電磁場與電磁波4

1、靜態(tài)場的分類：靜態(tài)場的分類：1 1、分布型問題：、分布型問題：已知場源（電荷分布、電流分布）直已知場源（電荷分布、電流分布）直接計算空間各點和位函數。接計算空間各點和位函數。2 2、邊值型問題：、邊值型問題：已知空間某給定區(qū)域的場源分布和該已知空間某給定區(qū)域的場源分布和該區(qū)域邊界面上的位函數（或其法向導數），求場內位區(qū)域邊界面上的位函數（或其法向導數），求場內位函數的分布。函數的分布。靜電場和恒定電場的邊值問題：靜電場和恒定電場的邊值問題：歸結為在給定邊界條件下求解拉普拉斯方程或泊松方程歸結為在給定邊界條件下求解拉普拉斯方程或泊松方程常用方法常用方法解析法解析法數值法數值法間接法間接法直接法直

2、接法拉普拉斯方程和泊松方程拉普拉斯方程和泊松方程 20 20 邊值問題的唯一性定理邊值問題的唯一性定理 鏡像法鏡像法（間接法）（間接法） 分離變量法分離變量法（直接法）（直接法） 有限差分法有限差分法（數值法）（數值法）給出定解的充給出定解的充分必要條件分必要條件給出求解邊值問給出求解邊值問題的常用方法題的常用方法基本概念：基本概念：邊界條件：邊界條件：在計算有限區(qū)域的電位時，必須使用所討在計算有限區(qū)域的電位時，必須使用所討論區(qū)域邊界上電位的指定值（邊值）來確定積分常數；論區(qū)域邊界上電位的指定值（邊值）來確定積分常數；以及當場域中有不同介質時，還要用到電位在邊界上以及當場域中有不同介質時，還要

3、用到電位在邊界上的邊界條件。這些用來決定常數的條件，統(tǒng)稱為邊界的邊界條件。這些用來決定常數的條件，統(tǒng)稱為邊界條件。條件。邊值問題：邊值問題：Boundary Value Problem，通過，通過微分方程及微分方程及相關邊界條件描述的問題，稱為邊值問題。相關邊界條件描述的問題，稱為邊值問題。第一類邊值問題第一類邊值問題（狄利赫利（狄利赫利（Dirichlet）問題）問題）邊界上的位函數已知。邊界上的位函數已知。第二類邊值問題第二類邊值問題（諾伊曼（諾伊曼（Neumann）問題）問題）位函數在邊界上的法向導數已知。位函數在邊界上的法向導數已知。第三類邊值問題第三類邊值問題（混合邊值問題）（混合邊

4、值問題）部分邊界上位函數已知，部分邊界上位函數的法向導數部分邊界上位函數已知，部分邊界上位函數的法向導數已知。已知。邊值問題的分類邊值問題的分類Sf Sfn 121212SSffSSSn 注意：注意：給定導體上的總電量屬于第二類邊值問題給定導體上的總電量屬于第二類邊值問題一、唯一性定理：一、唯一性定理：即在給定邊界條件下，泊松方程和拉普即在給定邊界條件下，泊松方程和拉普拉斯方程的解唯一拉斯方程的解唯一對任意的靜電場，當空間各點的電荷分布與整個邊界上對任意的靜電場，當空間各點的電荷分布與整個邊界上的邊界條件已知時，空間各部分的場就唯一確定了。的邊界條件已知時，空間各部分的場就唯一確定了。唯一性定

5、理的意義：唯一性定理的意義： 指出了靜態(tài)場邊界問題具有唯一解的條件：指出了靜態(tài)場邊界問題具有唯一解的條件：有確定有確定的邊界條件，有同樣的電位方程的邊界條件，有同樣的電位方程 為靜態(tài)場邊值問題求解方法提供了理論依據，為結為靜態(tài)場邊值問題求解方法提供了理論依據，為結果正確性提供了判據果正確性提供了判據 唯一性定理是間接法求解拉普拉斯方程（泊松方程）唯一性定理是間接法求解拉普拉斯方程（泊松方程）的理論依據的理論依據1、格林第一恒等式、格林第一恒等式2()VSdVdSn 證明：證明： VSSdFdVFF 2()F 2()()VVdVdV ()SdS 即證即證由于由于令令SdSn 二、格林公式二、格林

