等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理

1、一. 本周教學(xué)內(nèi)容：等腰三角形的性質(zhì)和判定 二. 教學(xué)目標(biāo)：（一）知識與技能：（1）掌握等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理，并會靈活運(yùn)用。    （2）能用上述結(jié)論進(jìn)行分析與說理，進(jìn)行初步的邏輯思維訓(xùn)練，形成一定的推理能力。（二）情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過等腰三角形性質(zhì)定理和判定定理的證明體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。 三. 重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)是等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理    難點(diǎn)是利用定理解決實(shí)際問題 四. 教學(xué)過程：（一）知識梳理    知識點(diǎn)1：等腰三角形的性質(zhì)定理1 &#

2、160; （1）文字語言：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱“等邊對等角”）   （2）符號語言：如圖，在ABC中，因?yàn)锳B=AC，所以B=C    （3）證明：取BC的中點(diǎn)D，連接AD              在ABD和ACD中                 

3、;        ABDACD（SSS）B=C（全等三角形對應(yīng)角相等）（4）定理的作用：證明同一個(gè)三角形中的兩個(gè)角相等。知識點(diǎn)2：等腰三角形性質(zhì)定理2（1）文字語言：等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線，底邊上的高，互相重合（簡稱“三線合一”）（2）符號語言：AB=AC            AB=AC         

4、0;   AB=AC1=2              ADBC              BD=DCADBC，BD=DC  1=2             1=2BD=DC 

5、60;              ADBC    （3）定理的作用：可證明角相等，線段相等或垂直。    說明：在等腰三角形中經(jīng)常添加輔助線，雖然“頂角的平分線，底邊上的高、底邊上的中線互相重合，如何添加要根據(jù)具體情況來定，作時(shí)只作一條，再根據(jù)性質(zhì)得出另兩條”。    知識3：等腰三角形的判定定理    （1）文字語言：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角相等，

6、那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（簡寫為“等角對等邊”）（2）符號語言：在ABC中B=C     AB=AC    （3）證明：過A作ADBC于D，則ADB=ADC=90°。     在ABD和ACD中     ABDACD （AAS）AB=AC    （4）定理的作用：證明同一個(gè)三角形中的邊相等。    說明：本定理的證明還有其他證明方法（如作頂角的平分線）。證明一個(gè)三角形是等腰三

7、角形的方法有兩種：1、利用定義  2、利用定理。 【典型例題分析】基礎(chǔ)知識應(yīng)用題：例1. 如圖，已知P、Q是ABC邊BC上兩點(diǎn)，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求BAC的度數(shù)。    解：AP=PQ=AQ（已知）APQ是等邊三角形（等邊三角形的定義）APQ=AQP=PAQ=60°（等邊三角形的性質(zhì)）AP=BP（已知）PBA=PAB（等邊對等角）又APQ=PAB+PBA=60°PBA=PAB=30°同理QAC=30°BAC=PAB+PAQ+QAC=30°+60°+30°=120

8、°解答此類題的步驟如下：（1）利用等邊對等角根據(jù)已知角的度數(shù)求另一個(gè)角的度數(shù)。    （2）利用三角形內(nèi)角和定理，確定等量關(guān)系，借助等式或方程求解。   例2. 已知：如圖，在ABC中，B=C，D、E、F分別為AB，BC，AC上的點(diǎn)，且BD=CE，DEF=B。求證：DEF是等腰三角形。    證明：B+BDE+BED=180°（三角形內(nèi)角和定理）BED+DEF+FEC=180°（平角性質(zhì)）B=DEF（已知）BDE=FEC（等角的補(bǔ)角相等）在BED和CFE中BDE=FEC中 

9、（已證）BD=CE   （已知）B=C  （已知）BEDCFE （ASA） DE=EF  （全等三角形對應(yīng)邊相等）DEF是等腰三角形  （等腰三角形定義） 綜合應(yīng)用題：例3. 已知：如圖，AC和BD相交于點(diǎn)O，ABCD，OA=OB，求證：OC=OD    證明：ABCD  （已知）A=C，B=D  （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）OA=OB  （已知）A=B  （等邊對等角）C=D  （等量代換）OC=OD  （等角對等邊）   例

10、4. 如圖，在四邊形ABDC中，AB=2AC，1=2，DA=DB，試判斷DC與AC的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論。證法一：證明：作DEAB于EDA=DBDEABAE=BE=AB=2ACAE=AC在AED和ACD中AEDACDC=AED=90°DC與AC的位置關(guān)系為：DCAC證法二：證明：延長AC到F，使CF=AC，連結(jié)DFAB=2AC，AF=2ACAB=AF在ABD和AFD中ABDAFDDF=DBDA=DBDA=DF又AC=CFDCAF說明：法一是利用了“截長法”即在長線段AB上截取AE=AB法二是利用了“補(bǔ)短法”即在短線段AC上補(bǔ)足AF=AB，從而達(dá)到解決問題的目的。 例5.

11、 求證：等腰三角形兩腰上的中線相等 解：已知：如圖所示，在ABC中，AB=AC，BD，CE是ABC的中線求證：BD=CE證明：BD，CE是ABC的中線AE=AB，AD=ACAB=ACAE=AD在ABD和ACE中ABDACE（SAS）BD=CE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）    說明：這是一個(gè)證明文字?jǐn)⑹龅膸缀蚊}的題目，做這類題時(shí)首先要分清題設(shè)，結(jié)論，畫出草圖，結(jié)合圖形寫出：已知、求證、然后再證明。 例6. 如圖，點(diǎn)C為線段AB上的一點(diǎn)，ACM，BCN是等邊三角形，AN，MC相交于點(diǎn)E，CN與BM相交于點(diǎn)F。（1）求證AN=BM（2）求證CEF為等邊三角形證明：（1）ACM，CBN是等邊三角形AC=MC，CN=CB，ACM=NCB=60°ACN=BCM=120°在ACN和MCB中ACNMCB（SAS）AN=BM（2）由（1）中ACNMCBANC=MBC在CEN和CFB中CENCFB（ASA）CECF又ECF60°CEF為等邊三角形 例7. 下面是數(shù)學(xué)課堂的一個(gè)學(xué)習(xí)片斷，閱讀后，請回答下面的問題：學(xué)習(xí)等腰三角形有關(guān)內(nèi)容后，蘇老師請同學(xué)們交流討論這