目標規(guī)劃6847362543

1、 8. 2 目標規(guī)劃的數(shù)學模型目標規(guī)劃的數(shù)學模型1. 設置偏差變量設置偏差變量; ;2. 統(tǒng)一處理目標與約束統(tǒng)一處理目標與約束; ;3. 目標的優(yōu)先級與權系數(shù)。目標的優(yōu)先級與權系數(shù)。目標規(guī)劃的基本概念目標規(guī)劃的基本概念 1. 設置偏差變量設置偏差變量用偏差變量用偏差變量( (Deviational variables) )來表示實際值與目標值來表示實際值與目標值之間的差異，令之間的差異，令 - - 超出目標的差值，稱為正偏差變量超出目標的差值，稱為正偏差變量 - - 未達到目標的差值，稱為負偏差變量未達到目標的差值，稱為負偏差變量其中其中 與與 至少有一個為至少有一個為0 0約定如下：約定如下

2、：當實際值超過目標值時，有當實際值超過目標值時，有當實際值未達到目標值時，有當實際值未達到目標值時，有當實際值與目標值一致時，有當實際值與目標值一致時，有ddddd; 0, 0dd; 0, 0dd. 0, 0dd 2. 統(tǒng)一處理目標與約束統(tǒng)一處理目標與約束在目標規(guī)劃中，約束可分兩類，一類是對資源有嚴格限制在目標規(guī)劃中，約束可分兩類，一類是對資源有嚴格限制的，稱為剛性約束的，稱為剛性約束(Hard Constraint)；例如在用目標規(guī)劃；例如在用目標規(guī)劃求解例求解例8.1中設備中設備A禁止超時使用，則有剛性約束禁止超時使用，則有剛性約束另一類是可以不嚴格限制的，連同原線性規(guī)劃的目標另一類是可以

3、不嚴格限制的，連同原線性規(guī)劃的目標,構(gòu)構(gòu)成柔性約束成柔性約束(Soft Constraint).例如在求解例例如在求解例8.1中，我們中，我們希望利潤不低于希望利潤不低于1500元，則目標可表示為元，則目標可表示為.122221xx.1500300200;min21ddxxd求解例求解例8.1中甲、乙兩種產(chǎn)品中甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量盡量保持的產(chǎn)量盡量保持1:2的比例，的比例，則目標可表示為則目標可表示為設備設備C可以適當加班，但要控制，可以適當加班，但要控制，則目標可表示為則目標可表示為. 02;min21ddxxdd.155;min2ddxd設備設備B既要求充分利用，又盡可能既要求充分利用，又

4、盡可能不加班，則目標可表示為不加班，則目標可表示為.164;min1ddxdd從上面的分析可以看到：從上面的分析可以看到：如果希望不等式保持大于等于，則極小化負偏差；如果希望不等式保持大于等于，則極小化負偏差；如果希望不等式保持小于等于，則極小化正偏差；如果希望不等式保持小于等于，則極小化正偏差；如果希望保持等式，則同時極小化正、負偏差如果希望保持等式，則同時極小化正、負偏差 3.目標的優(yōu)先級與權系數(shù)目標的優(yōu)先級與權系數(shù)在目標規(guī)劃模型中，目標的優(yōu)先分為兩個層次，第一個在目標規(guī)劃模型中，目標的優(yōu)先分為兩個層次，第一個層次是目標分成不同的優(yōu)先級，在計算目標規(guī)劃時，必層次是目標分成不同的優(yōu)先級，在計

5、算目標規(guī)劃時，必須先優(yōu)化高優(yōu)先級的目標，然后再優(yōu)化低優(yōu)先級的目標。須先優(yōu)化高優(yōu)先級的目標，然后再優(yōu)化低優(yōu)先級的目標。通常以通常以P1,P2,.表示不同的因子表示不同的因子,并規(guī)定并規(guī)定PkPk+1，第二個，第二個層次是目標處于同一優(yōu)先級，但兩個目標的權重不一樣，層次是目標處于同一優(yōu)先級，但兩個目標的權重不一樣，因此兩目標同時優(yōu)化，用權系數(shù)的大小來表示目標重要因此兩目標同時優(yōu)化，用權系數(shù)的大小來表示目標重要性的差別。性的差別。解在例解在例.1.1中設備中設備A是是剛性約剛性約束，其于是柔性約束首先，最束，其于是柔性約束首先，最重要的指標是企業(yè)的利潤，將它重要的指標是企業(yè)的利潤，將它的優(yōu)先級列為第