6、公式高斯散度定理高斯散度定理()( 1.4)AAAA 由矢量恒等式由矢量恒等式2、格林第二恒等式、格林第二恒等式證明：證明： 22()VSdVdSnn 已知：格林第一恒等式已知：格林第一恒等式 2()VSdVdSn 將格林第一恒等式中的將格林第一恒等式中的和和交換，可得交換，可得2()VSdVdSn 再將格林第一恒等式與此式相減，可得再將格林第一恒等式與此式相減，可得22()VSdVdSnn 三、唯一性定理證明三、唯一性定理證明用反證法證明在第一類邊界條件下，泊松方程的解是用反證法證明在第一類邊界條件下，泊松方程的解是唯一的。唯一的。設在區(qū)域設在區(qū)域V內，內， 1和和 2 滿足泊松方程，即滿足

7、泊松方程，即在在V的邊界的邊界S上，上，1 和和2 滿足同樣的第一類邊界條件滿足同樣的第一類邊界條件 r 12 r 22)(1rfS )(2rfS 令令 = 1 2 ，則在，則在V內內在邊界面在邊界面S上上02 0 S 已知格林第一恒等式已知格林第一恒等式 在格林第一恒等式中，令在格林第一恒等式中，令 = 由于由于 所以有所以有 在在S上上 =0，因而有，因而有可知在整個區(qū)域內可知在整個區(qū)域內 0 2()VSdVdSn dSndVSV )(2dSndVSV 202 dVV 02 21 由于對于任意函數由于對于任意函數 ， 所以有所以有 0 0 于是于是 只能是常數，只能是常數，再使用邊界面上再

8、使用邊界面上 =0， 從物質的電結構來看，金屬導體具有帶負電的從物質的電結構來看，金屬導體具有帶負電的自由電子和帶正電的晶體點陣。當導體不帶電也不自由電子和帶正電的晶體點陣。當導體不帶電也不受外電場的作用時，兩種電荷在導體內均勻分布，受外電場的作用時，兩種電荷在導體內均勻分布，都沒有宏觀移動，只有微觀的熱運動存在，此時導都沒有宏觀移動，只有微觀的熱運動存在，此時導體呈電中性。體呈電中性。 鏡像法是解靜電場邊值問題的一種間接方法，它鏡像法是解靜電場邊值問題的一種間接方法，它巧妙地應用唯一性定理，使某些看來難解的邊值問巧妙地應用唯一性定理，使某些看來難解的邊值問題簡單化。題簡單化。 靜電感應：靜電

9、感應：導體因受外電場作用而發(fā)生電荷重新分布導體因受外電場作用而發(fā)生電荷重新分布的現象，稱為靜電感應。的現象，稱為靜電感應。 感應電荷：感應電荷：導體上因靜電感應而出現的電荷，稱為感導體上因靜電感應而出現的電荷，稱為感應電荷，感應電荷一般來說是不均勻的。應電荷，感應電荷一般來說是不均勻的。 鏡像法定義：鏡像法定義：暫時忽略邊界的存在，在所求區(qū)域之外暫時忽略邊界的存在，在所求區(qū)域之外放置虛擬電荷來代替實際導體表面上復雜的感應電荷放置虛擬電荷來代替實際導體表面上復雜的感應電荷分布來進行計算的方法。虛擬電荷被稱為鏡像電荷分布來進行計算的方法。虛擬電荷被稱為鏡像電荷 鏡像法目的：鏡像法目的：把原問題中包

10、含典型邊界的計算問題化把原問題中包含典型邊界的計算問題化為無限大均勻媒質空間中的問題求解，達到簡化求解為無限大均勻媒質空間中的問題求解，達到簡化求解目的。目的。 鏡像法理論依據：鏡像法理論依據：唯一性定理唯一性定理因此引入鏡像電荷后，應有：因此引入鏡像電荷后，應有：電位函數仍然滿足原拉普拉斯方程或泊松方程電位函數仍然滿足原拉普拉斯方程或泊松方程電位分布仍滿足原邊界條件電位分布仍滿足原邊界條件qq非均勻感應電荷非均勻感應電荷等效電荷等效電荷兩個實例兩個實例 1、求位于接地無限大導體板附近的點電荷在板上方產、求位于接地無限大導體板附近的點電荷在板上方產生的電位生的電位 2、求接地導體球附近的點電荷

