yīng)著一個(gè)的一個(gè)值對(duì)應(yīng)著一個(gè)如果如果zfwz. )( , 是多值的是多值的那末我們稱函數(shù)那末我們稱函數(shù)的值的值兩個(gè)以上兩個(gè)以上的一個(gè)值對(duì)應(yīng)著兩個(gè)或的一個(gè)值對(duì)應(yīng)著兩個(gè)或如果如果zfwz3.定義集合和函數(shù)值集合定義集合和函數(shù)值集合: ; )( )(

6、 定義域定義域的定義集合的定義集合稱為稱為集合集合zfG. , * 稱為函數(shù)值集合稱為函數(shù)值集合值所成的集合值所成的集合的一切的一切中所有中所有對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于GwzG104. 復(fù)變函數(shù)與自變量之間的關(guān)系復(fù)變函數(shù)與自變量之間的關(guān)系: )( 相當(dāng)于兩個(gè)關(guān)系式相當(dāng)于兩個(gè)關(guān)系式之間的關(guān)系之間的關(guān)系自變量自變量與與復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)zfwzw ),(),(yxvvyxuu . 的兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)的兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)和和它們確定了自變量為它們確定了自變量為yx例如例如, , , 2zw 函數(shù)函數(shù), ivuwiyxz 令令2)( iyxivu 則則,222xyiyx : 2數(shù)數(shù)對(duì)應(yīng)于兩個(gè)二元實(shí)變函對(duì)應(yīng)于兩個(gè)二元實(shí)

7、變函于是函數(shù)于是函數(shù)zw ,22yxu .2xyv 11三、復(fù)變?nèi)?、?fù)變函數(shù)的極限函數(shù)的極限1.函數(shù)極限的定義函數(shù)極限的定義:. )( )(,)0(0 )( , 0 , , 0 )( 0000時(shí)的極限時(shí)的極限趨向于趨向于當(dāng)當(dāng)為為那末稱那末稱有有時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng)相應(yīng)地必有一正數(shù)相應(yīng)地必有一正數(shù)對(duì)于任意給定的對(duì)于任意給定的存在存在如果有一確定的數(shù)如果有一確定的數(shù)內(nèi)內(nèi)的去心鄰域的去心鄰域定義在定義在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)zzzfAAzfzzAzzzzfw )( .)(lim 00AzfAzfzzzz 或或記作記作注意注意: : . 0的方式是任意的的方式是任意的定義中定義中zz 122. 極限計(jì)算的定理極限計(jì)

8、算的定理定理一定理一.),(lim,),(lim )(lim , , ),(),()( 000000000000vyxvuyxuAzfiyxzivuAyxivyxuzfyyxxyyxxzz 的充要條件是的充要條件是那末那末設(shè)設(shè)13說明說明. ),( ),( , ),(),()( 的極限問題的極限問題和和函數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)二元實(shí)變轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)二元實(shí)變的極限問題的極限問題該定理將求復(fù)變函數(shù)該定理將求復(fù)變函數(shù)yxvyxuyxivyxuzf 14定理二定理二).0()()(lim (3);)()(lim (2);)()(lim (1) ,)(lim ,)(lim 00000 BBAzgzfABzgz

9、fBAzgzfBzgAzfzzzzzzzzzz那末那末設(shè)設(shè)與實(shí)變函數(shù)的極限運(yùn)算法則類似與實(shí)變函數(shù)的極限運(yùn)算法則類似.15例例1 1證證 (一一). 0 )Re()( 不存在不存在時(shí)的極限時(shí)的極限當(dāng)當(dāng)證明函數(shù)證明函數(shù) zzzzf, iyxz 令令,)( 22yxxzf 則則, 0),(,),(22 yxvyxxyxu , 趨于零時(shí)趨于零時(shí)沿直線沿直線當(dāng)當(dāng)kxyz 2200lim),(limyxxyxukxyxkxyx 220)(limkxxxx 16)1(lim220kxxx ,112k , 值的變化而變化值的變化而變化隨隨 k , ),(lim 00不存在不存在所以所以yxuyyxx, 0),

10、(lim00 yxvyyxx根據(jù)定理一可知根據(jù)定理一可知, . )(lim0不存在不存在zfz證證 (二二),sin(cos irz 令令rrzf cos)( 則則,cos 17 , arg 趨于零時(shí)趨于零時(shí)沿不同的射線沿不同的射線當(dāng)當(dāng) zz .)(趨于不同的值趨于不同的值z(mì)f , 0arg 趨于零時(shí)趨于零時(shí)沿正實(shí)軸沿正實(shí)軸例如例如 zz, 1)(zf , 2arg 趨于零時(shí)趨于零時(shí)沿沿 z, 0)(zf . )(lim 0不存在不存在故故zfz18例例2 2證證. 0 )0( )( 限不存在限不存在時(shí)的極時(shí)的極當(dāng)當(dāng)證明函數(shù)證明函數(shù) zzzzzf,)(, ivuzfiyxz 令令,),( 22

11、22yxyxyxu 則則,2),(22yxxyyxv , 趨于零時(shí)趨于零時(shí)沿直線沿直線當(dāng)當(dāng)kxyz 22002lim),(limyxxyyxvkxyxkxyx ,122kk 19 , 值的變化而變化值的變化而變化隨隨 k , ),(lim 00不存在不存在所以所以yxvyyxx根據(jù)定理一可知根據(jù)定理一可知, . )(lim0不存在不存在zfz20四、函數(shù)的連續(xù)性四、函數(shù)的連續(xù)性1. 連續(xù)的定義連續(xù)的定義: . )( , )( . )( ),()(lim 000內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在我們說我們說內(nèi)處處連續(xù)內(nèi)處處連續(xù)在區(qū)域在區(qū)域如果如果處連續(xù)處連續(xù)在在那末我們就說那末我們就說如果如果DzfDzfzzfz

12、fzfzz . , )()(lim )( 000CzzfzfzCzfzz 處連續(xù)的意義是處連續(xù)的意義是上上在曲線在曲線函數(shù)函數(shù)21定理三定理三.) ,( ),( ),( : ),(),()( 00000處連續(xù)處連續(xù)在在和和連續(xù)的充要條件是連續(xù)的充要條件是在在函數(shù)函數(shù)yxyxvyxuiyxzyxivyxuzf 例如例如,),()ln()(2222yxiyxzf , )ln(),(22處連續(xù)處連續(xù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處yxyxu , ),(22在復(fù)平面內(nèi)處處連續(xù)在復(fù)平面內(nèi)處處連續(xù)yxyxv ( ) . f z故在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處連續(xù)22定理四定理四. ) ( )( )( (1)000處仍連續(xù)處仍連續(xù)在在不為零不為零分母在分母在積、商積、商的和、差、的和、差、和和連續(xù)的兩個(gè)函數(shù)連續(xù)的兩個(gè)函數(shù)在在zzzgzfz. )( , )( )( , )( (2)0000連續(xù)連續(xù)處處在在那末復(fù)合函數(shù)那末復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)連續(xù)連續(xù)在在如果函數(shù)如果函數(shù)zzgfwzghhfwzzgh 23例例3 3. )( , )