6、一級；其次，甲、的優(yōu)先級列為第一級；其次，甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量保持乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量保持1:2的比的比例，列為第二級；再次，例，列為第二級；再次，設備設備 B和和C的工作時間要有所控制，列的工作時間要有所控制，列為第三級，設備為第三級，設備B的重要性是設的重要性是設備備C的三倍，因此它們的權重不的三倍，因此它們的權重不一樣。由此可以得到相應的目標一樣。由此可以得到相應的目標規(guī)劃模型。規(guī)劃模型。 目標規(guī)劃模型的建立目標規(guī)劃模型的建立例例8.3 用目標規(guī)劃方法求解例用目標規(guī)劃方法求解例8. 1);433()(min43332221dddPddPdPz,1222.21 xxts. 4 , 3 , 2

7、, 1, 0,155,164, 02,15003002002144233122211121iddxxddxddxddxxddxxii 目標規(guī)劃的一般模型目標規(guī)劃的一般模型目標規(guī)劃模型的一般數(shù)學表達式為：目標規(guī)劃模型的一般數(shù)學表達式為：; )(min11ljjkjjkjqkkdwdwPz, 2 , 1,),(.1mibxatsijnjij,2, 1,0,2, 1,0,2, 1,1liddnjxligddxciijiiijnjij 求解目標規(guī)劃的序貫式算法求解目標規(guī)劃的序貫式算法其算法是根據(jù)優(yōu)先級的先后次序，將目標規(guī)劃問題分解成其算法是根據(jù)優(yōu)先級的先后次序，將目標規(guī)劃問題分解成一系列的單目標規(guī)劃問

8、題，然后再依次求解。一系列的單目標規(guī)劃問題，然后再依次求解。算法算法8.1 對于對于k=1,2,q,求解單目標問題求解單目標問題; )(min1ljjkjjkjdwdwz,2, 1,),(.1mibxatsijnjij,2,1,0,2,1,0,1,2,1,)(,2,1,*11liddnjxkszdwdwligddxciijljjsjjsjiiijnjij解因為每個單目標問題都是一個線性規(guī)劃問題，解因為每個單目標問題都是一個線性規(guī)劃問題，因此可以采用因此可以采用LINDOLINDO軟件進行求解。按照算法軟件進行求解。按照算法8.18.1和和例例8.38.3目標規(guī)劃模型編寫單個的線性規(guī)劃求解程序。

9、目標規(guī)劃模型編寫單個的線性規(guī)劃求解程序。求第一級目標企業(yè)利潤最大，列出求第一級目標企業(yè)利潤最大，列出LINDOLINDO程序。程序。程序名：程序名：exam0804a.ltxexam0804a.ltx 例例8.4 用算法用算法8.1求解例求解例8. 3 MIN DMINUS1 SUBJECT TO 2X1 + 2X2 = 12 200X1 + 300X2 - DPLUS1 + DMINUS1 = 1500 2X1 - X2 - DPLUS2 + DMINUS2 = 0 4X1 - DPLUS3 + DMINUS3 = 16 5X2 - DPLUS4 + DMINUS4 = 15 END求解結(jié)果

10、可見求解結(jié)果可見程序演示程序演示目標目標解因求出的目標函數(shù)的最優(yōu)值為，即第一級偏差為解因求出的目標函數(shù)的最優(yōu)值為，即第一級偏差為. .再求第二級目標，列出其再求第二級目標，列出其LINDOLINDO程序。程序。程序名：程序名：exam0804b.ltxexam0804b.ltx 例例8.4 用算法用算法8.1求解例求解例8. 3 MIN DPLUS2 + DMINUS2 SUBJECT TO 2X1 + 2X2 = 12 200X1 + 300X2 - DPLUS1 + DMINUS1 = 1500 2X1 - X2 - DPLUS2 + DMINUS2 = 0 4X1 - DPLUS3 +