11、在球外產生的電位、求接地導體球附近的點電荷在球外產生的電位 qq等效電荷等效電荷非均勻感應電荷非均勻感應電荷非均勻感應電荷產生非均勻感應電荷產生的電位很難求解，可的電位很難求解，可以用等效電荷替代以用等效電荷替代非均勻感應電荷產生非均勻感應電荷產生的電位很難求解，可的電位很難求解，可以用等效電荷替代以用等效電荷替代鏡像電荷位置選擇原則：鏡像電荷位置選擇原則： 鏡像電荷需位于求解區(qū)域外，電位函數滿足原方程鏡像電荷需位于求解區(qū)域外，電位函數滿足原方程 鏡像電荷的引入不能改變原問題的邊界條件鏡像電荷的引入不能改變原問題的邊界條件鏡像法的應用領域（分布在導體附近的電荷產生的場）鏡像法的應用領域（分布在

12、導體附近的電荷產生的場） 無限大導體平面附近的點電荷或線電荷產生的場無限大導體平面附近的點電荷或線電荷產生的場 位于導體球附近的點電荷產生的場位于導體球附近的點電荷產生的場 位于無限長圓柱導體附近的平行線電荷產生的場位于無限長圓柱導體附近的平行線電荷產生的場鏡像法主要步驟鏡像法主要步驟 根據求解問題特點確定坐標系根據求解問題特點確定坐標系 根據唯一性定理，利用邊界條件和拉普拉斯方程確定根據唯一性定理，利用邊界條件和拉普拉斯方程確定鏡像電荷的位置和大小。鏡像電荷的位置和大小。 根據求得的鏡像電荷的位置和大小，求其與原電荷共根據求得的鏡像電荷的位置和大小，求其與原電荷共同產生的電場和電位等等。同產

13、生的電場和電位等等。1、點電荷對無限大接地導體平面邊、點電荷對無限大接地導體平面邊界的鏡像界的鏡像原問題：原問題：無限大地接導體平面（無限大地接導體平面（z=0），點），點電荷電荷q位置：位置：z=h求求z0空間的電位分布?？臻g的電位分布。等效問題：等效問題：要求：與原問題邊界條件相同要求：與原問題邊界條件相同原電荷：原電荷：q：z=h鏡像電荷：鏡像電荷：q：z=h（求解域外）（求解域外）取消導體邊界面，取消導體邊界面，z0空間媒質充滿空間媒質充滿整個空間整個空間由等效問題，可以求出在由等效問題，可以求出在z0空間內的電位分布為：空間內的電位分布為： 11( , , )4qx y zRR 22

14、222211(0)4()()qzxyzhxyzh 討論：無限大接導體分界面上感應電荷討論：無限大接導體分界面上感應電荷 0snnzn DDEnz 222 3/22 ()qhxyh 感應電荷感應電荷222 3/22 ()imSSqhqdSdxdyqxyh 說明：說明：無限大導體面上的感應電荷分布很復雜，且電無限大導體面上的感應電荷分布很復雜，且電量與點電荷的鏡像電荷電量相等。量與點電荷的鏡像電荷電量相等。例：例：點電荷點電荷q與無限大導體平面距離為與無限大導體平面距離為d，如果把它移，如果把它移至無窮遠處，（外力）需要做多少功？至無窮遠處，（外力）需要做多少功？解：解：移動電荷移動電荷q時，外力

