函數(shù)單調(diào)性和凹凸性

1、函數(shù)單調(diào)性和凹凸性1第一頁，共10頁。證證應(yīng)用拉格朗日中值定理應(yīng)用拉格朗日中值定理)()(12xfxf0,0 )(f0 12 xx, )( ),( , 2121xxbaxx(1). 設(shè)設(shè))(12xxf),(21xx),()( 21xfxf即即)(xfba,所以所以在在上單增上單增.定理定理3.3.1 (函數(shù)單調(diào)性的判定法函數(shù)單調(diào)性的判定法)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y=f(x) 在在 a, b 上連續(xù)上連續(xù), 在在 (a, b) 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo).)()(12xfxf)(xf 在某區(qū)間內(nèi)在某區(qū)間內(nèi)有限個點(diǎn)處為零有限個點(diǎn)處為零,若若則函數(shù)則函數(shù))(xf在該區(qū)間上仍是單增在該區(qū)間上仍是單增(或單減或單減)的的.在

2、其余點(diǎn)處在其余點(diǎn)處恒為正恒為正(或負(fù)或負(fù)),說明說明在在),( ba(1).若在若在0)( xf內(nèi)內(nèi)單調(diào)單調(diào) 增加增加.,ba, 則則上上( )f x在在),( ba(2).若在若在0)( xf內(nèi)內(nèi)單調(diào)單調(diào) 減少減少.,ba, 則則上上( )f x2第二頁，共10頁。xycos10解解內(nèi)在 )2 , 0( sin xxy例例1. 判定函數(shù)判定函數(shù)0,2 在在上的單調(diào)性上的單調(diào)性. sin xxy0,2 在在上單增上單增. 一個函數(shù)并不一定在其整個定義域內(nèi)都是單調(diào)增加或一個函數(shù)并不一定在其整個定義域內(nèi)都是單調(diào)增加或單調(diào)減少單調(diào)減少,而往往是在定義域內(nèi)的某一部分區(qū)間上單增而往往是在定義域內(nèi)的某一部

3、分區(qū)間上單增,在另一部分區(qū)間上單減在另一部分區(qū)間上單減,函數(shù)函數(shù))(xf的單增區(qū)間的單增區(qū)間,單減區(qū)間統(tǒng)稱為單減區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間.3第三頁，共10頁。5xxyoab1x2x3x4x)(xfy 0)()()(321xfxfxf)(4xf 不存在不存在,0)(5 xf確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法和步驟確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法和步驟:(1). 確定函數(shù)確定函數(shù))(xfy 的定義域的定義域;(2). 求求),(xf 找使找使0)( xf的點(diǎn)的點(diǎn)(駐點(diǎn)駐點(diǎn)),及使及使)(xf 不存在的點(diǎn)不存在的點(diǎn);(3). 以以(2)中所找點(diǎn)為分界點(diǎn)中所找點(diǎn)為分界點(diǎn),將定義域分割成部分區(qū)間將定義域分割成部分區(qū)間, 判

4、斷在每一區(qū)間上導(dǎo)數(shù)的符號，由定理得出結(jié)論。判斷在每一區(qū)間上導(dǎo)數(shù)的符號，由定理得出結(jié)論。4第四頁，共10頁。解解 (1).定義域定義域 ,)2)(1(6xx 31292)(23xxxxf例例2.確定函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間.0)( xf令令2 , 121xx, 得得)(xf (2).(3).以以2 , 121xx為分界點(diǎn)為分界點(diǎn),將定義域分割將定義域分割,列表列表:x)x(f )x(f),(1 ),(21),(2 增增減減增增函數(shù)函數(shù))(xf的單增區(qū)間為的單增區(qū)間為: 1 ,(,(2,).單減區(qū)間為單減區(qū)間為:2 , 1 (121862xx5第五頁，共10頁。二、函數(shù)凸性的判別法二、函數(shù)

5、凸性的判別法定義定義3.3.1 (函數(shù)的凸性函數(shù)的凸性)22 2121)x(f)x(f)xx(f 22 2121)x(f)x(f)xx(f 若對任意若對任意I , 21xx)(xf設(shè)設(shè)在區(qū)間在區(qū)間I上連續(xù)，上連續(xù)， xyoxoy)2(21xxf1x2x2)()(21xfxf1x2x2)()(21xfxf)2(21xxf圖形下凸圖形下凸圖形上凸圖形上凸6第六頁，共10頁。直觀觀察直觀觀察)(xf )(xf 0)( xf0)( xf曲線下凸曲線下凸xyo曲線上凸曲線上凸xoy遞增遞增遞減遞減7第七頁，共10頁。定理定理3.3.2設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在在,ba上連續(xù)上連續(xù),在在),(ba內(nèi)具有二階導(dǎo)

6、數(shù)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),(1)若在若在),(ba內(nèi)內(nèi)0 )(xf，則，則)(xf在在,ba上曲線是上曲線是0 )(xf(2)若在若在),(ba內(nèi)內(nèi)，則，則)(xf在在,ba上曲線是上曲線是下凸的；下凸的；上凸的。上凸的。問題：確定函數(shù)在那些區(qū)間上圖形上凸的，那些區(qū)間上圖形是下凸的問題：確定函數(shù)在那些區(qū)間上圖形上凸的，那些區(qū)間上圖形是下凸的，即求函數(shù)的凸向區(qū)間。，即求函數(shù)的凸向區(qū)間。8第八頁，共10頁。解解23xy xy6 xy03xy 3xy 例例1.判斷曲線判斷曲線的凸向的凸向 , 0 y0 x時時,)0 ,( 曲線曲線 在在 內(nèi)是上凸的內(nèi)是上凸的. , 0 y0 x時時,), 0( 曲線曲線 在

7、在 內(nèi)時是下凸的內(nèi)時是下凸的.定義定義 曲線上曲線上上上凸弧與下凸弧的分界點(diǎn)凸弧與下凸弧的分界點(diǎn),稱為稱為拐點(diǎn)拐點(diǎn).如例如例1中中,點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(是曲線是曲線 3xy 的拐點(diǎn)的拐點(diǎn).如如, )( 4xxf, 0)0( f但點(diǎn)但點(diǎn))0 , 0(不是拐點(diǎn)不是拐點(diǎn).1.若點(diǎn)若點(diǎn))(,(00 xfx是拐點(diǎn)是拐點(diǎn),則則. 0)(0 xf或或 不存在不存在)(0 xf 2.由由. 0)(0 xf所確定的點(diǎn)所確定的點(diǎn))(,(00 xfx未必是拐點(diǎn)未必是拐點(diǎn).或不存在或不存在注意注意9第九頁，共10頁。解解, 3132xy , 9232xxy y 不存在不存在.例例2. 求曲線求曲線 3xy 的拐點(diǎn)的拐點(diǎn). 0 x時時, , 0 y0 x時時,)0 ,( 曲線曲線 在在 內(nèi)是下凸的內(nèi)是下凸的. , 0 y0 x時時,), 0( 曲線曲線 在在 內(nèi)時是上凸的內(nèi)時是上凸的.所以所以,曲線曲線 3xy 的拐點(diǎn)是的拐點(diǎn)是 (0,0).確定曲線的凸向區(qū)間及拐點(diǎn)的方法和步驟：確定曲線的凸向區(qū)間及拐點(diǎn)的方法和步驟：1.