11、DMINUS3 = 16 5X2 - DPLUS4 + DMINUS4 = 15 DMINUS1 = 0 END求解結(jié)果可見求解結(jié)果可見程序演示程序演示修改的目標修改的目標增加的約束增加的約束解因求出的目標函數(shù)的最優(yōu)值仍為，即第二級偏差解因求出的目標函數(shù)的最優(yōu)值仍為，即第二級偏差仍為仍為. . 繼續(xù)求第三級目標，列出其繼續(xù)求第三級目標，列出其LINDOLINDO程序。程序。程序名：程序名：exam0804c.ltxexam0804c.ltx 例例8.4 用算法用算法8.1求解例求解例8. 3 MIN 3DPLUS3 + 3DMINUS3+ DPLUS4 SUBJECT TO 2X1 + 2X2

12、 0; yrj (r=1,2,.,s, j=1,2,., n)表示第表示第j個決策單元對第個決策單元對第r種種輸出的產(chǎn)出量，并且滿足輸出的產(chǎn)出量，并且滿足yrj0; vi(i=1,2,.,m)表示第表示第i種輸入的一種度量種輸入的一種度量(或稱為權或稱為權); u r(r=1,2,., s)表示第表示第r種輸出的的一種度量種輸出的的一種度量(或稱為權或稱為權). 將上表中的元素寫成向量形式，如下表所示將上表中的元素寫成向量形式，如下表所示. . 數(shù)據(jù)包絡分析的基本概念數(shù)據(jù)包絡分析的基本概念X1X2.Xj.Xn v 1 2 . j . n uY1Y2.Yj.Yn在上表中在上表中, Xj, Yj(

13、j=1,2,.,n)分別為決策單元分別為決策單元j的輸入、輸出向量，的輸入、輸出向量，v, u分別分別為輸入、輸出權重為輸入、輸出權重.對于前面講的向量表所給出的數(shù)據(jù)，設對于前面講的向量表所給出的數(shù)據(jù)，設 C2R模型模型為第為第j j個決策單元的評價指數(shù)，總可以選擇適當?shù)臋嘞禂?shù)個決策單元的評價指數(shù)，總可以選擇適當?shù)臋嘞禂?shù)u,vu,v, , 使得使得,2, 1,njXvYuhjjjTT.,2, 1, 1njhj第第j個決策單元的評價指數(shù)個決策單元的評價指數(shù)hj的意義是：在權系數(shù)的意義是：在權系數(shù)u,v下，下，投入為投入為vTXj， 產(chǎn)出為產(chǎn)出為uTYj的投入產(chǎn)出比。的投入產(chǎn)出比。討論：我們需要考

14、慮某個決策單元討論：我們需要考慮某個決策單元j0的效率評價指數(shù)的效率評價指數(shù)hj為為目標，在約束目標，在約束hj 1的最大值，即分式線性規(guī)劃的最大值，即分式線性規(guī)劃 C2R模型模型稱上述模型為稱上述模型為C2R模型模型.0,0,2, 1, 1;00vunjXvYuXvYuVjjjjpTTTT.maxts為了便于計算將分式線性規(guī)劃轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃模型為了便于計算將分式線性規(guī)劃轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃模型.0,0, 1,2, 1,0;002jjjjRCXnjYXYVTTTT.maxts 數(shù)據(jù)包絡分析的求解數(shù)據(jù)包絡分析的求解定義定義1: 若該模型中則稱決策單元若該模型中則稱決策單元 j0 是弱是弱DEA有效的有效的.定義定義2: 若該模型中存在最優(yōu)解并且若該模型中存在最優(yōu)解并且, 有有 則稱決策單元則稱決策單元 j0 是弱是弱DEA有效的有效的., 12RCV,0,0, 12RCV例例8.10 (繼例繼例8.9)運用運用C2R模型求解例模型求解例8.9.解解 按照按照C2R模型寫出相應的模型寫出相應的LINGO程序，程序名：程序，程序名：exam0810.lg4. C2R模型的求解模型的求解運行程序時，運行程序時，P的值分別輸入的值分別輸入(1,0,0,0,0,0), (