15、需要克服電場力做功，而電荷時，外力需要克服電場力做功，而電荷q受的電場力來源于導體板上的感應電荷，可以先求電荷受的電場力來源于導體板上的感應電荷，可以先求電荷q移至無窮遠時電場力所做的功。移至無窮遠時電場力所做的功。 由鏡像法，感應電荷的電場由鏡像法，感應電荷的電場可用鏡像電荷可用鏡像電荷q=q替代。當電替代。當電荷荷q移至移至x時，鏡像電荷時，鏡像電荷q應位于應位于x，則有，則有20( )4(2 )xqE xex 222001( )416(2 )eddqqAqE xdxdxdx 2016oeqAAd =45時，鏡像電荷為時，鏡像電荷為7個個2、點電荷對相交接地導體邊界的鏡像、點電荷對相交接地

16、導體邊界的鏡像 如圖，兩半無限大接地導體如圖，兩半無限大接地導體平面垂直相交。平面垂直相交。 要滿足在導體平面上電位為要滿足在導體平面上電位為零，則必須引入零，則必須引入3個鏡像電荷。個鏡像電荷。結論：結論：對于兩相交導體平對于兩相交導體平面構成的邊界，若夾角為面構成的邊界，若夾角為=/n，則所有鏡像電荷數，則所有鏡像電荷數目為目為2n-1個，個，計算方法與計算方法與平面鏡成像中虛像個數的平面鏡成像中虛像個數的計算相似計算相似例：例：圖為自由空間垂直放置的兩個半無限大導電接地平圖為自由空間垂直放置的兩個半無限大導電接地平面組成的直角劈，今有一電量為面組成的直角劈，今有一電量為100nC的點電荷

17、置于的點電荷置于(3，4，0)點，其中各坐標單位為點，其中各坐標單位為m 。求：。求：(3，5，0)點處的點處的電位和電場強度。電位和電場強度。解：解：兩平面夾角為兩平面夾角為90，則，則n=/90=2，為滿足邊界上，為滿足邊界上電位為零的條件，可知需要電位為零的條件，可知需要2n-1=3個虛擬電荷如圖所示。個虛擬電荷如圖所示。則則P(x,y,z)點電位為點電位為0123411114qrrrr 其中：其中：2221)4()3(zyxr 2222)4()3(zyxr 2223)4()3(zyxr 2224)4()3(zyxr 所以（所以（3，5，0）點處的）點處的電位為：電位為： V2 .735

18、 根據：根據： xyzEeeexyz 該點處的電場強度為：該點處的電場強度為： 19.8891.36/xyEee V m 回顧無限長線電荷電位計算回顧無限長線電荷電位計算0( )( )(lnln)2lQPPQ 02lEe 電位參考點電位參考點Q 不能位于無窮遠點，否則表達式無意義不能位于無窮遠點，否則表達式無意義根據表達式最簡單原則，選取根據表達式最簡單原則，選取=1 柱面柱面為電位參考面，為電位參考面，即即Q=1 ，得：，得：0( )ln2lPP 無限長線電流在空間產生的電位無限長線電流在空間產生的電位3、線電荷對無限大接地導體平面邊界的鏡像、線電荷對無限大接地導體平面邊界的鏡像理解理解線電

19、荷對接地導體面的鏡像，可得到等效問題為線電荷對接地導體面的鏡像，可得到等效問題為鏡像電荷：鏡像電荷：llzh 在在z0空間內的電位分布為：空間內的電位分布為： 11lnln2lRR 2222()lnln(0)22()llxzhRzRxzh 1、點電荷、點電荷q對接地球面導體邊界的鏡像對接地球面導體邊界的鏡像確定球面鏡像電荷的位置和大小確定球面鏡像電荷的位置和大小令鏡像電荷位于球心與電荷令鏡像電荷位于球心與電荷q連連線上，電量為線上，電量為q，與球心距離為，與球心距離為d，則在空間任意點，則在空間任意點P處電位為處電位為14qqRr 其中：其中：222cosRrdrd 222cosrrdrd 由

20、邊界條件可知：由邊界條件可知：0r a 22221042cos2cosr aqqadadadad 22222222()()2 ()cos0adqadqa dqd q 222222()()0adqadq 222 ()0a dqd q aqqd 2add qq dd 或或舍去舍去結論：點電荷結論：點電荷q對接地導體球面的鏡像電荷為對接地導體球面的鏡像電荷為aqqd 2add 電量：電量：位置：位置：說明：說明：此結論可作為此結論可作為結果直接用于計算題中結果直接用于計算題中，此時求解，此時求解對象由對象由接地導體求面附近的點電荷系統(tǒng)簡化兩點荷系統(tǒng)接地導體求面附近的點電荷系統(tǒng)簡化兩點荷系統(tǒng)2、點電荷

21、、點電荷q對不接地且不帶電的球面導體邊界的鏡像對不接地且不帶電的球面導體邊界的鏡像確定球面鏡像電荷的位置和大小確定球面鏡像電荷的位置和大小球殼不接地時，導體球面電位不球殼不接地時，導體球面電位不為為0，球面上感應電荷總量為，球面上感應電荷總量為0處理方法：處理方法：電位疊加原理電位疊加原理處理過程：處理過程：先假設導體球面接地，則球面上存在電量為先假設導體球面接地，則球面上存在電量為q的感應的感應電荷，鏡像電荷可采用前面的方法確定。電荷，鏡像電荷可采用前面的方法確定。斷開接地，將電量為斷開接地，將電量為q的電荷加到導體球面上，這的電荷加到導體球面上，這些電荷必然均勻分布在球面上，以使導體球為等

22、勢體些電荷必然均勻分布在球面上，以使導體球為等勢體均勻分布在導體球面上的電荷均勻分布在導體球面上的電荷q可以用位于球心的可以用位于球心的等效的等量點電荷等效的等量點電荷q”等效等效分析可知：分析可知：點電荷點電荷q對不接地且不帶電導體球面的鏡像對不接地且不帶電導體球面的鏡像電荷有兩個電荷有兩個鏡像電荷鏡像電荷1：鏡像電荷鏡像電荷2：aqqd 2add 電量：電量：位置：位置：aqqqd 電量：電量：位置：位于球心位置：位于球心球外空間某點電位為：球外空間某點電位為：14qqqRrr 鏡像電荷鏡像電荷1：鏡像電荷鏡像電荷2：aqqd 2add 電量：電量：位置：位置：aqQqQqd電量：電量：位

23、置：位于球心位置：位于球心球外空間某點電位為：球外空間某點電位為：14qqqRrr 3、點電荷、點電荷q對不接地且?guī)щ姙閷Σ唤拥厍規(guī)щ姙镼的球面導體邊界的鏡像的球面導體邊界的鏡像分析可知：分析可知：點電荷點電荷q對不接地且?guī)щ姙閷Σ唤拥厍規(guī)щ姙镼導體球面的鏡導體球面的鏡像電荷有兩個像電荷有兩個例：例：真空中一點電荷真空中一點電荷q位于不帶電導體球附近。導體球半位于不帶電導體球附近。導體球半徑為徑為a，點電荷距離球心距離為，點電荷距離球心距離為d（da)。求：。求：1）導體球接地時球外電位分布及電荷）導體球接地時球外電位分布及電荷q所受的電場力所受的電場力2）導體球未接地時球外電位分布及電荷）導

24、體球未接地時球外電位分布及電荷q所受的電場力所受的電場力解：解：1）當導體球接地時，由鏡像法，原問題可等效為）當導體球接地時，由鏡像法，原問題可等效為空間只存在空間只存在q和鏡像電荷和鏡像電荷q，不存在邊界的問題，不存在邊界的問題易知：易知：aqqd 2add 則球外空間任意點則球外空間任意點P處電位為：處電位為：014qqRr 222242011()42cos2 ()cosqrdrddradr ad 電荷電荷q受靜電力為：受靜電力為：aqqd 2add aqqqd 位置位于球心位置位于球心2222 2004()4()rrqqadqFeeddda 2）當導體球不接地時，由鏡像法，）當導體球不接

25、地時，由鏡像法，原問題可等效為空原問題可等效為空間只存在間只存在q和鏡象電荷和鏡象電荷q和和 q”，不存在邊界的問題，不存在邊界的問題易知：易知： 22242201()42cos2cosqaadrrdrdd radr a d 220044rqqqqFeddd 14qqqRrr 則球外空間任意點則球外空間任意點P處電位為處電位為電荷電荷q受靜電力為：受靜電力為：222230014()4rdaqedad 分離變量法：分離變量法：把一個多變量的函數表示成幾個單變量把一個多變量的函數表示成幾個單變量函數乘積，從而將偏微分方程分離為幾個帶分離常數函數乘積，從而將偏微分方程分離為幾個帶分離常數的常微分方程

26、的方法。的常微分方程的方法。 適用范圍：適用范圍：要求所給邊界與一個適當的坐標系的坐標面重合要求所給邊界與一個適當的坐標系的坐標面重合在此坐標系中，待求偏微分方程的解可表示成三個函在此坐標系中，待求偏微分方程的解可表示成三個函數的乘積，每一函數僅是一個坐標的函數。數的乘積，每一函數僅是一個坐標的函數。 種類：種類：直角坐標系中的分離變量法直角坐標系中的分離變量法圓柱坐標系中的分離變量法圓柱坐標系中的分離變量法球坐標系中的分離變量法球坐標系中的分離變量法三個重要的數學定理三個重要的數學定理 定理定理1：如果函數如果函數y1(x)和和y2(x)是方程是方程y”+py+qy=0的的兩個特解，則兩個特

27、解，則y=c1y1(x)+c2y2(x)也是方程的特解。也是方程的特解。 定理定理2：如果函數如果函數y1(x)和和y2(x)滿足條件：滿足條件：y1(x)/y2(x) 常數，常數，則函數則函數y1(x)和和y2(x)線性無關。線性無關。 定理定理3：如果函數如果函數y1(x)和和y2(x)是方程是方程y”+py+qy=0的的兩個線性無關的特解，則兩個線性無關的特解，則y=c1y1(x)+c2y2(x)是方程的通是方程的通解。解。應有條件：應有條件：界面形狀適合用直角坐標系表示。界面形狀適合用直角坐標系表示。分析方法：分析方法：先用分離變量法求通解，再重點利用邊界先用分離變量法求通解，再重點利

28、用邊界條件求定解。條件求定解。直角坐標系中的拉普拉斯方程：直角坐標系中的拉普拉斯方程： 2222220 xyz 變量分離：變量分離：設設 ，將其代入上式，得，將其代入上式，得( , , )( ) ( ) ( )x y zX x Y y Z z 2222220d Xd Yd ZYZXZXYdxdydz 除以除以XYZ，得，得 0XYZXYZ上式成立的唯一條件是三項中每一項都是常數，故可上式成立的唯一條件是三項中每一項都是常數，故可分解為下列三個方程：分解為下列三個方程：222XXYYZZ 其中：其中：, , ,為為分離常數分離常數，但不能全為實，但不能全為實數或全為虛數數或全為虛數 22200X

29、YZXYZ常微分方程的解：常微分方程的解： 以以X”/X=2式為例，說明式為例，說明X的形式與的形式與的關系的關系當當2=0時，則時，則00( )X xa xb 12( )sincosxxX xak xak x 12( )xxjk xjk xX xb eb e 12( )sxxX xchk xc chk x 12( )xxk xk xX xd ed e 當當20時，令時，令=kx，則，則a，b，c，d為積分常數，由邊界條件決定為積分常數，由邊界條件決定Y(y)Z(z)的解和的解和X(x)類似類似或或或或積分常數的大致確定方法：積分常數的大致確定方法： 若在某一個方向（如若在某一個方向（如x方向

30、）的邊界條件是周期的，方向）的邊界條件是周期的，則分離常數是虛數，其解選三角函數；則分離常數是虛數，其解選三角函數； 若在某一個方向的邊界條件是非周期的，則分離常數若在某一個方向的邊界條件是非周期的，則分離常數是實數，其解選雙曲函數或者指數函數。是實數，其解選雙曲函數或者指數函數。其中：有限其中：有限區(qū)域選雙曲函數，無限區(qū)域選指數衰減函數；區(qū)域選雙曲函數，無限區(qū)域選指數衰減函數； 若位函數與某一坐標無關，則沿該方向的分離常數為若位函數與某一坐標無關，則沿該方向的分離常數為零，其解為常數。零，其解為常數。分離變量法的求解步驟：分離變量法的求解步驟： 建立正確的坐標系，確定變量的個數；建立正確的坐

31、標系，確定變量的個數； 求方程的通解；求方程的通解； 利用邊界條件求方程的定解，即求出待定系數利用邊界條件求方程的定解，即求出待定系數例例4-7 橫截面為如圖所示的導體長槽，上方有一塊與槽橫截面為如圖所示的導體長槽，上方有一塊與槽相互絕緣的導體蓋板，截面尺寸為相互絕緣的導體蓋板，截面尺寸為ab，槽體的電位為，槽體的電位為零，蓋板的電位為零，蓋板的電位為U0， 求此區(qū)域內的電位。求此區(qū)域內的電位。 xyba0U 0 0 0 解：解：導體槽內為無源區(qū)，故電位導體槽內為無源區(qū)，故電位滿足拉普拉斯方程和邊界條件：滿足拉普拉斯方程和邊界條件：2000,(0, )0(1),( , )0(2)0,( ,0)

32、0(3),( , )(4)xyxaa yyxybx bU 用分離變量法求解過程：用分離變量法求解過程：2222220 xyz 20 =0設設( , )( ) ( )x yX x Y y 代入代入22220 xy 22220d Xd YYXdxdy0XYXY XYXY 22XkXYkY 通過引入分離常數通過引入分離常數k，將，將二維拉普拉斯方程分解為二維拉普拉斯方程分解為兩個齊次常微分方程。分兩個齊次常微分方程。分別解這兩常微分方程可得別解這兩常微分方程可得原問題的通解原問題的通解解常微分方程（解常微分方程（k值取值不同解形式不同）值取值不同解形式不同）當當k=0時：時：00000000( ),

33、( )X xA xBA B CDY yC yD待待定定當當k0時：時：( )sin()cos(),( )()()X xAkxBkxA B C DY yCsh kyDch ky 待待定定 sin()cos()()()AkxBkxCsh kyDch ky 由于三角函數具有周期性，因此解中的分離變量由于三角函數具有周期性，因此解中的分離變量k可以可以取一系列特定的值取一系列特定的值kn(n=1,2,3)，即，即sin()cos()()()1,2,3nnnnnnnnAk xBk xC sh k yD ch k yn 將所有特解的線性組合起來，得到電位函數的通解將所有特解的線性組合起來，得到電位函數的通

34、解 00001sin()cos()()()nnnnnnnnnA xBC yDAk xBk xC sh k yD ch k y 解中所有未知系數和分離變量解中所有未知系數和分離變量kn由邊界條件確定由邊界條件確定00,(0, )0(1),( , )0(2)0,( ,0)0(3),( , )(4)xyxaa yyxybx bU xyba0U 0 0 0 已知邊界條件：已知邊界條件： 00001sin()cos()()()nnnnnnnnnA xBC yDAk xBk xC sh k yD ch k y 由條件由條件(1)得：得：由條件由條件(2)得：得：由條件由條件(3)得：得：由條件由條件(4)

35、得：得：00,0nBB 00,(1,2,)nAknan 0 nD1sin()() ()nnnnnnnAx shyAACaa 01sin()()nnnnUAx shbaa 01sin()()nnnnUAx shbaa 將此式按傅立葉級數展開，即等式兩邊同乘以將此式按傅立葉級數展開，即等式兩邊同乘以 sin()mxa 再對再對x從從0到到a積分，得積分，得0001sin()s ()sin()sin()aannmnnmUx dxAhbxxdxaaaa 等式左邊等式左邊 0(1cos)aUmm 利用三角函數的正交性質利用三角函數的正交性質 00sin()sin()2amnnmxx dxaaamn 等式

36、右邊等式右邊2mam bAsha 可得可得 041,3,5mm bAUm shma 即即 041,3,5nn bAUn shna 所以，接地導體槽內部電位分布為所以，接地導體槽內部電位分布為01,3,41sin()()()nUn xn yshn baansha 即即 0(1cos)2maam bUmAshma 引入引入分離變量法和鏡像法都是求邊值問題得解析解的方法。分離變量法和鏡像法都是求邊值問題得解析解的方法。但是在許多實際問題中由于邊界條件過于復雜而無法但是在許多實際問題中由于邊界條件過于復雜而無法求得解析解。這就需要借助于數值法來求電磁場的數求得解析解。這就需要借助于數值法來求電磁場的數

37、值解。有限差分法便是一種比較容易的數值解法。值解。有限差分法便是一種比較容易的數值解法。原理原理把求解的區(qū)域劃分成網格，把區(qū)域內連續(xù)的場分布用把求解的區(qū)域劃分成網格，把區(qū)域內連續(xù)的場分布用網絡節(jié)點上的離散的數值解來代替。網格劃分得充分網絡節(jié)點上的離散的數值解來代替。網格劃分得充分細，才能夠達到足夠的精度。應用有限差分法計算靜細，才能夠達到足夠的精度。應用有限差分法計算靜態(tài)場邊值問題時，需把微分方程用差分方程替代。態(tài)場邊值問題時，需把微分方程用差分方程替代。差分表示式差分表示式23231023000112!3!hhhxxx 23233023000112!3!hhhxxx 當當h很小時，忽略四階以

38、上高次項，得很小時，忽略四階以上高次項，得22130202hx 同理，有同理，有 22240202hy 兩式相加并考慮兩式相加并考慮 得：得： 22220 xy 0123414 yx01234方法方法 簡單迭代法簡單迭代法步驟：先對每一網格點步驟：先對每一網格點設初值。然后按固定順設初值。然后按固定順序（從左到右，從下到序（從左到右，從下到上），利用二維拉普拉上），利用二維拉普拉斯方程的有限差分形式斯方程的有限差分形式用圍繞它的四個點的電用圍繞它的四個點的電位的平均值作其新值，當所有點計算完后，用它們的新位的平均值作其新值，當所有點計算完后，用它們的新值代替舊值，即完成了一次迭代。然后再進行下

39、一次迭值代替舊值，即完成了一次迭代。然后再進行下一次迭代，直到新值和舊值之差小于指定的范圍為止。為提高代，直到新值和舊值之差小于指定的范圍為止。為提高精度，必須進一步劃分出更多更小的網格數。精度，必須進一步劃分出更多更小的網格數。 1,1,11,114nnnnni jiji jiji j 塞德爾（塞德爾（Seidel）迭代法）迭代法上式為異步迭代法。由于更新值提前使用，異步迭代上式為異步迭代法。由于更新值提前使用，異步迭代法比簡單迭代法收斂速度加快一倍左右，存儲量也小法比簡單迭代法收斂速度加快一倍左右，存儲量也小為節(jié)約計算時間，對簡單迭代法進行改進，每當算出為節(jié)約計算時間，對簡單迭代法進行改進

40、，每當算出一個節(jié)點的高一次的近似值，就立即用它參與其它節(jié)一個節(jié)點的高一次的近似值，就立即用它參與其它節(jié)點的差分方程迭代。點的差分方程迭代。 111,1,11,114nnnnni jiji jiji j 超松弛法：超松弛法：2、采用松弛因子法：、采用松弛因子法：稱為松馳因子，其值介于稱為松馳因子，其值介于1和和2之之間。當其值為間。當其值為1時，超松馳迭代法就蛻變?yōu)橘惖聽柕鷷r，超松馳迭代法就蛻變?yōu)橘惖聽柕?。法。簡單迭代法在解決問題時收斂速度比較慢，實用價值不簡單迭代法在解決問題時收斂速度比較慢，實用價值不大。實際中常采用超松弛法，相比之下它有兩點重大的大。實際中常采用超松弛法，相比之下它有兩點重大的改進改進 ：1、計算每一網格點時，把剛才計算得到的臨近點的新、計算每一網格點時，把剛才計算得到的臨近點的新值代入，即在計算值代入，即在計算(j,k)點的電位時，把它左邊的點點的電位時，把它左邊的點(j-1,k)和下面的點和下面的點(j,k-1)的電位用剛才算過的新值代入。的電位用剛